1. 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
题。
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2. 陆金刚
3. 吴道远
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日期： 2009 年 9 月 14 日
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2. 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

3. 制动器试验台的控制方法分析
摘要
本文讨论了制动器试验台控制方法的问题，在不同条件下建立了相应的制动
器试验台控制方法的模型， 并且对模型的优劣进行了详细的评价。全文的关键在
于建立的控制方法模型能否精确地模拟路试时车辆制动的实际情况。 在解决问题
六时，本文最终给出了一个尽量完善的计算机控制方法。
问题一：利用平动动能和转动动能之间的等效关系求得等效的转动惯量为
52 kg ∙ m2 。
问题二：首先利用推导的转动惯量公式求得三个飞轮各自的惯量，共可以组
合成 8 种机械惯量： 10 kg ∙ m2 、 kg ∙ m2 、 kg ∙ m2 、
40 70 130 kg ∙ m2 、 kg ∙
100
2 2 2 2
m 、160 kg ∙ m 、190 kg ∙ m 、220 kg ∙ m ，进而计算出电动机补偿的惯量
为12 kg ∙ m2 和−18 kg ∙ m2 。我们还对这两个结果从误差和能耗的角度进行比较，
2
认为 12 kg ∙ m 是更为优化的结果。
问题三：我们首先建立了驱动电流 I 依赖于可观测量的控制模型，建模过程
中引入了惯量系数比η = J模拟 J机械 ，得到驱动电流依赖于瞬时观测量的模型为
η− 1
I = 1.5M制动 × 。在问题一、问题二和制动减速度为常数的条件下，我们得
η
1.5v 0
到电流的最终计算式：I = × J驱动 ，进而求得结果：当补偿惯量分别为
t×r
12 kg ∙ m2 或−18 kg ∙ m2 时，相应的驱动电流为174.825A 或−262.238A。类似问
题二，我们认为 174.825A 是更为优化的结果。
问题四：从模拟制动的结果和模拟制动的过程分别评价试验中采取的控制方
法。结果方面：能量误差为 2858.211 J，能量的误差百分比为 5.48 %，具有良
好的准确度，基本上满足了模拟试验的原则；过程方面：驱动惯量收敛速度非常
快，在 0.7s 内就达到了稳定值。加速度值基本保持不变，不存在速度的突变，
具有很好的稳定性。
问题五：在问题三模型的基础上细化电流控制的具体方法。我们对先前时段
的数据进行误差分析， 通过误差反馈的手段来逐步调整惯量系数比，进而得出下
一时段的电流。 由于通过反馈的方法使该模型能很好地适应制动因素变化很大的
制动过程， 但是由于上一时段瞬时测量值的滞后性等因素导致模型的准确度和稳
定性不够好。
问题六：这是对问题五模型缺点的一种改进的控制电流的方法。我们采用基
于能量补偿的方法来人为控制电流的大小和施加的时间， 从而克服问题五模型的
不足之处， 达到很好的准确性和稳定性。不过提高了实验者对于施加电动机电流
大小和时间的把握难度。
关键词： 制动器试验台 驱动电流控制 惯量系数比 误差反馈 能量补偿
1

4. 一、问题重述
汽车的行车制动器是在行驶时使车辆减速或者停止。 制动器的设计是车辆设
计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，
必须进行相应的测试。 在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试， 其方法为：
车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运
动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在
这一过程中， 检测制动减速度等指标。 假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，
因此轮胎与地面无滑动。
为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，
车辆设计阶段无法路试， 只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟
试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动
过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所
有车轮的制动器。 制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电
动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器
安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动
主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角
速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束
条件时就称为完成一次制动。
路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。 将这个载荷在车辆平动时具有的能
量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转
动时具有的能量， 与此能量相应的转动惯量称为等效的转动惯量。试验台上的主
轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据
需要选择几个飞轮固定到主轴上， 这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械
惯量。例如，假设有 4 个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg· 2，基 m
2 2
础惯量为 10 kg· ，则可以组成 10，20，30，…，160 kg· 的 16 种数值的机械
m m
2
惯量。但对于等效的转动惯量为 45.7 kg· 的情况，就不能精确地用机械惯量模
m
拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为 40 kg· 2，然后在制动m
过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而
缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。
一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比； 且试验台
工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。
由于制动器性能的复杂性， 电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得
到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的
时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段
驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。
评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小， 本题中的能量误
差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗
的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。
现在我们所要做的就是建立模型分析设计出能很好模拟制动过程的控制电
动机电流的方法，并通过一系列指标对其性能好坏进行评价。
2

5. 二、模型假设与符号说明
2.1 模型假设
1. 假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动，于是轮
胎没有抱死的情况；
2. 假设试验台模拟时， 主轴的角速度与车轮的角速度始终一致，没有相对打滑；
3. 假设不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差；
4. 假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系
数取为 1.5 A/N· ；
m）
5. 假设不考虑制动器的系统误差：通常包括飞轮的加工误差和风阻及轴承损耗
等阻力引起的误差；
6. 假设本论文中的试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有
车轮的制动器，也就是制动时承受的载荷全部作用到单个轮子上；
7. 假设忽略车轮自身转动具有的能量；
8. 假设环形钢制飞轮的质量均匀分布。
2.2 符号说明
M制动：制动器产生的扭矩；
M驱动：电动机驱动电流产生的能量对应的扭矩；
M机械：飞轮和主轴等机构转动时具有的能量对应的扭矩；
J等效：等效的转动惯量，即路试时载荷的平动能量转化而来的惯量；
J驱动：驱动电流产生的能量所对应的转动惯量，跟M驱动 相对应；
J机械：飞轮和主轴等机构转动时的机械惯量，跟M机械 相对应；
J模拟：试验台上模拟出来的总的转动惯量，它和J机械 、驱动 有如下关系：模拟 = J机械
J J
+ J驱动。由于并不一定模拟得准确，它与实际的J等效 可能存在小幅度的偏差，一
般来说两者近似相等。
E电实：某个时间段内，电动机实际施加的电流对应的驱动电能量；
E电需：某个时间段内，电动机需要施加的电流对应的驱动电能量；
η：惯量系数比，定义式为：η = J模拟 J机械 ；
3

6. 三、模型建立与求解
纵观六个问题，前面两小问是对电动机驱动模型中需要的一些基本数据的处
理与求解，所以我们先来求解这些基本数据，见 3.1 节和 3.2 节，为后面四个问
题的模型建立与求解做好数据上的准备工作。
3.1 问题一：求解等效转动惯量
问题一是一个等效转换问题，也就是如何用试验台上飞轮和主轴等机构转动
时具有的能量来“模拟”载荷在车辆平动时具有的能量。该等效模型就是：载荷
的平动动能Ek 要跟飞轮和主轴等机构的转动动能Em 相等，即式（3-1）：
1 1
mv2 = Ek = Em = Jw 2 3−1
2 2
式中各变量的含义如下：
1) J 为与转动动能Em 相应的转动惯量，定义为等效的转动惯量，即为问题一的
所求；
2) v 为载荷的平动速度，w 为飞轮和主轴等机构转动时的角速度，r 为单个前轮
的滚动半径，它们三者有如下关系：v = wr；
3) m 为承受的载荷力 F（即为 6230 N）等效成的质量，即m = F g，其中 g 为
重力加速度；
化解式（3-1），可得等效的转动惯量 J 的计算式，见式（3-2） ：
J = mr 2 = (F g) × r 2 (3 − 2)
2
代入题目中的数据：r = 0.286 m、F = 6230 N、g = 9.8 m s ，得到等效
的转动惯量 J 的结果为：J = 51.9988 kg ∙ m2 ≈ 52 kg ∙ m2 。
3.2 问题二：求解机械惯量和驱动惯量
3.2.1 推导环形飞轮转动惯量表达式
问题二中，为了找到飞轮组和基础惯量所有可以组合成的机械惯量，必须先
求出飞轮组中三个环形钢制飞轮各自的转动惯量。
在这里，我们理想化环形钢制飞轮为刚体，且为形状标准的空心圆柱体，并
且假设飞轮的质量均匀分布。下面我们对环形圆柱体的转动惯量公式作简单的推
导。
图 3-1 环形圆柱体示意图
4

7. 如图 3-1 所示，设飞轮的外半径为 R 2 ，内半径为 R1 ，厚度为 l。根据转
[2]
动惯量的定义 ：
J= ∆mi ri2 (3 − 3)
式中的 ∆mi ri2 只与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是
说， 它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关。对于绕定轴转动的
刚体，J 为一恒量。在该题中，刚体形状固定，质量分布均匀，转轴即是空心圆
柱体的中心轴，所以飞轮的转动惯量是一个恒定常量。
在求解环形飞轮的转动惯量时，分割半径为无穷多的小单元，考虑内半径为
r 、外半径为r + dr的小空心圆柱体。当dr足够小，薄空心圆柱体等效为半径为r的
薄圆环，由于薄圆环的刚体转动惯量为J = mr 2 ，于是环形飞轮的转动惯量为
R2 R2
J= ρ × 2πr ∙ l ∙ dr × r 2 = 2πρl × r 3 dr = 1 2 ∙ ρ ∙ π ∙ l ∙ R4 − R4
2 1
R1 R1
所以一个质量均匀分布、绕空心圆柱体中心轴旋转的环形圆柱体的转动惯量
的表达式为：
J = 1 2 ∙ ρ ∙ π ∙ l ∙ R4 − R4
2 1 (3 − 4)
3.2.2 求解机械惯量
将问题二中数据代入式（3-4）：钢材密度ρ = 7810 kg/m3 ，三个飞轮的厚度
分 别 为 l = 0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m ， 外 半 径 R 2 = 0.5 m ， 内 半 径
R1 = 0.1 m。得到三个飞轮的转动惯量分别为 30 kg ∙ m2 、60 kg ∙ m2 、120
kg ∙ m2 。
根据飞轮的厚度递增的顺序给飞轮编号①、②、③，每个飞轮对应的转动惯
量见下表 3-1：
表 3-1
飞轮编号 ① ② ③
飞轮厚度（m） 0.0392 0.0784 0.1568
飞轮转动惯量（kg ∙ m2 ） 30 60 120
根据飞轮组被选入飞轮数量的多少，可以是 0 个、1 个、2 个、3 个，得到飞
轮的组合情况有∁0 + ∁1 + ∁2 + ∁3 = 8种，
3 3 3 3 即可以组成八种机械惯量。 大小分别是
2 2 2 2 2
10 kg ∙ m 、 kg ∙ m 、 kg ∙ m 、
40 70 130 kg ∙ m 、 kg ∙ m 、
100 160 kg ∙ m2 、
190 kg ∙ m2 、220 kg ∙ m2 。
飞轮的组合情况见下表 3-2：
5

8. 表 3-2
飞轮数 0 1 2 3
飞轮组合 无 ① ② ③ ①② ①③ ②③ ①②③
机械惯量
10 40 70 130 100 160 190 220
（kg· 2）
m
3.2.3 求解电动机补偿的驱动惯量
① 求解结果：问题一求得的等效转动惯量J等效 为 52 kg ∙ m2 ，并且已知电动机能
补偿的能量相应的惯量J驱动范围为 [-30, 30] kg ∙ m2 ，能够提供的机械惯量J机械 有
八种。因为本小问要用J驱动和J机械来完全模拟出J等效 ，所以它们三者有如下关系：
J驱动 + J机械 = J模拟 = J等效 (3 − 5)
所以电动机需要补偿的惯量J驱动 的计算公式为：
J驱动 = J等效 − J机械 (3 − 6)
代入数据到式（3-6） 得到机械惯量J机械 的范围为 [22, 82] kg ∙ m2 。
， 根据 3.2.2
中计算的八种机械惯量，满足条件的机械惯量是 40 kg ∙ m2 和 70 kg ∙ m2 ，也就
是选择惯量为 30 kg ∙ m2 的飞轮或者选择惯量为 60 kg ∙ m2 的飞轮。
所以单个厚度为 0.0392 m 的飞轮或单个厚度为 0.0784 m 的飞轮都可以用在
试验中，相应的机械惯量分别为 40 kg ∙ m2 和 70 kg ∙ m2 ，再代入到式（3-6），得
到电动机需要补偿的惯量大小分别为12 kg ∙ m2 和−18 kg ∙ m2 。
两种电动机补偿惯量所对应的飞轮分配见表 3-3 ：
表 3-3
选择飞轮 ① ②
飞轮转动惯量（kg·m2） 30 60
2
制动器的机械惯量（kg·m ） 40 70
电动机的补偿惯量（kg·m2） 12 -18
② 结果分析：由于电动机不仅可以正转来弥补机械惯量的不足，也可以反转来
抵消多余的机械惯量，所以电动机补偿的能量对应的惯量可为正数亦可为负数。
所以，上述得到的补偿的惯量J驱动 有正数和有负数并不矛盾，就像把J驱动 看作是
矢量，正负号仅仅代表“方向”。
6

9. ③ 结果的进一步优化：虽然补偿的惯量J驱动 为12 kg ∙ m2 和−18 kg ∙ m2 均符合题
目的要求，但是选用−18 kg ∙ m2 这组结果（也就是选用大惯量的飞轮且使用大
功率的电动机）可能产生下列问题：
1) 在欲模拟的制动器的等效机械惯量J等效 较大时，采用−18 kg ∙ m2 这组结果模
拟制动初期的误差较大；
2) 在制动试验开始前，要首先利用发动机把主轴和飞轮加速到特定速度，当选
择转动惯量大的飞轮时，相应地，达到一定速度需要的能量也高；
3) 当要模拟的机械惯量大时，电机的功率损耗也会相对较大；
4) 当采用−18 kg ∙ m2 这组结果时，电动机功率大，调速装置等配套设备功率都
要相对增大，使成本增加；
所以，基于以上分析，我们建议在实际情况中选择机械惯量偏小的飞轮，让
电动机在制动过程中充当飞轮的角色，来补偿飞轮惯量的不足，也就是建议采用
补偿的惯量J驱动为12 kg ∙ m2 、厚度为 0.0392 m 的飞轮这组结果。当然就本题而
言，电动机的补偿的惯量为12 kg ∙ m2 和−18 kg ∙ m2 是均符合要求的。
3.3 问题三：建立驱动电流模型并求解
制动器模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器
的制动过程尽可能一致， 也就是试验台上得到的可观测数据（即附表中的扭矩 M
和转速 w）要尽可能地反映出路试时的真实数据，从而使试验台上“模拟”出的
制动器的性能可以比较真实地反映制动器的实际性能。
模拟试验过程中，由于机械惯量并不能精确地模拟出等效的转动惯量。 因此，
还需要电动机在一定规律的电流控制下参与工作， 从而弥补由于机械惯量不足而
缺少的能量。
同时，由于电动机驱动电流与时间之间的精确关系很难得到，于是采用了 “把
整个制动时间离散化为许多小的时间段”的思想。所以，本论文的核心问题就是
如何设计本时段驱动电流的值达到尽可能“模拟”实际制动过程的效果。
在第三问中，我们通过分析力矩和转动惯量之间的关系，引入惯量系数比η，
进而给出了驱动电流依赖于可观测量的一般控制模型。 接着，在第五问 （3.5 节）
中我们细化了第三问中的控制模型，从t 0 时刻开始分析，介绍了t 0 到 t1 ，t1 到
t 2 的能量、转动惯量等数据的关系，通过“消除上一时段能量误差”的思想逐步
调整每一时刻的惯量系数比η，进而得出了如何在每一时刻根据前一时段的瞬时
转速与/或瞬时扭矩设计出本时段驱动电流的具体控制方法。
3.3.1 驱动电流的控制模型
[2]
根据刚体的转动定律 ：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合
外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即式（3-7）：
M = Jα (3 − 7)
试验台上，飞轮和主轴等机构转动时受到制动器产生的扭矩M制动 和驱动电流
产生扭矩M驱动的共同作用，它们和机械惯量J机械 、试验台上模拟出来的总的转动
7

10. 惯量J模拟有式（3-8）和式（3-9）的关系：
dω
M制动 = J模拟 × (3 − 8)
dt
dω
M制动 − M驱动 = J机械 × (3 − 9)
dt
两式相比，可得式（3-10）：
J模拟 − J机械
M驱动 = M制动 × (3 − 10)
J模拟
因为假设试验台采用的电动机的驱动电流 I 与其产生的扭矩M驱动 成正比，且比例
系数为 1.5 A/N·
m，所以得到驱动电流 I 的表达式：
J模拟 − J机械
I = 1.5M驱动 = 1.5M制动 ×
J模拟
引入惯量系数比η = J模拟 J机械 ，于是得到驱动电流 I 依赖于可观测量的控制模型，
见式（3-11）：
η− 1
I = 1.5M驱动 = 1.5M制动 × (3 − 11)
η
根据该模型就可以确定每一时刻电动机驱动电流 I 的大小。
其中，M制动 是可以瞬时观测到的量，试验过程中机械惯量J机械 是恒定的值。
所以，要求出每一时刻 I 的大小，只要确定出每一时刻惯量系数η即可，具体调
整η的方法将在 3.5 中有关问题五驱动电流控制方法的模型建立中详细阐述。
3.3.2 驱动电流的求解
① 求解步骤：
根据 3.3.1 中建立的模型，我们来求解问题三所示条件下的驱动电流。在问
题 1 和问题 2 的条件下，可知对等效惯量的模拟是完全无误差的，即存在如下关
系：
J模拟 = J等效 (3 − 12)
此时，惯量系数为常数η0 = J等效 J机械 。又因为制动减速度为常数，所以角
加速度为恒定值，见式（3-13）：
dω v0
α= = (3 − 13)
dt t × r
将上式代入式（3-8）中，可求得M制动 ，见式（3-14）：
v0
M制动 = J等效 × (3 − 14)
t × r
再将式（3-14） 0 代入式
和η （3-11） 得到此条件下驱动电流 I 的最终表达式：
，
8

11. v0 η0 − 1 1.5v0
I = 1.5J等效 × × = × J驱动
t ×r η0 t × r
② 求解结果：
代入数据： 初始速度v0 = 50 km/h，制动时间 t = 5.0s，车轮滚动半径 r = 0.286
m。根据 4.2.1 中电流 I 的最终表达式，得到如下求解结果：
1) 当机械惯量J机械 = 40kg ∙ m2 时，驱动惯量J驱动 = 12kg ∙ m2 ，所以此时电流
I = 174.825A。电流为正值，表示此时电动机正转，来弥补机械惯量的不足。
2) 当机械惯量J机械 = 70kg ∙ m2 时，驱动惯量J驱动 = −18kg ∙ m2 ，所以此时电
流I = −262.238A。电流为负值，表示此时电动机反转，来抵消多虑的机械
惯量。
③ 结果的进一步优化：
与问题二中电动机补偿的惯量的优化类似（见 3.2.3 节） ，我们建议采用
I = 174.825 A这组解。当然 就本题而言，电动机的 驱动电流为174.825 A 和
−262.238 A是均符合要求的。
3.4 问题四：对所给控制方法的评价
在问题四中我们需要对试验中采取的控制方法进行评价分析，在这里我们从
模拟制动的结果和模拟制动的过程分别进行评价。
3.4.1 基于模拟制动结果的评价
在结果状态指标中，评价控制方法优劣的一个最重要数量指标是能量误差的
大小。下面对能量误差指标进行分析。
定义本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上
制动器在制动过程中消耗的能量之差。这里假设观测误差、随机误差和连续问题
离散化所产生的误差不做考虑。
在对该问题的控制方法得到的结果的评价分析中，我们首先考虑能量误差因
素。
在此试验中，与所设计的路试等效的转动惯量为 48 kg·m2，机械惯量为 35
kg·m2，主轴初转速为 514 转/分钟，末转速为 257 转/分钟，时间步长为 10 ms。
定 义 符 号 ， 与 所 设 计 的 路 试 等 效 的 转 动 惯 量 J等效 = 48kg ∙ m2 ， 机 械 惯 量
J机械 = 35kg ∙ m2 ，制动过程中主轴的初始转速n初 = 514rpm，主轴的末转速
n末 = 257rpm ，制动时间t = 10ms 。
分析附录表格中的数据，我们把扭矩理解为每个时刻试验台工作时主轴的瞬
时扭矩，该扭矩是由试验台的机械惯量和电流的驱动惯量共同影响的，我们称之
为制动力矩M制动。制动力矩所作的功为：
W= M制动 dθ (3 − 15)
又因为在该试验的控制方法中，整个制动时间离散化为许多小的时间段， 也
9

12. 就是 10 ms 为一段。所以在这里我们可以假设每个 0.01s 时间段内的角速度为一
个恒定常量。这时积分可以近似等于各时间段制动力矩所作的功的叠加：
W= M制动 dθ = M制动 ∙ wi ∙ T (3 − 16)
式中，w = n ∙ 2π 60 = n ∙ π 30，代入式（3-16），可得：
W= M制动 ∙ ni ∙ T ∙ π 30 (3 − 17)
在此题中，T = 0.01s，又由附录表格中给出的每一个时间段的扭矩、转速，
可以计算出实验台上制动器在制动过程中所作的功W， 在理想条件下也就是实验
台上制动器在制动过程中消耗的能量。
路试时，制动器做负功，使主轴的转速从 514 转/分钟减到 257 转/分钟，在
理想化的模型下， 制动器在制动过程中消耗的能量即是它阻止主轴运动所作的功
的大小。所以路试时制动器在制动过程中消耗的能量为：
2 2
Q = −1 2 × J × w末 − w初 (3 − 18)
评价该控制方法的一个数量指标是能量误差ΔQ， 即路试时的制动器与相对应
的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差，用数学符号表达为：
ΔQ = Q − W (3 − 19)
为进一步有效地评价控制方法，我们定义误差百分比α，误差百分比理解为
能量误差与路试时制动器消耗能量的比值。即为式（3-20） ：
α= Q−W Q (3 − 20)
根据以上公式，在 Excel 中进行相应的数据处理，得到路试时的制动器在制
动过程中消耗的能量为 52150.11 J，实验台上制动器在制动过程中消耗的能量
为 49291.9 J。能量误差为 2858.211 J，能量的误差百分比为 5.48 %，该误差
百分比在可以接受范围之内。总的来说能量误差不大，模拟效果还可以。
3.4.2 基于模拟制动过程量的评价
对于制动过程的评价可以从电动机输出的驱动惯量变化和制动过程中角加
速度的变化这两方面进行分析。
① 驱动惯量变化分析
对该试验记录的主轴的扭矩数据进行分析，做出它与时间的关系图像见图
3-2：
根据图 3-2，分析附录表格的数据，可以看出，驱动惯量在 0-0.7 秒的时间
内急剧上升，然后保持平稳分布，围绕中心 13.78kg ∙ m2 上下小幅度波动，这恰
好很接近于等效的转动惯量与机械转动惯量的差值， 即理想化条件下需要补偿的
惯量。
首先驱动惯量的值在短时间内达到平稳， 说明这种控制方法的收敛速度非常
快。
其次驱动惯量最终的平稳值很接近于需要补偿的惯量， 说明此控制方法对需
要补偿的惯量补偿得很好，达到了很好的补偿效果。
10

13. 20
15
10
5
0
J/(kg.m2)
-5
-10
-15
-20
-25
-30
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
t/(10ms)
图 3-2 驱动惯量—时间曲线
② 制动过程角加速度变化分析
对题目附录数据分析，得到制动惯量随时间变化曲线和主轴的转速与时间的
关系曲线，见图 3-3 和图 3-4 ：
从图 3-3 中可以看出，制动惯量先在短时间内急剧上升，最终围绕一个平稳
值上下波动， 这导致制动力矩产生的角加速度变化也如此不规则变化，但是从图
3-4 中可以看出， 主轴的转速在该控制方法下几乎直线下滑，也就是说从整体看，
加速度是一个定值，主轴做匀减速转动。
说明这种控制方法具有很好的稳定性，不至于过快或过慢地减小主轴的转速。
加速度值基本保持不变， 使得制动过程中摩擦、温度等外界因素引起的误差消除
掉，所以不会产生较大的能量损失和误差。
11

14. 300
250
200
M/(N.m)
150
100
50
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
t/(10ms)
图 3-3 扭矩—时间曲线
550
500
450
400
350
300
250
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
图 3-4 转速—时间曲线
12

15. 3.5 问题五：设计驱动电流的控制方法
3.5.1 驱动电流的具体控制方法
题目中提到，由于电动机驱动电流与时间之间的精确关系很难得到，于是工
程实际中常采用了“把整个制动时间离散化为许多小的时间段”的思想，也就是
把整个制动时间离散划分成若干小时间段：t 0 ，t1 ，t 2 „，t n ，„„。每个时间
段长度大小相等，比如题目和附表中的∆t = 0.01s 。每到一个时刻就进行相应的
电流调整控制，最终使这么多小时间段组成的整个过程能够尽量模拟路试时的制
动过程。
驱动电流的基本控制方法是：每到一个需要调整电流的时刻，首先对上一时
段的数据进行分析，通过上一时段的误差反馈，进而对下一时间段模拟惯量J模拟 i
进行调整。而J模拟 i 的调整是通过惯量系数比η的更新实现的，更新的结果是使每
一时间段的模拟惯量J模拟 i 不断朝着每一时间段的J制动 i 逼近，最终在宏观上使整
个制动过程所对应的模拟惯量 J模拟 i 趋于整个过程 J制动 i 的值，即为J等效 。该过
程的思想用式子表示为：
J模拟 i ⟶ J制动 i = J等效 (3 − 21)
下面就从 t 0 时刻开始分析，对t 0 —t1 ，t1 —t 2 的惯量模拟过程进行分析，进
而得出 t n 时刻驱动电流 I 的控制方法。
1) t 0 时刻：
此时，惯量系数η = J模拟 J机械 即为η0 = J等效 J机械
η− 1
于是，根据问题三建立的模型，也就是根据式（3-11）I = 1.5M制动 × 可
η
以得出I0 的大小：
η0 − 1
I0 = 1.5M制动 0 × (3 − 22)
η0
式中，M制动 0 为t 0 时刻制动器产生的扭矩，是可以观测的量。
2) t 0 —t1 ：
在该时间段内，需要施加的电流能量为：
1 2 2
E电需 0 = η − 1 J机械 w0 − w1 (3 − 23)
2 0
但是，实际施加的电流能量为：
w0 + w1
E电实 0 = M驱动 0 w dt = M驱动 0 × × ∆t (3 − 24)
2
所以在t 0 —t1 这段时间的能量误差为：
∆E0 = E电需 0 − E电实 0 (3 − 25)
13

16. 3) t1 时刻：
此时制动器的扭矩已经变化为M制动 1 ，相应的制动转动惯量也已经变为J制动 1 ，
为了弥补前一时段产生的能量误差∆E0（∆E0 对应的惯量误差设为∆J0 ） 需要调整
，
惯量系数比为η1 ：
1 2 2
J模拟 1 + ∆J0 2 η0 J机械 w1 − w2 + ∆E0
η1 = = (3 − 26)
J机械 1 2 2
2 J机械 w1 − w2
同样地，再根据式（3-11）可以得出I1 的大小：
η1 − 1
I1 = 1.5M制动 1 × (3 − 27)
η1
式中，M制动 1 为t1 时刻制动器产生的扭矩，是可以观测的量。
4) t n 时刻：
按照上述步骤，以此类推可以得到t n 时刻的惯量系数比ηn ：
1 2 2
2 ηn−1 J机械 wn − wn−1 + ∆En−1
ηn = (3 − 28)
1 2 2
2 J机械 wn − wn−1
同样地，再根据式（3-11）可以得出In 的大小：
ηn − 1
In = 1.5M制动 n × (3 − 29)
ηn
式中，M制动 n 为t n 时刻制动器产生的扭矩，是可以观测的量。
综上，在制动过程中每隔∆t时间，更新惯量系数比η一次，当试验台的主轴
转速减小到规定转速时，η进行最后一次更新。
式（3-28）和式（3-29）即是该种驱动电流控制方法的模型表示。
3.5.2 问题五模型评价
这里使用的控制方法是通过逐步调整惯量系数比，来实现补偿转矩模拟的偏
差。它根据前一时段的瞬时测量值计算能量偏差，然后进行反馈，逐步调整惯量
系数比，从而在下一时段作出相应的补偿。
① 缺陷：
由于对瞬时测量值的响应传感器本来就存在相对滞后的反应时间，而且这一
时间段内测得的制动扭矩和瞬时扭矩也通常不是均匀变化或者为固定常数的。另
外存在系统摩擦产生热能，它所对应的那部分惯量却没有得到很好的补偿。所以
这样通过人工控制电动机转矩来实现电惯量的模拟，存在三大基本问题：稳定性
不够，模拟精度不高和存在一定耗能误差。
② 优点：
这种通过先验知识的反馈逐步调整的方法，能够很好的对各种系统因素变化
很大的情况进行模拟，因为它每次都调整自己电流值使它更好的适应当前变化的
“环境”，逐步紧跟变化趋势。不会导致很大的系统偏差。理论上可以对各种制
动过程进行模拟，具有广泛性。
14

17. 3.6 问题六：进一步完善控制模型
问题五给出的控制方法是通过逐步调整惯量系数比，来补偿模拟过程中的偏
差。它根据前一时段的瞬时测量值计算偏差，然后进行反馈，逐步调整惯量系数
比，从而在下一时段作出相应的补偿。
但是由于传感器对瞬时测量值的响应本来就存在相对滞后的反应时间，而且
这一时间段内测得的制动扭矩和瞬时扭矩通常也不是均匀变化或者为固定常数
的。另外还存在系统摩擦产生热能，它所对应的那部分惯量却没有得到很好的补
偿。所以这样通过人工控制电动机转矩来实现电惯量的模拟，存在三大基本问题：
稳定性不够，模拟精度不高和存在一定耗能误差。
因此我们重新设计了一种基于能量的补偿来达到电惯量的补偿方法。因为总
的需要补偿的电惯量是一定的，这些电惯量对应存储的能量是一定的，故可以在
一定时间内（这时间段自己根据经验或者实验而设定）把这些能量值给予补偿即
可，这部分能量记为E电惯量 ，而且这样的处理方法是不需要使用前一时段的瞬
时测量值的，能量的补偿过程平稳持续进行，使得误差相对减小，并且这种控制
比较容易实现。但是考虑到实际情况由于摩擦等阻力的存在耗去能量记为E阻力 ，
这部分能量也需要电动机来补偿。
设制动过程中补偿的能量为E补偿 ，该补偿过程是在T0 至T1 这段时间内进行的。
并且设时刻 t 电动机的输出功率为P t ，对应电惯量的扭矩为M t ，M t 的值由
设计者自己构造。以下介绍两种基于不同效果的对M t 值的控制。
3.6.1 保持角加速度恒定的对M t 的控制方法
为了使模拟制动过程平稳进行，保持角加速度值趋于稳定的某个常数，可以
取M t 的值随制动力矩做相应的调整。
假设电动机既可以产生驱动力矩又可以产生制动力矩，则调整如下式：
dω
M制动 t − M t = J机械 ∙ （3 − 30）
dt
dω
= k = 常数 （3 − 31）
dt
dω
其中， dt 是适当的一个可以控制的常数，它使得角速度平稳减少，飞轮合外
力矩稳定，这样系统参数如温度，摩擦等因素对制动过程的影响就会相对减少。
J机械是指飞轮和主轴等机构转动时的机械惯量。 制动 t 是随时间 t 变化的的制动
M
力矩，在不同时刻都可测量得到。
根据上述关系可得：
M t = M制动 t − J机械 ∙ k （3 − 32）
则对应的电流值为：
I t = 1.5M t = 1.5 M制动 t − J机械 ∙ k （3 − 33）
15

18. 式（3-32）和式（3-33）中角加速度k是个待定的常数，具体数值可由实验者
自己控制，一般折中考虑制动过程平稳进行的同时制动时间也需要相对较短。
以上得到电模拟惯量对应的扭矩M t ，则其对应的能量记为：
E1 = M t ω1 dt （3 − 34）
而系统因摩擦，高温热传递等众多因素消耗的能量记为E2 ，这部分能量也需
要电动机来平衡掉。 具体E2 的计算是通过多次在大致匀减速运动的情况下事先实
E
验模拟建立E2 与制动力矩和时间的关系。 2 关于制动力矩和时间的关系函数可以
采用统计回归的方法进行拟合。
通过等效的惯量和机械惯量差值所需要补偿的能量为：
1
E3 = J等效 − J机械 ∙ ω2 − ω2 （3 − 35）
2 始 末
其中， J
制动前的初始角速度用ω始 表示， 末 表示实际制动终了角速度，等效
而ω
是实际载荷等效的转动惯量，J机械 是指飞轮和主轴等机构转动时的机械惯量。
根据能量补偿法的原则有：
E1 = E2 + E3 （3 − 36）
即
1
J等效 − J机械 ∙ ω2 − ω2
M t ω1 dt = E2 + （3 − 37）
2 始 末
当时间离散化到很多个小时间段内时有：
M t ω1 dt = M t ω1 ∆t （3 − 38）
从而
1
J − J机械 ∙ ω2 − ω2
M t ω1 ∆t = E2 + （3 − 39）
2 等效 始 末
随着时间的推移，上式左边积分值慢慢变大，当上式左端能量与右边相等的
时刻，表示能量补偿完全，则关闭电动机。但是我们需要保证角加速度的绝对值
不能太大，避免造成能量补偿还不完全时，制动过程已经结束。
3.6.2 保持电动机电流不变的对M t 的控制方法
为了方便处理使电动机电流保持不变，这样就不会因为电流在短时间内急剧
改变而带来测量与模拟的误差并且电流值不变很容易控制，可取M t 值不随时间
变化而变化，记为常数M。
假设制动前的初始角速度用ω始 表示，而ω末 表示实际制动结束时的角速度。
由此可以得到以下几个方程：
1) 电惯量应提供的能量是制动所需能量与基础惯量对应的能量的差值
1
E电惯量 = J等效 − J机械 ∙ ω2 − ω2
2 始 末
2) 为简化控制方法模型的分析，假设制动力矩是恒定的，则
M制动 ∙ t = J等效 ∙ ω始 − ωt
16

19. 其中M制动是制动扭矩，J等效是实际载荷等效的转动惯量，ωt 表示 t 时刻的角
速度。
3) 系统应补偿的能量满足关系：
T1
E补偿 = E电惯量 + E阻力 = Mω1 dt
T0
联立上述三个方程组可得电动机的输出扭矩为：
2J等效 E阻力 + J等效 ∙ J等效 − J机械 ∙ ω2 − ω2
始 末
M= （3 − 40）
2J等效 ω始 T1 − T0 − M制动 T1 2 − T0 2
式中，能量的初始补偿时间T0 和结束补偿时间T1 值和M，E阻力 值都是待定的。采
用不同的补偿结束条件会影响T0 、T1 和M值的变化。
而为了简化分析， E
在假设M制动 值一定的时候， 阻力 的变化可以在有实验软件
或者实验设备的情况下事先模拟出它关于M制动 与时间 t 的函数关系，在此采用
统计回归的方法，从而在下次模拟中运用此函数关系求解E阻力 的值。
补偿结束标准 1：事先合理给定补偿的时间T = T1 − T0 。然后根据实验数据
进行模拟，确定出使电惯量模拟达到效果很好的T0 和T1 值。从而通过上式计算出
M的值。
一般情况下由于补偿的总能量一定，如果补偿时间越短，则电惯量对应的力
矩越大，电流就越大，而在现实试验中电流热效应带来温度等的外界物理量的变
化，会导致轴、飞轮等摩擦系数的变化相对较大，这样对系统误差的影响就会相
对增大。如果补偿时间越长，电惯量扭矩M相对减少，对飞轮的转速变化的影响
就会相对平稳一些，不会波动太大，并且电惯量的模拟也相对准确，这样误差也
就会相对减少。所以我们需要折中设计T1 和T0 的值，使得在较短时间内完成能量
补偿，并且系统耗能的偏差也不太大。
假设在没有电惯量模拟的情况下，飞轮以固定的角加速度 a 做匀减速运动，
在T时刻以恒定的电惯量开始能量补偿，直至T时刻结束，则在T0 至T1 时间段内
飞轮的角加速度的绝对值将变小，记为 b（b<a） ，但仍然做匀减速运动。从T1 时
刻开始结束能量补偿，则此后飞轮继续以角加速度 a 运动，直至速度为 0。该假
设条件下角速度时间图像如图 3-5：
17

20. 图 3-5
在制动距离一般可以使之保持不变的情况下，直线 ACE 与坐标轴构成的面积
应该等于折线 ABCDE 与坐标轴构成的面积。其中T2 是估计的制动时间。则 C 是
AE 的中点并且 ABC全等于EDC ，所以
T2 − T1 = T0 （3 − 41）
补偿时间
T = T2 − 2T0 （3 − 42）
这是根据估计时间T2 ，T合理设定T0 ，T1 的一个依据。其中T2 是可以根据参
数估计的补偿时间，T则可以在设备实验中模拟确定优值。
实际设备应用中我们可以假设制动扭矩不变，不考虑摩擦等因素的耗能补偿，
角减速度一定的情况下,使用简单的一些数据实验模拟在补偿时间T取不同值时
用电惯量模拟机械惯量的准确度， 从而大致估计能量补偿法中T1 与T0 的合理设定。
补偿结束标准 2：合理给定电惯量扭矩 M 值和补偿开始时刻T0 值，当应该补
偿的能量已经得到补偿时，则关闭电动机，记下补偿结束时刻T1 。在实际设备应
用中也可以采用实验的方法多次测定调整M的值，分析比较结果来选取合理的M
值。
3.6.3 问题六模型评价
① 优点：
1) 制动过程中任意时刻电惯量可以设为定值M，这使得制动过程平稳进行，
系统稳定性很好。而且不必频繁的改变电动机的驱动电流，可以减少电
流频繁改变带来的误差。
2) 能量的补偿过程中把摩擦，温度等的改变带来的系统能量耗损也计算进
去，模拟的准确度相对较高。
3) 模拟过程中不必计算先前时间段的瞬时角速度，制动力矩等因素，这样
减少了瞬时测量值的滞后性带来的系统误差。
18

21. ② 局限：
1) 由于实际制动过程中摩擦，温度等因素的变化会导致估计制动时间的预
测不够准确。
2) 如果起始补偿时间过晚可能导致能量还没完全得到补偿时制动过程就停
止了，这可以人为地避免。
四、参考文献
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[2] 马文蔚改编，物理学（上册），北京：高等教育出版社，2006。
[3] 陈礼璠、 顾剑青， 现代轿车知识手册， 上海： 上海科学技术文献出版社， 2002。
[4] 胡良剑、孙晓君，MATLAB 数学实验，北京：高等教育出版社，2006。
[5] 汪本强，摩擦试验机电惯量控制系统的研究，湖南：中南大学，2007。
http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1085348.aspx
[6] 马继杰等，制动器惯性台架电模拟惯量的研究，吉林：吉林大学，2009。
http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_qcjs200904013.aspx
[7] 盛军， 中卡制动器综合性能试验台的研究，
轻、 安徽： 合肥工业大学， 2007。
http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1207089.aspx
19