Aplicación de las definiciones de las razones trigonométricas

1. RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
1.1. R.T. DE 30º y 60ºR.T. DE 30º y 60º
2.2. R.T. DE 45ºR.T. DE 45º

2. 2
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
A B
C
Sea ABC un triángulo equilátero
H
ll
l
l/2
x
B
C
H
l
60º
30º
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
Trazamos una altura CH
60º
Podemos calcular CH=x en función de l, aplicando el
2
2
2
l
2
l
x =





+
Tª de Pitágoras
4
l
lx
2
22
−=
4
ll4
x
22
2 −
=
4
l3
x
2
2
=
4
l3
x
2
=
2
3l
x =
60º y el ángulo HCB
mide
30º El lado BH mide l/2

3. 3
B
C
H
l
l/2
2
3l
60º
30º
2
3
l2
3l
l
2
3l
º60sen ===
2
º60cos
1
º60sec ==
3
2
º60sen
1
º60eccos ==
3
3
3
1
º60tg
1
º60gcot ===
2
1
l2
l
l
2
l
º60cos ===
3
2
32
2
1
2
3
º60cos
º60sen
º60tg ====
2
1
l2
l
l
2
l
º30sen ===
2
3
l2
3l
l
2
3l
º30cos ===
3
3
3
1
32
2
2
3
2
1
º30tg ====
2
º30sen
1
º30eccos ==
3
2
º30cos
1
º30sec ==
3
3
33
3
3
º30tg
1
º30gcot ====
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º

4. 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
Sea ABCD un cuadrado
l
l
x
45º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos
mide
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
Trazamos la diagonal AC
90º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
222
llx +=
Tª de Pitágoras
22
l2x ⋅=
2
l2x ⋅=
2lx =
45º y el ángulo ACB mide 45º
A B
CD
lA B
C
l
45º

5. 5
2
2
2
1
2l
l
º45sen ===
2
2
22
2
2
º45cos
1
º45sec ====
1
1
1
º45tg
1
º45gcot ===
1
l
l
º45tg ==
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
45º
l
A B
C
l
45º
2l
2
2
2
1
2l
l
º45cos ===
2
2
2
º45sen
1
º45eccos ===
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º

6. 6
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
α
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide α−º90
α−α º90y
α−º90
AB
C
b
a
c
α==α− cos
a
c
)º90(sen
( ) α==α− sen
a
b
º90cos
( ) α==α− gcot
b
c
º90tg
( )
( )
α=
α
=
α−
=α− eccos
sen
1
º90cos
1
º90sec
( )
( )
α=
α
=
α−
=α− sec
cos
1
º90sen
1
º90eccos
( )
( )
α=
α
=
α−
=α− tg
gcot
1
º90tg
1
º90gcot

7. 7
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide
α−
π
α
2
y
α−
π
2
α
AB
C
b
a
c
α−
π
2
α==α−
π
cos
a
c
)
2
(sen
α==





α−
π
sen
a
b
2
cos
α==





α−
π
gcot
b
c
2
tg
α=
α
=






α−
π
=





α−
π
eccos
sen
1
2
cos
1
2
sec
α=
α
=






α−
π
=





α−
π
sec
cos
1
2
sen
1
2
eccos
α=
α
=






α−
π
=





α−
π
tg
gcot
1
2
tg
1
2
gcot

8. 8
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA
α
AB
C
b
a
c
222
acb =+
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
c
a
b
=+
Expresándolo de otra forma:
1
a
c
a
b
22
=





+





( ) ( ) 1cossen
22
=α+αO lo que es lo mismo:
1cossen 22
=α+α
1cossen 22
=α+α
Que normalmente expresaremos
de la forma:

9. 9
Si dividimos la expresión anterior por b2
o por c2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
c
b
b
=+
Expresándolo de otra forma:
( ) ( )22
eccosgcot1 α=α+
α=α+ 22
sectg1
α
AB
C
b
a
c
222
acb =+
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
2
2
2
2
2
2
c
a
c
c
c
b
=+
( ) ( )22
sectg1 α=α+
α=α+ 22
eccosgcot1
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

10. 10
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
senα
cos α
senα
senα
senα
senα
1
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1radio=1
1
P(x,y)
O X
Y
α