1. Statistika për ekonomiks dhe biznes
Ligjërata 5:
Mesatarja e Ponderuar dhe Frekuenca

2. Përmbajtja
 Shembulli i llogaritjes se tendencave qendrore dhe
kuartileve
 Mesatarja aritmetike e ponderuar (e përbërë)
 Frekuenca
 Shpërndarja e frekuencave

3. Shembull 1 (mes., mediana, moda)
Gjatë 10 ditëve keni matu kohën e pregaditjes suaj në mëngjes për
të ardhur në mësim.
Dita: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Min. 39 29 43 52 39 42 40 31 44 35
Nëse dikush ju pyet se për sa kohë do të jeni në gjendje të
pregaditeni nëser, çfarë do të jetë përgjigja juaj?
n
∑X 39 + 29 + 43 + 52 + 39 + 42 + 40 + 31 + 44 + 35 394
i
Mesatarja X = i =1
= = = 39.4
n 10 10
n + 1 10 + 1 11
Mediana: 29, 31, 35, 39, 39, 40, 42, 43, 44, 52 pozita: = = = 5 .5
2 2 2
39 + 40 79
Vlera (madhësia) e medianës = = = 39.5
2 2
Moda është vlera 39 si vlera më përsëritur

4. Shembull 1 (Kuartilet)
Gjatë 10 ditëve keni matu kohën e pregaditjes suaj në mëngjes për
të ardhur në mësim.
Dita: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Min. 39 29 43 52 39 42 40 31 44 35
Nëse dikush ju pyet se për sa kohë do të jeni në gjendje të
pregaditeni nëser, çfarë do të jetë përgjegja juaj?
1. Bëhet rradhitja sipas madhësisë: 29, 31, 35, 39, 39, 40, 42, 43, 44,
52Pozicionet
2. 3. Vlerat (madhësitë)
n + 1 10 + 1
Q1 = = = 2.75 Q1 = 35
4 4
n + 1 10 + 1 39 + 40 79
Q2 = = = 5 .5 Q2 = = = 39.5
2 2 2 2
3(n + 1) 3(10 + 1)
Q3 = = = 8.25 Q3 = 43
4 4

5. Shembulli 2
 Në lagjën Ulpiana të Prishtinës nga një hulumtim
janë marrë të 30 dhënat në lidhje me vlerën
qërave të banesave të lëshuatra me qëra.
 Gjeni:
 Mesataren e thjeshtë aritmetike (mesataren)
 Medianën, Modën, dhe Kuartilet
445 615 430 590 435 600 460 600 440 615
440 440 440 525 425 445 575 445 450 450
465 450 525 450 450 460 435 460 465 480

6. Shembulli 2
 Mesatarja e thjeshtë aritmetike
n
∑X i
445 + 615 + 430 + 590 + ⋅ ⋅ ⋅ + 460 + 465 + 480 14,505
X= i =1
= = = 483.5
n 30 30
 Mediana
 Organizimi i të dhënave nga e vogla kah me e madhja
425 430 435 435 440 440 440 440 445 445 445 450 450 450 450 450 460 460 460 465 465 480 525 525 575 590 600 600 615 615
 Caktohet vendndodhja e medianës
n + 1 30 + 1 31
n = 30 ; dhe pozita e medianës ndodhet në: = = = 15.5
2 2 2
450 + 450 900
 Vlera e medianës është: = = 450
2 2

7. Mesatarja e ponderuar
 Le të analizojmë këtë shembull:
 Gjeni mesataren e notës së studentëve të cilët kanë
kaluar me sukses provimin në lëndën Matematikës në
Universitetin AAB-Riinvest nëse:
 10 kanë marrë 8 studentë
 9 kanë marrë 7 studentë
 8 kanë marrë 19 studentë
 7 kanë marrë 26 studentë
 6 kanë marrë 35 stuentë
 Si do t’a kishit zgjidhur JU këtë problem?

8. Mesatarja e ponderuar
10 ⋅ 8 + 9 ⋅ 7 + 8 ⋅19 + 7 ⋅ 26 + 6 ⋅ 35 687
 Nota Mesatare = = = 7.23
95 95
 Nëse me:
x – shënojmë notat dhe
f – shënojmë numrin e studentëve që e kanë marrë secilën notë
(frekuencën),
atëherë, nga ekuacioni i mësipërm nxjerrim formën e
përgjithshme të mesatares së ponderuar: n
x1 ⋅ f1 + x2 ⋅ f 2 + x3 ⋅ f 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + xn ⋅ f n ∑( x ⋅ f ) i i
x= n
= i =1
n
∑f
i =1
i ∑f i =1
i

9. Mesatarja e Ponderuar
Nota Frekuenca Nota Mesatare
(1) (2) (3 ) = (1) x (2) ∑(3) / ∑(2)
10 8 80
9 7 63
8 19 152
687/ 95 = 7.2
7 26 182
6 35 210
Total 95 687
n
∑( x ⋅ f ) i i
80 + 63 + 152 + 182 + 210 687
x= i =1
n
= = = 7.23
95 95
∑f
i =1
i
Chap 3-9

10. Shpërndarja e frekuencës
 Shpëndarja e frekuencës është një përmbledhje
tabelare e të dhënave të cilat paraqesin
frekuencën (ose numrin) e anëtarëve të klasave të
ndryshme dhe atë për secilën prej tyre
 Qëllimi i kësaj është që të ofrojë një analizë të të
dhënave për të cilat nuk mund të konkludohet
shpejt vetëm duke i shikuar ato

11. Shpërndarja e frekuencës
Shembull:
 Nga musafirët e hotelit Holiday Inn është kërkuar
të bëjnë vlerësimin e cilësisë së akomodimit sipas
shkallëzimit : shkëlkqyeshëm, mbi mesatere, mesatarë,
nën mesatarë ose dobët. Vlerësimet janë marrë nga
një mostër prej 20 mysafirëve.
Nën mesatare Mesatare Mbi mesatare Mbi mesatare Mbi mesatare
Mbi mesatare Mbi mesatare Nën mesatare Nën mesatare Mesatare
Dobët Dobët Mbi mesatare Shkëlqyeshëm Mbi mesatare
Mesatare Mbi mesatare Mesatare Mbi mesatare Mesatare

12. Shpërndarja e frekuencës
Shembull:
Nën mesatare Mesatare Mbi mesatare Mbi mesatare Mbi mesatare
Mbi mesatare Mbi mesatare Nën mesatare Nën mesatare Mesatare
Dobët Dobët Mbi mesatare Shkëlqyeshëm Mbi mesatare
Mesatare Mbi mesatare Mesatare Mbi mesatare Mesatare
Akomodimi Frekuenca
Dobët 2
Nën mesatare 3
Mesatare 5
Mbi mesatare 9
Shkëlqyeshëm 1
Totali 20

13. Shpërndarja e frekuencës relative
 Frekuenca relative është pjesa ose proporcioni i
një klase nga numri total i anëtarëve të asaj klase
 Shpërndarja e frekuencës relative është një
përmbledhje tabelare e të dhënave të cilat
paraqesin frekuencën relative për secilën klasë
 Klasa paraqet grumbullin e të dhënave të cilat
janë të krahasueshme ndërmjet veti dhe kanë një
qëllim të përbashkët

14. Shpërndarja e frekuencës në
përqindje
 Frekuenca në përqindje e një klase është
ferkuenca relative e shumëzuar me 100
 Shpërndarja e frekuencës në përqindje është
një përmbledhje tabelare e të dhënave të cilat
paraqesin frekuencën në përqindje për secilën
klasë

15. Shpërndarja e frekuencës relative
dhe asaj në përqindje
Frekuenca Frekuenca në
Akomodimi Frekuenca
relative përqindje
Dobët 2 0.10 10
Nën mesatare 3 0.15 15
Mesatare 5 0.25 25
Mbi mesatare 9 0.45 45
Shkëlqyeshëm 1 0.05 05
Totali 20 1.00 100
0.25×100=25
9/20=0.45

16. Shembulli: Banesa me qëra
 Në lagjën Ulpiana të Prishtinës nga një hulumtim
janë marrë të 30 dhënat në lidhje me vlerën
qërave të banesave të lëshuatra me qëra.
445 615 430 590 435 600 460 600 440 615
440 440 440 525 425 445 575 445 450 450
465 450 525 450 450 460 435 460 465 480
 Nga shembulli më lartë është vështirë të tabelohet
shpërndarja e frekuencës

17. Shpërndarja e frekuencës
 Udhëzimet për caktimin e numtrit të klasave janë:
 Përdor 5-20 klasa
 Të dhënat me numër të madh të të dhënave kërkojnë
numër të madh të klasave
 Pak të dhëna kërkojnë numër të vogël të klasave
 Përdor numër të mjaftueshëm të klasave për të treguar
ndryshimet në të dhënat
 Mos përdor shumë klasa nëse ekziston një munër i
madh i të dhënave të njejta.

18. Shpërndarja e frekuencës
 Udhëzimet për caktimin e gjërsisë së klasave
janë:
 Përdor klasa të gjërësisë së njejtë
 Gjërsia e përafët e klasave llogaritet me formulën:
VLERA MË E MADHE – VLERA MË E VOGËL
NUMRI I KLASAVE
 Për shembullin e qërasë së banesave zgjedhim tetë
klasa
 Gjërësia e përafërt e klasave do të jetë:
= (615 - 425)/8 = 23.75 ≈ 25

19. Shpërndarja e frekuencës,
asaj relative dhe të përqindjes
Qëraja Frekuenca Frekuenca Frekuenca në
relative përqindje
425 – 449 11 0.37 37
450 – 474 10 0.33 33
475 – 499 1 0.03 03
500 – 524 0 0.00 00
525 – 549 2 0.07 07
550 – 574 0 0.00 00
575 – 599 2 0.07 07
600 – 625 4 0.13 13
Totali 30 1.00 100

20. Pyetje dhe Komente
Chap 3-20