1. Mathématiques Financières - Chapitre 1 Année universitaire 2012-2013
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Chapitre 1:
Intérêt et capitalisation
1.1 Intérêt et capitalisation
1.2 Taux d’intérêt équivalent
1 2
1.1 Intérêt et capitalisation
Définition:
La capitalisation est la démarche qui permet de
passer d’une valeur actuelle à une valeur future
d’un montant d’argent.
Capitaliser des intérêts reçus consiste à les
transformer en capital, qui va rapporter d’autres
intérêts.
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La valeur future (VF) d’un montant d’argent
investi pendant une certaine période est égale à la
valeur présente du montant plus les intérêts
accumulés sur cette période.
Exemple:
• Montant placé: 1 000 dhs
• Taux d’intérêt annuel: 10% = 0,1
• La valeur actuelle (VA) est 1 000 dhs.
• La somme obtenue après 5 ans est la valeur future
(VF) de 1 000 dhs placés pendant 5 ans à 10%.
4
La valeur future de 1000 dhs après un an est:
VF = 1 000 (1 + 0,1) = 1 000 1.1 = 1 100
Lors de la deuxième année, on obtient 10% de ce
montant.
La valeur future de 1000 dhs après deux ans est:
VF = 1 100 (1 + 0,1) = 1 210
Le montant initial (le principal) rapporte 100 dhs la
première année et 100 dhs la deuxième année.
Ces intérêts sur le capital initial sont appelés
intérêts simples.
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Les 100 dhs de la première année rapportent 10 dhs
la deuxième année. Les intérêts reçus sur d’autres
intérêts placés sont appelés intérêts composés.
L’intérêt total est la somme de l’intérêt simple et
l’intérêt composé. Soit:
210 = 200 + 10
Les intérêts intermédiaires ont été capitalisés.
Ils forment un capital qui rapporte de l’intérêt.
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Lorsqu’on calcule la VF d’un placement, on ne
s’intéresse pas généralement à la partie simple ou
composée.
Pour la VF après 2 ans, on utilise directement la
formule:
VF = 1 000 (1 + 0,1) (1 + 0,1)
VF = 1 000 (1 + 0,1)2 = 1 210
Pour la VF après 3 ans:
VF = 1 000 (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1)
VF = 1 000 (1 + 0.1)3 = 1 331
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De la même manière, on peut montrer que la VF
après 5 ans est:
VF = 1 000 (1 + 0,1)5 = 1 610.51
La VF de 1 000 dhs placés sur 5 ans au taux de 10%
est 1 610,51 dhs.
L’intérêt total reçu est 610,51 dhs.
L’intérêt simple est 500 dhs.
L’intérêt composé est 110,51 dhs.
8
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5
Nombre d'années
Valeurfuture
Capital Intérêt simple Intérêt composé
Graphique 1.1 : Valeur future de 1 000 dhs
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Remarque:
À la différence de l’intérêt simple, qui est constant,
l’intérêt composé croît dans le temps.
Dans l’exemple précédent, l’intérêt composé
représente 10% du total des intérêts gagnés lors des
périodes précédentes.
De manière générale, si on note le montant initial
par A, le taux d’intérêt par i et le nombre d’années
de placement par n, alors la VF de A est:
10
VF = A(1 + i)n (1)
Le terme (1 + i)n est appelé coefficient de
capitalisation.
Le tableau 1.1 décrit comment ce coefficient varie
avec le taux d’intérêt et avec le nombre d’années de
placement.
Le graphique 1.2 représente les courbes du
coefficient de capitalisation pour les mêmes valeurs
du taux d’intérêt.
11
n i 2% 4% 6% 8% 10% 12%
1 1.0200 1.0400 1.0600 1.0800 1.1000 1.1200
2 1.0404 1.0816 1.1236 1.1664 1.2100 1.2544
3 1.0612 1.1249 1.1910 1.2597 1.3310 1.4049
4 1.0824 1.1699 1.2625 1.3605 1.4641 1.5735
5 1.1041 1.2167 1.3382 1.4693 1.6105 1.7623
10 1.2190 1.4802 1.7908 2.1589 2.5937 3.1058
15 1.3459 1.8009 2.3966 3.1722 4.1772 5.4736
20 1.4859 2.1911 3.2071 4.6610 6.7275 9.6463
Tableau 1.1 : Coefficient de capitalisation
12
Graphique 1.2 : Coefficient de capitalisation
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Calcul des valeurs futures
Il existe plusieurs méthodes pour calculer la VF
d’un placement. En voici trois:
1. On peut utiliser la formule (1) en multipliant le
montant initial par le coefficient de capitalisation.
2. On peut utiliser une calculatrice financière ou un
logiciel du type tableur (comme Excel).
14
Nombre
d’années, n
Taux
d’intérêt, i Valeur
actuelle, PV
Valeur
future, FV
15
3. On peut utiliser les tableaux des coefficients de
capitalisation disponibles dans les livres de finance.
4. On peut utiliser la règle de 72:
72
Temps de doublement
Taux d'intérêt
Avec un taux d’intérêt de 10%, cela prend 7,2
années à une somme pour doubler.
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Exercice 1.1: Épargner pour sa retraite
Vous avez 20 ans et vous voulez placer 1 000 dhs
dans un compte d’épargne au taux annuel de 8%
pendant 45 ans.
1. Quel sera le solde du compte lorsque vous aurez
65 ans?
2. À combien s’élèvent les intérêts simples et les
intérêts composés?
3. Si vous trouvez un autre placement à 9% par an,
combien gagnerez-vous en plus?
4. Refaire l’exercice en utilisant la règle de 72.
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Exercice 1.2: Réinvestir à un taux différent
Vous avez 10 000 dhs à placer sur 2 ans en
certificats de dépôt émis par des banques.
Aujourd’hui, les certificats de dépôt à deux ans
rapportent 7% par an alors que ceux à un an
rapportent 6%.
Vous estimez que le taux des certificats à un an sera
de 8% l’an prochain.
Quel placement allez-vous choisir?
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1.2 Taux d’intérêt équivalent
Le taux d’intérêt sur un emprunt ou un placement
est généralement exprimé sous la forme d’un taux
d’intérêt nominal avec une fréquence de versement
des intérêts.
Par exemple: un taux d’intérêt annuel de 6% avec
capitalisation mensuelle (versement mensuel).
Le taux d’intérêt équivalent est le taux d’intérêt
avec capitalisation annuelle donnant le même
rendement.
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Si le taux d’intérêt annuel est de 6% avec
capitalisation mensuelle, alors un intérêt est versé
chaque mois pour un montant de 1/12e du taux
annuel de 6%.
Cet intérêt mensuel, qui est de 0,5%, est appelé
taux proportionnel.
Quel est le taux d’intérêt équivalent?
1 dh placé pendant 1 an rapportera:
12
1 1,005 1,0616778VF
20
Le taux d’intérêt équivalent est donc:
1,0616778 1 0,0616778Taux équivalent
c’est-à-dire 6,16778% par an.
De manière générale, on a:
Taux annuel
Taux équivalent 1 1
m
m
(2)
où m est le nombre de périodes de versement des
intérêts par année.
21
Fréquence de capitalisation m Taux d'intérêt équivalent
Annuelle 1 6,00000%
Semestrielle 2 6,09000%
Trimestrielle 4 6,13614%
Mensuelle 12 6,16778%
Hebdomadaire 52 6,17998%
Quotidienne 365 6,18313%
Continue infini 6,18365%
Tableau 1.2 : Taux d’intérêt équivalents pour un
taux annuel de 6%
22
Le taux d’intérêt équivalent augmente avec la
fréquence de capitalisation, jusqu’à une certaine
limite.
Si la capitalisation se fait en continu, alors le taux
d’intérêt équivalent est appelé taux d’intérêt
continu.
Ce dernier n’est pas très différent du taux
équivalent avec capitalisation quotidienne.
Si le taux d’intérêt nominal est de 100%, alors le
taux d’intérêt continu est e – 1 = 2,71828 – 1 =
1,71828 (où e est l’exponentiel).
23
m
1 2.0
2 2,25
4 2,4414
10 2,59374
100 2,704814
1 000 2,7169239
10 000 2,7181459
100 000 2,71826824
10 000 000 2,718281693
1
1
m
m
1
lim 1 2,7182818
m
m
e
m
24
On peut vérifier que:
lim 1
m
r
m
r
e
m
er – 1 est le taux d’intérêt continu lorsque le taux
d’intérêt nominal est r.
On a bien:
0.06
1 1,0618365 1 0,0618365e
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Exercice 1.3:
1. Vous avez emprunté un montant d’argent au taux
de 12% par an capitalisé mensuellement.
Quel est le taux d’intérêt équivalent de votre
emprunt?
2. Si le taux d’intérêt est de 12,5% par an capitalisé
annuellement, paieriez-vous plus ou moins
d’intérêt?
