Chapitre 2 : Potentiel électrostatiqueCirculation d’un champ de vecteurs……………………………………………………….Circulation d’un champ élect...
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La circulation élémentaire peut s’écrire alors sous la forme :                                                   q        ...
1) Charge ponctuelleOn sait qu’une charge ponctuelle placée en O crée en un point M de l’espace un champélectrique qui dér...
infinitésimaux qui peuvent être considéréscomme des charges ponctuelles. Un élémentde surface dS centré en A et portant la...
IV- Travail des forces électrostatiques                                                                                   ...
∂f r    ∂f r    ∂f r uu     rsoit :                                df = (       ex +    ey +    e z ) ⋅ dl                ...
3) Application : Calcul du champ électrostatique d’une charge ponctuelle àpartir de son potentiel.                        ...
rOn peut aussi déduire le champ E de l’expression du gradient en coordonnées sphériques. Lerésultat est immédiat :        ...
Par identification, on trouve : E x = k dx                       ;    E y = k dy        ;            E z = k dz           ...
a) Les surfaces Σ équipotentielles d’une charge ponctuelle q sont des sphères   concentriques de rayon r et de centre celu...
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Chapitre 2 potentiel électrostatique

  1. 1. Chapitre 2 : Potentiel électrostatiqueCirculation d’un champ de vecteurs……………………………………………………….Circulation d’un champ électrique créé par une charge ponctuelle-Notion de potentiel…..Potentiel créé par une distribution de charges……………………………………………...Travail des forces électrostatiques………………………………………………………….Relation entre champ et potentiel électrostatiques………………………………………...Topographie électrostatique………………………………………………………………... Potentiel électrostatiqueI- Circulation d’un champ de vecteurs1) Définitionur A(M) est un champ de vecteurs et (L) une courbe dansl’espace. La circulation élémentaire dC du champ de u r u r uu rvecteurs A(M) est donnée par : dC = A(M) dl(M) oùuu r A(M)dl est un déplacement élémentaire pris sur (L) au pointM. dlLa circulation de ce champ de vecteurs le long de lacourbe (L), se déduit de la circulation élémentaire u r uu rcomme suit : ΔC = ∫ (L) dC = ∫ (L) A(M) dl(M) (L)2) Champ conservatif a) Définition u rUn champ de vecteurs A est conservatif si la circulation de ce champ entre deux points M etN ne dépend que de ces points. En d’autres termes, la circulation du champ de vecteurs nedépend pas du chemin suivi. N N u uu r r ΔC = ∫ M dC = ∫M A dl = C(N) − C(M)C(M) étant la valeur de la circulation au point M et C(N) la valeur de la circulation au pointN. b) Propriétés
  2. 2. u rUn champ de vecteurs A(M) est conservatif si et seulement s’il dérive d’une fonction scalairef(M). Ceci se traduit par la relation : u r uu r df = dC = A(M) dl(M) u rLorsqu’un champ de vecteurs A(M) dérive d’un champ de scalaires f(M), alors la circulation u r uu rde ce champ le long d’une courbe fermée est nulle : Ñ ∫ A(M) dl(M) = 0II- Circulation du champ électrique créé par une chargeponctuelle - Notion de potentiel1) Calcul de la circulationOn considère une charge ponctuelle q placée en un point O. Elle crée au point M un champ r r uuur r q r rélectrique : E(M) = 2 u , r = OM et u= 4πε o r r uu rSoient (L), une courbe dans l’espace et dl un déplacement élémentaire le long de (L). E(M) M dl r (L) u ≡ er O q rLa circulation élémentaire du vecteur E le long de la courbe (L), est donnée par : r uu r q r uu r dC = E(M) dl(M) = 2 u dl 4πε o r uu rL’élément déplacement dl exprimé en coordonnées sphériques (cf.fig.page 12) a pourexpression : uu r r r r r r r r r r dl = dr e rφ + r dθ e θ + r sinθ dφ e , u ≡ er , u ⊥ eθ et u ⊥ e φ
  3. 3. La circulation élémentaire peut s’écrire alors sous la forme : q dr dC = 2 4πε o r  q soit : dC = − d  + K  = − dV(M)  4πε o r où V(M) est un champ de scalaires défini par : q V(M) = + K 4πε o rRemarquons que V n’est pas unique (il est défini à une constante additive près), on mettracette liberté à profit pour choisir le potentiel scalaire le plus adapté à la résolution de chaqueproblème.Dans le cas d’une charge ponctuelle, on prend un potentiel de référence tel que V = 0 lorsquer → ∞ , on a : 0 = 0 + K . La constante K est alors nul et le potentiel créé par une chargeponctuelle en tout point de l’espace est : q V(M) = 4πε o r2) Potentiel électrostatique a) Définition rLe potentiel électrostatique au point M, généré par un champ électrostatique E(M) est lafonction scalaire V(M) tel que : r uu r dV(M) = − dC = − E(M) dl(M) b) RemarqueLe potentiel électrique n’est connu qu’à une constante près. V(∞) = 0 est un choix arbitraire,car seule la différence de potentiel entre deux points est une grandeur mesurable.Dans le système international (SI), l’unité du potentiel est le volt (symbole : V).III- Potentiel créé par une distribution de charges
  4. 4. 1) Charge ponctuelleOn sait qu’une charge ponctuelle placée en O crée en un point M de l’espace un champélectrique qui dérive d’un potentiel électrique V tel que : q uuu r V(M) = où r = OM 4πε o r2) Distribution discrète de charges ponctuelles – Principe de superpositionSoient q , ..................... q , ............ , q n , un ensemble de n charges ponctuelles placées 1 irespectivement en des points O 1 , ..................... O i , ............ , O n , le potentiel V(M) créé par cescharges en un point M est la somme algébrique des potentiels créés par chacune des sescharges. n qi uuuu r V(M) = ∑ i =1 4πε o ri où ri = Oi M 3) Distribution linéique(L) est une ligne chargée et λ est la densité fil chargélinéique de charges. On divise la charge de ladistribution en petits éléments infinitésimauxqui peuvent être considérés comme des λcharges ponctuelles. Un élément de longueurdl centré en A et portant la charge d =dq(A) λ(A) d (A) l crée en un point M de Al’espace le potentiel élémentaire : r dq(A) dV(M) = 4πε o r M (L) dVLe potentiel total en M est : λ(A) dl(A) V(M) = ∫ (L) 4πε o r : l’intégration (ici simple) porte sur le fil chargé M dV4) Distribution surfacique r(S) est une surface chargée et σ est la densitésuperficielle de charges . On divise la chargede la distribution en petits éléments (S) dS A surface chargée σ
  5. 5. infinitésimaux qui peuvent être considéréscomme des charges ponctuelles. Un élémentde surface dS centré en A et portant la chargedq(A) = σ(A) dS(A) crée en un point M del’espace le potentiel élémentaire : dq(A) dV(M) = 4πε o rLe potentiel total en M est : σ(A) dS(A) V(M) = ∫ (S) 4πε o r : l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée5) Distribution volumique(τ) est un volume chargé et ρ est la densitévolumique de charges . On divise la charge M dVde la distribution en petits élémentsinfinitésimaux qui peuvent être considéréscomme des charges ponctuelles. Un élément rde volume dτ centré en A et portant la charge =dq(A) ρ(A) d (A) τ crée en un point M de ρl’espace le potentiel élémentaire : A A dV(M) = dq(A) dτ (τ) 4πε o rLe potentiel total en M est : volume chargé ρ(A) dτ(A) V(M) = ∫ (τ ) 4πε o r : l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargé6) Calcul du potentiel VL’intégration dans les trois cas cité précédemment s’effectue suivant les méthodes usuelles.Le choix du système de coordonnées les mieux adaptées (celui qui tiendra compte despropriétés de symétrie particulières de la densité de charges et du système chargé) auproblème posé est alors important car il simplifie grandement le calcul de V. Notons que lemodèle de la distribution peut comporter des charges à l’infini. Dans ce cas, le choix d’unpotentiel nul à l’infini doit être exclu. On adopte alors une valeur de référence en un pointdonné, cette convention n’ayant aucune conséquence sur la détermination du champélectrostatique.
  6. 6. IV- Travail des forces électrostatiques rUne charge ponctuelle q placée dans une région ou règne un champ électrostatique E dérivant r uu rd’un potentiel V, est soumise à une force F . Lors d’un déplacement élémentaire dl de lacharge q, la force effectue le travail élémentaire suivant : r uu r r uu r dW = F dl = q E dl = − q dVLorsque q se déplace du point A au point B le travail total se calcule comme suit : B B WA → B = ∫ A dW = − q ∫A dV = q (VA − VB )V- Relation entre le champ et le potentiel électrostatique1) Notion de gradient a) Différentielle d’une fonction à plusieurs variablesSoit f une fonction à plusieurs variables x 1 , ..................... x i , ............ , x n . La différentielle totaleexacte de f, notée df est donnée par : n ∂f df = i =1 ∂x i ∑ dx i ∂foù est la dérivée partielle de f par rapport à la variable xi. ∂x iDans le repère cartésien (Oxyz), un point M est repéré par ses coordonnées x, y et z tel queuuu r r r r r r rOM = xe x + ye y + ze z . Les vecteurs e x , e y et e z sont respectivement les vecteurs unitairesdes axes (Ox), (Oy) et (Oz).Si f(M) est une fonction à trois variables, la différentielle totale exacte s’écrit : ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂f r ∂f r ∂f r r r r df = ( ex + ey + e z ) ⋅ (dx e x + dy e y + dz e z ) ∂x ∂y ∂z
  7. 7. ∂f r ∂f r ∂f r uu rsoit : df = ( ex + ey + e z ) ⋅ dl ∂x ∂y ∂z b) Définition du gradient uuurLe gradient de f, noté ( grad f ) est le vecteur dont les composantes en coordonnées ∂f ∂f ∂fcartésiennes sont : ( , , ). ∂x ∂y ∂z uuuur ∂f r ∂f r ∂f r grad f = ( ex + ey + ez ) ∂x ∂y ∂z2) Relation entre le champ et le potentiel électrostatiques r uu rOn sait que dV = − dC = − E dl . Sachant que V(x,y,z) est un champ scalaire et en écrivantla différentielle de V, il vient : ∂V ∂V ∂V dV = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z uuur uu rsoit : dV = grad V d l r uu r uuur uu r r uuur dV = − E dl et dV = grad V d l → E = − grad VLes composantes du vecteur champ électrique, sont données par les relations suivantes : ∂V ∂V ∂V Ex = − ; Ey = − ; Ez = − ∂x ∂y ∂zEn coordonnées cylindriques et sphériques, nous avons les relations suivantes :  ∂V  ∂V  Eρ = − ∂ ρ  Er = − ∂ r    1 ∂V  1 ∂V  Eφ = − ;  Eθ = − ρ ∂φ  r ∂θ   ∂V  1 ∂V  Ez = −  E φ = − r sin θ ∂ φ  ∂z  r uuurLa relation E = − grad V permet de déterminer soit le champ électrostatique à partir du rpotentiel V, soit le potentiel électrostatique à partir du champ E .
  8. 8. 3) Application : Calcul du champ électrostatique d’une charge ponctuelle àpartir de son potentiel. r r rConsidérons une charge ponctuelle placée en O, origine du repère (O ; e z , e z , e z ) . En un pointM repéré par ses coordonnées x, y et z, le potentiel associé à la charge ponctuelle est donnépar : q q 1 uuu r V(M) = = où r = OM 4πε o r 4πε o 2 x + y + z 2 2Les composantes du champ électrostatique associé à la charge q au point M sont calculées parles formules : ∂V(x,y,z) ∂V(x,y,z) ∂V(x,y,z) Ex = − , Ey = − , Ez = − ∂x ∂y ∂z ∂  2 2 2 )  ( 1 q −2 q x Ex = −  x +y +z = 4πε o ∂x     4πε o r 3En opérant de la même manière pour y et z, on trouve : ∂  2 2 2 )  ( 1 q −2 q y Ey = −  x +y +z  = 4πε o ∂y     4πε o r 3 ∂  2 2 2 )  ( 1 q −2 q zet Ez = −  x +y +z = 4πε o ∂z     4πε o r 3 r r r r uuu r r r r rSachant que E = E x e x + E y e y + E z e z et OM = r = xe x + ye y + ze z , le champélectrostatique sous forme vectorielle s’écrit : r u r r r q x ex + y e y + z ez E(M) = 3 4πε o r r r q rsoit : E(M) = 3 4πε o r
  9. 9. rOn peut aussi déduire le champ E de l’expression du gradient en coordonnées sphériques. Lerésultat est immédiat : dV(r) q E rθ = − φ = 2 ; E = 0 ; E = 0 dr 4πε o r r r q ersoit : E(M) = 2 4πε o rVI- Topographie électrostatique1) Surfaces équipotentiellesSoit V une fonction potentiel définissant un champ de scalaire, une surface Σ est diteéquipotentielle si et seulement si la valeur de V est la même en chacun de ses points.1) Lignes de champUne ligne de champ est une courbe où en chacun de ses points le champ électrique lui esttangent. Elle est orientée par continuité avec le vecteur champ. E ligne de champ M dlRemarques :i/ Les lignes de champ sont ouvertes et ne se coupent nulle part. Elles s’éloignent des chargespositives vers l’infini, ou venir de l’infini vers les charges négatives; en particulier ellespartent des charges positives pour aboutir aux charges négatives.ii/ L’équation qui permettra de définir une ligne de champ, puis de la tracer, s’obtient en uurexprimant que d l (ayant donc pour support la tangente au point M (cf.fig. ci-dessus)) est r r uu rcolinéaire au vecteur E(M) → E(M) = kdl où k est une constante de proportionnalité.Ce qui conduit au système d’équations différentielles : r r r r r r • Système cartésien : E x e x + E y e y + E z e z = k (dx e x + dy e y + dz e z )
  10. 10. Par identification, on trouve : E x = k dx ; E y = k dy ; E z = k dz dx E (x,y,z) dx E (x,y,z)Soit : = x ; = x dy E y (x,y,z) dz E z (x,y,z) r r r r r r • Système cylindrique : E ρ e ρ + E φ e φ + E z e z = k (dρ e ρ + ρdφ e φ + dz e z ) Par identification, on trouve : E ρ = k dρ ; E φ = k ρdφ ; E z = k dz dρ E ρ (ρ,φ,z) dρ Eρ (ρ,φ,z)Soit : = ; = ρ dφ E φ (ρ,φ,z) dz E z (ρ,φ,z) r r r r r r • Système sphérique : E rθe rφ + E φ θ + E e = k (dr e + rdθφe θ + rsinθdφ e ) e r Par identification, on trouve : E rθ = k dr ; E = k rdθ z ; E = k rsinθdφ dr E (r,θ,φ) dr E (r,θ,φ)Soit : = r ; = r r dθ Eθ (r,θ,φ) rsinθ dφ E φ (r,θ,φ)La résolution de ces couples d’équation différentielles conduit aux équations : f(x,y,z) = 0 f(ρ,φ,z) = 0 f(r,θ,φ) = 0 g(x,y,z) = 0 g(ρ,φ,z) = 0 g(r,θ,φ) = 0qui définissent deux surfaces. Leur intersection est la ligne de champ.3) Propriétés r a) Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles (E ⊥ Σ) . b) Le sens du champ électrique est du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins élevé.4) Exemples de surfaces équipotentielles et de lignes de champ
  11. 11. a) Les surfaces Σ équipotentielles d’une charge ponctuelle q sont des sphères concentriques de rayon r et de centre celui occupé par la charge q et les lignes de champ sont des demi-droites radiales perpendiculaires aux surfaces Σ (cf.fig. ci- dessous). V3 V3 Σ2 Σ3 Σ2 Σ3 V2 Σ1 V2 Σ1 E E V1 q V1 q q > 0 q < 0 V1 > V2 > V3 V1 < V2 < V3 les lignes de champ divergent les lignes de champ convergent à partir de la charge positive vers la charge négativeb) La figure ci-dessous représente les lignes de champ d’un dipôle électrique (un dipôle électrique est un ensemble, supposé rigide, de deux charges de même grandeur et de signes opposés séparées par une très faible distance).
  12. 12. E les lignes de champd’un dipôle électrique

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