Chapitre 3 : Théorème de GaussFlux d’un champ de vecteurs……………………………………………………………….                                        ...
r* La face qui se trouve du coté de n est par convention une face positive.                                         r* La ...
Le flux Φ dans cette configuration est donné par :                Φ = A Sn        (cf. définition ci-dessus)Le nombre de l...
II- Notion d’angle solide       a) Définition                                                                             ...
III- Flux à travers une surface finie du champ électrostatique créépar une charge ponctuelle1) Flux élémentaire           ...
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D’après le théorèmeme de Gauss :                    Φ1 + Φ 2 + Φ lat = 0                                                  ...
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ρ(M)L’équation de Poisson peut s’écrire :            ∆ V(M) +             = 0                                             ...
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  1. 1. Chapitre 3 : Théorème de GaussFlux d’un champ de vecteurs………………………………………………………………. 31Notion d’un angle 33solide………………………………………………………………….... 34Flux à travers une surface finie du champ créé par une charge ponctuelle………………... 37Théorème de Gauss………………………………………………………………………... 38Conséquence du théorème de Gauss………………………………………………………. 41Forme locale du théorème de Gauss………………………………………………………. Théorème de GaussI- Flux d’un champ de vecteurs1) Représentation vectorielle d’une surfaceUn élément de surface d’aire dS entourant un point M de l’espace, peut être représenté par le uu r uu r r rvecteur dS tel que : dS = dS.n où n est le vecteur unitaire normal à la surface d’aire dS aupoint M.2) Orientation d’une surfaceL’orientation d’une surface est donnée par le sens de la normale qui peut être imposé d’unefaçon arbitraire. a) Cas d’une surface ouverte : " une surface ouverte possède deux faces s’ouvrant sur l’extérieur "Soit (C) le contour fermé sur lequel s’appuie la surface ouverte d’aire S (cf.fig.ci-dessous). Onchoisit un sens de parcours arbitraire sur ce contour. rLe sens de n est donné par la règle de la main droite : On place n n face positiveles doigts dans le sens de la circulation et le pouce levé indique lesens du vecteur normal à la surface qui s’appuie sur ce contour.  n dS S M l’orientation du contour fixe le sens de la normale à surface dl ( C)
  2. 2. r* La face qui se trouve du coté de n est par convention une face positive. r* La face qui se trouve du coté opposé à n est par convention une face négative b) Cas d’une surface fermée : " une surface fermée est une surface qui possède un intérieur et un extérieur " rDans ce cas, il n’y a plus de bord, on convient de définir l’orientation de la normale n versl’extérieur de la surface.3) Définition du fluxEtant donné un champ de u r rvecteurs A uniforme et S unesurface plane orientée parallèle au ur urvecteur A . Le flux noté Φ de Aà travers l’aire S est pardéfinition : Φ=A SIl mesure la quantité de lignes dechamp traversant la surface S.Si la surface plane S est inclinée et fait un angle θ avec les lignes de champ (cf.fig ci-dessous).
  3. 3. Le flux Φ dans cette configuration est donné par : Φ = A Sn (cf. définition ci-dessus)Le nombre de lignes interceptées par Sn (projection de la surface S sur un plan normal auxlignes de champ) est égal aux lignes de champ traversant S.Soit : Φ = A S cosθ ur rOn peut donc dire que le flux associé à un champ uniforme s’écrit : Φ=A.SSi le champ n’est pas uniforme ou la surface n’est pas plane, on divise la surface considéréeen petits éléments de surface ∆S pouvant être considérés comme plans.Le flux total à travers la surface S est égal à la somme : uur uuur uuu r uuuu r uur uuur Φ = A1 . ∆S1 + A 2 . ∆S2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ Ai . ∆Si iA la limite, quand ∆S → 0 et i devient infini, cette somme discrète devient une intégralecontinue. On peut donc écrire : ur uur Φ= ∫ A . dS : l’intégration (ici double) porte sur la surface S (S)
  4. 4. II- Notion d’angle solide a) Définition uu rL’angle solide élémentaire, noté dΩ, sous lequel on voit un élément de surface orienté dS r r r ucentré sur un point M, à partir d’un point O, est le flux du vecteur 3 = 2 à travers cet r rélément de surface. dS u θ n M face positive r dΩ O u r uu r r uu r dS(M) cosθ uuu r r r r dS dΩ = 3 dS(M) = , OM = r = ru et n= r r2 dS b) Convention de signe de l’angle solide dΩ r uu r π dΩ > 0 si r rentre du coté négatif de dS (0 < ). 2 uu π r dΩ < 0 si r rentre du coté positif de dS ( r < θ < π ). 2L’angle solide global, sous lequel d’un point O, on voit une surface orientée S, est donné parl’expression : dS cosθ Ω= ∫ (S) dΩ = ∫ (S) r 2 : l’intégration (ici double) porte sur la surface S
  5. 5. III- Flux à travers une surface finie du champ électrostatique créépar une charge ponctuelle1) Flux élémentaire rSelon la définition du flux élémentaire d’un champ de vecteurs E en un point M : dS E θ M face positive r dΩ O u q u uu r r r uu r q u dS q dS cosθ dΦ = E(M) dS(M) = 2 = 2 4πε o r 4πε o r qL’expression de dΦ peut être écrite sous la forme : dΦ = dΩ , où dΩ est l’angle solide 4πε o uu rsous lequel du point O (où se trouve la charge), on voit l’élément de surface orienté dS . u r2) Flux global de E rL’expression de flux global de E est donnée par : l’intégration (ici double) porte sur la surface S q dS cosθ q q Φ= 4πε o ∫ s r 2 = 4πε o ∫ dΩ = 4πε s o Ω : S Ω l’angle solide sous lequel on voit la surface S dΩ dS 1 O E1 E2 q dS 2
  6. 6. u r1) Flux de E à travers une surface fermée a) Cas ou la charge est à l’extérieur de la surface SSi la charge q se trouve àl’extérieur de S, alors le flux rde E à travers S est nul. uu r r qEn effet : dS1 = dS1 n 1 ⇒ dΦ1 = dΩ1 4πε o uu r r q dS 2 = dS2 n 2 ⇒ dΦ 2 = dΩ 2 4πε o r uu r r uu rdΦ1 est le flux de E à travers dS et dΦ 2 est le flux de E à travers dS : 1 2 dΦ = dΦ1 + dΦ 2Du point O, on voit les surfaces dS1 et dS2 de la même façon puisqu’ils correspondent aumême cône. D’après le signe de dΩ , nous avons dΩ1 < 0 et dΩ 2 > 0, cest-à-dire : dΩ1 = − dΩ 2 ⇒ dΦ1 = − dΦ 2 et dΦ = dΦ1 + dΦ 2 = 0 .Le flux résultant à travers la surface S est alors nul : Φ = 0 b) Cas où la charge se trouve à l’intérieur de la surface S. S E M θ n dS dS1 S1 dΩ Oq R=1 q q dΦ = dΩ ⇒ Φ= Ω 4πε o 4πε ooù Ω est l’angle solide sous lequel, de l’endroit où se trouve la charge, on voit la surfaceinterne de S. C’est aussi l’angle solide sous lequel, toujours de l’endroit où se trouve la chargeq, on voit une sphère S1 de centre O et de rayon unité. Il vient :
  7. 7. r r uu r dS(M) cosθ dΩ = 3 dS(M) = = dS1 r r2où dS1 est la surface élémentaire de la sphère S1 de rayon unité. qD’où : Ω = S1 = 4π , et finalement : Φ= 4π 4πε o qSoit : Φ = εoIV- Théorème de Gauss 1) Enoncé rLe flux du vecteur champ électrostatique E à travers une surface fermée est égal au quotientpar ε o de la somme des charges se trouvant à l’intérieur de cette surface.Exemple : Soient un ensemble de six charges ponctuelles et une surface fermée S (cf.fg.ci- rdessous). Calculons le flux de champ E à travers S. Sfermée E E q q 5 6 q q 1 E E 2 q 3 r uu r ∑q Φ = Ñ ∫ S E.dS = int εo rLe champ E , en tout point sur la surface de Gauss, est créé par toutes les charges de ladistribution; mais dans le calcul du flux on ne tient compte que des charges internes.
  8. 8. q +q +q Φ= 1 2 5 εo 2) Remarquesi/ Le théorème de Gauss peut être appliqué sur toutes les distributions (discrète, linéique,surfacique ou volumique), qui présentent une symétrie.ii/ La surface considérée qui est en général une surface fictive s’appelle surface de Gauss.Cette surface est choisie en fonction du problème considéré.iii/ Dans le cas de charges ponctuelles, on doit éviter que la surface de Gauss passe sur l’unedes charges. Cette difficulté disparaît dans le cas d’une distribution continue.V- Conséquences du théorème de Gauss1) Caractère conservatif du flux du champ électrostatique a) Notion de tube de champUn tube de champ est une surface engendrée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyantsur un contour (courbe) fermé (cf.fig ci-dessous). Pour un champ uniforme, les lignes dechamp sont des droites parallèles. Dans ce cas, un cylindre dont l’axe est parallèle aux lignesde champ est un tube de champ. E E b) Enoncé rLe flux du vecteur champ électrique E à travers une surface fermée ne contenant pas de rcharges est nul. Dans ce cas, on dit que E est à flux conservatif.Dans la figure ci-dessous on a représenté un tube de champ et deux sections S1 , S2 de celui-ci.Le flux à travers la surface S1 est Φ1 , le flux à travers S2 est Φ 2 et le flux à travers la paroi dutube de champ Slat est Φ lat . E n1 n2 S1 Slat nlat S2
  9. 9. D’après le théorèmeme de Gauss : Φ1 + Φ 2 + Φ lat = 0 rΦ lat = 0 car le champ électrique est tangent en tout point à la surface Slat (le champ E netraverse pas la surface latérale).Soit : Φ1 + Φ 2 = 0 et Φ1 = − Φ 2A travers une surface fermée, de forme quelconque et ne contenant pas de charges, le flux du rvecteur champ électrique E entrant est égale au flux sortant. On dit dans ce cas que le champrE est à flux conservatif. 3) Continuité ou discontinuité du champ à la traversée d’une surface chargéeLa composante tangentielle du champ électrostatique est continue. Par contre, la composantenormale du champ présente une discontinuité à la traversée d’une surface chargée. urSoient σ la densité superficielle de charges et n1 la normale sur S, orientée du milieu  versle milieu  (cf.fig.ci-dessous). M1 et N1 sont deux points très proches situés de part et autre dela surface chargée S. a) Composantes tangentielles E 1N E1 milieu 1 E1 milieu  n M2 S M1 E 1T M1 S σ N2 M N1 E 2T σ N1 milieu  E2 E 2N E2 milieu 2 E 1T M1 M2 N 1 N2 E 2T
  10. 10. uuuuuuur uuuuuurOn choisit des points très proches de la surface tels que : M1M 2 = N1 N 2A la traversée de la surface chargée et au voisinage de cette dernière, nous avons la continuitédu potentiel. V(M1 ) = V(N1 ) et V(M 2 ) = V(N 2 ) ur uuuuuuurSachant que : V(M1 ) − V(M 2 ) = E M1 M 2 1T ur uuuuuur V(N1 ) − V(N 2 ) = E N1 N 2 2T r rOn en déduit : E1 T = E 2 T b) Composantes normales E 1N n1 dS 1M 1 milieu milieu 1 n1 E1 dS 3 n M dS σ M1 dS1 M dS 2 M milieu charge interne 2 M2 dS2 = σdS n2 E 2N charge interne E2 = σ dS milieu 2Le flux du champ à travers un cylindre de bases dS1 et dS2 (cf.fig.ci-dessus) est : r uu r r uu r σ dS Φ = Φ + Φ + Φ = E (M1 ) dS 1 + E ( M 2 ) dS 2 + Φ 3 = 1 2 3 εoΦ3 étant le flux à travers la paroi latérale. Lorsqu’on fait tendre M1 et M 2 vers M on a :
  11. 11. u r u r u r u r E 1 ( M1 ) → E 1 (M) , E 2 ( M 2 ) → E 2 (M) et Φ3 → 0 r uu r r u r r u r r uu r r u r r u r Φ1 = E 1 dS1 = E 1 dS1 n 1 = E 1 dS1 n et Φ 2 = E 2 dS 2 = E 2 dS2 n 2 = − E 2 dS2 nDe plus dS1 = dS2 = dS , donc on peut écrire en M : r u r r u r σ r r σ ur E1 n − E 2 n = ou E1 N − E 2 N = n εo εoVI- Forme locale du théorème de Gauss1) Notion de divergence u r u rOn appelle divergence d’un champ de vecteurs A(M) , que l’on note div A , le scalaire : u r ∂A x ∂A y ∂A z div A = + + ∂x ∂y ∂zThéorème de la divergence u rLe flux d’un champ de vecteurs A(M) à travers une surface fermée S est égal à l’intégrale de u r u rla divergence de A sur le volume τ intérieur à S. On suppose que les dérivées de A sontcontinues.L’expression mathématique de ce théorème est la suivante : u uu r r u r Φ= Ñ ∫ (S) A dS = ∫ (τ) div A dτ2) Equation de Poisson a) Expression de l’équation de PoissonDans la figure ci-dessous on a représenté une charge dq placée au point M et une surface rfermée dS traversée par des lignes de champ E . E E dτ dτ ρ ρ M M dS dS dq = ρdτ > 0 dq = ρdτ < 0 les lignes de champ les lignes de champ divergent convergent div E > 0 div E < 0
  12. 12. r r uu r dqρ(M) dτ(M)Le flux du vecteur E à travers la surface dS est : Φ (M) = E(M) dS(M) = = εo εooù dτ est le volume intérieur à dS.Le théorème de la divergence permet d’écrire : r r ρ(M) dτ(M) Φ (M) = div E(M) dτ(M) ⇒ div E(M) dτ(M) = εo r ρ(M)soit : div E(M) = εo r r uuur urPar ailleurs V étant le potentiel associé à E : E(M) = − grad V(M) = − ∇ V(M) . r uuur ρ(M)Donc : div E(M) = − div (grad V(M)) = εoFinalement cette équation (appelée équation de Poisson) devient : uuur ρ(M) div(grad V(M)) + =0 εoρ(M) est le défaut ou l’excès de charges par unité de volume au point M. b) Définition de laplacien uuurLa quantité div (grad V(M)) est appelée le laplacien de V, notée ∆V.Dans les trois systèmes de coordonnées, le laplacien a pour expressions :
  13. 13. ρ(M)L’équation de Poisson peut s’écrire : ∆ V(M) + = 0 εo c) Remarquesi/ Dans une région où il n’y a pas de charges, nous avons ρ = 0 et on obtient alors uneéquation appelée équation de Laplace : ∆V = 0ii/ Sous sa forme locale ou différentielle, le théorème de Gauss relie le champ électrostatiqueen un point M à la densité de charges ρ(M) en ce point.

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