1. MÉTODO DE DOS FASES
Minimizar: Z = 4 X1 + X2
s.a:
3 X1 + X2 = 3
4 X1 + 3X2 ≥ 6
X1 + 2X2 ≤ 4
X1, X2 ≥ 0
SOLUCION:
Min Z = 4 X1 + X2 + MR1 + MR2
s.a:
3 X1 + X2 + R1 + = 3
4 X1 + 3X2 - X3 + R2 + = 6
X1 + 2X2 + X4 = 4
FASE I:
Minimizar r = R1 + R2
s.a:
3 X1 + X2 + R1 + = 3
4 X1 + 3X2 - X3 + R2 + = 6
X1 + 2X2 + X4 = 4
X1, X2, X3, X4, R1, R2 ≥ 0
Tabla:
V. Básica X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solución
r 0 0 0 -1 -1 0 0
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 0 6
X4 1 2 0 0 0 1 4
Nuevo renglón r = Renglón r anterior + [1 x Renglón R1 + 1 x Renglón R2]
Tabla:
V. Básica X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solución
r 7 4 -1 0 0 0 9
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 0 6
X4 1 2 0 0 0 1 4
N.E.P = 1 1/3 0 1/3 0 0 1
 Nueva Ecuación r:

2. Ec. r anterior 7 4 -1 0 0 0 9
-7 (N.E.P) -7 -7/3 0 -7/3 0 0 -7
0 5/3 -1 -7/3 0 0 2
 Nueva Ecuación R2:
Ec. R2 anterior 4 3 -1 0 1 0 6
-4 (N.E.P) -4 -4/3 0 -4/3 0 0 -4
0 5/3 -1 -4/3 1 0 2
 Nueva Ecuación X4:
Ec. X4 anterior 1 2 0 0 0 1 4
-1 (N.E.P) -1 -1/3 0 -1/3 0 0 -1
0 5/3 0 -1/3 0 1 3
Tabla:
V. Básica X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solución
r 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2
X1 1 1/3 0 1/3 0 0 1
R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2
X4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3
N.E.P = 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5
 Nueva Ecuación r:
Ec. r anterior 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2
-5/3 (N.E.P) 0 -5/3 1 4/3 -1 0 -2
0 0 0 -1 -1 0 0
 Nueva Ecuación X1:
Ec. X1 anterior 1 1/3 0 1/3 0 0 1
-1/3 (N.E.P) 0 -1/3 1/5 4/15 -1/5 0 -2/5
1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5
 Nueva Ecuación X4:
Ec. X4 anterior 0 5/3 0 -1/3 0 1 3
-5/3 (N.E.P) 0 -5/3 1 4/3 -1 0 -2
0 0 1 1 -1 1 1
Tabla Óptima:
V. Básica X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solución
r 0 0 0 -1 -1 0 0
X1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5
R2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5
X4 0 0 1 1 -1 1 1

3. FASE II: Después de eliminar las columnas artificiales, se reescribe el problema original
Minimizar = 4 X1 + X2
s.a:
X1 + 0X2 – X3 + X4 =
0X1 + X2 – X3 + X4 =
X3 + X4 = 1
X1, X2, X3, X4, ≥ 0
Armando Tabla:
V. Básica X1 X2 X3 X4 Solución
r -4 -1 0 0 0
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
X4 0 0 1 1 1
Nuevo renglón Z = Renglón Z anterior + [4 x Renglón X1 + 1 x Renglón X2]
Reemplazando:
V. Básica X1 X2 X3 X4 Solución
Z 0 0 1/5 0 18/5
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
X4 0 0 1 1 1
N.E.P 0 0 1 1 1
 Nueva Ecuación Z:
Ec. Z anterior 0 0 1/5 0 18/5
-1/5 (N.E.P) 0 0 -1/5 -1/5 -1/5
0 0 0 -1/5 17/5
 Nueva Ecuación X1:
Ec. X1 anterior 1 0 1/5 0 3/5
-1/5 (N.E.P) 0 0 -1/5 -1/5 -1/5
1 0 0 -1/5 2/5
 Nueva Ecuación X2:
Ec. X2 anterior 0 1 -3/5 0 6/5
-(-3/5) (N.E.P) 0 0 3/5 3/5 3/5
0 1 0 3/5 9/5

4. Reemplazando:
V. Básica X1 X2 X3 X4 Solución
Z 0 0 0 -1/5 17/5
X1 1 0 0 -1/5 2/5
X2 0 1 0 3/5 9/5
X4 0 0 1 1 1
Así, las soluciones óptimas para el problema serían:
X1 = 2/5
X2 = 9/5
Z = 17/5