s

2. Variable aleatoria
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a
cada elemento del espacio muestral E un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar
variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...)
para designar valores concretos de las mismas.

3. Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede
tomar valores enteros.
Ejemplos:
El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida
al lanzar un dado.

4. Función de probabilidad
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la
aplicación que asocia a cada valor de xi de la variable con su probabilidad pi.
0 ≤ pi ≤ 1
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1

5. Ejemplo: Calcular la distribución de probabilidad de las
puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
X Pi
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
1

6. La representación de una distribución discreta de
probabilidad es un diagrama de barras.

7. Función de distribución
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de
menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y
escribiremos F(x) a la función:
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la
probabilidad acumulada hasta ese valor.

8. Ejemplo: Calcular la función de distribución de probabilidad de las
puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
X Pi
𝑥 < 1 0
1 ≤ 𝑥 < 2 1/6
2 ≤ 𝑥 < 3 2/6
3 ≤ 𝑥 < 4 3/6
4 ≤ 𝑥 < 5 4/6
5 ≤ 𝑥 < 6 5/6
6 ≤ 𝑥 1

9. La representación de una función de distribución de probabilidad es
una gráfica escalonada.

10. Esperanza matemática o media
Varianza
Desviación típica

11. Ejemplo: Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación
típica, de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al
lanzar un dado.
X Pi X . Pi 𝐗 𝟐
. Pi
1 1/6 1/6 1/6
2 1/6 2/6 4/6
3 1/6 3/6 9/6
4 1/6 4/6 16/6
5 1/6 5/6 25/6
6 1/6 1 6
21/6 91/6

12. Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria continua es aquella que puede
tomar todos los valores posibles dentro de un cierto
intervalo de la recta real.
Ejemplos:
La altura de los alumnos de una clase, las horas de
duración de una pila.

13. Función de Densidad de Probabilidad.
También llamada: Distribución de Probabilidad.
La probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área arriba
de este intervalo y bajo la gráfica de una función de densidad. La curva f(x) se
llama curva de densidad.
Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, se deben satisfacer
las siguientes condiciones:
1.- f(x) > 0,...para todo x.
2.- 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

14. Esperanza de una Variable Aleatoria Continua.
𝑎
𝑏
𝑥 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Varianza de una Variable Aleatoria Continua.
𝑎
𝑏
𝑥2. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

15. Distribución Uniforme.
Se dice que una variable aleatoria continua X, que toma todos los valores
del intervalo [a, b] real, sigue una distribución uniforme de
parámetros a y b, si su función de densidad de probabilidad es:
𝑓 𝑥 =
1
𝑏 − 𝑎
0
Si a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
En otro caso
La media La varianza

16. Distribución Normal.
Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene
una distribución normal o de Gauss de parámetros μ y σ, si
su función de densidad de probabilidad es:
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
. 𝑒
−
1
2
𝑥−𝑢
𝜎
2
La media de la distribución normal viene dada por:
E(X) = μ
Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:
Var(X) = σ²

17. Distribución Exponencial.
Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución
exponencial de parámetro β, si su función de densidad de
probabilidad es:
𝑓 𝑥 =
1
𝛽
. 𝑒−𝑥/𝛽
0
Si x > 0
en otro caso
La media de la distribución normal viene dada por:
E(X) = β
Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:
Var(X) = β²

18. Ej1. Sea X una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de
densidad:
Hallar:
a) El valor de c para que f(x) sea una función de densidad.
b) Calcular la esperanza y la varianza de X.

19. Apartado a)
Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:
Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de
probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:
1. f(x) > 0,...para todo x. 2.
La función f(x) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera
condición: (8/3)·c = 1
Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:
𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑃 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 =
0
2
𝑐. 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑐
0
2
𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑐.
𝑥3
3
2
0
=
𝑐
3
23
− 0 =
8
3
𝑐

20. Apartado b)
En este apartado, debemos calcular la esperanza y la varianza de la variable
aleatoria continua, X.
Para el cálculo de la esperanza, empleamos la siguiente expresión:
𝐸 𝑋 =
0
2
𝑥.
3𝑥2
8
𝑑𝑥 =
3
8 0
2
𝑥3 𝑑𝑥 =
3
32
𝑥4
2
0
=
3
32
. 24 − 0 =
3
2
𝐸 𝑋 =
𝑎
𝑏
𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Y para la varianza, se empleará la siguiente expresión:
𝑉 𝑋 =
0
2
𝑥2
.
3𝑥2
8
𝑑𝑥 −
32
22
=
3
40
. 𝑥5
2
0
−
9
4
=
3
40
25
− 0 −
9
4
=
3
20
Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

21. Ej2. Sea X una variable aleatoria continua que mide el avance entre dos
automóviles consecutivos elegidos al azar en segundos, su función de
distribución del tiempo de avance presenta la forma:
Hallar:
a) Determinar el valor de k para que f(x) sea una función de densidad
legítima.

22. Apartado a)
Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:
𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑃 𝑋 > 1 =
1
∞
𝑘
𝑥4
𝑑𝑥 = −
𝑘
3
.
1
𝑥3
∞
1
= −
𝑘
3
1
∞3
−
1
13
=
𝑘
3
La función f(x) es mayor que cero, para ello, k debe ser mayor que cero, por lo
que nos queda, satisfacer la primera condición:
k/3 = 1
Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:
𝑓 𝑥 =
3
𝑥4
0
𝑥 > 1
𝑥 ≤ 1

23. GRACIAS