Resolução do capítulo 3 franco brunetti
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O capítulo introduz a abordagem euleriana para estudar fluidos em movimento, focando no fluido como um contínuo e nas propriedades em diferentes pontos no mesmo instante. Discute-se o regime permanente para simplificar problemas e a noção de campos de velocidade. Exemplos ilustram conceitos como tubo de corrente e cinemática de fluidos.
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- 1. Capítulo 3 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para focalizar o fluido como um contínuo e observar as suas propriedades em diversos pontos no mesmo instante. Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos. Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém seu conceito está utilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos. Exercício 3.1 ∫= A m vdA A 1 v Mostrar claramente a facilidade de se utilizar uma coordenada polar quando se trabalha com seções circulares. Mostrar que a área elementar é calculada por 2πrdr. ( ) máxm 44 4 máx m R 0 422 4 máxR 0 32 4 máx m R 0 2 22 2 máx m 2 R 0 máx2m v5,0v 4 R 2 R R v2 v 4 r 2 rR R v2 drrrR R v2 v rdr R rR R v2 v rdr2 R r 1v R 1 v = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = π ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π = ∫ ∫ ∫ Exercício 3.2 ( ) dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança rdrrR R v2 rdr2 R r 1v R 1 v vdA A 1 v R 0 7 1 7 15 máx7 1 R 0 máx2m m −=−=−= −=π⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π = = ∫∫ ∫
- 2. ( )( ) máx 7 15 7 15 7 15 máx R 0 7 15 7 8 7 15 máx m R 0 7 8 7 1 7 15 máx0 R 7 1 7 15 máx m v 60 49 R 15 7 R 8 7 R v2 15 x7 8 Rx7 R v2 v dxxRx R v2 dxxRx R v2 v = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=−−= ∫∫ Exercício 3.3 s/m10 15,010 510 A gQ v s/m20 15,05 510 A gQ A Q v BB m m AA m AA m m B A = ×× × = γ = = ×× × = γ = ρ = Exercício 3.4 s N 10110gQQ s kg 110000.1QQ s m 10 60100 6 t V Q mG 3 m 3 3 =×== =×=ρ= = × == − − Exercício 3.5 s m 2 105 10 A Q v s N 10110gQgQQQ s kg 110000.1QQ s L 1 s m 1010101AvQ 4 3 2 2 mG 3 m 3 34 11 = × == =×==ρ=γ= =×=ρ= ==××== − − − −− Exercício 3.6 s m 1067,2 9,0 104,2Q Q s m 102 2,1 104,2Q Q s kg 104,210200102,1AvQ 3 2 2 2 m 2 3 2 2 1 m 1 24 111m − − − − −− ×= × = ρ = ×= × = ρ = ×=×××=ρ=
- 3. s m 267 1010 1067,2 A Q v s N 24,0104,210gQQ 4 2 2 2 2 2 mG = × × == =××== − − − Exercício 3.7 Supondo o regime permanente, já que o enunciado não dá nenhuma indicação de variação com o tempo, pode-se utilizar a Equação da Continuidade correspondente. 3 2211 3 332211 Q QQ QQQ ρ+ρ =ρ ρ=ρ+ρ Sendo os fluidos incompressíveis e o reservatório rígido, pode-se utilizar também a equação para fluido incompressível. s/m10 1030 1030 A Q v m/kg933 30 1080020000.1 QQQ 4 3 3 3 3 3 3 213 = × × == = ×+× =ρ += − − Exercício 3.8 s500 1010 552,0 Q hA Q V t s m 104 55 1010 A Q v 3 tan 4 3 tan = × ×× === ×= × × == − − − Exercício 3.9 s m 14,4 1 25,34 D Q4 v s m 25,3 500 10 100 5 t V t V Q 22 333 2 2 1 1 = ×π × = π = =+=+= Exercício 3.10 s m 01,0 2 02,0 2 v v D DvDv v 4 D v 4 D v 4 D v 1máx 1 2 3 2 22 2 11 3 2 3 3 2 2 2 2 1 1 === − = π + π = π
- 4. s m 064,0 5 5,2106,01501,0 v s m 106,013,0 60 49 v 60 49 v 2 22 2 3máx2 = ×−× = =×== Exercício 3.11 Seja: Qe = vazão de entrada QF = vazão filtrada QNF = vazão não filtrada ∫= += ANF NFFe vdAQ QQQ Por semelhança de triângulos: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =→ − = R rR vv rR v R v máx máx ( ) ( ) s L 8,82,110QQQ s L 2,1 s m 102,1 3 1014,63,0 Q cm14,620tg105,2R 3 Rv 3 R 2 R R v2 3 r 2 Rr R v2 Q drrRr R v2 rdr2 R rR vQ NFeF 3 3 22 NF o 2 máx 33 máx R 0 32 máx NF R 0 2máxR 0 máxNF =−=−= =×= ×××π = =×+= π = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − π = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − π = − π =π⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − ∫∫ Aproveitar este exercício para mostrar que a vazão coincide geometricamente com o volume do diagrama de velocidades. No caso do diagrama cônico, o volume do cone é: 3 vR 3 alturaBase máx 2 ×π = × Exercício 3.12 s m 8,02,01QQQ s m 1111AvQ s m 2,0 5 1 t V Q)b s m 1 3 y3 dyy3bdyy3 11 1 v vdA A 1 v)a 3 Bcalha 3 mcalha 3 B B B 3 1 0 21 0 2 m m =−=−=⇒=××== === === × = = ∫∫ ∫
- 5. s m 86,1332,11 49 60 v 49 60 v104,3 10 3,032,11 Re s m 32,11 3,0 8,04 D Q4 v vD Re)c mmáx 6 6 22 =×=⇒×= × = = ×π × = π =→ ν = − Exercício 3.13 ( ) ( ) ( ) m099,0 10810 624,04 Re Q4 D D D Q4 Re D Q4 v Dv Re s/m624,0 09,1 68,0Q Q s/kg68,073,441,5QQQ s m 021,5 942,0 73,4Q Qs/kg73,4 4 8,0 10942,0 4 D vQ s/m10 8,0 10108 D Re v Dv Re s/kg41,55,4201,1QQ m kg 201,1 27317287 10100 RT p m kg 942,0 27397287 10100 RT p m kg 09,1 27347287 10100 RT p s m 5,4 3600 1 h m 16200Q 55 1 1 1 1 2 1 1 12 1 1 1 11 1 3 1 1m 1 2m0m1m 3 2 2m 2 22 2 222m 55 2 2 2 22 2 000m 3 3 0 0 0 3 3 2 2 2 3 3 1 1 1 33 0 = ×××π × = νπ = νπ =→ π =→ ν = == ρ = =−=−= == ρ =→= ×π ××= π ρ= = ×× = ν =→ ν = =×=ρ= = +× × ==ρ = +× × ==ρ = +× × ==ρ =×= − − Exercício 3.14 h 0 32 h 0 2 m 2 3 0y 0y 1 0y 1 cm2y 2 3 52 5 2 3 y 2 y30 h 1 bdy)yy30( bh 1 vdA A 1 v)c m N 189,030103,6 dy dv s30 dy dv )b s262230 dy dv y230 dy dv )a m s.N 103,6 10 900107 gs m 107 s cm ouSt7,0cSt70 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=−== =××=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ μ=τ→=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =×−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇒−= ×= ×× = νγ =μ⇒×== ∫∫ − = = − = − = − − −
- 7. Exercício 3.16 s m 66,233,12v2v QQ)d s m 33,1 3 2,0 5 2 2,0 200)yv100yv20( bh 1 v)c N8,024,0AF m N 4,04010 dy dv )b s402,02200220 dy dv yv200v20 dy dv yv100yv20v)a mmáx 21 32 2,0 0 2,0 0 2 máxmáxm 2 2 0y 0y 1 m2,0y máxmáx 2 máxmáx =×== = =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×−=−= =×=τ=⇒=×=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ μ=τ −=××−×=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= −= ∫ − = = − = Exercício 3.17 s/m730 2,05,0 13,02002,1 A QAv v AvQAvQQQ 22 m111 2 222m111mmm 3 3231 = × +×× = ρ +ρ = ρ=+ρ→=+ Exercício 3.18 2 43 2 311m 1 1m 1 1 2 11m1 33 3m 3m 2m1m3m 2 2m 2 2máx 2m 2 22m22m 111m m s.N 1077,66,010128,1 s m 10128,1 000.2 564,022 000.2 R2v 000.2Re)c m564,0 2 2 v Q RRvQ)b s m 15 5,04,0 3 A Q v s kg 38,12,1QQQ s kg 88,14,032,1Q m4,0R; s m 3 3 9 3 v vRvQ s kg 2,126,0QQ)a −− − ×=××=νρ=μ ×= ×× =ν⇒= ν ⇒≤ = ×π = π =⇒π= = × = ρ = =+=+= =×π××= ====→πρ= =×=ρ=
- 8. Exercício 3.19 s/L57,1s/m1057,1102,05,2DvQ s/m5,2 2 5 2 v v s/m5 22,01052 4 2,0000.50 52010 DL2 4 pD 520 v 4 pD 520 DLv2 520 DLv2 4 D p 520DL 2/ v 4 D p 333 m máx m 3 2 3 2 máx 2 máxmáx 2 máx 2 =×=××π×=επ= === = ×××× ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − = μ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −ε = −= ε μ →= ε μ + π=π ε μ+ π −− − − Exercício 3.20 ( ) 2 22 x yx yy z y y y xy 2x x xx xx z x y x xx s m 6)4;3(a s m 2,12212)4;3(v s m 12434;3v 2v;y3v)c 0 t v z v v y v v x v va s m 632a y v va t v z v v y v v x v va)b permanente)a = =+= =×= == = ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = =×= ∂ ∂ =⇒ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Exercício 3.21 yx9x3.xy3 y v va t v z v v y v v x v va 0 t v z v v y v v x v va)b .Permanente)a 2y yy yy z y y y xy xx z x y x xx == ∂ ∂ = ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =
- 9. 72229aa 12223vv)c 2 y y =××== =××== Exercício 3.22 ( ) 2 22 2y 2x 22 y x y x yx s m 6,211812)3;2(a s m 1836)3;2(a s m 1226)3;2(a s m 5,86)6()3;2(v s m 623)3;2(v s m 632)3;2(v)c y63y2a x62x3 y v va)b =+=⇒−=×−= −=×−= =+−=⇒=×= =×−= −=×−= −=−= ∂ ∂ = Exercício 3.23 ( ) ( ) ( ) 4,5432a 4 t v a 3 t v a 2 t v a 2,161296v 12214v 9213v 6212v 222 z z y y x x 222 z y x =++= = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = =++= =+×= =+×= =+×= Exercício3.24 2x xx z x y x xx 222 y 2 x s m 32258221712107a t8x217y2107 t v z v v y v v x v va s m 10817107v s m 175312v s m 107541223v =×+××+××= +×+×= ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = =+=⇒=×+×= =×+××+=