1) O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação como z = a + bi, operações como soma, subtração, multiplicação e divisão. 2) É explicado o módulo e argumento de um número complexo, assim como sua forma trigonométrica polar. 3) São mostradas algumas propriedades como potências de i e como obter a raiz n-ésima de um número complexo.

1. Professor Cristiano Marcell
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II
RESUMO DE COMPLEXOS
Matemática
Professor Cristiano Marcell
Uma equação como x² + 1= 0 não tinha soluções, Representação Geométrica do número complexo.
enquanto estávamos limitados ao conhecimento do conjunto dos
números Reais. O motivo pelo qual foi criado e desenvolvido por Im
grandes nomes da matemática, é bem verdade, não foi o intuito Z = a + bi
b (afixo)
de solucioná-la tão somente.
Unidade imaginária i² = -1
Z
A forma Z = a +bi desse número é chamada de algébrica,
onde a é parte real e b, a imaginária.
θ
O número Z = a – bi é seu conjugado.
O a Re
 Se Z1=a + bi e Z2= c + di são tais que Z1= Z2, então a=c e
b=d.
 Se Z é um número estritamente real termos que b = 0 Módulo de um número complexo
 Se Z é um número estritamente imaginário termos que a = 0 Z =ρ= a 2  b2
 Se Z1= a + bi e Z2= c + di, então, Z1 ± Z2 = (a+c) ± (b+d)i
Argumento de um número complexo.
 No caso do produto entre dois complexos usamos a
propriedade distributiva, assim como se usa com valores a b
reais. 𝜃= arc cos = arc sen
z z
Z1 Z1 Z 2
  . Forma Trigonométrica (Polar) de um número complexo
Z2 Z2 Z2
Z= Z ( cos θ + isen θ) = Z cis θ
Algumas consequências desta definição:
Operações.
I. Z  Z  2a
Sejam Z1= Z1 (cos θ1 + i.sen θ1) e Z2= Z 2 (cos θ2 + i.sen θ2)
II. Z . Z  2bi
Produto. → Z1. Z2 = Z1 . Z 2 .(cos (θ1 + θ2) + isen (θ1 + θ2))
Potências de i
Sendo n um número natural, de modo geral, temos:
Divisão. → Z1 = Z1 .(cos (θ1 – θ2) + isen (θ1 – θ2))
Z2 Z2
 i4n =1
 i4n+1 = i Potenciação. → Zn= Z n. (cos (θn) + isen (θn))
 i4n+2 = -1
 i4n+3 = -i Radiciação.
A potência ik, sendo K um inteiro, é obtida dividindo o n
Z = n Z .( cos (   2k ) + isen (   2k )),
expoente K por 4 e considerando o resto r (0 ≤ r <4) da divisão n n
como novo expoente de i.
onde 𝐾 ∈ Z(𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 )
Exemplo: i2013 = i1 = i (o expoente 1 de i, após a igualdade,
se dá pois 2013 dividido por 4 deixa igual a 1)
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)