Resumo de Estatística e Números complexos

1. Professor Cristiano Marcell
Colégio Pedro II b) Calcule o número de acidentes com vítimas ocorridos em
Unidade Realengo II - 2011 Campinas em 2002.
Lista de exercícios de Números Complexos
Noções básicas de estatística.
Prof. Cristiano Marcell Barras
Exemplo 1) Em dezembro de 2002, a Empresa Brasileira de
Noções de Básicas de Estatística Turismo (EMBRATUR) apresentou um relatório sobre o turismo
praticado em ambientes naturais conservados, que são aqueles que
A estatística é um ramo da matemática aplicada que tem têm garantida a proteção de seus recursos naturais originais.
por objetivo fornecer métodos para coleta, organização, resumo, Para a elaboração do relatório, foi feita uma pesquisa com
apresentação e análise dos dados, visando obtenção de conclusões freqüentadores de algumas dessas unidades de conservação. Após o
válidas e, finalmente, tomada de decisões. levantamento dos dados, construiu-se um gráfico referente aos
meios de informação que levaram os turistas a escolher um desses
População (ou universo) ambientes naturais conservados para a sua viagem de férias.
Conjunto de elementos com pelo menos uma característica
comum.
Amostra
Subconjunto finito de uma população.
Variável
Conjunto de resultados possíveis para um fenômeno.
Tipos de Variáveis
I. Qualitativa – quando for expressa por tipos ou atributos: sexo
(masculino ou feminino), cor dos olhos (azuis, castanhos, etc.),
qualidade de uma peça produzida (perfeita ou defeituosa).
Analisando o gráfico, pode-se dizer que
II. Quantitativa – quando for expressa em números. É importante a) mais da metade dos pesquisados obtiveram a informação por
notar que as variáveis quantitativas podem ser subdivididas em intermédio de amigos ou parentes.
discretas e contínuas. b) agências de viagens e revistas juntas tiveram, porcentualmente,
mais influência na decisão do que a Internet.
Variável contínua c) a influência de amigos e parentes é o triplo da influência de
publicações especializadas.
Pode assumir qualquer valor entre dois limites. d) menos de um quinto dos pesquisados obtiveram informações via
televisão.
Variável discreta e) a maioria dos pesquisados obtiveram a informação via Internet.
Assume valores pertencentes a um conjunto enumerável. Colunas
Gráficos Exemplo 1) (Enem) A escolaridade dos jogadores de futebol nos
grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa
Linha abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro
principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
Exemplo 1) (UNICAMP) O gráfico a seguir mostra o total de
acidentes de trânsito na cidade de Campinas e o total de acidentes
sem vítimas, por 10.000 veículos, no período entre 1997 e 2003.
Sabe-se que a frota da cidade de Campinas era composta por
500.000 veículos em 2003 e era 4% menor em 2002.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro
clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente:
a) 14%.
b) 48%.
c) 54%.
a) Calcule o número total de acidentes de trânsito ocorridos em d) 60%.
Campinas em 2003. e) 68%.
Os números governam o mundo. (Platão)

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Setor circular Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período
considerado,
Exemplo 1) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
realizada com 1 000 famílias com filhos em idade escolar: b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período.
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente.
d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e
16%.
e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido
entre 1988 e 1991.
2) (ENEM) A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em
contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando
uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta
de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode
ser utilizada para medir sua idade. O gráfico abaixo mostra como
varia a espessura da camada hidratada, em mícrons (1 mícron = 1
milésimo de milímetro) em função da idade da obsidiana.
Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas:
I) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas
famílias.
II) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de
500 dessas famílias.
Então, é CORRETO afirmar que
a) nenhuma das afirmativas é verdadeira.
b) apenas a afirmativa I é verdadeira.
c) apenas a afirmativa II é verdadeira.
d) ambas as afirmativas são verdadeiras.
Exemplo 2)(UFRJ) Dois estados produzem trigo e soja. Os gráficos
abaixo representam a produção relativa de grãos de cada um desses Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada
estados. hidratada de uma obsidiana
a) é diretamente proporcional à sua idade.
b) dobra a cada 10 000 anos.
c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem.
d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha.
e) a partir de 100 000 anos não aumenta mais.
3) Os resultados de uma pesquisa de opinião foram divulgados
utilizando um gráfico de setores circulares, como o representado na
figura abaixo.
a) A produção de trigo do estado A corresponde a que porcentagem
da produção de grãos do estado?
b) É possível afirmar, a partir dos gráficos, que a produção total de
trigo do estado A é maior do que a do estado B? Justifique sua
resposta.
Exercícios
1) (ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande
São Paulo, no período 1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE,
apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego. Ao setor a estão associadas 35% das respostas, ao setor b, 270
Médias Anuais da Taxa de Desemprego Total respostas e, aos setores c e d, um mesmo número de respostas. Esse
Grande São Paulo número é
1985 - 1996 a) 45.
b) 90.
c) 180.
16,0%
d) 450.
14,0% e) 900.
12,0% 4) (ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da
Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um
10,0%
político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A
8,0% Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II,
onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O
6,0%
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente,
200 novas linhas telefônicas.
Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE.
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6) (UENF) O gráfico a seguir representa o número de pacientes
Gráfico I atendidos mês a mês, em um ambulatório, durante o período de 6
meses de determinado ano.
a) Determine o número total de pacientes atendidos durante o
semestre.
b) Calcule a média mensal de pacientes atendidos no período
considerado.
7) (FUVEST) A distribuição das idades dos alunos de uma classe é
dada pelo seguinte gráfico:
nº de alunos.
23
Analisando os gráficos, pode-se concluir que 20
a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o
do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II
incorreto. 10
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I
incorreto. 5
d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos 2
decorre da escolha das diferentes escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas 16 17 18 19 20 idade (anos)
diferentes.
Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos
5) (UERJ) Às vésperas das eleições, verificou-se que todos os dois alunos?
mil eleitores pesquisados tinham pelo menos dois nomes em quem, a) 16 anos e 10 meses.
com certeza, iriam votar. b) 17 anos e 1 mês.
Nos quatro gráficos abaixo, o número de candidatos que cada eleitor c) 17 anos e 5 meses.
já escolheu está indicado no eixo horizontal e cada "carinha" d) 18 anos e 6 meses.
representa 100 eleitores. e) 19 anos e 2 meses.
8) (UERJ) Observe o demonstrativo do consumo de energia
elétrica:
Considere que o consumo médio, de agosto/98 a dezembro/98, foi
igual ao que ocorreu de janeiro/99 a abril/99. O consumo no mês de
abril de 99, em kWh, foi igual a:
a) 141
O gráfico que está de acordo com os dados da pesquisa é o de b) 151
número: c) 161
d) 171
a) I b) II c) III d) IV
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Classes de frequência, são simplesmente, intervalos de
9) (UERJ) Analise o gráfico e a tabela: variação. As classes serão representadas por i = 1, 2, 3, ..., k, onde k
é o número total de classes.
Limites de classe são os extremos de cada classe, e
teremos um limite inferior (li) e um limite superior (lf).
Amplitude (hi) é calculada pela subtração dos limites
superior e inferior da classe:
hi = lf - li
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre
o Limite superior máximo e o limite inferior mínimo:
AT = Lmax lmin
Para a determinação do número de classes de uma
distribuição, usamos a seguinte equação (regra de Sturges):
i ≈ 1 + 3,3 . log n
e para definirmos a amplitude do intervalo de classe usamos:
ℎ=
De acordo com esses dados, a razão entre o custo do consumo, por
km, dos carros a álcool e a gasolina é igual a: Exercícios
a) 4/7
1) Os resultados do lançamento de um dado 20 vezes foram:
b) 5/7
c) 7/8
6563435241
d) 7/10
4561312415
10) (ENEM) Um sistema de radar é programado para registrar
automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por
Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.
uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo
55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento
2) Observe a distribuição de frequência
estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da
distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade
aproximada. xi 3 4 5 6 7 8
fi 2 5 12 10 8 3
45 40
40 Determine:
Veículos (%)
35 a) As frequências relativas
30 30
25 b) As frequências acumuladas
20 c) As frequências relativas acumuladas
15 15
10 6 Medidas de tendência central
5 5 3 1
0 Indicam um ponto em torno do qual se concentram os
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados, ou
o “centro de gravidade” dos dados. Estudaremos a Média aritmética,
Velocidade (km/h) moda e mediana.
A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de:
Média Aritmética (x)
a) 35 km/h
b) 44 km/h Soma de todos os valores observados da variável dividida
c) 55 km/h pelo número total de observações. É a medida de tendência central
d) 76 km/h mais utilizada para representar a massa de dados.
e) 85 km/h
Moda (Mo)
Distribuição de freqüência
Valor que mais se repete em uma sequência de dados.Seu
Para descrevermos graficamente os dados coletados, nosso uso da moda é mais indicado quando se deseja obter, rapidamente,
primeiro passo é a determinação das frequências dos valores uma medida de tendência central.
existentes da variável.
Frequência simples (ou absoluta) é o número de vezes Uma série pode ser:
que um valor foi observado, e podemos obter, a partir de dados  Amodal: quando nenhum valor se repete;
brutos, uma tabela de distribuição de frequências.É representada por  Modal: quando um valor se repete;
f i.  Bimodal: quando dois valores se repetem;
 Trimodal: quando três valores se repetem;
Frequências relativas (fri) são o resultado da razão entre  Polimodal: quando mais do que três valores se repetem.
as frequências simples e a frequência total.
Mediana (Md)
=
∑ Valor que ocupa a posição central da série de observações
de uma variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais. Assim,
Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de 50% dos valores são maiores ou iguais ao valor da mediana e 50%
todos os valores inferiores ao limite superior de uma dada classe: dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana.
Fk = f1 + f2 + f3 + ... fk Se a quantidade de dados for ímpar, a mediana é
simplesmente o valor central, e se a quantidade de dados for par a
mediana será a média aritmética dos dois valores centrais.
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5. Professor Cristiano Marcell
8) As questões de Matemática do Concurso Vestibular da UFRGS
Exercícios de 2004 foram classificadas em categorias quanto ao índice de
facilidade, como mostra o gráfico de barras a seguir.
1) Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunos
da 5ª série. Calcule a média, a mediana e a moda, e classifique a
série conforme a moda.
Notas: 7,0 3,5 2,5 6,5 9,0 3,5
2) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram:
8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são
respectivamente:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
Se esta classificação fosse apresentada em um gráfico de setores
3) Um professor de matemática elaborou, através do computador, circulares, a cada categoria corresponderia um setor circular. O
um histograma das notas obtidas pela turma em uma prova cujo ângulo do maior desses setores mediria
valor era 5 pontos. Entretanto, o histograma ficou incompleto, pois a) 80°.
este professor esqueceu-se de fornecer o número de alunos que b) 120°.
obtiveram notas iguais a 2, 4 ou 5. Veja a ilustração a seguir. c) 157°.
d) 168°.
e) 172°.
9) O Curso de Turismo da "UniverCidade" realizou uma pesquisa
com 1.000 turistas estrangeiros que estavam na cidade do Rio de
Janeiro durante o período de Carnaval.
A moda dessas notas é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
A partir dos dados e supondo que em cada critério da
4) Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma avaliação do desfile os percentuais de homens e mulheres
nota foi alterada, passando a ser 7,5. Considerando-se que a média mantenham-se os mesmos que os apresentados no gráfico de setores,
da turma aumentou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era: pode-se afirmar que o número de mulheres que avaliaram o desfile
como bom foi
a) 7,6 d) 6,0 a) 400. b) 200. c) 100. d) 80. e) 40.
b) 7,0 e) 6,4
c) 7,4 10) Um professor de Física aplicou uma prova, valendo 100 pontos,
em seus 22 alunos e obteve, como resultado, a distribuição das notas
5) Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao custo total vista no quadro seguinte:
de fabricação dividido pela quantidade produzida.
Uma empresa fabrica bicicletas à um custo fixo mensal de R$ 90
000,00; entre peças e mão de obra, cada bicicleta custa R$ 150,00
para ser produzida. A capacidade máxima de produção mensal é de
1 200 unidades.
Qual o custo médio mensal mínimo por unidade?
6) A média aritmética dos elementos do conjunto {17, 8, 30, 21, 7,
x} supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjunto.
Se x é um número real entre 8 e 21 sendo diferente de17, então a
qual a média aritmética dos elementos desse conjunto?
7) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas,
tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente.
A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é
Faça os seguintes tratamentos de dados solicitados:
igual a
a) Determine a freqüência relativa da moda.
b) Esboce um gráfico com as freqüências absolutas de todas as
a) 1,70. b) 1,71.
notas.
c) 1,72. d) 1,73.
c) Determine a mediana dos valores da segunda linha do quadro
e) 1,74.
apresentado.
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6. Professor Cristiano Marcell
z1
Conjunto dos Números Complexos(Resumo teórico) II) para efetuar a divisão multiplicam-se ambos os termos pelo
z2
O conjunto dos números complexos representados por C
pode ser definido por: conjugado de z2 .
C  {z  a  bi | a, b  R e i 2  1} Forma Trigonométrica de um Complexo
Onde: Dado um número complexo z  a  bi , a sua representação
 a  parte real de z; no plano de Gauss, através de um ponto:
b  parte imaginária de z;

 `
 número real: todo complexo z tal que b  0;
 número imaginário puro: todo imaginário z tal

que a  0 e b  0.

Exemplo:
I )Calcule x para que z  (3  x )  5i seja imaginário puro. módulo de z: p  z  a 2  b 2
b
argumento de z: tg  ,
Igualdade de Números Complexos a
onde  é o arg umento.
Dois números complexos z1  a1  b1i e z2  a2  b2i são
iguais se, e somente se, O número complexo z  a  bi (forma algébrica) pode ser escrito
a1  a2 e b1  b2 na forma trigonométrica.
z  p.(cos   isen )
Operações com Números Complexos
Multiplicação
1.Adição
Sendo
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z1  p1 (cos 1  isen1 ) e z2  p2 (cos 2  isen2 ) , o produto
2.Subtração de z1.z 2 é dado por:
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i z1.z2  p1. p2 [cos(1  2 )  i.sen(1  2 )]
3. Multiplicação
Divisão
Sendo
Sabendo –se que i2 = – 1. z1  p1 (cos 1  isen1 ) e z2  p2 (cos 2  isen 2 ) , a divisão
Logo, z1
é dada por:
z2
Agrupando os termos semelhantes, obtemos:
z1 p1
 .[cos(1  2 )  i.sen(1  2 )]
z2 p2
4.Divisão
Para a realização da divisão de dois números complexos é Potenciação: Forma Trigonométrica
necessário introduzir o conceito de conjugado de um número
complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é z̅ = a - bi. Agora Sendo
podemos definir a operação de divisão para números complexos. z  p (cos   i.sen ) e n  Z , então:
z n  p n .[cos(n. )  i.sen(n. )]
Exercícios
Conjugado de um Número Complexo
1) Prove que (1  i) 2  2i . Aproveitando o resultado anterior,
Dado um número complexo z  a  bi , chama-se 20
conjugado de z ao complexo z tal que: calcule (1  i ) .
z  a  bi 2
 
2) (PUC)  2 (1  i )  é igual a:
Módulo de um Número Complexo  
 2 
a) 1 b) -1
c) i d) -i e) 0
z  a2  b2 3) (UNIRIO) Se 2i
 a  bi , onde i  1 , então o valor de
1 i
Observações
a  b é igual a:
a) 1 b) 1/2 c) 2 d) -1 e) 3/2
I) para um número complexo z  a  bi , em que a, b  R , tem-se:
z  z  R e z.z  R 4) (UFRRJ) Calcule o complexo z sabendo que 2 z  3i z  2  4i .
Os números governam o mundo. (Platão)

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30
5) (PUC) Calcule  1  i  . a) 2 + i. b) 2 - i. c) 1 - 2i.
 
 1 i  d) -1 + 2i. e) - 2 - i.
6) (UFRJ) As raízes da equação x 2  4 x  8  0 são números 18)
complexos que representados no plano, têm afixos A e B.
a) Mostre que 2  2i é uma das raízes dessa equação.
b) Determine a medida do menor ângulo AÔB, onde O representa
origem.
7) Escreva na forma trigonométrica os números:
a) z  1  i
b) z  8
c) z   1  3 i
2 2
8) Escreva na forma algébrica os números:
a) z  8.cis 45º
b) z  10.cis 330º
9) (UFRJ) z é um número complexo tal que z 7  1, z  1 .
2
Calcule 1  z  z  z3  z 4  z5  z 6 .
10)(UERJ) Um matemático, observando um vitral com o desenho
de um polígono inscrito em um círculo, verificou que os vértices
desse polígono poderiam ser representados pelas raízes cúbicas
complexas do número 8.
A área do polígono observado pelo matemático equivale a:
a) √3
b) 2√3
c) 3√3
d) 4√3
11) (UFRRJ) Dado o complexo z  cos     i.sen    , calcule
   
 16   16 
z12 , e dê o resultado na forma algébrica.
12) (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as
extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos
números complexos z e w a seguir: z = α [cos(π/2) + isen(π /2)], w =
z2, sendo ‘ um número real fixo, 0 < α < 1.
Determine a hora do jantar.
13) (UFF) Determine as raízes quartas do número complexo
z  8  8 3i .
14) (UFRRJ) João deseja encontrar o argumento do complexo z =
√3 + i. O valor correto encontrado por João é
a) π /6 b) π /4 c) π /3 d) π /2 e) 2 π /3
15) Calcule o valor de 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 +...+i98 + i99 + i 100.
16) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O
valor da expressão (i + 1)8 é:
a) 32i b) 32 c) 16 d) 16i
17) Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss são
números complexos, sendo três deles 1 + 2i, - 2 + i e -1 - 2i. O
quarto vértice do quadrado é o número complexo
Os números governam o mundo. (Platão)