1. Puntos, rectas y planos en el espacio
Espacio afín
• Vectores en el espacio
• Espacio afín
• Ecuaciones de la recta
• Ecuaciones del plano
• Posiciones relativas de rectas y planos
• Haz de rectas y planos
• Posiciones relativas de rectas y planos con
esfera
2. Vectores en el espacio
Dados dos puntos en el espacio A y B, se define vector fijo AB al segmento
orientado de origen el punto A y de extremo B
El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos.El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos.
La dirección de un vector es la recta que lo contiene.La dirección de un vector es la recta que lo contiene.
El sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremoEl sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremo
Dos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen elDos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen el
mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectoresmismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores
equipolentes se puede representar por un único vector u, llamadoequipolentes se puede representar por un único vector u, llamado
VECTOR LIBRE.VECTOR LIBRE.
El conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por VEl conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por V33
Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).figura de CABRI).
3. SUMA GRÁFICAS DE VECTORES
VECTOR SUMA u + v de los VECTOR u= AB y v = CD.
Si el vector BE es EQUIVALENTE al VECTOR CD.
El VECTOR SUMA será el VECTOR AE.
Ver SUMA DE VECTORES en el plano (Ver SUMA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
AA
E DE D
B CB C
O si el vector AF es EQUIVALENTE al VECTOR CD. Y E es el punto del
espacio, tal que los puntos A, B, F, E, son los vértices de un paralelogramo
El VECTOR SUMA será el VECTOR de la diagonal AE (regla del
PARALELOGRAMO).
FF
AA
E DE D
B CB C
4. VECTOR OPUESTO. DIFERENCIA GRÁFICA DE VECTORES
El VECTOR OPUESTO – u al VECTOR u = AB es el VECTOR
EQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - u = - AB
Ver RESTA DE VECTORES en el plano (Ver RESTA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
El VECTOR RESTA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma
de los VECTORES AB y – CD.
A CA C
B DB D
5. PRODUCTO GRÁFICO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.
El VECTOR PRODUCTO r u de un número r por el VECTOR u = AB es el
VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos
A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB.
Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
EE
BB
AA
VECTOR AE = 5. AB = 5.uVECTOR AE = 5. AB = 5.u
6. Así por ejemplo el vector u , es combinación lineal de uAsí por ejemplo el vector u , es combinación lineal de u11, u, u22 y uy u33, puesto que:, puesto que:
- 2 u- 2 u11 + 3 u+ 3 u22 + u+ u33 = u= u
Un conjunto de vectores, uUn conjunto de vectores, u11, u, u22 , … , u, … , unn, linealmente independientes, si la única combinación lineal nula es la trivial, es decir Si k, linealmente independientes, si la única combinación lineal nula es la trivial, es decir Si k11. u. u11
+ k+ k22 . u. u22 + … + k+ … + knn . u. unn = 0 implica que k= 0 implica que k11 = k= k22 = … = k= … = k nn = 0. En otro caso decimos que son dependientes= 0. En otro caso decimos que son dependientes
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.
Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede
obtener utilizando la suma, resta o producto de un real por un vector, con dichos
vectores.
Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
7. BASES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO. COORDENADAS DE VECTORES.
Dados tres vectores u, v y w no coplanarios ni nulos. Cualquier vector z, se
puede poner como combinación lineal de los tres vectores u, v y w .
Una BASE { u , v, w } de los vectores del espacio está formada por tres
vectores no coplanarias, ni nulos.
Si { u, v, w } es una BASE. Dado un vector z, si a, b, c son dos números
reales, tales que: z = a u + b v + c w. Decimos que (a, b, c) son las
coordenadas de z, respecto de la BASE { u, v, w }
8. Así por ejemplo el vector u , respecto de la base { uAsí por ejemplo el vector u , respecto de la base { u11, u, u22 y uy u33 } tiene de coordenadas:} tiene de coordenadas:
(-2,3,1)(-2,3,1)
Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
9. OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES.
Fijada una BASE ( u, v, w ). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y
norma 1).
Entonces, si (a, b, c) y (d, e, f) son las coordenadas de los vectores p y q
respectivamente, es decir:
p = (a ,b, c) y q = (d, e, f )
Si r es un número real entonces:
p + q = ( a + d , b + e, c + g )
p - q = ( a - d , b - e, c – g )
r. p = ( r.a , r.b, r.c )
r. q = ( r.d , r.e, r.f )
VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (excel)excel)
Operaciones con vectores
Vector Coordenadas
u = ( 1,00 , 0,00 , 0,00 )
v = ( 0,00 , 1,00 , 0,00 )
Operaciones
u + v = ( 1,00 , 1,00 , 0,00 )
u - v = ( 1,00 , -1,00 , 0,00 )
1,00 x v = ( 1,00 , 0,00 , 0,00 )
1,00 x v = ( 0,00 , 1,00 , 0,00 )
HAZ DOBLE CLIC
13. SISTEMA DE REFERENCIA DEL PLANO CARTESIANO.
Fijada una BASE (u, v, w). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y
norma 1), y un punto en el plano O, al conjunto {O, u, v, w}, lo denominamos
SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO.
Además, para cualquier punto P del plano, el vector r = OP, se denomina
VECTOR DE POSICIÓN del punto P. Si P = (a, b, c) ) , OP = ( a , b, c)
Para cada punto P y cada vector r, existe un único punto Q, tal que r = PQ.
Si P = (a, b, c) y Q = (d, e, f). Se cumplirá:
PQ = OQ – OP = (d, e, f) – (a, b, c) = (d – a , e – b, f – c) )
VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (figura de CABRI)figura de CABRI)
Coordenadas del
Punto P
Coordenadas del Vector OP
16. Rectas en el espacio
Una recta r en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y un
vector no nulo v =(v1,v2,v3) , denominado vector director de la recta r = r(A,v)
,OP OA AP OP OA vλ λ= + ⇒ = + ∈
uuur uuur uuur uuur uuur r
¡
La ecuación vectorial de r es
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 1
1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
, , , , , ,
x a v x a b a
x y z a a a v v v y a v y a b a
z a v z a b a
λ λ
λ λ λ λ
λ λ
= + × = + × −
= + ≈ = + × ⇒ = + × − ∈
= + × = + × −
¡
La ecuación paramétrica de r es
=(x,y,z)
Si v = AB, la recta r = r(A,AB) viene determinado
por dos puntos A(a1,a2,a3) y B(a1,a2,a3)
3 31 2 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3
z a z ax a y a x a y a
v v v b a b a b a
− −− − − −
= = ≈ = =
− − − La ecuación continua de r es
2 1 1 2 2 1
3 2 2 3 3 2
0
0
v x v y a v a v
v y v z a v a v
× − × − × + × =
× − × − × + × =
La ecuación general de r es
21. Rectas en el espacio
Ejemplo.- Dada la recta (x,y,z) = (-3,1,5) + λ.(2,-1,0), averigua si A=A(-5,2,5)
y B=B(1,-2,5) son puntos de la recta
(-5,2,5) = (-3,1,5) + λ.(2,-1,0) ⇒ λ=0
(1,2,5) = (-3,1,5) + λ.(2,-1,0) ⇒ λ no existe
Luego A si es un punto de la recta y B no lo es.
3 3
2 3
x
y
z
λ
λ λ
λ
= −
= − × ∈
= + ×
¡
Ejemplo.- Dados los puntos A = A(0,3,2) y B = B(-1,0,5), escribir las
ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dichos puntos
Como un vector director de la recta es AB = (-1,-3,3) y pasa por A(0,3,2)
será
22. Rectas en el espacio
1 1
2 3 2
2 1
Rango
−
÷
− = ÷
÷
Ejemplo.- Determinar si los puntos A = A(1,1,-1), B = B(0,3,1) y C = C(2,-2,0)
están alineados
Como AB = (-1,2,2) y AC = (1,-3,1) y el rango (AB,AC) es =
1 1 2
2 3 1
x y z− + −
= =
− −
Ejemplo.- Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por A(1,-1,2) y
que tiene dirección perpendicular a los vectores u = (0,1,3) y v = (1,1,1)
Dado que un vector perpendicular a u y a v es w = (-2,3,-1), la ecuación
es
Y Los puntos A, B y C no están alineados
23. El plano
Una plano π en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y dos
vectores no nulos e independientes u = (u1,u2,u3) y v =(v1,v2,v3) , denominados
vectores directores del plano π = π(A, u, v )
=(x,y,z)
Si u = AB, v =AC, el plano π = π(A,AB,AC) viene determinado por tres puntos A(a1,a2,a3),
B(a1,a2,a3) y C(c1,c2,c3)
24. El plano
,OP OA AP OP OA u vλ µ λ= + ⇒ = + + ∈
uuur uuur uuur uuur uuur r r
¡
La ecuación vectorial de π es
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
, , , , , , , ,
,
x y z a a a u u u v v v
x a u v x a b a c a
y a u v y a b a c a
z a u v z a b a c a
λ µ
λ µ λ µ
λ µ λ µ λ µ
λ µ λ µ
= + +
= + × + × = + × − + × −
≈ = + × + × ⇒ = + × − + × − ∈
= + × + × = + × − + × −
¡
Las ecuaciones paramétrica de π son
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0 0, , , ,
x a u v
y a u v A x B y C z D A B C D
z a u v
−
− = ⇒ × + × + × + = ∈
−
¡
La ecuación general de π es
30. El plano
31 1
2 2
3 3
3 1 3 0 3 0
2 2
2 2 3
x
y x z
z
−
− − − = ⇒ × − × + =
−
Dado un punto A(1/2,3,2) y la recta (x,y,z) = (2+λ,-λ,5+λ) con λ ∈ ℝ. Hallar la
ecuación general del plano que contiene a ambos.
Como podemos tomar como puntos del plano A(1/2,3,2) y B(2,0,5), y como vectores
directores u = (1,-1,1) y v = AB = (3/2,-3,3), la ecuación general será
( )
1 5 3
Como R , , R 1 2 4 2 A, B y C son coplanarios
9 2 8
ango OA OB OC ango
−
÷
= − − = ⇒ ÷
÷−
uuur uuur uuur
Ejemplo.- Averiguar si los puntos O(0,0,0), A(1,-1,3), B(5,2,-2) y C(-3.-4,8) son
coplanarios
( ) ( ) ( )Tomando 0,0,0 , 1,0,0 , 0,0,1 , La ecuación del plano será
1 0
0 0 0 0 0, 0
0 1
O i j
x
y y y
z
= =
= ⇒ − = ⇒ =
r r
Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ
31. ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.
32. ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.
35. Posiciones relativas de dos rectas
Dos rectas
r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ . (u1,u2,u3)
s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) + λ . (v1,v2,v3); λ ∈ℝ
en el espacio pueden ser:
COPLANARIAS PARALELAS ( o coincidentes)
COPLANARIAS SECANTES
NO COPLANARIAS (se cruzan)
36. Posiciones relativas de dos rectas
Si las rectas
r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ . (u1,u2,u3)
s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) + λ . (v1,v2,v3); λ ∈ ℝ
tienen vectores u y v no proporcionales (es decir no paralelos), entonces,
dependiendo de que r y s, sean coplanarios o no, serán coincidentes en un punto
o se cruzarán. Para ello, podemos tomar dos puntos cualesquiera Pr de la recta r
y Ps de la recta s, y se cumplirá
Si Rango (u,v,PrPs) = 3, las rectas r y s se cruzan
Si Rango (u,v,PrPs) = 2, las rectas r y s se cortan en un punto
Ejemplo.- Determinar la posición relativa de las rectas 2 4 5
:
3 2 1
4 5
:
2 4 1
x y z
r
x y z
s
− + −
= =
− −
− +
= =
Como u y v no son proporcionales, tomando
PrPs = (0-2,4-(-4),(-5)-5) = (-2,8,-10)
3 2 1
2 4 1 78 0
1 4 5
− −
= ≠
− −
Los vectores no son coplanarios, y por tanto
se cruzan
37. Posiciones relativas de dos rectas.
Dadas dos rectas r y s, determinada por la intersección de planos, es decir
π : A x + B y + C z + D = 0 π’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
r : s :
π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 π’’’ : A’’’ x + B’’’ y + C’’’ z + D’’’ = 0
Denominando
*' ' ' ' ' ' '
;
'' '' '' '' '' '' ''
''' ''' ''' ''' ''' ''' '''
A B C A B C D
A B C A B C D
M M
A B C A B C D
A B C A B C D
÷ ÷
÷ ÷= =
÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
Pueden representarse las siguientes posibilidades que se recogen en la
siguiente tabla
Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 4
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
Compatible determinado:
RECTAS COINCIDENTES
Incompatible:
RECTAS PARALELAS
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR Compatible determinado:
RECTAS SECANTES
Incompatible:
LAS RECTAS SE
CRUZAN
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
Rango(M)=1Rango(M)=2Rango(M)=3Rango(M)=4
38. Posiciones relativas de dos rectas. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas
3 2 4 3 4 3 5 3 0
: :
5 1 2 3 5 9
x y z x y z
r s
x y z x y z
− + = − + + =
− + + = − − + + =
Las rectas r y s son coincidentes.
Como se cumple
3 2 4 3 2 4 3
1 1 1 1 1 1 6
2
4 3 5 4 3 5 3
2 1 3 2 1 3 9
Rango Rango
− −
÷ ÷
− − − ÷ ÷= =
÷ ÷− − −
÷ ÷ ÷ ÷− −
39. Posiciones relativas de recta y plano
Dada un plano π y una recta r
π: A x + B y + C z = D
A’ x + B’ y + C’ z = D’
r :
A’’ x + B’’ y + C’’ z = D’’
Pueden ser
SECANTES
PARALELOS
LA RECTA CONTENIDA EN EL PLANO
40. Posiciones relativas de una recta y un plano
Para estudiar las soluciones del sistema de un plano y una recta
π : A x + B y + C z + D = 0
r : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
: A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
Denominando:
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
*
' ' ' y ' ' ' '
'' '' '' '' '' '' ''
A B C A B C D
M A B C M A B C D
A B C A B C D
÷ ÷
= = ÷ ÷
÷ ÷
Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
Compatible indeterminado;
RECTA CONTENIDA EN EL
PLANO
Incompatible:
RECTA PARALELA AL PLANO
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
Sistema compatible
determinado:
RECTA Y PLANO INCIDENTES
Rango(M)=1Rango(M)=2Rango(M)=3
41. Posiciones relativas una recta y un plano. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de la recta y el plano
r : 3 x + 2 y – 7 z – 6 = 0
: x + y – z – 4 = 0
π : 3 x – y + z – 8 = 0
Como se cumple
3 2 7 3 2 7 6
1 1 1 3 1 1 1 4
3 1 1 3 1 1 8
Rango Rango
− −
÷ ÷
− = = − ÷ ÷
÷ ÷− −
El sistema es compatible, y la recta y el plano son incidentes.
Resolviendo el sistema, se obtiene el punto de corte P(3,2,1)
42. Posiciones relativas de una recta y un plano.
Si la recta viene dada en forma paramétrica o continua, se puede expresar
previamente como dos planos o bien puede procederse sustituyendo.
Es decir, sea la recta y el plano
1 1
2 2
3 3
: : 0
x a u
r y a u Ax By Cz D
z a u
λ
λ π
λ
= + ×
= + × + + + =
= + ×
Se sustituye ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 0A a u B a u C a u Dλ λ λ× + × + × + × + × + × + =
Si de la ecuación, se obtiene un valor λ, son incidentes y el punto de
intersección se obtiene sustituyendo el valor λ en las ecuaciones
paramétricas de la recta.
Si de la ecuación se obtiene una identidad falsa, la recta y el plano son
paralelas.
si de la ecuación se obtiene la identidad trivial (0. λ =0), la recta está
contenida en el plano
43. Posiciones relativas de una recta y un plano.
Ejemplo.- Sea la recta y el plano.
1
2
3
2 7
: 4 2 :3 3 5 12 0
3 3
x u
r y u x y z
z u
π
= − ×
= + × + − + =
= − ×
Sustituyendo
( ) ( ) ( )3 2 7 3 4 2 5 5 3 12 0 0 15λ λ λ λ× − × + × + × − × − × + = ⇒ × = −
Luego la recta y el plano son paralelos
46. Posiciones relativas de dos planos
Dos planos
π : A x + B y + C z + D = 0
π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
en el espacio pueden ser PARALELOS, SECANTES o COINCIDENTES.
47. Posiciones relativas de dos planos
Para estudiar las soluciones del sistema de planos
π : A x + B y + C z + D = 0
π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
Denominando:
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
*
y
' ' ' ' ' ' '
A B C A B C D
M M
A B C A B C D
= = ÷ ÷
Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2
Sistema compatible
indeterminado:
PLANOS COINCIDENTES
Sistema incompatible:
PLANOS PARALELOS
NO SE PUEDE CUMPLIR
Sistema compatible determinado:
PLANOS SECANTES
(se cortan en una recta)
Rango(M)=1Rango(M)=2
48. Posiciones relativas de dos planos. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos
π : 3 x - 2 y + 4 z - 1 = 0
π’ : - 6 x + 4 y -8 z + 7 = 0
Como se cumple
3 2 4 3 2 4 1
1 2
6 4 8 6 4 8 7
Rango Rango
− − −
= < = ÷ ÷
− − − −
Los planos son paralelos
49. Posiciones relativas de tres planos
Tres planos
π : A x + B y + C z + D = 0
π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
π’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
en el espacio pueden ser:
Los tres PARALELOS (o coincidentes)
Dos PARALELOS y el tercero COINCIDENTE a ambos (en dos rectas
paralelas)
COINCIDENTES dos a dos (en tres rectas)
COINCIDENTES en una recta.
COINCIDENTES en un punto
50. Posiciones relativas de tres planos
Para estudiar las soluciones del sistema de planos
π : A x + B y + C z + D = 0
π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
π’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
Denominando:
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
*
' ' ' y ' ' ' '
'' '' '' '' '' '' ''
A B C A B C D
M A B C M A B C D
A B C A B C D
÷ ÷
= = ÷ ÷
÷ ÷
Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3
Sistema compatible
indeterminado:
PLANOS COINCIDENTES
Incompatible:
PLANOS PARALELOS
DISTINTOS ó PLANOS
PARALELOS CON DOS
COINCIDENTES
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
Compatible indeterminado;
PLANOS COINCIDENTES EN
UNA RECTA
Incompatible:
PANOS SECANTES DOS A DOS
ó DOS PARALELOS Y EL
TERCERO SECANTE
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
Sistema compatible
determinado:
PLANOS SECANTES EN UN
PUNTO
Rango(M)=1Rango(M)=2Rango(M)=3
51. Posiciones relativas de tres planos. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos
π : x + y + z = 2
π’ : 3 x + 2 y – z = 2
π’’ : 4 x + 3 y = 2
Como se cumple
1 1 1 1 1 1 2
3 2 1 2 3 2 1 2 3
4 3 0 4 3 0 2
Rango Rango
÷ ÷
− = < − = ÷ ÷
÷ ÷
El sistema es incompatible, y los planos pueden ser dos paralelos y el
tercero secante o coincidentes dos a dos (forma prismática). Que
observando, que no son proporcionales los coeficientes de los planos, se
deduce que se cortan en forma prismática.
