20081005 auctions nikolenko_lecture02

Òåîðèÿ èãð: ïðèìåðû
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ
Ìåõàíèçìû

Íåñêîëüêî ïðèìåðîâ è îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

Ñåðãåé Íèêîëåíêî

Òåîðèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ìåõàíèçìîâ " ÈÒÌÎD âåñíà PHHV

Ñåðãåé Íèêîëåíêî Íåñêîëüêî ïðèìåðîâ è îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

Äèëåììà è òðàãåäèÿ
Ïðîêëÿòèå è äâà ïàðàäîêñà
Ìåõàíèçìû

Outline

1 Òåîðèÿ èãðX ïðèìåðû

2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ
ÀãåíòûD ñòðàòåãèèD ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè
Âîñïîìèíàíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ
Àóêöèîí Âèêðè

3 Ìåõàíèçìû
Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà è ìåõàíèçìû
Îïòèìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî
Ïðåäïîëîæåíèÿ îá àãåíòàõ


Ìåõàíèçìû

Äèëåììà çàêëþ÷¼ííîãî: îïèñàíèå

Íà÷í¼ì ñ íåñêîëüêèõ ÿðêèõ ïðèìåðîâD íà êîòîðûõ áóäåò
âèäíîD ÷òî âñ¼ ýòî íåñïðîñòàF
Äèëåììà çàêëþ÷¼ííîãî @prisoner9s dilemm—A "
êëàññè÷åñêèé ïðèìåð èç òåîðèè èãðF
äâîèì çàêëþ÷¼ííûì ïðåäëàãàþò ïðèçíàòüñÿ â
ïðåñòóïëåíèè è çàëîæèòü ñâîåãî ñîîáùíèêà;
ðåàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ ó îáâèíåíèÿ íåò, ïîýòîìó, åñëè îáà
ïðîìîë÷àò, òî îáà îòñèäÿò ïî ïîëãîäà çà äðóãèå ãðåøêè;
åñëè îáà ïðèçíàþòñÿ, îáîèì çà ïðèìåðíîå ïîâåäåíèå äàäóò
ïî äâà ãîäà;
à åñëè îäèí ïðèçíàåòñÿ, à äðóãîé íåò, òî ïðèçíàâøåãîñÿ çà
ñîòðóäíè÷åñòâî îòïóñòÿò, à óïîðñòâóþùåìó âïàÿþò ïî
ïîëíîé, ëåò äåñÿòü;
äåðæàòü ñâÿçü çàêëþ÷¼ííûå íå ìîãóò; ÷òî äåëàòü êàæäîìó
èç íèõ?


Ìåõàíèçìû

Äèëåììà çàêëþ÷¼ííîãî: ìàòðèöà

Âîò êàêàÿ ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà âîçìîæíûõ ñòðàòåãèéX
Ïðîìîë÷àòü Ñîçíàòüñÿ
Ïðîìîë÷àòü (H.S, H.S) (IH, H)
Ñîçíàòüñÿ (H, IH) (P, P)
Âíå çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ïåðâîãî çàêëþ÷¼ííîãîD
âòîðîìó â ëþáîì ñëó÷àå âûãîäíåå ïðèçíàòüñÿ3
Ïîëó÷àåòñÿD ÷òî äëÿ êàæäîãî èç íèõ ¾Ñîçíàòüñÿ¿ "
äîìèíàíòíàÿ ñòðàòåãèÿD è â ðåçóëüòàòå îíè áóäóò ñèäåòü ïî
P ãîäàD à íå ïî H.SF


Ìåõàíèçìû

Ðåàëüíûé ïðèìåð

Äâå ôèðìû ïðîèçâîäÿò îäèí è òîò æå ïðîäóêò @äðóãèõ
ôèðì íà ðûíêå ýòîãî ïðîäóêòà íåòAF
Åñëè ðåêëàìû íå áóäåò âîîáùåD ó íèõ áóäåò îäíî
ðàñïðåäåëåíèå äîõîäîâF
Åñëè îíè îáå áóäóò àêòèâíî ðåêëàìèðîâàòüñÿD òî ðåêëàìà
¾âçàèìíî ñîêðàòèòñÿ¿D è îòíîñèòåëüíîå ïîòðåáëåíèå èõ
ïðîäóêòîâ íå èçìåíèòñÿD à äåíüãè íà ðåêëàìó áóäóò
ïîòðà÷åíûF
Íî åñëè îäíà ôèðìà íå áóäåò ðåêëàìèðîâàòüñÿD à âòîðàÿ
áóäåòD òî òàD ÷òî áóäåòD ïîëó÷èò áîëüøóþ ïðèáûëü îò ðåçêî
óâåëè÷èâøåéñÿ äîëè ðûíêàF
Âîò ñîâåðøåííî æèçíåííûé ïðèìåðD â êîòîðîì ðåàëüíî
âîçíèêàåò èìåííî äèëåììà çàêëþ÷¼ííîãîF

Ìåõàíèçìû

Òðàãåäèÿ îáùèí

ÏðèìåðD èçâåñòíûé åù¼ èç Ôóêèäèäà è ÀðèñòîòåëÿF
Îí âîçíèêàåòD êîãäà ó íåñêîëüêèõ èãðîêîâ íà ðûíêå åñòü
íåêèé îáùèé ðåñóðñF
Âûãîäû îò åãî èñïîëüçîâàíèÿ èíäèâèäóàëüíûD à çàòðàòû
íà èñïîëüçîâàíèå îáùèåD ïîýòîìó âñå ïûòàþòñÿ
ìàêñèìèçèðîâàòü ñâî¼ ñîáñòâåííîå èñïîëüçîâàíèå ðåñóðñàD
è îí èñòîùàåòñÿF


Ìåõàíèçìû

Òðàãåäèÿ îáùèí

Êëàññè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêàX íà ïàñòáèùå ïàñóò îâåö
íåñêîëüêî ìåñòíûõ îâöåâîäîâF
Ïàñòáèùå îáùåå è áåñïëàòíîåD à êàæäàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ
îâöà ïðèíîñèò îâöåâîäó ïðèáûëüF
Ïîýòîìó âñå íà÷èíàþò ðàçâîäèòü âñ¼ áîëüøå è áîëüøå
îâåöD è ïàñòáèùå îêîí÷àòåëüíî âûòàïòûâàåòñÿF
Îäíàêî ïðè ýòîì êàæäûé îâöåâîä ïîëíîñòüþ ðàöèîíàëåíD
ïîòîìó ÷òî äëÿ íåãî ëè÷íî îäíà äîïîëíèòåëüíàÿ îâöà
çíà÷èò ãîðàçäî áîëüøåD ÷åì äîïîëíèòåëüíûé óùåðá
ïàñòáèùó îò îäíîé îâöûF


Ìåõàíèçìû

Ðåøåíèå?

Òàêèå ïðèìåðû âîçíèêàþò âñ¼ âðåìÿD ãäå åñòü îáùèå
ðåñóðñûD êîòîðûå òðóäíî ðàçäåëèòüX â çàãðÿçíåíèè
îêðóæàþùåé ñðåäûD èñïîëüçîâàíèè âîäû è âîçäóõàD
âûðóáêå ëåñîâD îõîòåD ðûáîëîâñòâåFFF
Ðåøåíèå ìîæåò çàêëþ÷àòüñÿ òîëüêî â òîìD ÷òîáû
ïîñòðîèòü íåêèé îáùåñòâåííûé ìåõàíèçì @ïðè ïîìîùè
ãîñóäàðñòâàAD íàïðèìåð ìåõàíèçì íàëîãîîáëîæåíèÿ èëè
êâîòèðîâàíèÿD ïðè êîòîðîì îáùèé ðåñóðñ íå èñòîùèòñÿF
Êàê ñäåëàòü ýòî ìàêñèìàëüíî ýôôåêòèâíîc Ýòî ïðåäìåò
òåîðèè ìåõàíèçìîâF


Ìåõàíèçìû

Ïàðàäîêñ äîëëàðà: ïîñòàíîâêà

Ýòî ïðèìåð òîãîD ê ÷åìó ìîæåò ïðèâåñòè äèçàéí õèòðûõ
ìåõàíèçìîâF
Ðàññìîòðèì òàêîé àóêöèîíX ëîò " îäèí äîëëàðD ó÷àñòíèêè
ìîãóò ïåðåáèâàòü öåíû äðóã äðóãàD äàâøèé ìàêñèìàëüíóþ
öåíó ïëàòèò å¼ è ïîëó÷àåò äîëëàðF
Íî ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíûå îáúÿâëåííûå öåíû äîëæíû
áóäóò óïëàòèòü âñå ó÷àñòíèêè àóêöèîíàD à íå òîëüêî
ïîáåäèòåëüF


Ìåõàíèçìû

Ïàðàäîêñ äîëëàðà: ÷òî áóäåò ñ ðàöèîíàëüíûìè
ó÷àñòíèêàìè

Ïåðâûé ó÷àñòíèêD æåëàÿ çàðàáîòàòü WW öåíòîâD îáúÿâëÿåò
öåíó â îäèí öåíòF
Âòîðîé ïåðåáèâàåò å¼ äâóìÿ öåíòàìèD òðåòèé " òðåìÿFFF
Òóò ïåðâûé ðåøàåòD ÷òî çàðàáîòàòü WT öåíòîâ êóäà ëó÷øåD
÷åì ïîòåðÿòü îäèíD è îáúÿâëÿåò öåíó â R öåíòàF
È òàê äàëååY ïîêà âñ¼ íîðìàëüíîFFF


Ìåõàíèçìû

Ïàðàäîêñ äîëëàðà: áåññëàâíîå çàâåðøåíèå

Ðàíî èëè ïîçäíî öåíà äîñòèãíåò WV öåíòîâ @ïóñòü òàêóþ
öåíó äàë ïåðâûé ó÷àñòíèêAF
Âòîðîé ó÷àñòíèêD æåëàÿ çàðàáîòàòü öåíòD äà¼ò öåíó â WW
öåíòîâF
Íî äëÿ ïåðâîãî äàæå îñòàòüñÿ â íóëå ãîðàçäî ëó÷øåD ÷åì
ïîòåðÿòü òå WVD êîòîðûå îí óæå îáúÿâëÿë3
È îí ñòàâèò IHH öåíòîâ çà äîëëàðF À âòîðîéFFF ñòàâèò IHIF


Ìåõàíèçìû

×òî ïðîèçîøëî?

Àäåêâàòíîãî ðåøåíèÿ ó ýòîãî ïàðàäîêñà íåòY ñîáñòâåííîD è
¾ïàðàäîêñà¿ íåòD ó èãðû íåò ðàâíîâåñèÿD è èãðîêè ìîãóò â
êîíöå êîíöîâ îòäàòü õèòðîìó àóêöèîíåðó âñå ñâîè äåíüãèF
Ñ äðóãîé ñòîðîíûD êîíå÷íîD ¾ðàöèîíàëüíîñòü¿ èãðîêîâ â
ýòîì àóêöèîíå òîæå ïîä âîïðîñîìX êîãäà èãðîê ðåøàåòD ÷òî
âûãîäíåå " ïîòåðÿòü WV öåíòîâ èëè ïîëó÷èòü äîëëàð çà
IHH öåíòîâD âòîðàÿ àëüòåðíàòèâà íå ðàâíà íóëþD à äîëæíà
ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå âåðîÿòíîñòü òîãîD ÷òî åãî
îïïîíåíò íå îñòàíîâèòñÿ è ñäåëàåò íîâóþ ñòàâêóFFF
îæèäàíèå âûèãðûøà ñîñòàâëÿåò áåñêîíå÷íûé
ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä ïîòåðüF


Ìåõàíèçìû

Winner's curse

Äàâàéòå ðàññìîòðèì òàêóþ ïðîñòóþ ñèòóàöèþX åñòü
àóêöèîíD åñòü òîâàðD ó êàæäîãî ó÷àñòíèêà ñâî¼ ìíåíèå î
öåííîñòè òîâàðàF
Ó÷àñòíèêè äåëàþò ñòàâêèD èñõîäÿ èç ñâîèõ ïîíÿòèé î
öåííîñòèF
Âûèãðûâàåò òîòD êòî ñäåëàë ñàìóþ áîëüøóþ ñòàâêóF
Â ýòîé ñèòóàöèè ìû áóäåì íàõîäèòüñÿ âñ¼ âðåìÿF


Ìåõàíèçìû

Winner's curse

Äàâàéòå ïðåäïîëîæèìD ÷òî ìíåíèÿ ó÷àñòíèêîâ
ðàñïðåäåëåíû áîëååEìåíåå íîðìàëüíî âîêðóã èñòèííîé
ñòîèìîñòè @òFåF òî÷íî å¼ ó÷àñòíèêè íå çíàþòD åñòü
îòêëîíåíèÿ è â ïëþñD è â ìèíóñAF
Ýòî íîðìàëüíàÿ ñèòóàöèÿ äëÿD íàïðèìåðD àóêöèîíîâ íà
ó÷àñòêèD ñ êîòîðûõ ìîæíî ïîòîì êà÷àòü íåôòüX
èíôîðìàöèÿ î êîëè÷åñòâå íåôòè îáùåäîñòóïíàD íî
íåòî÷íàF
ÒîãäàD ïîíÿòíîå äåëîD îòêëîíåíèÿ îò íàñòîÿùåé öåíû
áóäóò è â ïëþñD è â ìèíóñFFF


Ìåõàíèçìû

Winner's curse

FFFíî ïîáåäèòEòî ó÷àñòíèê ñ ìàêñèìàëüíûì îòêëîíåíèåì â
ïëþñ3
Èíà÷å ãîâîðÿD åñëè òû ïîáåäèë íà ýòîì àóêöèîíåD ñàì ôàêò
òâîåé ïîáåäû îçíà÷àåòD ÷òî òû ïåðåïëàòèëF ‡inner9s ™urseF
Âîò òàêîé ¾ïàðàäîêñ¿F


Ìåõàíèçìû

Ïàðàäîêñ Áðàåññà: ïîñòàíîâêà çàäà÷è

Çäåñü ïîñòàíîâêà óæå ÷óòü ïîõèòðååD íî ïðèìåð òîæå
î÷åíü ÿðêèéF
Ðàññìîòðèì äâå òî÷êèD Ñòàðò è ÔèíèøD ìåæäó êîòîðûìè
åñòü äâà ïóòèD ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êè A è BF
Åñëè ìàøèíà åäåò ïî íåçàïîëíåííîé òðàññåD îíà åäåò ñî
ñêîðîñòüþ IHH êìG÷F
Åñëè òðàññà çàïîëíèëàñüD òî ñêîðîñòü ïåðåäâèæåíèÿ
ïàäàåò äî ïðîï.àâòîìîáèëåé F
ê-âî
ñïîñîáíîñòü

Âîäèòåëè âñ¼ çíàþò è âûáèðàþò îïòèìàëüíûé äëÿ ñåáÿ
ìàðøðóòF


Ìåõàíèçìû



Ìåõàíèçìû


ÏîíÿòíîD ÷òî â ýòîé ñèììåòðè÷íîé ñèòóàöèè âîäèòåëè
áóäóò âûáèðàòü ìåíåå çàãðóæåííóþ òðàññó @êîãäà îíè
çàïîëíÿòñÿAF
Ïóñòü ïðîåõàòü äîëæíû PSHH ìàøèíY èç íèõ òîãäà IPSH
ïîåäóò ïî îäíîé äîðîãåD IPSH " ïî äðóãîéF
Âñå ñ÷àñòëèâûD ïóòü êàæäîãî âîäèòåëÿ çàíèìàåòFFF
ñêîëüêîc


Ìåõàíèçìû


ÏîíÿòíîD ÷òî â ýòîé ñèììåòðè÷íîé ñèòóàöèè âîäèòåëè
áóäóò âûáèðàòü ìåíåå çàãðóæåííóþ òðàññó @êîãäà îíè
çàïîëíÿòñÿAF
Ïóñòü ïðîåõàòü äîëæíû PSHH ìàøèíY èç íèõ òîãäà IPSH
ïîåäóò ïî îäíîé äîðîãåD IPSH " ïî äðóãîéF
Âñå ñ÷àñòëèâûD ïóòü êàæäîãî âîäèòåëÿ çàíèìàåòFFF
ñêîëüêîc

I IPSH
T = (IHH êì) + (IH êì) =
IHH êìG÷ SHH × IHH êìG÷
= I.PS ÷ = US ìèíóò.


Ìåõàíèçìû

Ïàðàäîêñ Áðàåññà: íîâàÿ äîðîãà

Íî âäðóã ãîñóäàðñòâî ðåøèëîD ÷òî íàäî áû ëþäÿì ïîìî÷üD
è ïîñòðîèëî íîâóþ êîðîòêóþ äîðîãó ìåæäó A è BF
Ýòà äîðîãà äëèíîé TH êì ñóïðîòèâ IHH êìF
Ñòàðûå äîðîãè íèêòî íå çàêðûâàåòD ó âîäèòåëåé ïðîñòî
ïîÿâëÿåòñÿ íîâûé âûáîðF


Ìåõàíèçìû



Ìåõàíèçìû


Åñëè ðàññìîòðåòü ñòàðîå ðàâíîâåñèå @IPSH íà IPSHAD òî
ïðè ïîÿâëåíèè íîâîé äîðîãè ïî íåé åõàòü áóäåò âûãîäíååF
Íîâîå ðàâíîâåñèå @êîãäà âñå ïóòè îäèíàêîâûY ïðîâåðüòå3A
äîñòèãàåòñÿD êîãäà èç PSHH ìàøèí ISHH åäóò ïî íîâîé
äîðîãåD à ïî ñòàðûì " ïî SHHF
Ïðè ýòîì âðåìÿ â ïóòè îêàæåòñÿ ðàâíûìFFF ÷åìóc


Ìåõàíèçìû


Åñëè ðàññìîòðåòü ñòàðîå ðàâíîâåñèå @IPSH íà IPSHAD òî
ïðè ïîÿâëåíèè íîâîé äîðîãè ïî íåé åõàòü áóäåò âûãîäíååF
Íîâîå ðàâíîâåñèå @êîãäà âñå ïóòè îäèíàêîâûY ïðîâåðüòå3A
äîñòèãàåòñÿD êîãäà èç PSHH ìàøèí ISHH åäóò ïî íîâîé
äîðîãåD à ïî ñòàðûì " ïî SHHF
Ïðè ýòîì âðåìÿ â ïóòè îêàæåòñÿ ðàâíûìFFF ÷åìóc

PHHH IH êì TH êì PHHH IH êì
T = +I + =
SHH IHH êìG÷ IHH êìG÷ SHH IHH êìG÷
= I.R ÷ = VR ìèíóòû3


Ìåõàíèçìû


ÎêàçûâàåòñÿD ÷òîD ïðîñòî ðàñøèðèâ ñïåêòð âîçìîæíîñòåé
âîäèòåëåéD ìû ïåðåâåëè ñèñòåìó èç áîëåå ýôôåêòèâíîãî
ðàâíîâåñèÿ â ìåíåå ýôôåêòèâíîåF
Ïðè ýòîì êàæäûé âîäèòåëü äåéñòâîâàë ðàöèîíàëüíîX
âûáèðàëD ãäå áûñòðååF ×òî æå äåëàòüc


Ìåõàíèçìû

Ïàðàäîêñ Áðàåññà: ÷òî äåëàòü

Íîâàÿ äîðîãà ìîãëà áû áûòü è íà ïîëüçóY íî òîëüêî åñëè
áû â ïóíêòàõ Ñòàðò è A ñèäåëè ðåãóëèðîâùèêè è
ðàñïðåäåëÿëè ïîòîêè êàê íàäîF
Ýòî íàçûâàåòñÿ pri™e of —n—r™hyX èíîãäà ðåãóëèðóåìûé
ðûíîê äåéñòâèòåëüíî ôóíêöèîíèðóåò ýôôåêòèâíååD ÷åì
óïðàâëÿåìûé ëèøü íåâèäèìîé ðóêîéF
Áûëè è íàñòîÿùèå ïðèìåðû òàêîãî ïàðàäîêñà â ñåòÿõ
ãîðîäñêèõ äîðîãF


Òåîðèÿ èãð: ïðèìåðû Àãåíòû, ñòðàòåãèè, ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ Âîñïîìèíàíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ
Ìåõàíèçìû Àóêöèîí Âèêðè

Outline






Èç ÷åãî ñîñòîèò ïîñòàíîâêà çàäà÷è

Â èãðå ó÷àñòâóþò àãåíòûF
Ó èãðû åñòü ðàçëè÷íûå èñõîäûF
Ó êàæäîãî àãåíòà åñòü íåêèé íàáîð äåéñòâèéD êîòîðûå îí
ìîæåò ïðåäïðèíèìàòüF
Ñåé÷àñ íåìíîæêî íàïîìíèì ïåðâóþ ëåêöèþF



×óòü ôîðìàëüíåå

ÂîEïåðâûõD ââåä¼ì òèï àãåíòà θi ∈ Θ äëÿ iEãî àãåíòàF
Ó èãðû åñòü íàáîð èñõîäîâ OD è äëÿ êàæäîãî àãåíòà
êàæäûé èñõîä îçíà÷àåò êàêóþEòî ïðèáûëüY òàê ïîÿâëÿåòñÿ
ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè @utility fun™tionA ui (o , θi ) äëÿ òèïà θi
è èñõîäà oF
Àãåíò i ïðåäïî÷èòàåò èñõîä o1 èñõîäó o2 D åñëè
ui (o1 , θi ) > ui (o2 , θi )F



Ñòðàòåãèè è ôóíêöèè ïîëåçíîñòè

Ñòðàòåãèÿ àãåíòà " ýòî ïëàíD êîòîðûé ïîëíîñòüþ
îïèñûâàåò åãî ïîâåäåíèå âî âñåõ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèÿõ
îêðóæàþùåãî ìèðàF
×åðåç Σi áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé àãåíòà iD
÷åðåç si (θi ) ∈ Σi " åãî ñòðàòåãèþF
Ñòðàòåãèè áûâàþò ÷èñòûå @pureA è ñìåøàííûå @mixedAY
÷èñòûå ñòðàòåãèè æ¼ñòêî çàäàþò ïîâåäåíèå â êàæäîì
ñîñòîÿíèè îêðóæàþùåãî ìèðàD ñìåøàííûå çàäàþò
ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íà ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ
äåéñòâèé àãåíòàF



Òèïè÷íûé àóêöèîííûé ïðèìåð

Â àóêöèîíå âîçðàñòàþùåé öåíû ñîñòîÿíèå ìèðà äëÿ àãåíòà
ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ ïàðîé (p , x )D ãäå p " òåêóùàÿ
öåíàD à áèò x ïîêàçûâàåòD ÿâëÿåòñÿ ëè àãåíò â òåêóùèé
ìîìåíò ëèäåðîì àóêöèîíàF
Ïóñòü ó àãåíòà åñòü ñâîÿ @ñêðûòàÿA îöåíêà ëîòà v D è îí
ãîòîâ çàïëàòèòü ëþáóþ ñóììóD êîòîðàÿ áûëà áû ìåíüøå v F
Òîãäà òFíF ˜est response str—tegy sBR (v ) îïèñûâàåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîìX

p, åñëè x = H è p < v ,
bB R (p , x , v ) =
ñèäåòü ìîë÷àD â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

Çäåñü b @îò ñëîâà ˜idA " ýòî ñòàâêàD êîòîðóþ äîëæåí
ñäåëàòü àãåíòF


Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè íà ñòðàòåãèÿõ

ÏîíÿòíîD ÷òî ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè ìîæíî ñ êîíêðåòíûõ
èñõîäîâ ïðîäîëæèòü íà ñòðàòåãèèF
Åñëè N àãåíòîâ èìåþò ôèêñèðîâàííûå ñòðàòåãèè
(s1 , . . . , sN )D òî ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè

ui (s1 , . . . , sN , θi )

áóäåò ïðîñòî ðàâíà ôóíêöèè ïîëåçíîñòè ui (o , θi ) íà èñõîäå
oD êîòîðûé îäíîçíà÷íî çàäà¼òñÿ ýòèìè ñòðàòåãèÿìèF



Ïðîäîëæåíèå ïðèìåðà

Ðàññìîòðèì òîò æå àóêöèîíD â êîòîðîì ó÷àñòâóþò äâà
àãåíòàD è îáà èñïîâåäóþò ˜est response str—tegyF Äëÿ àãåíòà
P öåííîñòü ëîòà v2 = ID äëÿ àãåíòà I îíà ðàâíà v1 F
Òîãäà ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè äëÿ ïåðâîãî àãåíòà áóäåò ðàâíà

v1 − (I + ), åñëè v1 > I,
u1 (sBR ,1 (v1 ), sBR ,2 (I)) =
H, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,

ãäå " ìèíèìàëüíîå óâåëè÷åíèå öåíû â àóêöèîíåF



Î ÷¼ì äàëüøå ïîéä¼ò ðå÷ü

Êàæäûé àãåíò ïûòàåòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîþ
ñîáñòâåííóþ ïðèáûëüF
Îí ðåøàåò çàäà÷ó îïòèìèçàöèèD äîáèâàÿñü îïòèìàëüíîé
ñòðàòåãèèF
È â ðåçóëüòàòå ñèñòåìà îêàçûâàåòñÿ â êàêîìEíèáóäü
ñîñòîÿíèèF
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü âîçìîæíûå îïðåäåëåíèÿ
ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìûD ê êîòîðîìó îíà ìîæåò
ïðèäòè ïîñëå ðåøåíèÿ êàæäûì àãåíòîì ñâîåé ëîêàëüíîé
çàäà÷èF



Îáîçíà÷åíèÿ

Îáîçíà÷èì ÷åðåç s = (s 1 , . . . , sN ) ïðîôèëü âñåõ ñòðàòåãèé
ó÷àñòíèêîâF
×åðåç s −i = (s1 , . . . , si −1 , si +1 , . . . , sN ) îáîçíà÷èì ñòðàòåãèè
âñåõ ó÷àñòíèêîâD êðîìå iF
Ââåä¼ì òàêæå àíàëîãè÷íûå îáîçíà÷åíèÿ θ è θ−i äëÿ òèïîâ
àãåíòîâF



Ðàâíîâåñèå Íýøà

Êëþ÷åâîå ïîíÿòèå âñåé òåîðèè èãð " ðàâíîâåñèå Íýøà
@x—sh equili˜riumAF

Îïðåäåëåíèå
Ïðîôèëü ñòðàòåãèé s íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè Íýøà, åñëè
êàæäûé àãåíò ïðè äàííûõ ñòðàòåãèÿõ äðóãèõ àãåíòîâ âûáèðàåò
äëÿ ñåáÿ îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ:

∀si = si ui (si (θi ), s −i (θ−i ), θi ) ≥ ui (si (θi ), s −i (θ−i ), θi ).



Ïðèìåðû

Â äèëåììå çàêëþ÷¼ííîãî òîëüêî ïðîôèëü
(Ñîçíàòüñÿ, Ñîçíàòüñÿ) íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ÍýøàY
ïðåñòóïíèêó âñåãäà âûãîäíåå ñîçíàòüñÿD ÷åì ïðîìîë÷àòüF
Áûâàþò èãðû ñ íåñêîëüêèìè ðàâíîâåñèÿìè ÍýøàF
Áûâàþò èãðûD ãäå íåò ðàâíîâåñèé Íýøà äëÿ ÷èñòûõ
ñòðàòåãèéF
Íî îíî âñåãäà åñòü â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõF



Òðóäíîñòè

Ðàâíîâåñèå Íýøà " ôóíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèåD íî îíî íå
âñåãäà ïðèìåíèìîF
ÍàïðèìåðD îíî ìíîãî ÷åãî ïðåäïîëàãàåò î äîñòóïíîé
àãåíòàì èíôîðìàöèèF
ÍóæíîD ÷òîáû êàæäûé àãåíò çíàë ñòðóêòóðó èãðû
ïîëíîñòüþD çíàëD ÷òî äðóãèå çíàþòD çíàëD ÷òî âñå
äåéñòâóþò ðàöèîíàëüíîD èD áîëåå òîãîD çíàëD ÷òî âñå
âûáåðóò îäíî è òî æå ðàâíîâåñèå Íýøà @à èõ ìîæåò áûòü
íåñêîëüêîAF



Äîìèíàíòíûå ñòðàòåãèè

Àãåíò ìîæåò è íå áûòü óâåðåíD ÷òî âñå îñòàëüíûå âñ¼
çíàþò è íåïðåìåííî âûáåðóò ðàâíîâåñèå ÍýøàF
Íî åñëè ó íåãî åñòü äîìèíàíòíàÿ ñòðàòåãèÿD åìó âñ¼ ðàâíîF

Ñòðàòåãèÿ si íàçûâàåòñÿ äîìèíàíòíîé, åñëè îíà (ñëàáî)
ìàêñèìèçèðóåò îæèäàåìóþ ïðèáûëü àãåíòà äëÿ âñåõ
âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé äðóãèõ àãåíòîâ:

∀si = si , s −i ∈ Σ−i ui (si , s −i , θi ) ≥ ui (si , s −i , θi ).



Íåïîëíàÿ èíôîðìàöèÿ

Âîçâðàùàåìñÿ ê òèïàì àãåíòîâY òåïåðü ìû ïðåäïîëîæèìD
÷òî àãåíò íå çíàåò íàâåðíÿêàD êàêîâû òèïû äðóãèõ àãåíòîâD
òî åñòü êàêîâû ó íèõ ôóíêöèè ïîëåçíîñòèF
Íî ïðè ýòîì îí çíàåò âûïëàòû äëÿ êàæäîãî âîçìîæíîãî
òèïàD è ó íåãî åñòü íåêîòîðîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå
F (θ) íà òèïàõ äëÿ êàæäîãî èç äðóãèõ àãåíòîâF
ÈD êîíå÷íîD îí ïûòàåòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå ñâîåé ïðèáûëè â ðàâíîâåñèè ñî òàêèìè æå
îïòèìèçèðóþùèìè ñòðàòåãèÿìè äðóãèõ àãåíòîâF



Ðàâíîâåñèå ïî Áàéåñó-Íýøó

Ïðîôèëü ñòðàòåãèé s íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ïî Áàéåñó-Íýøó
(Bayesian-Nash equilibrium), åñëè êàæäûé àãåíò ïðè èçâåñòíîì
åìó ðàñïðåäåëåíèè F (θ) íà òèïàõ äðóãèõ àãåíòîâ âûáèðàåò äëÿ
ñåáÿ îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ: ∀si = si

E F (θ) ui (si (θi ), s −i (θ−i ), θi ) ≥ E F (θ) ui (si (θi ), s −i (θ−i ), θi ).

Òî åñòü ñòðàòåãèÿ àãåíòà îïòèìàëüíà ïî ðàñïðåäåëåíèþ
òèïîâ äðóãèõ àãåíòîâY â îäíîì êîíêðåòíîì ýêñïåðèìåíòå
âïîëíå âîçìîæíîD ÷òî îí áóäåò âûáèðàòü íåîïòèìàëüíîå
ïîâåäåíèåF



Îáñóæäåíèå

Ðàâíîâåñèå ïî ÁàéåñóEÍýøó îáîáùàåò îáû÷íîåY îíî äåëàåò
áîëåå åñòåñòâåííûå ïðåäïîëîæåíèÿ î çíàíèÿõ àãåíòîâF

Äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî òèïà θi îíî òîæå äîëæíî
áûòü îïòèìàëüíûìX ∀si = si

E F (θ) ui (si (θi ), s −i (θ−i ), θi ) | θi ≥

≥ E F (θ) ui (si (θi ), s −i (θ−i ), θi ) | θi .

Íî ó íåãî åñòü äðóãèå íåäîñòàòêè ðàâíîâåñèÿ ÍýøàX
íàïðèìåðD îíî íå åäèíñòâåííîF



Âàæíûé ïðèìåð àóêöèîíà

Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì ïåðâûé ïðèìåð íåòðèâèàëüíîãî
äèçàéíà ìåõàíèçìîâ àóêöèîí Âèêðè @†i™krey —u™tionAF
Ýòî àóêöèîíD ïðîâîäÿùèéñÿ ïî ñõåìå se—ledE˜idX ó÷àñòíèêè
ïîäàþò ñâîè çàÿâêè â êîíâåðòàõD ïîòîì èõ âñêðûâàþòD è
îáúåêò ïðîäà¼òñÿ òîìóD êòî ïðåäëîæèë ñàìóþ âûñîêóþ
öåíóF
ÍàïðèìåðD òàê îáû÷íî ïðîâîäÿò òåíäåðûF



Sealed-bid highest-price

×òî âûãîäíî äåëàòü ó÷àñòíèêó ñî ñêðûòîé öåííîñòüþ v D
åñëè åìó ïðîäàäóò âåùü ïî òîé öåíåD êîòîðóþ îí çàïðîñèòc
Ýòî äîâîëüíî ñëîæíàÿ çàäà÷àX åñëè åãî ñêðûòàÿ öåííîñòü
ìàêñèìàëüíà èç âñåõ ó÷àñòíèêîâD åìó íóæíî ñäåëàòü çàÿâêó
áîëüøåD ÷åì ó ñëåäóþùåãî çà íèìD íî æåëàòåëüíî òîëüêî
÷óòüE÷óòü áîëüøåD ÷òîáû ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîþ ïðèáûëüF
Â ðåçóëüòàòå íà ñàìîì äåëå íèêîìó íå ëó÷øå è ïðîäàâåö
íå ìàêñèìèçèðóåò äîõîäD è so™i—l welf—re òîæå ñòðàäàåòF
Ìû ïîòîì áîëåå ïîäðîáíî ïðîàíàëèçèðóåì ýòîò ñëó÷àéF



Sealed-bid second-price

Â ýòîì òèïå àóêöèîíà @êîòîðûé è íàçûâàåòñÿ àóêöèîíîì
ÂèêðèA ïîEïðåæíåìó ïðîäàþò òîìóD êòî áîëüøå
ïðåäëîæèëFFF íî ïðîäàþò ïî öåíåD êîòîðóþ ïðåäëîæèë
âòîðîé ñâåðõó ó÷àñòíèê3
Êàêîé áóäåò îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ äëÿ ó÷àñòíèêîâ
àóêöèîíàc




ÎêàçûâàåòñÿD ÷òî â í¼ì ó÷àñòíèêàì âûãîäíî ãîâîðèòü
ïðàâäó î ñâîåé ñêðûòîé öåííîñòè3
Äàâàéòå ïðîâåðèìD ÷òî bi (vi ) = vi ýòî äåéñòâèòåëüíî
äîìèíàíòíàÿ ñòðàòåãèÿF




Îæèäàåìàÿ ïîëåçíîñòü ñòðàòåãèè bi (vi ) = vi ðàâíà

vi − b , åñëè bi b ,
ui (bi , b , vi ) =
H, â ïðîòèâíîì ñëó÷àåD

ãäå b ýòî íàèâûñøàÿ ñòàâêà ñðåäè âñåõ îñòàëüíûõ
àãåíòîâF
Åñëè b vi D òî îïòèìàëüíà ëþáàÿ ñòàâêà bi ≥ b @âåùü
âåäü âñ¼ ðàâíî ïðîäàäóò ïî öåíå b AF
Åñëè b ≥ vi D òîD îïÿòü æåD îïòèìàëüíà ëþáàÿ ñòàâêà
bi ≤ vi @âñ¼ ðàâíî íå ïðîäàäóòAF
Ñòàâêà bi = vi ïîäõîäèò â îáà ñëó÷àÿ è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ
äîìèíàíòíîé ñòðàòåãèåéF


Truthfulness

Ìû òîëüêî ÷òî íà ïàëüöàõ äîêàçàëèD ÷òî â àóêöèîíàõ
Âèêðè êàæäîìó ó÷àñòíèêó âûãîäíî ãîâîðèòü ïðàâäóF
Ýòî î÷åíü âàæíîå ñâîéñòâî ìåõàíèçìîâ ïðàâäèâîñòü
@truthfulnessAF
Ìû ïîçæå óâèäèìD ÷òî íà ñàìîì äåëå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ
òîëüêî ïðàâäèâûìè ìåõàíèçìàìè @ðåçóëüòàò
êîíòðèíòóèòèâíûéD íî äîêàçûâàåòñÿ òîæå íà ïàëüöàõ
ïîïðîáóéòå3AF



Åù¼ î äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ

ÎêàçûâàåòñÿD ÷òî äîìèíàíòíûå ñòðàòåãèè ãîðàçäî óäîáíåå
äëÿ àãåíòîâX èì óæå íå íàäî íè÷åãî ïðåäïîëàãàòü î äðóãèõ
àãåíòàõD îíè ìîãóò ñìåëî ïîëüçîâàòüñÿ äîìèíàíòíîé
ñòðàòåãèåéF
Ïîýòîìó â äèçàéíå ìåõàíèçìîâ ãîðàçäî ïðèÿòíåå ïîëó÷èòü
ìåõàíèçì ñ äîìèíàíòíûìè ñòðàòåãèÿìè ó êàæäîãî àãåíòàD
÷åì ïðîñòî ðàâíîâåñèå ÍýøàF



Ïåðåõîäèì ê äèçàéíó ìåõàíèçìîâ

Ïîýòîìó õîòÿ ðàâíîâåñèå ïî ÁàéåñóEÍýøó ïîëó÷èòü ëó÷øåD
÷åì îáû÷íîåD äîìèíàíòíûå ñòðàòåãèè âñ¼ ðàâíî åù¼
ëó÷øåF
Â èòîãå ìû ââåëè è ðàññìîòðåëè òðè òèïà ðàâíîâåñèéD
êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü â íàøèõ ìåõàíèçìàõD ïîíÿëèD ê
÷åìó ñòðåìèòüñÿF
Òåïåðü ïåðåõîäèì ñîáñòâåííî ê äèçàéíóF


Òåîðèÿ èãð: ïðèìåðû Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà è ìåõàíèçìû
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ Îïòèìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî
Ìåõàíèçìû Ïðåäïîëîæåíèÿ îá àãåíòàõ

Outline






Ñóòü çàäà÷è äèçàéíà ìåõàíèçìîâ

Ìû õîòèì ïîñòðîèòü ìåõàíèçìD ïðè êîòîðîì òî èëè èíîå
ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû áóäåò îïòèìàëüíûì
îòíîñèòåëüíî òîé èëè èíîé öåëèF
Äëÿ ýòîãî íóæíî ñíà÷àëà îïðåäåëèòüD êàêàÿ æå ó íàñ öåëüF



Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f : Θ1 × . . . × ΘN → O ýòî
ôóíêöèÿ, âûáèðàþùàÿ òîò èëè èíîé æåëàåìûé ðåçóëüòàò f (θ)
ïðè äàííûõ òèïàõ θ = (θ1 , . . . , θN ).

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà ýòî òîD ÷åãî íàì áû
õîòåëîñü ïîëó÷èòü îò ìåõàíèçìàD êîòîðûé ìû
ðàçðàáàòûâàåìF
Íî ïðè ýòîì êàæäûé àãåíò áóäåò ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîþ
ñîáñòâåííóþ ïðèáûëüF Íàäî ýòî ïðèìèðèòüF



Ìåõàíèçì

Òåïåðü íàêîíåö ìîæíî îïðåäåëèòüD ÷òî æå òàêîå ìåõàíèçìF

Ìåõàíèçì M = (Σ1 , . . . , ΣN , g ) ñîñòîèò èç íàáîðà ñòðàòåãèé Σi
äëÿ êàæäîãî àãåíòà è ôóíêöèÿ èñõîäîâ g : Σ1 × . . . × ΣN → O,
êîòîðîå îïðåäåëÿåò èñõîä, ïðåäóñìîòðåííûé ìåõàíèçìîì äëÿ
äàííîãî ïðîôèëÿ ñòðàòåãèé s = (s1 , . . . , sN ).



Ìåõàíèçì



×òî ðåàëèçóåò ìåõàíèçì

Ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü òîò èëè èíîé ìåõàíèçì è
ïîíÿòüD ãäå ó íåãî òî÷êè ðàâíîâåñèÿF
Ïðè ýòîì ìîæåò îêàçàòüñÿD ÷òî ìåõàíèçì ðåàëèçóåò òó èëè
èíóþ ôóíêöèþ ñîöèàëüíîãî âûáîðàF

Ìåõàíèçì M = (Σ1 , . . . , ΣN , g ) ðåàëèçóåò ôóíêöèþ
ñîöèàëüíîãî âûáîðà f (θ), åñëè äëÿ âñåõ
θ = (θ1 , . . . , θN ) ∈ Θ1 × . . . × ΘN
∗ ∗
g (s1 (θ1 ), . . . , sN (θN )) = f (θ),

ãäå ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , . . . , sN ) íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ïî
∗ ∗

îòíîøåíèþ ê èãðå, èíäóöèðîâàííîé M.


×òî ðåàëèçóåò ìåõàíèçì

Ìåõàíèçì M = (Σ1 , . . . , ΣN , g ) ðåàëèçóåò ôóíêöèþ
ñîöèàëüíîãî âûáîðà f (θ), åñëè äëÿ âñåõ
θ = (θ1 , . . . , θN ) ∈ Θ1 × . . . × ΘN
∗ ∗
g (s1 (θ1 ), . . . , sN (θN )) = f (θ),

ãäå ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , . . . , sN ) íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ïî
∗ ∗

îòíîøåíèþ ê èãðå, èíäóöèðîâàííîé M.

Ïîä ¾ðàâíîâåñèåì¿ ìîæíî ïîíèìàòü ðàâíîâåñèå ïî ÍýøóD
ïî Áàéåñó!ÍýøóD ïî äîìèíàíòíûì ñòðàòåãèÿìFFF îáû÷íî
íàñ èíòåðåñóåò ìàêñèìàëüíî ñèëüíîå èç âîçìîæíûõ
ðàâíîâåñèéF


Ìîæåò áûòü, âñ¼ ïðîñòî?

Äàâàéòå ïîïðîáóåì ïîñòðîèòü òðèâèàëüíûé ìåõàíèçìD
êîòîðûé ìîã áû ðåàëèçîâûâàòü âñåâîçìîæíûå ôóíêöèè
ñîöèàëüíîãî âûáîðàF
Ìû ïðîñòî ñïðîñèì ó êàæäîãî àãåíòàD êàêîé ó íåãî òèï
@îòâåòû íà ýòîò âîïðîñ áóäóò âîçìîæíûìè ñòðàòåãèÿìè
àãåíòîâAD à ïîòîì â êà÷åñòâå ôóíêöèè èñõîäîâ âîçüì¼ì
ôóíêöèþ ñîöèàëüíîãî âûáîðàX g (θ) = f (θ)F
Êàçàëîñü áûD âñ¼ ðàáîòàåòFFF



Óâû, íåò

FFFíî âåäü àãåíòû íå îáÿçàíû ãîâîðèòü íàì ïðàâäó3
Àãåíòû áóäóò ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé äîõîäD ñîîáùàÿ òîò
òèïD êîòîðûé âûãîäíååD ðåøàÿ @äëÿ áàéåñîâñêîãî
ðàâíîâåñèÿ ÍýøàA çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

m—x E θ− ui (θ , s −i (θ−i ), θi ).
i
θ ∈Θi

Íàì íóæíî ïîñòðîèòü ìåõàíèçì òàêD ÷òîáû ðåøåíèå ýòîé
çàäà÷è äëÿ àãåíòîâ ñîøëîñü ñ æåëàåìûìY â ÷àñòíîñòèD â
äàííîì ñëó÷àå íàì íóæíî áûëî áû ðåàëèçîâàòü ïðàâäèâûé
ìåõàíèçìD ïðè êîòîðîì àãåíòàì áûëî áû âûãîäíî
ñîîáùàòü ñâîè íàñòîÿùèå òèïûF
Îäèí òàêîé ïðèìåð ìû óæå ðàçáèðàëè ýòî áûë àóêöèîí
ÂèêðèF


Ðàçíûå ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà

Åñòü ðÿä ñâîéñòâ ôóíêöèé ñîöèàëüíîãî âûáîðàD êîòîðûå
ìîãóò ïîìî÷ü íàì ïðè äèçàéíåD à òàêæå ãàðàíòèðîâàòü
ìíîãî ïîëåçíûõ ñâîéñòâ ìåõàíèçìîâD èõ ðåàëèçóþùèõF
Ñåé÷àñ ìû èõ ðàññìîòðèìF
Êðîìå òîãîD ìû ââåä¼ì @åñòåñòâåííûåA îãðàíè÷åíèÿ íà
àãåíòîâF




Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f (θ) íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíîé ïî
Ïàðåòî, åñëè äëÿ âñÿêîãî íàáîðà òèïîâ θ = (θ1 , . . . , θi ) è
âñÿêîãî èñõîäà o = f (θ)

ui (o , θi ) ui (f (θ), θi ) ⇒ ∃j : uj (o , θj ) uj (f (θ), θj ).

Îïòèìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî çíà÷èòD ÷òî åñëè êîìóEòî ñòàëî
ëó÷øåD ÷åì â ïðåäëàãàåìîì ôóíêöèåé f âàðèàíòåD òî
êîìóEòî äðóãîìó îáÿçàòåëüíî ñòàëî õóæåF
Òî åñòü íåëüçÿ ìîíîòîííî óëó÷øèòü äåëà ñðàçó âñåõ
àãåíòîâF



Ïðèìåð

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî èñõîäîâ O = {x , y , z } è
ïðåäïîëîæèìD ÷òî äåéñòâóþò äâà àãåíòàF
Ó ïåðâîãî àãåíòà ðîâíî îäèí òèïD Θ1 = {θ1 }D è ó ýòîãî òèïà
ñòðóêòóðà ïðåäïî÷òåíèé òàêîâàX x 1 y 1 zF
À ó âòîðîãî àãåíòà äâà ðàçíûõ òèïà Θ = {θa , θb }D è âîò èõ
2 2 2

ñòðóêòóðà ïðåäïî÷òåíèéX

z a y a x ,
2 2 y b x b z .
3 3



Ïðèìåð

Ìû ïûòàåìñÿ ðåàëèçîâàòü ýôôåêòèâíóþ ïî Ïàðåòî
@ïðîâåðüòå3A ôóíêöèþ ñîöèàëüíîãî âûáîðàX

f (θ1 , θa ) = y ,
2 f (θ1 , θb ) = x .
2

Åñëè ìû çàõîòèì ïðîñòî ñïðîñèòü ó êàæäîãî àãåíòà åãî
òèïD âòîðîìó áóäåò âûãîäíî ñîâðàòüX ïðè òèïå θb åìó áóäåò
2

âûãîäíî ñêàçàòüD ÷òî îí θa è ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå èñõîä
2

y D à íå xF



Îïòèìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî äëÿ ìåõàíèçìîâ

Ìîæíî òåïåðü ââåñòè âïîëíå åñòåñòâåííîå îïðåäåëåíèå
îïòèìàëüíîãî ìåõàíèçìàF

Ìåõàíèçì íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî, åñëè îí
ðåàëèçóåò îïòèìàëüíóþ ïî Ïàðåòî ôóíêöèþ ñîöèàëüíîãî
âûáîðà.



Ex post vs. ex ante

Ýòî îïðåäåëåíèå íà ñàìîì äåëå ïðåäïîëàãàåòD ÷òî èñõîä
îêàæåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî óæå äëÿ êîíêðåòíûõ
òèïîâ àãåíòîâD â èòîãåD àïîñòåðèîðèD ex postF
Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îïòèìàëüíîñòü ïî Ïàðåòî ex anteD
êîãäà íåò èñõîäàD êîòîðûé áû â îæèäàíèè ñòðîãî
ïðåäïî÷¼ë îäèí àãåíò è íåñòðîãî âñå îñòàëüíûåF
Ïîëó÷èòñÿ áîëåå ñëàáîå îïðåäåëåíèåF



Âðåìÿ â äèçàéíå ìåõàíèçìîâ

×óòü îòâëå÷¼ìñÿ è îáîáùèì ïðåäûäóùèé ðàçãîâîðF
Âîîáùå ãîâîðÿD â ëèòåðàòóðå î äèçàéíå ìåõàíèçìîâ åñòü
òðè ðàçíûõ âðåìåíí¡ õ ïîñòàíîâêèF
û




ix —nte äî âûáðàñûâàíèÿ èñõîäîâF ix —nte àãåíòû çíàþò
òîëüêî ðàñïðåäåëåíèÿ @âñåD âêëþ÷àÿ ñâî¼ ñîáñòâåííîåAF
Èíôîðìàöèÿ ó âñåõ àãåíòîâ îäèíàêîâàÿF
snterim ïîñëå âûáðàñûâàíèÿ èñõîäîâD äëÿ êàæäîãî
àãåíòàF Òî åñòü ñèòóàöèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ
îäíîãî àãåíòàD êîòîðûé óæå çíàåò ñâîé òèïD íî íå çíàåò
òèïû äðóãèõ àãåíòîâ @à ðàñïðåäåëåíèÿ çíàåòAF Èíôîðìàöèÿ
òåïåðü ó àãåíòîâ ðàçíàÿ êàæäûé çíàåò ñâîé òèïF
ix post ïîñëå òîãîD êàê òèïû âñåõ àãåíòîâ ñòàëè
èçâåñòíûF




Èíà÷å ãîâîðÿD î ðàâíîâåñèÿõ èëè îãðàíè÷åíèÿõ ìîæíî
ãîâîðèòü â òð¼õ ñëó÷àÿõF
ix —nte â òåðìèíàõ ðàñïðåäåëåíèé òèïîâ àãåíòîâF
snterim â òåðìèíàõ ðàñïðåäåëåíèé òèïîâ àãåíòîâ è
îäíîãî êîíêðåòíîãî òèïà îäíîãî àãåíòàF
ix post â òåðìèíàõ âåêòîðà òèïîâ âñåõ àãåíòîâF



Êâàçèëèíåéíûå ôóíêöèè

Êâàçèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè àãåíòà i ñ òèïîì θi èìååò
âèä
ui (o , θi ) = vi (a, θi ) − pi ,
ãäå èñõîä o îïðåäåëÿåò âûáîð a ∈ K èç äèñêðåòíîãî ìíîæåñòâà
K è âûïëàòó pi , ïðîèçâîäèìóþ àãåíòîì.



Àãåíòû ñ êâàçèëèíåéíûìè ïðåôåðåíöèÿìè

Ó àãåíòà ñ êâàçèëèíåéíûìè ïðåôåðåíöèÿìè åñòü ôóíêöèÿ
îöåíêè @v—lu—tion fun™tionA vi (a)D a ∈ KF
ÍàïðèìåðD â àóêöèîíåD ãäå ïðîäà¼òñÿ îäíà âåùüD
K = {H, I} àãåíò ëèáî ïîëó÷èò ýòó âåùüD ëèáî íå ïîëó÷èòF
À pi â ýòîì ñëó÷àå âûïëàòà àãåíòà ïðîäàâöóF
Ýòî äîñòàòî÷íî åñòåñòâåííîå ïðåäïîëîæåíèå â ñëó÷àå
àóêöèîíàF



Àãåíòû, íåéòðàëüíûå ê ðèñêó

Åñòü åù¼ îäíî ïðåäïîëîæåíèåD êîòîðîå â æèçíè ÷àñòî íå
âûïîëíÿåòñÿF
Ìû äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàåìD ÷òî àãåíòû íåéòðàëüíû ê
ðèñêó @riskEneutr—l —gentsAF
Òî åñòü åñëè àãåíò ìîæåò ïîëó÷èòü âîçìîæíîñòü ñ
âåðîÿòíîñòüþ p ïîëó÷èòü âåùü öåíîé â 6IHHD òî îí
ðàäîñòíî çàïëàòèò çà ýòî 6IHHpF
Â æèçíè ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ îñòîðîæíûå àãåíòû @riskE—verse
—gentsAF



Ðàçíûå àãåíòû

ÏðåäïîëîæèìD ÷òî àãåíò ìîæåò ïîëó÷èòü âîçìîæíîñòü ñ
âåðîÿòíîñòüþ 2 ïîëó÷èòü 6IHHF ÒîãäàX
1

îñòîðîæíûé (risk-averse) àãåíò ãîòîâ çàïëàòèòü çà ýòó
âîçìîæíîñòü ñóììó, ñòðîãî ìåíüøóþ $50;
íåéòðàëüíûé ê ðèñêó (risk-neutral) àãåíò ãîòîâ çàïëàòèòü
çà ýòó âîçìîæíîñòü ðîâíî $50;
ðèñêîâûé (risk-loving) àãåíò ãîòîâ çàïëàòèòü áîëüøå $50.



Ãèïîòåçà ôîí-ÍåéìàíàÌîðãåíøòåðíà

Êëàññè÷åñêàÿ ãèïîòåçà ôîíEÍåéìàíà!Ìîðãåíøòåðíà
óòâåðæäàåòD ÷òî îæèäàåìàÿ ïîëåçíîñòü îò ëîòåðåè ñ äâóìÿ
èñõîäàìè z1 è z2 è âåðîÿòíîñòüþ p èñõîäà z1 ðàâíà

U (p ) = pu (z1 ) + (I − p )u (z2 ).



Îñòîðîæíûé àãåíò

Îñíîâíàÿ ñóòü îñòîðîæíîãî àãåíòà â òîìD ÷òî äëÿ íåãî
ïîëó÷èòü ïðîñòî ñóììó â z äåíåã âûãîäíååD ÷åì èãðàòü â
ëîòåðåþ ñ îæèäàíèåì E [u ] = zF
Èíà÷å ãîâîðÿD ïîëåçíîñòü u (z ) äîëæíà áûòü ó íåãî âûøåD
÷åì U (p )F
×òî ýòî íàì ãîâîðèò î ôóíêöèè ïîëåçíîñòè u (z )
îñòîðîæíûõ àãåíòîâc



Îñòîðîæíûé àãåíò



Êîýôôèöèåíò ÝððîóÏðàòòà

Ìîæíî äàæå âûðàáîòàòü ÷èñëåííûé ïîêàçàòåëü òîãîD
íàñêîëüêî îñæåí àãåíòF
Êîýôôèöèåíò íåïðèÿòèÿ ðèñêà ÝððîóÏðàòòà @errow!€r—tt
me—sure of —˜solute risk —versionD e‚eAX

u (w )
Au (w ) = − .
u (w )



Êîýôôèöèåíò ÝððîóÏðàòòà

Òîãäà ñïðàâåäëèâà òåîðåìàF
Òåîðåìà
Äëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè u è v

Au (w ) ≥ Av (w )

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ âîçðàñòàþùàÿ
âîãíóòàÿ ôóíêöèÿ h, ÷òî

u (w ) = h(v (w )).



Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!

ve™ture notes è ñëàéäû áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ íà ìîåé
homep—geX
http://logic.pdmi.ras.ru/∼sergey/index.php?page=teaching
Ïðèñûëàéòå ëþáûå çàìå÷àíèÿD ðåøåíèÿ óïðàæíåíèéD
íîâûå ÷èñëåííûå ïðèìåðû è ïðî÷åå ïî àäðåñàìX
sergey@logic.pdmi.ras.ruD snikolenko@gmail.com
Çàõîäèòå â ÆÆ smartnikF


20081005 auctions nikolenko_lecture02

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (16)

En vedette

En vedette (8)

Plus de Computer Science Club

Plus de Computer Science Club (20)

20081005 auctions nikolenko_lecture02