1. RED BLUE

2. Что можно делать
с вещественными числами и
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

3. Что можно делать
с вещественными числами и
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 1. Алгоритм Альфреда Тарского
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

4. Книга Альфреда Тарского
Alfred Tarski (1901–1983)

5. Книга Альфреда Тарского
Alfred Tarski (1901–1983)
A decision method for elementary
algebra and geometry
Santa Monica CA, RAND Corp.,
1948.

6. Книга Альфреда Тарского
Alfred Tarski (1901–1983)
A decision method for elementary
algebra and geometry
Santa Monica CA, RAND Corp.,
1948.

7. Книга Альфреда Тарского
Alfred Tarski (1901–1983)
A decision method for elementary
algebra and geometry
Santa Monica CA, RAND Corp.,
1948.

8. Книга Альфреда Тарского
Alfred Tarski (1901–1983)
A decision method for elementary
algebra and geometry
Santa Monica CA, RAND Corp.,
1948.
Разрешающая процедура для
элементарной алгебры и геомет-
рии

9. Книга Альфреда Тарского
Alfred Tarski (1901–1983)
A decision method for elementary
algebra and geometry
Santa Monica CA, RAND Corp.,
1948.
Разрешающая процедура для
элементарной алгебры и геомет-
рии
Разрешающая процедура для
элементарных алгебры и геомет-
рии

10. Геометрия

11. Геометрия
Задачи на вычисление

12. Геометрия
Задачи на вычисление
Задачи на построение

13. Геометрия
Задачи на вычисление
Задачи на построение
Задачи на доказательство

14. Язык геометрии (планиметрии)

15. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:

16. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки

17. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые

18. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности

19. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .

20. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .
Отношения:

21. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .
Отношения:
"Точка A лежит на прямой "

22. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .
Отношения:
"Точка A лежит на прямой "
"Точка A лежит на окружности O"

23. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .
Отношения:
"Точка A лежит на прямой "
"Точка A лежит на окружности O"
"Расстояние между точками A и B равно расстоянию между
точками C и D"

24. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .
Отношения:
"Точка A лежит на прямой "
"Точка A лежит на окружности O"
"Расстояние между точками A и B равно расстоянию между
точками C и D"
. . .

25. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .
Отношения:
"Точка A лежит на прямой " , OnLine(A, )
"Точка A лежит на окружности O"
"Расстояние между точками A и B равно расстоянию между
точками C и D"
. . .

26. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .
Отношения:
"Точка A лежит на прямой " , OnLine(A, )
"Точка A лежит на окружности O" , OnCircle(A, O)
"Расстояние между точками A и B равно расстоянию между
точками C и D"
. . .

27. Язык геометрии (планиметрии)
Объекты:
точки
прямые
окружности
. . .
Отношения:
"Точка A лежит на прямой " , OnLine(A, )
"Точка A лежит на окружности O" , OnCircle(A, O)
"Расстояние между точками A и B равно расстоянию между
точками C и D" , EqDistance(A, B, C, D)
. . .

28. Язык геометрии (планиметрии):

29. Язык геометрии (планиметрии):
Аксиомы:

30. Язык геометрии (планиметрии):
Аксиомы:
"Для любых двух точек A и B существует прямая , на которой
обе эти точки лежат":

31. Язык геометрии (планиметрии):
Аксиомы:
"Для любых двух точек A и B существует прямая , на которой
обе эти точки лежат":
∀A∀B∃ {OnLine(A, ) ∧ OnLine(B, )}

32. Язык геометрии (планиметрии):
Аксиомы:
"Для любых двух точек A и B существует прямая , на которой
обе эти точки лежат":
∀A∀B∃ {OnLine(A, ) ∧ OnLine(B, )}
"Если точки точки A и B различны и обе лежат на прямых и
m, то эти прямые совпадают":

33. Язык геометрии (планиметрии):
Аксиомы:
"Для любых двух точек A и B существует прямая , на которой
обе эти точки лежат":
∀A∀B∃ {OnLine(A, ) ∧ OnLine(B, )}
"Если точки точки A и B различны и обе лежат на прямых и
m, то эти прямые совпадают":
∀A∀B∀ ∀m{A = B ∧ OnLine(A, ) ∧ OnLine(B, ) ∧
∧ OnLine(A, m) ∧ OnLine(B, m) ⇒ = m}
. . .

34. Теорема
Каковы бы ни были три попарно различные точки A1, A2 и A3,
существуют точки B1, B2, B3 и C и прямые 1, 2, 3, m1, m2 и m3
такие что
OnLine(A2, 1) ∧ OnLine(A3, 1) ∧ OnLine(B1, 1) ∧
∧ OnLine(A1, 2) ∧ OnLine(A3, 2) ∧ OnLine(B2, 2) ∧
∧ OnLine(A1, 3) ∧ OnLine(A2, 3) ∧ OnLine(B3, 3) ∧
∧ OnLine(A1, m1) ∧ OnLine(B1, m1) ∧ OnLine(C, m1) ∧
∧ OnLine(A2, m2) ∧ OnLine(B2, m2) ∧ OnLine(C, m2) ∧
∧ OnLine(A3, m3) ∧ OnLine(B3, m3) ∧ OnLine(C, m3) ∧
∧ EqDistance(A1, B2, B2, A3) ∧
∧ EqDistance(A2, B1, B1, A3) ∧
∧ EqDistance(A1, B3, B3, A2)

35. Язык геометрии (новая версия):

36. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:

37. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:
точки

38. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:
точки
Отношения:

39. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:
точки
Отношения:
"Точки A, B и C лежат на одной прямой"

40. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:
точки
Отношения:
"Точки A, B и C лежат на одной прямой", OnLine(A, B, C)

41. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:
точки
Отношения:
"Точки A, B и C лежат на одной прямой", OnLine(A, B, C)
"Точки A и B лежат на одной окружности c центром в
точке C"

42. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:
точки
Отношения:
"Точки A, B и C лежат на одной прямой", OnLine(A, B, C)
"Точки A и B лежат на одной окружности c центром в
точке C", OnCircle(A, B, C)

43. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:
точки
Отношения:
"Точки A, B и C лежат на одной прямой", OnLine(A, B, C)
"Точки A и B лежат на одной окружности c центром в
точке C", OnCircle(A, B, C)
"Расстояние между точками A и B равно расстоянию между
точками C и D"

44. Язык геометрии (новая версия):
Объекты:
точки
Отношения:
"Точки A, B и C лежат на одной прямой", OnLine(A, B, C)
"Точки A и B лежат на одной окружности c центром в
точке C", OnCircle(A, B, C)
"Расстояние между точками A и B равно расстоянию между
точками C и D", EqDistance(A, B, C, D)
. . .

45. Теорема о пересечении медиан
Каковы бы ни были точки A1, A2 и A3, существуют точки B1, B2, B3
и C такие, что
A1 = A2 ∧ A1 = A3 ∧ A2 = A3 ⇒
⇒ OnLine(A1, A2, B3) ∧ OnLine(A2, A3, B1) ∧ OnLine(A1, A3, B2) ∧
∧ OnLine(A1, B1, C) ∧ OnLine(A2, B2, C) ∧ OnLine(A3, B3, C) ∧
∧ EqDistance(A1, B2, B2, A3) ∧
∧ EqDistance(A2, B1, B1, A3) ∧
∧ EqDistance(A1, B3, B3, A2)

46. Язык (аналитической) геометрии:

47. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:

48. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:
точки – пары вещественных чисел ax , ay

49. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:
точки – пары вещественных чисел ax , ay
Отношения:

50. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:
точки – пары вещественных чисел ax , ay
Отношения:
"Точки ax , ay , bx , by и cx , cy лежат на одной прямой"

51. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:
точки – пары вещественных чисел ax , ay
Отношения:
"Точки ax , ay , bx , by и cx , cy лежат на одной прямой",
OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

52. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:
точки – пары вещественных чисел ax , ay
Отношения:
"Точки ax , ay , bx , by и cx , cy лежат на одной прямой",
OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )
"Точки ax , ay и bx , by лежат на одной окружности c центром
в точке cx , cy "

53. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:
точки – пары вещественных чисел ax , ay
Отношения:
"Точки ax , ay , bx , by и cx , cy лежат на одной прямой",
OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )
"Точки ax , ay и bx , by лежат на одной окружности c центром
в точке cx , cy ", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

54. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:
точки – пары вещественных чисел ax , ay
Отношения:
"Точки ax , ay , bx , by и cx , cy лежат на одной прямой",
OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )
"Точки ax , ay и bx , by лежат на одной окружности c центром
в точке cx , cy ", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )
"Расстояние между точками ax , ay и bx , by равно расстоянию
между точками cx , cy и dx , dy "

55. Язык (аналитической) геометрии:
Объекты:
точки – пары вещественных чисел ax , ay
Отношения:
"Точки ax , ay , bx , by и cx , cy лежат на одной прямой",
OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )
"Точки ax , ay и bx , by лежат на одной окружности c центром
в точке cx , cy ", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )
"Расстояние между точками ax , ay и bx , by равно расстоянию
между точками cx , cy и dx , dy ",
EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )
. . .

56. Теорема о пересечении медиан
Каковы бы ни были числа a1,x , a1,y , a2,x , a2,y , a3,x , a3,y , существуют
числа b1,x , b1,y , b2,x , b2,y , b3,x , b3,y , cx и cy такие, что
(a1,x = a2,x ∨ a1,y = a2,y ) ∧ (a1,x = a3,x ∨ a1,y = a3,y ) ∧
∧ (a2,x = a3,x ∨ a2,y = a3,y ) ⇒
⇒ OnLine(a1,x , a1,y , a2,x , a2,y , b3,x , b3,y ) ∧
∧ OnLine(a2,x , a2,y , a3,x , a3,y , b1,x , b1,y ) ∧
∧ OnLine(a1,x , a1,y , a3,x , a3,y , b2,x , b2,y ) ∧
∧ OnLine(a1,x , a1,y , b1,x , b1,y , cx , cy ) ∧
∧ OnLine(a2,x , a2,y , b2,x , b2,y , cx , cy ) ∧
∧ OnLine(a3,x , a3,y , b3,x , b3,y , cx , cy ) ∧
∧ EqDistance(a1,x , a1,y , b2,x , b2,y , b2,x , b2,y , a3,x , a3,y ) ∧
∧ EqDistance(a2,x , a2,y , b1,x , b1,y , b1,x , b1,y , a3,x , a3,y ) ∧
∧ EqDistance(a1,x , a1,y , b3,x , b3,y , b3,x , b3,y , a2,x , a2,y )

57. Немного алгебры
EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

58. Немного алгебры
EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy ) ⇐⇒
⇐⇒ (ax − bx )2
+ (ay − by )2
= (cx − dx )2
+ (cy − dy )2

59. Немного алгебры
EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy ) ⇐⇒
⇐⇒ (ax − bx )2
+ (ay − by )2
= (cx − dx )2
+ (cy − dy )2
OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

60. Немного алгебры
EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy ) ⇐⇒
⇐⇒ (ax − bx )2
+ (ay − by )2
= (cx − dx )2
+ (cy − dy )2
OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy ) ⇐⇒
⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )

61. Немного алгебры
EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy ) ⇐⇒
⇐⇒ (ax − bx )2
+ (ay − by )2
= (cx − dx )2
+ (cy − dy )2
OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy ) ⇐⇒
⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )
⇐⇒ (ax − cx )2
+ (ay − cy )2
= (bx − cx )2
+ (by − cy )2

62. Немного алгебры
EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy ) ⇐⇒
⇐⇒ (ax − bx )2
+ (ay − by )2
= (cx − dx )2
+ (cy − dy )2
OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy ) ⇐⇒
⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )
⇐⇒ (ax − cx )2
+ (ay − cy )2
= (bx − cx )2
+ (by − cy )2
OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

63. Немного алгебры
EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy ) ⇐⇒
⇐⇒ (ax − bx )2
+ (ay − by )2
= (cx − dx )2
+ (cy − dy )2
OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy ) ⇐⇒
⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )
⇐⇒ (ax − cx )2
+ (ay − cy )2
= (bx − cx )2
+ (by − cy )2
OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy ) ⇐⇒ ax by +ay cx +bx cy −ax cy −ay bx −by cx = 0

64. Теорема о пересечении медиан
Каковы бы ни были числа a1,x , a1,y , a2,x , a2,y , a3,x , a3,y , существуют
числа b1,x , b1,y , b2,x , b2,y , b3,x , b3,y , cx и cy такие, что
(a1,x = a2,x ∨ a1,y = a2,y ) ∧ (a1,x = a3,x ∨ a1,y = a3,y ) ∧
∧ (a2,x = a3,x ∨ a2,y = a3,y ) ⇒
⇒ a1,x a2,y + a1,y b3,x + a2,x b3,y − a1,x b3,y − a1,y a2,x − a2,y b3,x = 0 ∧
∧ a2,x a3,y + a2,y b1,x + a3,x b1,y − a2,x b1,y − a2,y a3,x − a3,y b1,x = 0 ∧
∧ a1,x a3,y + a1,y b2,x + a3,x b2,y − a1,x b2,y − a1,y a3,x − a3,y b2,x = 0 ∧
∧ a1,x b1,y + a1,y cx + b1,x cy − a1,x cy − a1,y b1,x − b1,y cx = 0 ∧
∧ a2,x b2,y + a2,y cx + b2,x cy − a2,x cy − a2,y b2,x − b2,y cx = 0 ∧
∧ a3,x b3,y + a3,y cx + b3,x cy − a3,x cy − a3,y b3,x − b3,y cx = 0 ∧
∧ (a1,x − b2,x )2
+ (a1,y − b2,y )2
= (b2,x − a3,x )2
+ (b2,y − a3,y )2
∧
∧ (a2,x − b1,x )2
+ (a2,y − b1,y )2
= (b1,x − a3,x )2
+ (b1,y − a3,y )2
∧
∧ (a1,x − b3,x )2
+ (a1,y − b3,y )2
= (b3,x − a2,x )2
+ (b3,y − a2,y )2

65. Большая Советская Энциклопедия:

66. Большая Советская Энциклопедия:
Алгебра — один из больших разделов математики,
принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к
числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также
методы алгебры, отличающие ее от других отраслей
математики, создавались постепенно, начиная с древности.
Алгебра возникла под влиянием нужд общественной
практики, и в результате поиска общих приемов для
решения однотипных арифметических задач. . . .

67. Математический Энциклопедический Словарь:

68. Математический Энциклопедический Словарь:
АЛГЕБРА —

69. Математический Энциклопедический Словарь:
АЛГЕБРА —
1. часть математики. В этом понимании термин
"Алгебра" употребляется в таких сочетаниях, как
гомологическая алгебра, коммутативная алгебра,
линейная алгебра, топологическая алгебра. . . .

70. Математический Энциклопедический Словарь:
АЛГЕБРА —
1. часть математики. В этом понимании термин
"Алгебра" употребляется в таких сочетаниях, как
гомологическая алгебра, коммутативная алгебра,
линейная алгебра, топологическая алгебра. . . .
2. Алгебра над полем P, наз. также л и н е й н о й
а л г е б р о й. Алгебра в этом смысле есть кольцо, в
котором определено умножение элементов на на
элементы из P, удовлетворяющее естественным
аксиомам . . .

71. Математический Энциклопедический Словарь:
АЛГЕБРА —
1. часть математики. В этом понимании термин
"Алгебра" употребляется в таких сочетаниях, как
гомологическая алгебра, коммутативная алгебра,
линейная алгебра, топологическая алгебра. . . .
2. Алгебра над полем P, наз. также л и н е й н о й
а л г е б р о й. Алгебра в этом смысле есть кольцо, в
котором определено умножение элементов на на
элементы из P, удовлетворяющее естественным
аксиомам . . .
3. То же, что универсальная алгебра.

72. Алгебра — это арифметика для лентяев

73. Иоганн Карл Фридрих Гаусс ?:
Алгебра — это арифметика для лентяев

74. Иоганн Карл Фридрих Гаусс ?:
Алгебра — это арифметика для лентяев
Алгебра — это геометрия для лентяев

75. Язык A

76. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел, 2,-3,5/7,-451/53,. . .

77. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел

78. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел, a, b, c, . . . , a1, b2, x6, . . .

79. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения

80. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения, с их помощью строятся
многочлены

81. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <

82. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <, с их помощью строятся элементарные
формулы

83. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <, с их помощью строятся элементарные
формулы:
если P и Q – многочлены, то P = Q, P > Q, P < Q –
элементарные формулы

84. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки

85. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")

86. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы

87. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы:
если Φ и Ψ – формулы, то (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
также являются формулами

88. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы:
если Φ и Ψ – формулы, то (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
также являются формулами.
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)

89. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы:
если Φ и Ψ – формулы, то (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
также являются формулами.
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли (∗)?

90. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы:
если Φ и Ψ – формулы, то (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
также являются формулами.
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли (∗) при x = 4, y = 5?

91. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы:
если Φ и Ψ – формулы, то (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
также являются формулами.
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли (∗) при x = 4, y = 5?
Верно ли (∗) при любых x, y?

92. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы:
если Φ и Ψ – формулы, то (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
также являются формулами.
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли (∗) при x = 4, y = 5?
Верно ли (∗) при любых x, y?
Существуют ли x, y такие, что выполнено (∗)?

93. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы:
если Φ и Ψ – формулы, то (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
также являются формулами.
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли (∗) при x = 4, y = 5?
Верно ли (∗) при любых x, y?
Существуют ли x, y такие, что выполнено (∗)?
Верно ли, что для любого x существует y такое, что
выполнено (∗)?

94. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ") , с их помощью строятся формулы:
если Φ и Ψ – формулы, то (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
также являются формулами.
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли (∗) при x = 4, y = 5?
Верно ли (∗) при любых x, y?
Существуют ли x, y такие, что выполнено (∗)?
Верно ли, что для любого x существует y такое, что
выполнено (∗)?

95. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы

96. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует")

97. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами

98. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)

99. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли (∗) при любых x, y?

100. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли (∗) при любых x, y?
∀x{∀y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y}}

101. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Существуют ли x, y такие, что выполнено (∗)?

102. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Существуют ли x, y такие, что выполнено (∗)?
∃x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y}}

103. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли, что для любого x существует y такое, что
выполнено (∗)?

104. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
Верно ли, что для любого x существует y такое, что
выполнено (∗)?
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y}}

105. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y}}
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
} ∧ ∃y{xy = 3x + 2y}}

106. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y}}
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
} ∧ ∃y{xy = 3x + 2y}}
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
} ∧ xy = 3x + 2y}

107. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
операции сложения и умножения
отношения =, >, <
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если . . . ,
то . . . ")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует"), с их помощью
строятся формулы:
если Φ – формула, а α – переменная, то ∀α{Φ}, ∃α{Φ}
также являются формулами
x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y (∗)
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
∧ xy = 3x + 2y}}
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
} ∧ ∃y{xy = 3x + 2y}}
∀x{∃y{x2
y + 4xy3
> (x − y)2
} ∧ xy = 3x + 2y}

108. Теорема Альфреда Тарского
Существует алгоритм, позволяющий по любой формуле языка A без
свободных переменных узнавать за конечное число шагов, является
ли эта формула истинной.

109. Аль-Хорезми Абу Абдалла Мухаммед бен Мусса

110. Аль-Хорезми Абу Абдалла Мухаммед бен Мусса
Жил примерно в 787-850

111. Аль-Хорезми Абу Абдалла Мухаммед бен Мусса
Жил примерно в 787-850
"Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-габр в’алмуккабалла"

112. Язык A
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
отношения =, >, <, с их помощью строятся элементарные
формулы: если P и Q – многочлены, то P = Q, P > Q, P < Q –
элементарные формулы
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если ...,
то ...")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует")

113. Язык A (новая версия)
обозначения для всех рациональных чисел
переменные для вещественных чисел
отношения =, >, <, с их помощью строятся элементарные
формулы: если P – многочлен, то P = 0, P > 0, P < 0 –
элементарные формулы
логические связки ∧ ("и"), ∨ ("или"), ¬ ("не"), =⇒ ("если ...,
то ...")
кванторы ∀ ("для всех"), ∃ ("существует")

114. Теорема Альфреда Тарского
Существует алгоритм, позволяющий по любой формуле языка A без
свободных переменных узнавать за конечное число шагов, является
ли эта формула истинной.

115. Теорема Альфреда Тарского
Существует алгоритм, позволяющий по любой формуле языка A без
свободных переменных узнавать за конечное число шагов, является
ли эта формула истинной.
Тривиальный случай – бескванторная формула

116. Теорема Альфреда Тарского
Существует алгоритм, позволяющий по любой формуле языка A без
свободных переменных узнавать за конечное число шагов, является
ли эта формула истинной.
Тривиальный случай – бескванторная формула
База индукции – однокванторная формула, ∃xΦ(x) или ∀xΦ(x)

117. Основная идея

118. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
= 0

119. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
= 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

120. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
= 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

121. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
= 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

122. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
> 0

123. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
> 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

124. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
> 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

125. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
> 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

126. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
< 0

127. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
< 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

128. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
< 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

129. Основная идея
1
2
+
11
20
x −
11
20
x2
−
13
20
x3
+
1
20
x4
+
1
10
x5
< 0
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

130. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)

131. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.

132. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P1(x), . . . , Pk (x);

133. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P1(x), . . . , Pk (x); не ограничивая общности мы
считаем, что
x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

134. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P1(x), . . . , Pk (x); не ограничивая общности мы
считаем, что
x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn
3. Расширить множество N до множества M = {y0, . . . , ym} ⊃ N
такого, что

135. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P1(x), . . . , Pk (x); не ограничивая общности мы
считаем, что
x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn
3. Расширить множество N до множества M = {y0, . . . , ym} ⊃ N
такого, что
для любого i, такого что 0 < i ≤ n, существует j, такое что
0 < i ≤ n и xi−1 < yj < xi

136. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P1(x), . . . , Pk (x); не ограничивая общности мы
считаем, что
x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn
3. Расширить множество N до множества M = {y0, . . . , ym} ⊃ N
такого, что
для любого i, такого что 0 < i ≤ n, существует j, такое что
0 < i ≤ n и xi−1 < yj < xi
для любого i, такого что 0 ≤ i ≤ n, y0 < xi

137. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P1(x), . . . , Pk (x); не ограничивая общности мы
считаем, что
x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn
3. Расширить множество N до множества M = {y0, . . . , ym} ⊃ N
такого, что
для любого i, такого что 0 < i ≤ n, существует j, такое что
0 < i ≤ n и xi−1 < yj < xi
для любого i, такого что 0 ≤ i ≤ n, y0 < xi
для любого i, такого что 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

138. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P1(x), . . . , Pk (x); не ограничивая общности мы
считаем, что
x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn
3. Расширить множество N до множества M = {y0, . . . , ym} ⊃ N
такого, что
для любого i, такого что 0 < i ≤ n, существует j, такое что
0 < i ≤ n и xi−1 < yj < xi
для любого i, такого что 0 ≤ i ≤ n, y0 < xi
для любого i, такого что 0 ≤ i ≤ n, xi < ym
4. Формула ∃xΦ(x) истинна, если и только если
Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

139. "Алгоритм" Тарского (1-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P1(x), . . . , Pk (x); не ограничивая общности мы
считаем, что
x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn
3. Расширить множество N до множества M = {y0, . . . , ym} ⊃ N
такого, что
для любого i, такого что 0 < i ≤ n, существует j, такое что
0 < i ≤ n и xi−1 < yj < xi
для любого i, такого что 0 ≤ i ≤ n, y0 < xi
для любого i, такого что 0 ≤ i ≤ n, xi < ym
4. Формула ∃xΦ(x) истинна, если и только если
Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)
Формула ∀xΦ(x) истинна, если и только если
Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

140. Нули производной
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

141. "Алгоритм" Тарского (2-я версия) для QxΦ(x)

142. "Алгоритм" Тарского (2-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.

143. "Алгоритм" Тарского (2-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .

144. "Алгоритм" Тарского (2-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).

145. "Алгоритм" Тарского (2-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).
4. Расширить множество N до множества
M = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, где x−∞ и x+∞ – такие числа,
что x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞

146. "Алгоритм" Тарского (2-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).
4. Расширить множество N до множества
M = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, где x−∞ и x+∞ – такие числа,
что x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞
5. Формула ∃xΦ(x) истинна, если и только если
Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)

147. "Алгоритм" Тарского (2-я версия) для QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Найти множество N = {x0, . . . , xn}, состоящее из всех корней
всех многочленов P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).
4. Расширить множество N до множества
M = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, где x−∞ и x+∞ – такие числа,
что x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞
5. Формула ∃xΦ(x) истинна, если и только если
Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)
Формула ∀xΦ(x) истинна, если и только если
Φ(x−∞) ∧ Φ(x0) ∧ . . . ∧ Φ(xn) ∧ Φ(x+∞)

148. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
. . . . . .
...
...
...
...
...
...
...
. . . . . .
...
...
...
...
...
...
...
. . . . . .

149. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
T0(x) . . . . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) . . . . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) . . . . . .

150. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) . . . . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) . . . . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) . . . . . .

151. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) . . . . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) . . . Ti (xj ) . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) . . . . . .

152. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) . . . T0(xj ) . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) . . . Ti (xj ) . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) . . . Tk (xj ) . . .

153. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) . . . T0(xj ) . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj ) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) . . . Tk (xj ) . . .

154. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj ) . . . T0(xn) T0(x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj ) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) Tk (x−∞) Tk (x0) . . . Tk (xj ) . . . Tk (xn) Tk (x+∞)

155. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj ) . . . T0(xn) T0(x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj ) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) Tk (x−∞) Tk (x0) . . . Tk (xj ) . . . Tk (xn) Tk (x+∞)
x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

156. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj ) . . . T0(xn) T0(x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj ) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) Tk (x−∞) Tk (x0) . . . Tk (xj ) . . . Tk (xn) Tk (x+∞)
x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞
∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) ≡ 0 ∧ Ti (xj ) = 0)}}

157. Таблица Тарского для многочленов T0(x), . . . , Tk(x)
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj ) . . . T0(xn) T0(x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj ) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) Tk (x−∞) Tk (x0) . . . Tk (xj ) . . . Tk (xn) Tk (x+∞)
x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞
∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) ≡ 0 ∧ Ti (xj ) = 0)}}
∀i∀x{(Ti (x) ≡ 0 ∧ Ti (x) = 0) ⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj }}

158. "Алгоритм" Тарского (2-я версия)

159. "Алгоритм" Тарского (2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.

160. "Алгоритм" Тарского (2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .

161. "Алгоритм" Тарского (2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Построить таблицу Тарского для многочленов
P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).

162. "Алгоритм" Тарского (2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Построить таблицу Тарского для многочленов
P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).
4. Вычислить логические значение Φ(xj ) для каждого столбца
таблицы, пользуясь содержимым таблицы:
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
P0(x) P0(x−∞) P0(x0) . . . P0(xj ) . . . P0(xn) P0(x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Pi (x) Pi (x−∞) Pi (x0) . . . Pi (xj ) . . . Pi (xn) Pi (x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Pk (x) Pk (x−∞) Pk (x0) . . . Pk (xj ) . . . Pk (xn) Pk (x+∞)
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л

163. "Алгоритм" Тарского (2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в бескванторную формулу Φ(x) и отличных от тождественного
нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Построить таблицу Тарского для многочленов
P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).
4. Вычислить логические значение Φ(xj ) для каждого столбца
таблицы, пользуясь содержимым таблицы:
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
P0(x) P0(x−∞) P0(x0) . . . P0(xj ) . . . P0(xn) P0(x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Pi (x) Pi (x−∞) Pi (x0) . . . Pi (xj ) . . . Pi (xn) Pi (x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Pk (x) Pk (x−∞) Pk (x0) . . . Pk (xj ) . . . Pk (xn) Pk (x+∞)
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л
5. Формула ∃xΦ(x) истинна, если и только если хотя бы одно из
этих значений истинно; формула ∀xΦ(x) истинна, если и только
если все эти значения истинны.

164. таблица Тарского
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj ) . . . T0(xn) T0(x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj ) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) Tk (x−∞) Tk (x0) . . . Tk (xj ) . . . Tk (xn) Tk (x+∞)
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л

165. Сокращенная таблица Тарского
x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞
T0(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л

166. Сокращенная таблица Тарского
− ∞ + ∞
T0(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л

167. Сокращенная таблица Тарского
− ∞ + ∞
T0(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л
Лемма. Знаки − и + не могут стоять в двух соседних по
горизонтали клетках.

168. Лемма.
Знаки − и + не могут стоять в двух соседних по горизонтали
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2

169. "Алгоритм" Тарского (модифицированная 2-я версия)

170. "Алгоритм" Тарского (модифицированная 2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.

171. "Алгоритм" Тарского (модифицированная 2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .

172. "Алгоритм" Тарского (модифицированная 2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Построить сокращенную таблицу Тарского для многочленов
P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).

173. "Алгоритм" Тарского (модифицированная 2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Построить сокращенную таблицу Тарского для многочленов
P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).
4. Вычислить логические значение Φ(x) для каждого столбца
таблицы, пользуясь только содержимым таблицы:
−∞ +∞
P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Pi (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Pk (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л

174. "Алгоритм" Тарского (модифицированная 2-я версия)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x)) .
3. Построить сокращенную таблицу Тарского для многочленов
P0(x), P1(x), . . . , Pk (x).
4. Вычислить логические значение Φ(x) для каждого столбца
таблицы, пользуясь только содержимым таблицы:
−∞ +∞
P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Pi (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Pk (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л
5. Формула ∃xΦ(x) истинна, если и только если хотя бы одно из
этих значений истинно; формула ∀xΦ(x) истинна, если и только
если все эти значения истинны.

175. Сокращенная таблица Тарского
−∞ +∞
T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+

176. Полунасыщенные системы
Определение. Система функций называется полунасыщенной,
если вместе с каждой функцией она содержит и ее производную.

177. Полунасыщенные системы
Определение. Система функций называется полунасыщенной,
если вместе с каждой функцией она содержит и ее производную.
Лемма. Каждую конечную систему многочленов можно
расширить до конечной полунасыщенной системы.

178. Таблица Тарского
−∞ xi xi+1 +∞
T0(x) −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|0|+ . . . 0 0 . . . −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+

179. Таблица Тарского
−∞ xi xi+1 +∞
T0(x) −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|0|+ . . . 0 0 . . . −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+
Лемма. Если система многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
полунасыщенна и Ti (x) ≡ 0, то в i-ой строке символ 0 не может
стоять в двух соседних клетках.

180. Насыщенные системы
Определение. Система функций называется полунасыщенной,
если вместе с каждой функцией она содержит и ее производную.

181. Насыщенные системы
Определение. Система функций называется полунасыщенной,
если вместе с каждой функцией она содержит и ее производную.
Определение. Полунасыщенная система многочленов
T0(x), . . . , Tn(x) называется насыщенной, если вместе с каждыми
двумя многочленами Tk (x) и Tm(x) такими, что
0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk (x)), она содержит и остаток R(x) от
деления Tk (x) на Tm(x).

182. Насыщенные системы
Определение. Система функций называется полунасыщенной,
если вместе с каждой функцией она содержит и ее производную.
Определение. Полунасыщенная система многочленов
T0(x), . . . , Tn(x) называется насыщенной, если вместе с каждыми
двумя многочленами Tk (x) и Tm(x) такими, что
0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk (x)), она содержит и остаток R(x) от
деления Tk (x) на Tm(x).
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))

183. Насыщенные системы
Определение. Система функций называется полунасыщенной,
если вместе с каждой функцией она содержит и ее производную.
Определение. Полунасыщенная система многочленов
T0(x), . . . , Tn(x) называется насыщенной, если вместе с каждыми
двумя многочленами Tk (x) и Tm(x) такими, что
0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk (x)), она содержит и остаток R(x) от
деления Tk (x) на Tm(x).
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))

184. Насыщенные системы
Определение. Система функций называется полунасыщенной,
если вместе с каждой функцией она содержит и ее производную.
Определение. Полунасыщенная система многочленов
T0(x), . . . , Tn(x) называется насыщенной, если вместе с каждыми
двумя многочленами Tk (x) и Tm(x) такими, что
0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk (x)), она содержит и остаток R(x) от
деления Tk (x) на Tm(x).
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))
Лемма. Каждую конечную систему многочленов можно
расширить до конечной насыщенной системы.

185. Насыщенные системы
Определение. Система функций называется полунасыщенной,
если вместе с каждой функцией она содержит и ее производную.
Определение. Полунасыщенная система многочленов
T0(x), . . . , Tn(x) называется насыщенной, если вместе с каждыми
двумя многочленами Tk (x) и Tm(x) такими, что
0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk (x)), она содержит и остаток R(x) от
деления Tk (x) на Tm(x).
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))
Лемма. Если T0(x), . . . , Tk−1(x), Tk (x) – насыщенная система
многочленов, и
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk (x)),
то система T0(x), . . . , Tk−1(x) также является насыщенной.

186. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)

187. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk (x))

188. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk (x))
Случай k = 0: система из одного многочлена T0(x)

189. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk (x))
Случай k = 0: система из одного многочлена T0(x) ≡ 0

190. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk (x))
Случай k = 0: система из одного многочлена T0(x) ≡ 0
−∞ +∞
T0(x) 0 0

191. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)

192. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
Случай degree(T1(x)) = · · · = degree(Tk (x)) = 0

193. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
Случай degree(T1(x)) = · · · = degree(Tk (x)) = 0
−∞ +∞
T0(x) 0 0
T1(x)
...
...
...
Tk (x)

194. Построение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
Случай degree(T1(x)) = · · · = degree(Tk (x)) = 0
−∞ +∞
T0(x) 0 0
T1(x) − | + − | +
...
...
...
Tk (x) − | + − | +

195. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) . . . . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) . . . . . .

196. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x)

197. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) ?
Tk (x)

198. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) ?
Tk (x) = pnxn
+ pn−1xn−1
+ · · · + p0

199. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) − |+
Tk (x) = pnxn
+ pn−1xn−1
+ · · · + p0
= pnxn
1 +
pn−1
x
+ · · · +
p0
xn

200. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) ? − |+
Tk (x) = pnxn
+ pn−1xn−1
+ · · · + p0
= pnxn
1 +
pn−1
x
+ · · · +
p0
xn

201. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) − |+ − |+
Tk (x) = pnxn
+ pn−1xn−1
+ · · · + p0
= pnxn
1 +
pn−1
x
+ · · · +
p0
xn

202. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) − |+ ? − |+
Tk (x) = pnxn
+ pn−1xn−1
+ · · · + p0
= pnxn
1 +
pn−1
x
+ · · · +
p0
xn

203. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ xj +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) − |+ ? − |+
Tk (x) = pnxn
+ pn−1xn−1
+ · · · + p0
= pnxn
1 +
pn−1
x
+ · · · +
p0
xn

204. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ xj +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ ? −|+

205. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ xj +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ ? −|+
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

206. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ xj +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ ? −|+
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

207. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ xj +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ ? −|+
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)
Tk (xj ) = Q(xj )Tm(xj ) + Tn(xj )

208. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ xj +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ ? −|+
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)
Tk (xj ) = Q(xj )Tm(xj ) + Tn(xj ) = Tn(xj )

209. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ xj +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ − |0|+ −|+
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)
Tk (xj ) = Q(xj )Tm(xj ) + Tn(xj ) = Tn(xj )

210. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ xj +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ − |0|+ −|+
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)
Tk (xj ) = Q(xj )Tm(xj ) + Tn(xj ) = Tn(xj )

211. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ − |0|+ −|+
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)
Tk (xj ) = Q(xj )Tm(xj ) + Tn(xj ) = Tn(xj )

212. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+
...
...
...
...
...
...
...
...
Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+
Tk (x) −|+ − |0| + . . . − |0|+ . . . − |0| + −|+
Tk (x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)
Tk (xj ) = Q(xj )Tm(xj ) + Tn(xj ) = Tn(xj )

213. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − + . . . −|+

214. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . − |0| + − |0| + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

215. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . − |0| + ? − |0| + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

216. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . + ? − |0| + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

217. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . + + − |0| + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

218. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . − ? − |0| + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

219. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . − − − |0| + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

220. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . 0 ? − |0| + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

221. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . 0 ? + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

222. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . 0 + + . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

223. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . 0 ? − . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

224. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . 0 − − . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

225. Пострение сокращенной таблицы Тарского
для насыщенной системы многочленов T0(x), . . . , Tk (x)
−∞ +∞
T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
Ti (x) −|+ . . . 0 ? 0 . . . −|+
...
...
...
...
...
...
...
Tk (x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

226. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)

227. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.

228. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x))

229. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x))
3. Расширить список до насыщенной системы T0(x), . . . , T (x) c
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T −1(x)) ≤ degree(T (x))

230. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x))
3. Расширить список до насыщенной системы T0(x), . . . , T (x) c
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T −1(x)) ≤ degree(T (x))
4. Последовательно построить сокращенные таблицы Тарского для
многочленов T0(x), T1(x), . . . , Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . ,

231. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x))
3. Расширить список до насыщенной системы T0(x), . . . , T (x) c
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T −1(x)) ≤ degree(T (x))
4. Последовательно построить сокращенные таблицы Тарского для
многочленов T0(x), T1(x), . . . , Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . ,
5. Вычислить логические значение Φ(x) для каждого столбца
последней таблицы:
−∞
T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
T (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л

232. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x))
3. Расширить список до насыщенной системы T0(x), . . . , T (x) c
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T −1(x)) ≤ degree(T (x))
4. Последовательно построить сокращенные таблицы Тарского для
многочленов T0(x), T1(x), . . . , Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . ,
5. Вычислить логические значение Φ(x) для каждого столбца
последней таблицы:
−∞
T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
...
...
...
...
...
...
...
...
T (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
Φ(x) и/л и/л . . . и/л . . . и/л и/л
6. Формула ∃xΦ(x) истинна, если и только если хотя бы одно из
этих значений истинно; формула ∀xΦ(x) истинна, если и только
если все эти значения истинны

233. Переменных много, но кванторов мало
∃x{ax + b = 0}

234. Переменных много, но кванторов мало
∃x{ax + b = 0} ⇐⇒ a = 0 ∨ b = 0

235. Переменных много, но кванторов мало
∃x{ax + b = 0} ⇐⇒ a = 0 ∨ b = 0
∃x{ax2
+ bx + c = 0}

236. Переменных много, но кванторов мало
∃x{ax + b = 0} ⇐⇒ a = 0 ∨ b = 0
∃x{ax2
+ bx + c = 0} ⇐⇒
⇐⇒ ((a = 0 ∧ b2
− 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b = 0 ∨ c = 0)))

237. Переменных много, но кванторов мало
∃x{ax + b = 0} ⇐⇒ a = 0 ∨ b = 0
∃x{ax2
+ bx + c = 0} ⇐⇒
⇐⇒ ((a = 0 ∧ b2
− 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b = 0 ∨ c = 0)))
Теорема Тарского. Для любой формулы языка A существует
эквивалентная ей бескванторная формула этого же языка.

238. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)

239. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.

240. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x))

241. Алгоритм Тарского для формулы QxΦ(x)
1. Составить список P1(x), . . . , Pk (x) всех многочленов, входящих
в Φ(x) и отличных от тождественного нуля.
2. Добавить многочлен P0(x) = (P1(x) . . . Pk (x))
3. Расширить список до насыщенной системы T0(x), . . . , T (x) c
degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T −1(x)) ≤ degree(T (x))