1. INSIEMI NUMERICI
(lezione 1)
Argomenti da trattare nella prima lezione (durata 2 ore di intervento con esercitazione).
1. INSIEME DEI NUMERI NATURALI
Il primo concetto che si presenta nello studio della matematica è quello di numero naturale.
L’insieme dei numeri naturali si indica con N e sono disposti nel seguente ordine detto ordine
naturale:
N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
Detto insieme ammette un primo numero lo zero, ma non ammette l’ultimo nel senso che
pensato uno di essi esiste sempre quello successivo. Diremo quindi che l’insieme N comprende
un numero “illimitato” di elementi.
Per indicare un numero qualsiasi di tale insieme si usa spesso una lettera minuscola dell’alfabeto
a, b, c, …, x, y, z, …
Per esempio: per indicare che l’area di un rettangolo è uguale al prodotto della base per
l’altezza, si scrive s = b h dove con s si è indicata l’area del rettangolo e con b e h le misure
rispettivamente della base e dell’altezza.
Consideriamo, ora una semiretta orientata di origine O, e fissiamo sopra di essa un’unità
arbitraria di misura. Questa semplice convenzione ci permette di associare ad ogni numero
naturale un punto della semiretta orientata, detta semiasse delle ascisse, punto che dovrà godere
della sola proprietà di individuare, insieme all’origine O, un segmento la cui misura, rispetto
all’unità fissata, risulti uguale al numero considerato.
0 1 2 A(3) 4 x
in figura, al numero 3 corrisponde il punto A; diremo che l’ascissa di A è 3 e scriveremo A(3),
simbolo che si legge: punto A di ascissa 3. Ovviamente 0 corrisponde all’origine O.
È noto che tra due numeri naturali è verificabile una soltanto delle seguenti due possibilità:
a) I due numeri sono uguali (es. 5=5);
b) I due numeri non sono uguali (o sono disuguali) nel qual caso si potrà verificare o
una relazione di maggioranza ( es. 7>3) o di minoranza (es. 4<9).
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2. Insiemi numerici (lezione 1)
Inoltre, l’uguaglianza gode delle seguenti tre proprietà fondamentali:
A) La proprietà riflessiva: ogni numero è uguale a se stesso, in simboli a = a;
B) La proprietà simmetrica: se un numero è uguale ad un secondo numero, questo sarà uguale
al primo, in simboli a = b ω b = a;
C) La proprietà transitiva: se un numero è uguale ad un secondo numero e questo a sua volta
è uguale ad un terzo, il primo risulterà uguale al terzo, in simboli a = b , b = c υ a = c.
Per le disuguaglianze, terremo conto, ovviamente, della relazione: a>b ω b<a.
Ricordiamo che l’addizione è l’operazione che ci permette di calcolare la somma di due o più
numeri e precisiamo che:
Definizioni
1) per somma di due numeri naturali a e b si intende il numero naturale che si ottiene
contando, dopo a, tante unità quante sono quelle di b;
2) per somma di tre o più numeri naturali si intende la somma dei primi due, somma
alla quale va aggiunto il terzo numero, e così via fino all’esaurimento dei numeri
dati.
Premesso che i termini di un’addizione prendono il nome di addendi, ricordiamo che
l’addizione gode delle seguenti proprietà fondamentali:
A) Proprietà commutativa: la somma di due o più numeri naturali non varia al variare
dell’ordine degli addendi.
Esempio. Abbiamo: 7+4+5=5+7+4=4+5+7= … =16.
B) Proprietà associativa: la somma di tre o più numeri naturali non varia se, al posto di
alcuni di essi, sostituiamo la relativa somma.
Facendo riferimento al precedente esempio, possiamo scrivere: 7+5+4= 7+(5+4)=7+9=16.
C) Proprietà dissociativa: la somma di due o più numeri naturali non varia se al posto di uno
di essi si sostituiscono altri numeri naturali la cui somma risulti uguale all’addendo
sostituito.
Riferendoci sempre al precedente esempio, abbiamo che: 7+9=7+(5+4)=7+5+4=16.
Tuttavia la proprietà C) è implicita nella B) alla quale è applicata la proprietà simmetrica
dell’uguaglianza.
Poiché a+0=0+a=a si dice che 0 è l’elemento neutro della somma.
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3. Insiemi numerici (lezione 1)
Ricordiamo che la moltiplicazione è l’operazione che ci permette di calcolare il prodotto di
due o più numeri e precisiamo che:
Definizioni
1) Per prodotto di due numeri naturali a e b si intende la somma di b addendi
uguali ad a, ossia, in simboli: a b = a + a + a + … + a b volte;
2) Per prodotto di tre o più numeri naturali si intende il prodotto dei primi due,
moltiplicato per il terzo, e così via fino all’esaurimento dei numeri dati.
Premesso che i termini di una moltiplicazione prendono il nome di fattori, ricordiamo che la
moltiplicazione gode delle seguenti proprietà fondamentali:
A) Legge di annullamento di un prodotto: condizione necessaria e sufficiente affinché un
prodotto sia nullo è che sia nullo almeno uno dei fattori.
Esempio. È, ovviamente, 5 ∗ 0 = 0 essendo la somma di 0 fattori uguali a 5, ed risulta anche
0 ∗ 5 = 0+0+0+0+0=0 essendo la somma di 5 addendi nulli.
B) Proprietà commutativa: il prodotto di due o più numeri naturali non varia al variare
dell’ordine dei fattori.
Esempio. È facile verificare che è 2∗3∗4=3∗4∗2=4∗2∗3=24.
C) Proprietà associativa: il prodotto di tre o più numeri naturali non varia se, al posto di
alcuni di essi, sostituiamo il relativo prodotto.
Facendo riferimento al precedente esempio, si ha: 2∗3∗4=2∗(3∗4)=2∗12=24
D) Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: il prodotto di un
numero naturale per la somma di due o più numeri naturali si può anche calcolare
moltiplicando il numero per ogni singolo addendo della somma e sommando
successivamente i prodotti parziali così ottenuti, ossia:
a ∗ (b+c+…)=a ∗ b + a ∗ c +…
Esempio. Abbiamo: 3∗(2+4+6)=3∗2+3∗4+3∗6=6+12+18=36
Poiché a∗1=1∗a=a si dice che 1 è l’elemento neutro del prodotto.
Ricordiamo che la sottrazione tra i due numeri naturali m (minuendo) ed s (sottraendo) è
l’operazione che ci permette di calcolare, quando ciò è possibile (m µ s), quel numero d
(differenza) che, sommato al sottraendo, dia il minuendo, ossia:
m – s = d se e solo se d + s = m.
Esempio: 12 – 7 = 5 perché 7 + 5 = 12.
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4. Insiemi numerici (lezione 1)
L’unica proprietà degna di nota della sottrazione è la seguente:
Proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri a e b non cambia se si aggiunge o si
sottrae ad entrambi i numeri lo stesso numero c, ossia
a – b = (a + c) – (b + c), con a≥b,
a – b = (a – c) – (b – c), con a≥b≥c.
Esempi. 15 – 8 = (15 + 5) – (8 + 5) = 20 – 13 = 7, infatti 15 – 8 = 7.
24 – 9 = (24 – 4) – ( 9 – 4) = 20 – 5 = 15, infatti 24 – 9 = 15.
Definizione
Dicesi quoziente esatto, o quoto, tra due numeri interi a e b (bγ0) quel terzo numero c, se
esiste, che moltiplicato per il secondo dà per prodotto il primo:
a : b = c se è c ∗ b = a.
Definizione
Dicesi quoziente tra due numeri, il secondo dei quali diverso da zero, il più grande numero
intero che moltiplicato per il secondo dà un prodotto non maggiore del primo.
Per esempio, il quoto tra 20 e 5 è 4 perché 4 ∗ 5=20; non esiste, invece, nell’insieme dei numeri
naturali, il quoto tra 17 e 5. Tra 17 e 5 può calcolarsi il quoziente che è 3, perché si ha:
3 ∗ 5=15<17, mentre 4 ∗ 5=20>17.
Definizione
L’operazione mediante la quale, dati due numeri, si trova il loro quoto (o il loro quoziente) si
chiama divisione: il primo numero è detto dividendo ed il secondo divisore.
Le proprietà della divisione sono:
A) Proprietà invariantiva della divisione: moltiplicando o dividendo i due termini della
divisione per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non varia, mentre il resto, se
c’è, viene moltiplicato o diviso per lo stesso numero.
Esempi.
• 15 : 5 = 3 e (15 ∗ 4) : (5 ∗ 4) = 60 : 20 = 3;
• 19 : 5 = 3 con il resto di 4 e (19 ∗ 2) : (5 ∗ 2) = 38 : 10 = 3 con il resto di 8 = 4 ∗ 2;
• 80 : 20 = 4 e (80 : 10) : (20 : 10) =8 : 2 = 4.
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5. Insiemi numerici (lezione 1)
B) Proprietà distributiva della divisione: per dividere una somma o una differenza indicata
per un numero, si può dividere ciascun addendo o ciascun termine della differenza per quel
numero e poi addizionare o sottrarre i quozienti parziali.
Esempi.
• (18 + 42 + 60) : 6 = (18 : 6) + (42 : 6) + (60 : 6) = 3 + 7 + 10 = 20;
• (64 – 24) : 8 = (64 : 8) – (24 : 8) = 8 – 3 = 5.
Definizione
Si dice potenza di un numero un prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero. Il fattore
che si deve ripetere dicesi base e il numero che indica quanti sono i fattori dicesi esponente o
grado della potenza.
Esempio. 23 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 dove abbiamo 3 fattori, 2 è la base e 3 è l’esponente.
Vediamo ora quali sono le proprietà dell’operazione potenza.
A) Il prodotto di più potenze di ugual base è una potenza che ha la stessa base e per esponente
la somma degli esponenti.
42 ∗ 43 ∗ 44 = 42+3+4 = 49,
infatti per definizione di potenza si ha che
4 * 43 ∗ 44 = (4 ∗ 4) ∗ (4 ∗ 4 ∗ 4) ∗(4 ∗ 4 ∗ 4 ∗4) =
2
per la proprietà dissociativa compariranno nove fattori
= 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗4 ∗4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 49..
B) La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha la stessa base e per esponente il
prodotto degli esponenti.
(23)4 = 212.
Infatti
(23)4 = 23 ∗ 23 ∗ 23 ∗ 23 = 23+3+3+3 = 212.
C) Il quoziente di due potenze con la stessa base, la seconda con esponente minore di quello
della prima, è uguale a una potenza che ha la stessa base delle date e per esponente la
differenza degli esponenti.
36 : 34 = 36-4 = 32.
Infatti
36 : 34 = (3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3) : (3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3) = (3 ∗ 3) = 32.
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6. Insiemi numerici (lezione 1)
Nota bene. La potenza, con esponente zero, di un numero qualunque, diverso da zero, è uguale
a 1 e la potenza con esponente uno di un numero qualunque è uguale al numero stesso.
Se considero
9 : 9 che è = 1,
posso anche scrivere
9 : 9 = 32 : 32 = 32-2 = 30,
allora per la proprietà transitiva dell’uguaglianza si ha
30 = 1.
Ricordando che un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale quando il loro
quoziente è esatto (resto nullo), riprendiamo i più importanti criteri di divisibilità dei numeri
naturali.
i. Un numero naturale è divisibile per 2 quando termina con lo zero o con cifra pari;
ii. Un numero naturale è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 3;
iii. Un numero naturale è divisibile per 5 quando termina con 0 o con 5.
Ricordiamo, inoltre che
Definizione Si dicono numeri primi tutti quei numeri naturali che sono divisibili soltanto per
se stessi e per l’unità.
Definizione Due o più numeri si dicono primi tra loro quando non hanno divisori comuni
all’infuori dell’unità.
Esempio sulla scomposizione in fattori primi di un numero naturale.
Dopo aver ricordato che:
il M.C.D. di due o più numeri interi è il più grande dei divisori comuni a tutti i numeri dati;
il m.c.m. di due o più numeri interi è il più piccolo dei multipli comuni a tutti i numeri dati;
ricordiamo anche che:
per calcolare il M.C.D. di due o più numeri interi, si scompongono i numeri in fattori primi. Il
loro M.C.D. è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta col minimo esponente;
per calcolare il m.c.m. di due o più numeri interi, si scompongono i numeri in fattori primi. Il
loro m.c.m. è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il
massimo esponente.
Esempio Calcolare il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti numeri: 60, 504, 2970.
Concludiamo dicendo che, se i numeri sono primi tra loro, allora il M.C.D. fra di essi è sempre
1 e il m.c.m. è sempre dato dal prodotto di tutti i numeri.
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7. Insiemi numerici (lezione 1)
A questo punto, completata la parte di lezione frontale, passo alla fase di esercitazione con
schede di lavoro predisposte, facendo calcolare il valore di qualche espressione aritmetica, in
modo tale da far utilizzare agli alunni tutte le proprietà viste finora.
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