El documento presenta cinco apuntes que describen diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras. La primera demostración utiliza simetrías sobre cuadrados y triángulos. La segunda parte de un triángulo rectángulo y construye un cuadrado para igualar sus áreas. La tercera generaliza el teorema a semicírculos semejantes. La cuarta describe relaciones métricas en triángulos rectángulos. La quinta construye triángulos rectángulos adicionales para igualar áreas y derivar la expresión

1. Apunte (#1). Facilitada por José Carrión.
Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.
Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico del
triángulo ABC respecto al punto O centro del cuadrado mayor.
Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienen
el mismo aspecto y área)
La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y su
simétrico AB´C´ tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláteros
iguales DBCE y DEC´B´
Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hace
coincidir con ABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son
equivalentes. Si restamos de ambos los dos triángulos que forman parte de
ellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.
Apunte (#2).
Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de
Pitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la
construcción gráfica que se muestra
Partimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación
construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anterior
El lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado
consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es
4 ( 1/2 a b) = 2 a b
y un cuadrado interior de lado c y área c 2.
Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.

2. Apunte (#3). Generalización del teorema de
Pitágoras.
Para los semicírculos de la figura, a partir de la
expresiónc 2 = a 2 + b 2 multiplicando ambos
miembros por resulta
Si las superficies S, S´ de donde
y S´´ son semejantes, Área (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) +
entonces Área (SemicírculoS´´)
Área (S) = Área (S´) +
Área (S´´)
Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.
El triángulo ABC es rectángulo en C.
Teorema del cateto. Teorema de la altura.
En el triángulo ADC En los triángulos rectángulos ADC y DBC
resulta:
h = m.tag(A) h = n.tag(B)
Multiplicando miembro a miembro ambas
En el triángulo BCA
expresiones
h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n
(pues
Multiplicando miembro a miembro ambas tag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).
expresiones
Es decir:
"En todo triángulo rectángulo la altura
relativa a la hipotenusa es media
proporcional entre los dos segmentos que
determina sobre ella"
Es decir:

3. "En todo triángulo rectángulo un cateto es
media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella"
Teorema de Pitágoras.
Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumando
resulta:
a 2 = c.n
b 2 = c.m
a + b = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2
2 2
Apunte (#5).
En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de
donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/c
Por otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x)
= a/cde donde MN = a 2/c.
Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM =
b 2/c
A partir del triángulo rectángulo MPT
trazamos por M una paralela a la (A partir de estos datos podemos comprobar que
hipotenusa (PT) y por P y T
perependicualres a dicha paralela de forma
que se determinan los triángulos A T2 = A T3 + A T4
rectángulos MNP y VMT. También
construimos sobre la hipotenusa el pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes;
triángulo rectángulo PST. ver Apunte (#3)).
La figura así construida podemos mirarla de dos
formas: formada por el rectángulo VNPT y el
triángulo rectángulo T2 o bien por el rectángulo
MPST y los triángulos T3 y T4.
Evidentemente:
Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área
(T3) + Área (T4)
Calculando el área de cada una de estas
composiciones, identificando y simplificando las
expresión obtenida obtendremos el Teorema de
Pitágoras.

4. Apunte (#1). Facilitada por José Carrión.
Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.
Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico del triángulo ABC
respecto al punto O centro del cuadrado mayor.
Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienen el mismo
aspecto y área)
La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y su simétrico AB´C´
tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláteros iguales DBCE y DEC´B´
Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hace coincidir con
ABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son equivalentes. Si restamos de
ambos los dos triángulos que forman parte de ellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.
Apunte (#2).
Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la
siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestra
Partimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un
cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anterior
El lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado consta de
cuatro triángulos rectángulos cuya área es
4 ( 1/2 a b) = 2 a b
y un cuadrado interior de lado c y área c 2.
Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.

5. Apunte (#3). Generalización del teorema de Pitágoras.
Para los semicírculos de la figura, a partir de la
expresiónc 2 = a 2 + b 2 multiplicando ambos miembros
por resulta
de donde
Área (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) + Área
(SemicírculoS´´)
Si las superficies S, S´ y S´´ son
semejantes, entonces
Área (S) = Área (S´) + Área (S´´)
Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.
El triángulo ABC es rectángulo en C.
Teorema del cateto. Teorema de la altura.
En el triángulo ADC En los triángulos rectángulos ADC y DBC
resulta:
h = m.tag(A) h = n.tag(B)
Multiplicando miembro a miembro ambas
En el triángulo BCA
expresiones
h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n
(pues
Multiplicando miembro a miembro ambas tag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).
expresiones
Es decir:
"En todo triángulo rectángulo la altura
relativa a la hipotenusa es media
proporcional entre los dos segmentos que
determina sobre ella"
Es decir:
"En todo triángulo rectángulo un cateto es
media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella"
Teorema de Pitágoras.

6. Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumando
resulta:
a 2 = c.n
b 2 = c.m
a 2 + b 2 = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2
Apunte (#5).
En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de
donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/c
Por otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x)
= a/cde donde MN = a 2/c.
Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM =
b 2/c
A partir del triángulo rectángulo MPT
trazamos por M una paralela a la (A partir de estos datos podemos comprobar que
hipotenusa (PT) y por P y T
perependicualres a dicha paralela de forma
que se determinan los triángulos A T2 = A T3 + A T4
rectángulos MNP y VMT. También
construimos sobre la hipotenusa el pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes;
triángulo rectángulo PST. ver Apunte (#3)).
La figura así construida podemos mirarla de dos
formas: formada por el rectángulo VNPT y el
triángulo rectángulo T2 o bien por el rectángulo
MPST y los triángulos T3 y T4.
Evidentemente:
Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área
(T3) + Área (T4)
Calculando el área de cada una de estas
composiciones, identificando y simplificando la
expresión obtenida obtendremos el Teorema de
Pitágoras.