Université Hassan Premier
Faculté des Sciences et Techniques
Settat
Parcours MIP
Analyse Numérique
Pr Jaouad Dabounou
Anné...
Introduction
Ce cours introduira les étudiants à l'analyse numérique. Il aborde les thèmes suivants :
 Introduction au ca...
Table des matières
Chapitre 1. Généralités sur l'analyse numérique..........................................7
1. INTRODUCT...
1. INTRODUCTION .............................................................................................................
Jaouad DABOUNOU Page 5
Chapitre 1
Généralités sur l'analyse numérique
1. Introduction
L'analyse numérique consiste à conce...
Analyse numérique Généralités sur l'analyse numérique
Jaouad DABOUNOU Page 6
Cependant, on doit pouvoir vérifier la précis...
Analyse numérique Généralités sur l'analyse numérique
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𝑥0 <  < 𝑥
Lorsqu'on néglige le terme
𝑥 − 𝑥0
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Analyse numérique Généralités sur l'analyse numérique
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|𝑥∗
− 𝑥|
|𝑥∗|
ou encore une combinaison entre...
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Chapitre 2
Résolution des équations
numériques
1. Position du problème
On considère dans ce chapitr...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
Jaouad DABOUNOU Page 10
Exemple :
Résoudre l’équation linéaire Ax – ...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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Dans la figure ci-dessous, on a f(x0).f(b) <...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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2.2. Critère d’arrêt:
La méthode de dichotom...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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a = c;
c=(a+b)/2.0;
err = fabs(b-c);
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Analyse numérique Résolution des équations numériques
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Utilisation du tableur Excel
L’image suivant...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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Une valeur approchée de la racine est obtenu...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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3.3. Programme informatique
Programme en C
P...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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x1est l'intersection de la tangent à la cour...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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i = x*
- xi, erreur absolue à l'itération i...
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Nous avons aussi la relation
où xi et ci son...
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g(x*
) = g(xi) + i g'(ci), ci  [x*
, xi]
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n = 3 et a0 = 1
x0 étant un nombre donné, la...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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7. 2. Méthode de Graeffe
Cette méthode fourn...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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4. On pose x0 = 0.5, utiliser la méthode de ...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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12. Montrer que l'on peut alors utiliser la ...
Analyse numérique Résolution des équations numériques
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5. Utiliser, en proposant x0, la méthode de ...
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Chapitre 3
Interpolation polynomiale
1. Introduction
Supposons que nous connaissons les valeurs d'...
Analyse numérique Interpolation polynomiale
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R(xi) = 0 pour les n+1 nombres distincts xi, i=0,n; or...
Analyse numérique Interpolation polynomiale
Jaouad DABOUNOU Page 29
On considère la fonction
𝑓 𝑥 = log 10 + 3 sin 𝑒 𝑥
+ 𝑒(...
Analyse numérique Interpolation polynomiale
Jaouad DABOUNOU Page 30
Exemple: On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonc...
Analyse numérique Interpolation polynomiale
Jaouad DABOUNOU Page 31
Remarque: La formule de Newton présente l'avantage d'e...
Analyse numérique Interpolation polynomiale
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Théorème 1.2. Quelque soit x[a , b], il existe   In...
Analyse numérique Interpolation polynomiale
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est le polynôme d'interpolation de f en x0, x1, …, xn,...
Analyse numérique Interpolation polynomiale
Jaouad DABOUNOU Page 34
6. Algorithme de Neville
Soit P0 l'unique polynôme de ...
Analyse numérique Interpolation polynomiale
Jaouad DABOUNOU Page 35
7. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dan...
Jaouad DABOUNOU Page 36
Chapitre 4
Dérivation et intégration
numériques
1. Introduction
Soit f une fonction définie et dér...
Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 37
avec c]x , x+h[, il s'en suit alors que
D'...
Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 38
Dans le cas où h1 = h2 = h, cette approxima...
Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 39
h
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥
𝑕
e1(h) −2
𝑒1 𝑕
𝑕
𝑓 𝑥 + 𝑕 −...
Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 40
3. Intégration numérique
Soit f une fonctio...
Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 41
Soit e(x) l'erreur d'interpolation, on a
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Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 42
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
𝑓"  𝑥
2
𝑥 – 𝑎 𝑥 – 𝑏
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
=
...
Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 43
Si f est 4 fois continument différentiable ...
Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 44
3.5. Subdivision de l'intervalle d'intégrat...
Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
Jaouad DABOUNOU Page 45
4. Exercices
Exercice 1 : Etablir, pour une...
Jaouad DABOUNOU Page 46
Chapitre 5
Résolution de systèmes linéaires
1. Introduction
Beaucoup de problèmes se réduisent à l...
Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires
Jaouad DABOUNOU Page 47
Où Ai est la matrice obtenue en remplaçant la i...
Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires
Jaouad DABOUNOU Page 48
Pour résoudre ce système, on utilise l'algorith...
Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires
Jaouad DABOUNOU Page 49
Pour 1  i  k, j = 1,2,…,n
𝑎𝑖𝑗
𝑘+1
= 𝑎𝑖𝑗
𝑘
𝑏𝑖
...
Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires
Jaouad DABOUNOU Page 50
3. Application
3.1. Application
On considère le...
Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires
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𝐁(3)
=
1
10
3
2
et on a l'équivalence
AX=B  A(...
Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires
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Exercice 1: Vérifier si la matrice...
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Ce cours introduira les étudiants à l'analyse numérique. Il aborde les thèmes suivants :
- Introduction au calcul numérique,
- Résolution des équations numériques,
- Interpolation polynomiale,
- Dérivation et intégration numériques,
- Résolution des équations différentielles ordinaires
- Résolution de systèmes linéaires.
A chaque fois, les notions présentées sont illustrées par des exemples pratiques. Des exercices
et problèmes sont aussi proposés afin de confronter les étudiants aux multiples difficultés du
calcul numérique.

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  1. 1. Université Hassan Premier Faculté des Sciences et Techniques Settat Parcours MIP Analyse Numérique Pr Jaouad Dabounou Année universitaire 2014/2015
  2. 2. Introduction Ce cours introduira les étudiants à l'analyse numérique. Il aborde les thèmes suivants :  Introduction au calcul numérique,  Résolution des équations numériques,  Interpolation polynomiale,  Dérivation et intégration numériques,  Résolution des équations différentielles ordinaires  Résolution de systèmes linéaires. A chaque fois, les notions présentées sont illustrées par des exemples pratiques. Des exercices et problèmes sont aussi proposés afin de confronter les étudiants aux multiples difficultés du calcul numérique. Nous n'avons pas ici l'ambition de l'exhaustivité. Le domaine du calcul numérique s'est développé de manière très importante et il est devenu impossible de le couvrir dans un cours qui se veut correspondre au niveau des deux premières années universitaires des filières scientifiques. Même en ce qui concerne les problèmes traités, nous ne souhaitons pas lister l'ensemble des méthodes et techniques utilisées pour trouver des solutions numériques. Nous voulons surtout transmettre et faire émerger chez l'étudiant l'intelligence des approches de résolution, la capacité d'adapter des concepts généraux à des situations particulières, l'habileté d'articuler des logiques différentes et des raisonnements complémentaires pour mieux appréhender les problèmes à traiter. Et nous souhaitons surtout partager avec nos étudiants et lecteurs le plaisir de faire des mathématiques. A chaque fois que c'est nécessaire, nous allons nous attarder sur des concepts et du vocabulaire mathématiques. Cependant, nous essayerons de ne pas ennuyer le lecteur par des notions qui n'apporteront pas grande chose à la compréhension des thèmes abordés ou que nous ne jugeons pas indispensables pour l'atteinte des objectifs fixés pour ce cours. Nous aurons gagné notre pari si nous arrivons à faire aimer les mathématiques aux étudiants et à leur montrer à la fois son intérêt pour leur carrière scientifique et son accessibilité au moyen d'un effort que tout un chacun peut fournir. La pratique s'avère indispensable pour la compréhension des méthodes numériques et de la logique sous-jacente et pour l'assimilation des techniques utilisées. Nous allons donc proposer de manipuler les différentes méthodes présentées sur des exemples concrets. Dans cette perspective, même si de nombreuses implémentations des différentes méthodes numériques sont déjà existantes, mises au point par des professionnels, nous allons essayer de les réécrire en les adaptant quelquefois à des choix que nous aurons fait au préalable. Des fois nous aurons à reconsidérer les techniques de modélisation qui nous permettent d'obtenir les formulations mathématiques à résoudre. Question de comprendre le contexte dans lequel travaille un numéricien professionnel. Cet exercice nous permettra aussi de nous entrainer à tenir compte de la complexité des problèmes concrets et de donner un sens à certains paramétrages qui simplifieront nos équations de départ. Le cours que nous allons présenter, nous le voulons vivant, dynamique et perfectible grâce à la contribution et aux observations des collègues, à l'interaction avec les étudiants et aux différents échanges qui peuvent, nous l'espérons, avoir lieu à son sujet. Il sera complété par des vidéos qui permettront une meilleure illustration de certaines parties et faciliteront l'assimilation de certaines démonstrations.
  3. 3. Table des matières Chapitre 1. Généralités sur l'analyse numérique..........................................7 1. INTRODUCTION ............................................................................................................................5 2.1. Sources et mesures de l’erreur..............................................................................................................6 2.2. Evaluation de l'erreur............................................................................................................................7 2.3. Méthodes itératives ..............................................................................................................................8 2.4. Programme informatique......................................................................................................................8 Chapitre 2. Résolution des équations numériques.................................... 11 1. POSITION DU PROBLÈME..........................................................................................................9 2. METHODE DE DICHOTOMIE .................................................................................................. 10 2.1. Principe de la méthode : ..................................................................................................................... 10 2.2. Critère d’arrêt: .................................................................................................................................... 12 2.3. Programme informatique.................................................................................................................... 12 2.4. Application de la méthode de dichotomie........................................................................................... 13 Utilisation du tableur Excel........................................................................................................................... 14 3.3. Ordre et convergence de la méthode de la sécante............................................................................. 14 3. MÉTHODE DE LA SÉCANTE..................................................................................................... 14 3.1. Construction........................................................................................................................................ 14 3.2. Application de la méthode de la sécante............................................................................................. 15 3.3. Programme informatique.................................................................................................................... 16 3.4. Ordre et convergence de la méthode de la sécante............................................................................. 16 4. MÉTHODE DE NEWTON........................................................................................................... 16 4.1. Construction de la méthode................................................................................................................ 16 4.2. Application de la méthode de Newton................................................................................................ 17 4.3. Programme informatique.................................................................................................................... 18 4.4. Ordre et convergence de la méthode de Newton................................................................................ 18 4.5. Applications de la méthode de Newton .............................................................................................. 19 4.5.1. Recherche de l'inverse d'un nombre.................................................................................................. 19 5. MÉTHODE DE SUBSTITUTION............................................................................................... 20 5.1. Principe de la méthode ....................................................................................................................... 20 5.2. Conditions de convergence ................................................................................................................. 20 6. COMPARAISON DES DIFFÉRENTES MÉTHODES.............................................................. 21 7. MÉTHODES SPÉCIALES AUX ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES ............................................ 21 7.1. Application de la méthode de Newton................................................................................................ 21 7. 2. Méthode de Graeffe........................................................................................................................... 23 Chapitre 3. Interpolation polynomiale .......................................................... 27
  4. 4. 1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 27 2. INTERPOLATION POLYNOMIALE......................................................................................... 27 2.1. Le polynôme de Lagrange.................................................................................................................... 27 2.2. Exemple d'application......................................................................................................................... 28 3. LE POLYNÔME DE NEWTON................................................................................................... 29 3.2. Exemple d'application......................................................................................................................... 31 4. CALCUL DE L'ERREUR .............................................................................................................. 31 5. PHENOMENE DE RUNGE..................................................................................................... 33 6. ALGORITHME DE NEVILLE ..................................................................................................... 34 Chapitre 4. Dérivation et intégration numériques .................................... 35 1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 36 2. DÉRIVATION NUMÉRIQUE...................................................................................................... 36 2.1. Formule de différences progressives ................................................................................................... 36 2.2. Formule de différences centrales ........................................................................................................ 37 2.3. Exemple d'application......................................................................................................................... 38 2.4. Approximation des dérivées d'ordre supérieur ................................................................................... 39 3. INTEGRATION NUMERIQUE................................................................................................... 40 3.1. Méthode des rectangles...................................................................................................................... 40 3.2. Méthode des trapèzes......................................................................................................................... 41 3.3. Méthode de Simpson .......................................................................................................................... 42 3.4. Exemple d'application......................................................................................................................... 43 3.5. Subdivision de l'intervalle d'intégration .............................................................................................. 44 Chapitre 5. Résolution de systèmes linéaires.............................................. 45 1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 46 2. METHODES DIRECTES DE RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES....................... 47 2.1. Résolution des systèmes triangulaires................................................................................................. 47 2.2. Méthode d'élimination de Gauss et décomposition LU ....................................................................... 48 3. APPLICATION.............................................................................................................................. 50 3.1. Application.......................................................................................................................................... 50 3.2. Utilisation de MATLAB ........................................................................................................................ 51
  5. 5. Jaouad DABOUNOU Page 5 Chapitre 1 Généralités sur l'analyse numérique 1. Introduction L'analyse numérique consiste à concevoir des approches, construire des algorithmes et développer des programmes informatiques qui permettent de résoudre des problèmes issus de cas concrets et formulés mathématiquement (on dit aussi modélisés) le plus souvent sous forme d'équations. En effet, la modélisation et le calcul numérique sont appliqués dans différents domaines comme la conception et calcul de bâtiment, de chaussées et d'ouvrages d'art, la conception d'avions de voitures,… l'ingénierie financière et modélisation, la météo, la modélisation mathématique des systèmes biologiques, le calcul spatial,… 1. Modélisation: Arriver au problème mathématique traduisant le mieux le phénomène considéré, 2. Représentation: Choisir une famille de fonctions susceptibles de bien approcher la solution de 1 et la base qui servira à cette représentation, 3. Paramètres: Bien choisir les degrés, points de grille ou d'interpolation, qui assureront une erreur suffisamment faible, 4. Algorithme: Décrire les étapes de calcul aboutissant à la solution numérique, 5. Programmation: Tenir compte des moyens de calcul disponibles, 6. Visualisation: La réponse peut se limiter à quelques nombres, mais peut nécessiter une présentation sous forme de tables, graphes, etc. L'analyse numérique est concernée par les points (2), (3), et (4) pour une certaine part (l'algorithmique numérique pour une autre part). Du fait de leur relation avec la résolution de problèmes concrets, les méthodes numériques ont emprunté aux domaines d'application des qualifications traditionnellement non utilisées en mathématiques. On parle ainsi de cout de la méthode, de sa fiabilité, sa vitesse, sa précision, sa complexité, sa stabilité, son efficacité, son autoadaptabilité,… Une méthode numérique est le plus souvent utilisée pour obtenir une estimation approchée d'une solution à un problème. On se satisfait de solutions approchées parce que dans la majorité des situations réelles, une solution suffisamment précise peut nous dispenser d'une solution exacte trop couteuse ou impossible à obtenir.
  6. 6. Analyse numérique Généralités sur l'analyse numérique Jaouad DABOUNOU Page 6 Cependant, on doit pouvoir vérifier la précision des méthodes utilisées. Autrement dit, on doit pouvoir maitriser les sources des erreurs pour contrôler la fiabilité des solutions approchées obtenues. 2.1. Sources et mesures de l’erreur Les méthodes numériques sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes concrets. Lors de l'utilisation des méthodes numériques, on distingue plusieurs sources d'erreur :  1 erreur due au modèle (qui est une approximation de la réalité)  2 erreur sur les données  3 erreur de calcul (numérique) o de troncature liée au schéma numérique utilisé o d’arrondi qui résulte de la représentation des nombres réels Nous allons tout au long de ce cours aborder, en les illustrant, chacun de ces types d'erreur. Mais nous commençons par ceux dus à la représentation des nombres réels. 2.1.1. Représentation décimale approchée des nombres réels Si en mathématiques l'ensemble des nombres réels est infini, sa représentation dans la mémoire d'un ordinateur utilise généralement un codage sur 32 ou 64 bits et donc ne peut représenter de façon exacte qu'un nombre fini de nombres réel. Ainsi, les nombres réels sont représentés dans la mémoire d'un ordinateur sous forme approchée. La notation la plus utilisée est la représentation avec virgule flottante; soit x est un nombre réel, on pose 𝑥 ≈ ± 𝑚 . 2 𝑒 Dans la base 2 où m est la mantisse et e l'exposant. Les calculs sont généralement effectués en base 2, les résultats affichés sont traduits en base 10. En simple précision, sur 32 bits donc 4 octets, on a 23 bits pour m et 8 bits pour e en plus d'un bit pour le signe. Cela permet de représenter des nombres compris, en valeur absolue, entre 2-128  10-38 et 2128  1038 . On en déduit que nous disposons de 7 chiffres décimaux significatifs car 223  107 . On montre de la même manière qu'en double précision, sur 64 bits donc 8 octets, avec 52 bits pour m et 11 bits pour e en plus d'un bit pour le signe, on a 15 chiffres décimaux significatifs car 252  1015 . 2.1.2. Erreur de troncature Il s'agit ici des erreurs qui se produisent lorsqu'on utilise des approximations basées, le plus souvent, sur les séries de Taylor. Ainsi, si on choisit x0 et x deux réels appartenant au domaine de définition d'une fonction f suffisamment dérivable, on peut écrire: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0 𝑓′ 𝑥0 + … + 𝑥 − 𝑥0 𝑛 𝑛! 𝑓 𝑛 𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0 𝑛+1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1  où
  7. 7. Analyse numérique Généralités sur l'analyse numérique Jaouad DABOUNOU Page 7 𝑥0 <  < 𝑥 Lorsqu'on néglige le terme 𝑥 − 𝑥0 𝑛+1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1  On dit qu'il correspond à l'erreur de troncature. On peut ainsi écrire 𝑠𝑖𝑛 0.1 = 0.1 − 0.1 3 3! + 0.1 4 4! 𝑠𝑖𝑛  avec 0 <  < 0.1 Donc si on choisit 𝑠𝑖𝑛 0.1 = 0.1 − 0.1 3 3! ≈ 0.099833333 L'erreur de troncature est alors estimée à la valeur maximale possible : 0.1 4 4! ≈ 0.0000042 Remarquer que la valeur analytique de sin(0.1)  0,099833417. 2.2. Evaluation de l'erreur Notons x* la solution analytique et x la solution approchée d'un problème donnée. On désigne par erreur absolue la valeur : |𝑥∗ − 𝑥| Cette valeur désigne l'écart entre la solution approchée obtenue en utilisant une méthode numérique et la solution analytique "exacte" du problème. La solution analytique étant à priori inconnue, une des caractéristiques intéressante des méthodes numériques consiste à donner une estimation maximale de cette erreur. Cette mesure de l'erreur est cependant rarement utilisée du fait qu'elle ne tient pas compte de la valeur de x* . En effet, si on estime que l'erreur absolue est par exemple égale à 1, son appréciation ne sera pas la même selon que x* = 10 ou x* = 1000. Ainsi, dans la majorité des cas, on utilise une estimation de l’erreur relative donnée par :
  8. 8. Analyse numérique Généralités sur l'analyse numérique Jaouad DABOUNOU Page 8 |𝑥∗ − 𝑥| |𝑥∗| ou encore une combinaison entre erreur absolue et erreur relative |𝑥∗ − 𝑥| 1 + |𝑥∗| Cette dernière expression nous dispense du traitement du cas où x* est voisin de 0. 2.3. Méthodes itératives Dans la majorité des méthodes numériques, on commence par proposer une solution approximative initiale, ensuite un algorithme va améliorer cette solution jusqu'à satisfaire un certain critère de convergence. On dit alors que le calcul ou la recherche de la solution se font à travers des itérations. A chaque itération, on répète le plus souvent les mêmes instructions, mais sur des données obtenues lors de (des) itération(s) précédente(s) de sorte que chaque itération améliore la solution. De manière générale, une bonne estimation de la valeur initiale garantit et améliore la convergence des algorithmes utilisés. L'obtention de cette première estimation de la solution dépend plus de l'analyse du problème à résoudre plutôt que des méthodes numériques. On signale, comme corollaire, que les méthodes numériques ne se substituent en aucun cas à l'expertise de celui qui les utilise et à sa connaissance et maîtrise du contexte de leur utilisation. 2.3.1. Convergence d’une méthode Le plus souvent l'utilisation d'une méthode numérique consiste à partir d'une première estimation approchée de la solution, et à exécuter des instructions pour améliorer cette estimation initiale. Ensuite, on utilise l'approximation calculée comme valeur initiale à améliorer en exécutant les mêmes instructions et ainsi de suite. A la fin de chaque itération, la méthode nous permet généralement d'évaluer l'erreur d'approximation et de décider, si celle-ci est suffisamment petite, d'arrêter le processus. Une méthode est convergente si l’on peut rendre l’erreur de calcul arbitrairement petite. Dans la pratique, on dit qu'il y a convergence de la méthode numérique si, au bout d'un nombre acceptable (pas trop élevé) d'itérations on obtient une erreur suffisamment petite. Dans le cas contraire on dit que la méthode a divergé. 2.4. Programme informatique Un programme informatique correspond à la description d’une méthode de résolution pour un problème donné. Cette description est effectuée par une suite d’instructions qui constituent un algorithme, traduit ensuite dans un langage de programmation. Ces instructions permettent de traiter et de transformer les données (entrées) du problème à résoudre pour aboutir à des résultats (sorties). Un programme n’est pas une solution en soi mais une méthode à suivre pour trouver les solutions.
  9. 9. Jaouad DABOUNOU Page 9 Chapitre 2 Résolution des équations numériques 1. Position du problème On considère dans ce chapitre de résoudre l'équation non-linéaire à une seule variable f(x) = 0 ou f(x) = g(x) • Une racine x* d’une fonction f est un nombre réel qui vérifie f(x* ) = 0. • Pour simplifier, on considère dans ce cours que f et g sont des fonctions numériques à variable réelle (f, g : R  R). Il est à remarquer que ces fonctions sont généralement de Rn dans Rn . Ainsi résoudre une équation f(x)=0 revient à calculer une racine de f. Exemples : 1. f(x) = 2x + 5. Dans ce cas, l’équation f(x) = 0 est dite équation linéaire. f possède une racine unique x* = 2,5. 2. f(x) = x2 + x – 2. f possède deux racines distinctes 1 et -2. 3. f(x) = x2 – 7x -1. f possède deux racines distinctes (discriminant positif). Dans les exemples précédents, on dit que les solutions sont analytiques. En effet, nous obtenons les valeurs ou expressions exactes des racines des fonctions. Cependant, dans les équations numériques que l'on a souvent à résoudre :  Soit on n'a pas de solution analytique Exemple: f(x) = sin(x) – xex = 0  Soit la résolution analytique est très couteuse
  10. 10. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 10 Exemple : Résoudre l’équation linéaire Ax – b = 0, A matrice, x et b de Rn . Pour n assez grand, il est déconseillé de calculer l’inverse de la matrice A pour obtenir x* = A-1 b. La résolution d’une équation f(x) = 0 se fait généralement en recourant aux méthodes numériques. Cela consiste le plus souvent à commencer par donner une estimation approchée de la racine, ensuite chaque méthode propose un algorithme itératif qui vise à améliorer l’estimation de départ. La solution obtenue au bout d’un nombre fini (et acceptable) d’itérations, si l’algorithme utilisé le permet, est dite solution approchée. En effet elle ne coïncide pas le plus souvent avec la solution analytique. Mais dans les applications concrètes cela ne pose pas de problème à condition de pouvoir contrôler l’erreur. Une solution précise peut être utilisée à la place d’une solution exacte. 2. Méthode de dichotomie 2.1. Principe de la méthode : Si une fonction f continue change de signe sur un intervalle [a , b] alors il existe c dans cet intervalle tel que f(c) = 0. "Théorème des valeurs intermédiaires" 𝑓 continue sur [𝑎 , 𝑏] 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0   c  [a , b] tel que f(c) = 0 𝑥0 = 𝑎 + 𝑏 2 est utilisée comme une approximation de la racine de f. On aura f(a).f(x0) < 0 ou f(x0).f(b) < 0 ou f(x0) = 0. Ce qui revient à dire qu'une racine x* se trouve dans [a , x0] ou dans [x0 , b].
  11. 11. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 11 Dans la figure ci-dessous, on a f(x0).f(b) < 0. Une racine se trouve donc dans l’intervalle [x0 , b]. On note a0=a, b0=b, puis a1=x0, b1= b0. On cherche ainsi la racine sur [a1 , b1]. Maintenant la recherche s’effectue sur un intervalle de taille plus petite. 𝑏1 − 𝑎1 = 𝑏0 − 𝑎0 2 On pose alors 𝑥1 = 𝑎1 + 𝑏1 2 On détermine de la même façon un intervalle [a2 , b2] de longueur 𝑏2 − 𝑎2 = 𝑏1 − 𝑎1 2 = 𝑏0 − 𝑎0 22 = 𝑏 − 𝑎 22 tel que f(a2).f(b2) < 0, donc [a2 , b2] contient une racine x* . En répétant ce processus, on construit une suite d'approximations x0, x1, ... , xi, xi+1, ... avec: 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 2 et 𝑒𝑟𝑟𝑖 = 𝑥∗ − 𝑥𝑖 = 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 2 = 𝑏 − 𝑎 2𝑖+1 La méthode de dichotomie assure la convergence vers une racine de f. Remarque: Noter que l'erreur 𝑒𝑟𝑟𝑖 = 𝑥∗ − 𝑥𝑖 est inconnue. Mais on l'assimile à la valeur maximale que l'erreur peut prendre, soit 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 2
  12. 12. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 12 2.2. Critère d’arrêt: La méthode de dichotomie est itérative. On arrête les itérations dans l'un des cas suivants: - Arrêt lorsque la précision demandée est réalisée, 𝑥∗ − 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏 𝑛 − 𝑎 𝑛 2 = 𝑏 − 𝑎 2 𝑛+1 <  x* étant la racine analytique de f. ou - Arrêt après un nombre maximum d’itérations. Dans le premier cas on dit qu'il y a convergence (xn  x* ), n étant le premier entier qui vérifie 𝑏 − 𝑎 2 𝑛+1 <  C’est-à-dire le plus petit entier n tel que : log2 𝑏 − 𝑎   𝑛 + 1 Ce qui correspond à : 𝑛 = E log2 𝑏 − 𝑎  Le nombre des itérations nécessaires à la convergence de la méthode de dichotomie dépend ainsi de la longueur de l’intervalle et de la précision demandée. Mais il ne dépend pas de la fonction f. 2.3. Programme informatique Code en langage C Programme simplifié pour être facile à comprendre. float dichotomie(float a, float b, float eps, float (*f)(float)){ /* Données: a et b, telles que f(a).f(b)<0 Précision demandée : eps */ float c,err; err=fabs(b-a)/2; int i=0; c=(a+b)/2.0; while( err > eps ) { if( f(a)*f(c) < 0 ) b = c;
  13. 13. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 13 else a = c; c=(a+b)/2.0; err = fabs(b-c); i++; } return c; } 2.4. Application de la méthode de dichotomie On se propose de calculer une racine de la fonction f(x) = sin(x) - cos(x) dans l’intervalle [0 , 1]. f est continue sur [0 , 1] et on a f(0) = -1 et f(1) = 0,301 donc f(0).f(1) < 0 et d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f possède une racine sur [0 , 1]. Nous allons utiliser la méthode de dichotomie pour calculer une estimation de cette racine. Le tableau suivant récapitule les étapes de résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de dichotomie. Chaque ligne correspond à une itération. xi désigne l’estimation de la racine à l’itération i et erri l’erreur relative à cette estimation. La précision demandée est  = 10-2 . i ai f(ai) bi f(bi) xi f(xi) erri 0 0 -1 1 0,30116868 0,5 -0,39815702 0,5 1 0,5 -0,39815702 1 0,30116868 0,75 -0,05005011 0,25 2 0,75 -0,05005011 1 0,30116868 0,875 0,12654664 0,125 3 0,75 -0,05005011 0,875 0,12654664 0,8125 0,03832309 0,0625 4 0,75 -0,05005011 0,8125 0,03832309 0,78125 -0,00586637 0,03125 5 0,78125 -0,00586637 0,8125 0,03832309 0,796875 0,01623034 0,015625 6 0,78125 -0,00586637 0,796875 0,01623034 0,7890625 pas nécessaire 0,0078125 La méthode de dichotomie converge vers la solution x= 0,789 à l’itération n=6 comme le prédit la formule vue auparavant : 𝑛 = E log2 1 − 0 102 = E 6,64 = 6 La méthode de dichotomie est couteuse en termes de temps de calcul. Son cout est souvent assimilé au nombre de fois où la fonction f est calculée. Dans le présent exemple, f est calculée 8 fois.
  14. 14. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 14 Utilisation du tableur Excel L’image suivante donne une idée de la manière dont le tableur Excel peut être utilisé pour calculer une racine de la fonction : f(x) = sin(x) - cos(x) dans l’intervalle [0 , 1]. 3.3. Ordre et convergence de la méthode de la sécante La méthode de dichotomie est très simple à implémenter et converge nécessairement. Toutefois, cette méthode est à convergence linéaire. 𝑒𝑟𝑟𝑖+1 = 𝑒𝑟𝑟𝑖 2 Sa convergence est donc très lente. 3. Méthode de la sécante La méthode que nous allons maintenant présenter peut être assimilée à une amélioration de la méthode de dichotomie. 3.1. Construction Étant donnés deux points initiaux x0 et x1, on calcule x2 par la formule x2 = x1- x1 – x0 f(x1) – f(x0) . f(x1) x1 et x2 sont ensuite utilisés pour calculer x3 et ainsi de suite… De façon générale, à partir de xi-1 et xi on calcule xi+1 par la formule : xi+1 = xi- xi – xi-1 f(xi) – f(xi-1) . f(xi )
  15. 15. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 15 Une valeur approchée de la racine est obtenue en calculant la limite de la suite (xi)i, si elle existe. On peut considérer, pour simplifier, qu’il y a convergence de la suite (xi)i , lorsque |xi+1 - xi| < ,  étant la précision demandée. Remarque: Contrairement à la méthode de dichotomie, les points initiaux x0 et x1 peuvent être du même côté de la racine recherchée. 3.2. Application de la méthode de la sécante On reprend l’exemple proposé dans le cas de la méthode de dichotomie f(x) = sin(x) - cos(x) sur l’intervalle [0 , 1]. Nous allons utiliser la méthode de la sécante pour calculer une estimation de la racine. On choisit x0 = 0 et x1=1. Le tableau suivant récapitule les étapes de résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de la sécante. La précision demandée est de 10-3 . i xi xi+1 f(xi) f(x i+1) erri 0 0 1 -1 0,30116868 1 1 1 0,76853986 0,30116868 -0,02384011 -0,23146014 2 0,76853986 0,78551797 -0,02384011 0,00016943 0,01697811 3 0,78551797 0,78539816 -0,00011981 La méthode de la sécante converge vers la solution x= 0,7854 à l’itération n=3. f est calculée 4 fois pour atteindre la convergence. Utilisation du tableur Excel Le tableau suivant indique comment Excel permet la résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de la sécante.
  16. 16. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 16 3.3. Programme informatique Programme en C Programme simplifié pour être facile à comprendre. Pour une utilisation plus rigoureuse, certaines modifications doivent être apportées à ce code. float secante(float x0, float x1, float eps, float (*f)(float)){ /* Données: x0,x1 : estimations initiales de la solution eps : précision demandée */ int itr, maxitr=20; float x1; for (itr=1; itr<=maxitr; itr++) { dx=(f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0)); x2=x1-dx; if (fabs(dx) < eps) { return x2; } x0=x1; x1=x2; } return -1; // -1 : divergence } 3.4. Ordre et convergence de la méthode de la sécante On peut montrer que Ce qui permet d’écrire |erri|  c| erri+1 | Avec =1.62. Il s’agit d’une convergence super-linéaire. 4. Méthode de Newton 4.1. Construction de la méthode Etant donnée x0, une estimation initiale de la racine de f, on calcule x1 comme suit: 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0) 𝑓′ (𝑥0) 11 * 1 .. )(" )(" 2 1         ii k k ii errerr f f xxerr  
  17. 17. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 17 x1est l'intersection de la tangent à la courbe de f au point (x0 , f(x0) avec l'axe des x. On obtient de la même manière x2, x3,… On construit ainsi une suite (xi)i par : 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓′ (𝑥𝑖) Remarque: La méthode de Newton et la méthode de la sécante peuvent être considérées similaires. En effet, on sait que h xfhxf xf ii h i )()( lim)(' 0    Si l’on suppose que xi-1 et xi sont voisins, cela permet d’écrire: 𝑓′(𝑥𝑖) 𝑓(𝑥𝑖) - 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝑥𝑖 - 𝑥𝑖−1 Cela montre que l’on peut obtenir la méthode de la sécante à partir de la méthode de Newton ou l’inverse. La méthode de la sécante est d'ailleurs appelée parfois méthode quasi- newtonienne. 4.2. Application de la méthode de Newton On applique la méthode de Newton pour trouver une estimation approchée de la racine de la fonction f(x) = sin(x) - cos(x) sur l’intervalle [0 , 1]. On choisit x0 = 0 et la précision de 10-3 . Le tableau suivant récapitule les étapes de résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de Newton.
  18. 18. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 18 i xi f(xi) f‘(xi) xi+1 erri 0 0 -1 1 1 1 1 1 0,30116868 1,38177329 0,7820419 -0,2179581 2 0,7820419 -0,00474646 1,4142056 0,78539818 0,00335627 3 0,78539818 1,7822E-08 1,41421356 0,78539816 -1,2602E-08 La méthode de Newton converge vers la solution x= 0,7854 à l’itération n=3. f est calculée 4 fois et f’ est calculée 4 fois pour atteindre la convergence. Utilisation du tableur Excel Utilisation du tableur Excel pour la résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de Newton. 4.3. Programme informatique Programme en C Programme simplifié pour être facile à comprendre. Pour une utilisation plus rigoureuse, certaines modifications doivent être apportées à ce code. float newton(float x0, float eps, float (*f)(float), float (*df)(float)){ /* Données: x0 : estimation initiale de la solution eps : précision demandée */ int itr, maxitr=20; float x1; for (itr=1; itr<=maxitr; itr++) { dx=f(x0)/df(x0); x1=x0-dx; if (fabs(dx) < eps) { return x1; } x0=x1; } return -1; // -1 : divergence } 4.4. Ordre et convergence de la méthode de Newton Si x* est la racine analytique de l'équation numérique, et si xi est voisin de x* , la différence
  19. 19. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 19 i = x* - xi, erreur absolue à l'itération i, sera petite. Soit i+1 = x* - xi+1. On a 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓′ (𝑥𝑖) Ce qui donne: 𝑖+1 = 𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓′ (𝑥𝑖) x* vérifiant l'équation f(x* ) = 0, d'après Taylor, nous avons 𝑓 𝑥∗ = 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑥∗ − 𝑥𝑖 𝑓′ 𝑥𝑖 + 𝑥∗ − 𝑥𝑖 2 2 𝑓"(𝑐𝑖) où ci  [x* , xi] Donc 0 = 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑖 𝑓′ 𝑥𝑖 + 𝑖 2 2 𝑓"(𝑐𝑖) On en déduit la relation 𝑖+1 = − 𝑖 2 2 𝑓"(𝑐𝑖) 𝑓′ 𝑥𝑖 On en déduit que la méthode de Newton est en général à convergence quadratique. Elle est à convergence cubique si f '' (x* ) = 0. Elle ne peut pas être utilisée lorsque f ' (x* ) = 0 c'est à dire lorsque le point cherché est un point de tangente parallèle avec l'axe des x. Dans ce dernier cas x* est racine double de f. Comment choisir x0. De façon générale, vous devez comprendre ce que signifie votre fonction, comment elle se comporte avant de procéder aux traitements numériques. 4.5. Applications de la méthode de Newton 4.5.1. Recherche de l'inverse d'un nombre Nous allons résoudre l'équation en utilisant la méthode de Newton ou xi+1 = xi(2 - bxi)
  20. 20. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 20 Nous avons aussi la relation où xi et ci sont voisins de , donc I.2.2. Recherche de la racine carrée d'un nombre Nous allons maintenant résoudre l'équation x2 - a = 0 par la méthode de Newton Nous avons donc ou et ainsi 𝑖+1 = − 𝑖+1 2 2𝑥𝑖 5. Méthode de substitution Cette méthode est également itérative, mais ne nécessite pas le calcul de la dérivée. Par contre, sa convergence n'est pas automatique. 5.1. Principe de la méthode On met l'équation f(x) = 0 sous la forme g(x) – x = 0 en posant par exemple g(x) = x + f(x), R* Pour résoudre l'équation g(x) – x = 0, on choisit un nombre x0, et on construit la suite x1, x2,....... par xi+1 = g(xi). On suppose que la fonction g est continue. Si cette suite converge vers une limite l, on aura l = g(l), et par conséquent l est une racine de l'équation proposée. Cette méthode s'appelle aussi méthode du point fixe. 5.2. Conditions de convergence Si xi est voisin de la racine x* , soit i = x* - xi et d'après la formule des accroissements finis,
  21. 21. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 21 g(x* ) = g(xi) + i g'(ci), ci  [x* , xi] D'où i+1 = i g'(ci), ci  [x* , xi] Nous voyons que lorsque g'(x* ) < 1, et si g est suffisamment régulière, i tend vers 0 quand i tend vers . Il y a donc convergence dans ce cas. A l'inverse, si g'(x* ) > 1, i ne peut tendre vers 0 même si xi est voisin de la racine x* . Si |g'(x* ) < 1, la méthode de substitution est à convergence linéaire. Dans la pratique, nous devons trouver un réel 0  k  1 et un intervalle I contenant la racine x* tels que: xI, |g'(x* ) < k. On peut aussi, dans ce cas, montrer l'unicité du point fixe de g qui est en même temps racine de f. 6. Comparaison des différentes méthodes • Méthodes – Dichotomie : • inconvénient : convergence très lente • avantage : convergence assurée – Newton : • inconvénient : calcul des dérivées • avantage : convergence quadratique – Quasi-Newton : • inconvénient : convergence super-linéaire • avantage : pas de calcul des dérivées – Point Fixe : • inconvénient : convergence linéaire • inconvénient : choix de g • Problème général : initialisation de la suite. 7. Méthodes spéciales aux équations algébriques Les équations que nous considérerons dans cette partie sont de la forme f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... akxn-k n + ... an-1x + an = 0 En plus des méthodes présentées dans les paragraphes précédents, les propriétés particulières des équations algébriques conduisent à de nouvelles méthodes qui leur sont propres. 7.1. Application de la méthode de Newton Pour simplifier, on va considérer un polynôme unitaire de troisième degré f(x) = x3 + a1 x2 + a2 x + a3
  22. 22. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 22 n = 3 et a0 = 1 x0 étant un nombre donné, la meilleure façon de calculer f(x) consiste à évaluer successivement b0 = a0 = 1 b1 = b0 x0 + a1 b2 = b1 x0 + a2 b3 = b2 x0 + a3 C'est à dire f(x0) = ((a0 x0 + a1) x0 + a2) x0 + a3 On a ainsi b3 = f(x0) Ce calcul ne nécessite que 3 multiplications Un autre avantage de cette méthode est que si x0 est une racine de l'équation f(x)=0, donc les autres racines sont celles de l'équation de degré 2, f1(x) = b0 x2 + b1 x + b2 En effet, pour tout x et x0, on a f1(x) (x - x0) = f(x) - b3 Emploi de la méthode de Newton On se donne x0 et on obtient x1 par la relation On obtient alors par dérivation f1'(x) (x - x0) + f1(x) = f ' (x) Il suffit donc de calculer c0 = b0 = 1 c1 = c0 x0 + b1 c2 = c1 x0 + b2 et donc f '(x0) = c2
  23. 23. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 23 7. 2. Méthode de Graeffe Cette méthode fournit simultanément toutes les racines d'une équation algébrique. Elle ne nécessite pas la connaissance d'approximations initiales. Elle tombe en défaut si certaines racines sont égales en module. Pour simplifier, on va considérer un polynôme unitaire de troisième degré f(x) = x3 + a1 x2 + a2 x + a3 n = 3 et a0 = 1 Posons x1, x2, x3, les racines de f(x). On a f1(x) = (x - x1) (x - x2) (x - x3) Ce qui conduit aux relations a1 = -(x1 + x2 + x3) a2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 a1 = -x1 x2 x3 On considère le cas où  x3  <<  x2  <<  x1  On peut alors utiliser les approximations suivantes 8. Exercices Exercice 1 : Soit la fonction f(x) = x sin (x) + 1 1. Montrer que f ne s’annule pas sur [-π , π]. 2. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de solutions sur R. 3. Monter qu’il existe au moins un point s  [0 , π] tel que f(s) = 2s. 4. Montrer l’unicité de ce point s  [0 , π]. 5. Utiliser la méthode de Newton pour calculer s avec une précision de 10-4 6. Utiliser la méthode de substitution pour calculer s avec une précision de 10-4 Exercice 2 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = x2x - 1. 1. Montrer que f possède une racine sur [0 , 1]. 2. Montrer que cette racine est unique sur [0 , 1]. 3. Utiliser la méthode de dichotomie pour calculer la racine de f avec une précision de l’ordre de 10-2 .
  24. 24. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 24 4. On pose x0 = 0.5, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 5. Quelle est d'après cet exemple la vitesse de convergence de la méthode de Newton ? 6. Soit x0 = 0 et x1 = 0.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 7. Proposer une formule qui permet d'utiliser la méthode de substitution pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 8. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple. Exercice 3 : On considère la fonction f(x) = x - 1 2 sin(x) -1. 1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution x* . 2. Montrer que l’on peut construire une fonction g(x) telle que g(x* ) = x* , vérifiant pour tous x et y réels : |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec 0 < k < 1. 3. Construire alors une suite (xn)nN qui converge vers x* . 4. Quelle est la vitesse de convergence de la méthode utilisée pour calculer x* ? Exercice 4 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = sin(ex ) – x. 1. Montrer que f admet une racine sur [-1 , 1]. 2. Montrer que f ne s'annule pas sur ]- , -1[ et sur [1 , +[. 3. Montrer que f s'annule en un point unique sur R. 4. On considère l'intervalle [-1 , 1], utiliser la méthode de dichotomie pour calculer la racine de f dans cet intervalle avec une précision de l’ordre de 10-2 . 5. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 6. Soit x0 = 1 et x1 = 1.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 7. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple. Exercice 5 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = ex – 2x - 1. On pose a = ln(2). 1. Montrer que f admet une racine unique sur ]- , a] que vous déterminez sans utiliser les méthodes d'analyse numérique. 2. Montrer que f admet une racine unique sur [a , +[. 3. On considère l'intervalle [a , 2], utiliser la méthode de dichotomie pour calculer la racine de f dans cet intervalle avec une précision de l’ordre de 10-2 . 4. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3 . 5. Soit x0 = 1 et x1 = 1.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3 . On pose g(x) = 1 2 (ex – 1). 8. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement. 9. Montrer que pour tout x de [a , 2], g'(x)≥1. 10. En déduire que cette expression de g ne permet pas d'utiliser la méthode de substitution pour trouver la racine de f sur [a , 2]. On pose maintenant g(x) = ln(2x + 1) 11. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement.
  25. 25. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 25 12. Montrer que l'on peut alors utiliser la méthode de substitution avec cette expression de g pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3 . 13. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple. Exercice 6 : On se propose de calculer une racine de la fonction f(x) = x cos(x) + 2 x + 1 sur [-1 , 1]. 1. Montrer que f admet une racine unique sur [-1 , 1]. 2. Montrer que f possède une infinité de racines sur ]- , 0]. 3. Montrer que l'on peut utiliser la méthode de substitution pour calculer la racine de f dans [-1 , 1]en posant : 𝑔(𝑥) = −1 cos 𝑥 + 2 4. Utiliser la méthode de substitution avec cette expression de g pour trouver la racine de f sur [-1 , 1] avec une précision de l’ordre de 10-3 . 5. Combien alors de fois la fonction g construite à partir de f a été calculée pour atteindre cette solution ? 6. Déterminer numériquement à l'aide de cet exemple la vitesse de convergence de la méthode de substitution. Exercice 7 : On considère sur l’intervalle [0 , 1] la fonction f(x)= x-e(-1-x) 1. Utiliser la méthode de dichotomie, la méthode de Newton, la méthode de substitution et, enfin, la méthode de la sécante pour calculer une racine de f. 2. Etudier pour chacune des méthodes la vitesse de convergence. Exercice 8 : Soit a un réel non nul, on veut utiliser la méthode de Newton pour calculer 1/a. a- Montrer que cela conduit à calculer la limite de la suite xn+1 = xn (2 - axn). b- Déterminer la condition sur le choix de x0 pour que cette suite converge vers 1/a. Exercice 9 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = xex - cos(x). 7. Montrer que f ne s'annule pas sur [1 , +[. 8. En déduire que f possède une racine unique sur [0 , +[. 9. Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver la racine positive de f avec une précision de l’ordre de 10-2 en considérant l'intervalle [0 , 1]. 10.Evaluer le coût de la méthode de dichotomie dans le cas ci-dessus. 11.Utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine positive de f avec une précision de l’ordre de 10-3 avec x0 = 0 et x1=0,5. 12.Evaluer le coût de la méthode de la sécante dans le cas ci-dessus. 13.Utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 avec x0 = 1. 14.Evaluer le coût de la méthode de Newton dans le cas ci-dessus. Exercice 10 : Soit la fonction f(x) = 2 x sin (x) + 𝟏 𝟐 1. Montrer que f ne s’annule pas sur [-π , π]. 2. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de solutions sur R. 3. Monter qu’il existe au moins un point s  [0 , π] tel que f(x) = 2x. 4. Montrer l’unicité de ce point s  [0 , π].
  26. 26. Analyse numérique Résolution des équations numériques Jaouad DABOUNOU Page 26 5. Utiliser, en proposant x0, la méthode de Newton pour calculer s avec une précision de 10-3 6. Utiliser, en proposant x0 et x1, la méthode de la sécante pour calculer s avec une précision de 10-3 . 14.Utiliser, si c'est possible, la méthode de substitution pour calculer s avec une précision de 10-3 . Exercice 11 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = x5 + 2x3 - 1. 1. Montrer que f admet une racine unique dans R. On note  cette racine réelle de f. 2. Montrer que   1. 3. Montrer que  > 0. On considère alors l'intervalle [0 , 1]. On veut utiliser la méthode de Newton pour trouver une estimation de . 4. Démontrer que si on choisit x0 ≥ 1, la suite (xn)n donnée par la méthode de Newton est strictement décroissante. 5. Démontrer que pour tout n ≥ 1, 𝒙 𝒏+𝟏 = 𝜶 + 𝜶 − 𝒙 𝒏 𝟐 𝟐 𝒇"() 𝒇′ 𝒙 𝒏 ,   ] , 𝒙 𝒏[ 6. Démontrer que la suite (xn)n est minorée par . 7. Démontrer alors que la suite (xn)n converge vers . 8. On choisit maintenant x0=1, calculer la racine de f,  avec une précision de 9. Quelle est la vitesse de convergence de la suite (xn)n ? Exercice 12 : On se propose de calculer une valeur approchée de 𝟐 . On considère la fonction f(x) = x2 – 2 1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution positive x* . 2. Soit la fonction g(x) = x 2 + 1 x 3. Montrer que l’on peut construire une fonction g(x) telle que g(x* ) = x* , vérifiant pour tous x et y dans un intervalle que vous déterminez : |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec 0 < k < 1. 4. Construire alors une suite (xn)nN qui converge vers x* . 5. Quelle est la vitesse de convergence de la méthode utilisée pour calculer x* ? Exercice 13 : On considère sur ]0 , +] la fonction f(x) = x - cos( 1 x ). a- Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de racines sur ]0 , 1]. b- Etudier la résolution de l'équation f(x) = 0 sur [1 , +].
  27. 27. Jaouad DABOUNOU Page 27 Chapitre 3 Interpolation polynomiale 1. Introduction Supposons que nous connaissons les valeurs d'une fonction en un nombre de points x0, x1, ... , xn, mais que nous n'avons pas l'expression analytique de f. Pour estimer la valeur de f en un point quelconque x  R, on peut construire un polynôme P tel que P(xi) = f(xi) pour i=0,1,...,n et utiliser l'approximation P(x)  f(x). C'est ce qu'on appelle interpolation polynomiale. 2. Interpolation polynomiale 2.1. Le polynôme de Lagrange Théorème: Etant donnés n+1 points x0, x1, ... , xn, deux à deux distincts et n+1 réels y0, y1, ... , yn, , il existe un polynôme PPn(R) et un seul tel que P(xi) = yi ; i=0,1, ... ,n Démonstration : L'existence est donnée directement par le polynôme 𝑃 𝑥 = 𝑦𝑖 𝐿𝑖 𝑛 𝑖=0 𝑥 où les polynômes Li sont donnés par l'expression: 𝐿𝑖(𝑥) = (𝑥 − 𝑥 𝑘 ) (𝑥𝑖 − 𝑥 𝑘) 𝑘=𝑛 𝑘=0 𝑘≠𝑖 On a ainsi 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥 𝑛 𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥2 … 𝑥0 − 𝑥 𝑛 𝑦0 + 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥 𝑛 𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥2 … 𝑥1 − 𝑥 𝑛 𝑦1 + … + 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥 − 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑛 − 𝑥0 𝑥 𝑛 − 𝑥1 … 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1 𝑦𝑛 L'unicité est immédiate : si on a deux polynômes P et Q ayant pour les n+1 points (xi , yi) P(xi) = Q(xi) = yi alors soit R = P – Q, on a :
  28. 28. Analyse numérique Interpolation polynomiale Jaouad DABOUNOU Page 28 R(xi) = 0 pour les n+1 nombres distincts xi, i=0,n; or R, comme P et Q est de degré au maximum égal à n. On en déduit que R = 0. Remarque: Les Li vérifient les propriétés suivantes: Li(xi) = 1 et Li(xj) = 0 si i  j. 2.2. Exemple d'application On considère le tableau des xi et yi: i 0 1 2 3 4 xi -2 -1 0 1 2 yi 7,2160 7,0710 5,2460 3,0503 2,6294 Le polynôme d'interpolation de Lagrange en ces xi et yi est P(x) = 0.0348 x4 + 0.2879 x3 - 0.22 x2 - 2.298 x + 5.246 La figure ci-dessous présente la courbe de du polynôme P. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 3 4 5 6 7 8
  29. 29. Analyse numérique Interpolation polynomiale Jaouad DABOUNOU Page 29 On considère la fonction 𝑓 𝑥 = log 10 + 3 sin 𝑒 𝑥 + 𝑒(cos ⁡(𝑥)−𝑥) On peut remarquer que P(xi)= f(xi) pour i=0,4 La figure suivante présente les courbes de f et de P. L'interpolation de cette fonction f en -2, -1.5, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5 et 2 donne la figure suivante : 3. Le polynôme de Newton Définition : Soit f une fonction définie aux points xi, supposés deux à deux distincts. On définit les différences divisées par récurrence comme suit : 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑖 = 0, … , 𝑛 𝑓 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑖+𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑖+𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑖+𝑘 (𝑥𝑖+𝑘+1 − 𝑥𝑖) , 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 0, … , 𝑛 − 𝑖 − 1
  30. 30. Analyse numérique Interpolation polynomiale Jaouad DABOUNOU Page 30 Exemple: On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction f(x) = 𝟏 𝒙 On considère les points xi = 1, 4 3 , 5 3 et 2. Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par: f[1] = f(1) = 1 𝑓 1, 4 3 = 𝑓[ 4 3] − 𝑓[1] 1 3 = −0,75 f[ 4 3 ] = f( 4 3 ) = 0,75 𝑓[ 4 3 , 5 3] − 𝑓[1, 4 3] 2 3 = 0,45 𝑓 4 3 , 5 3 = 𝑓[ 5 3] − 𝑓[ 4 3] 1 3 = −0,45 𝑓[ 4 3 , 5 3 , 2] − 𝑓[1, 4 3 , 5 3] 1 = −0,225 f[ 5 3 ] = f( 5 3 ) = 0,6 𝑓[ 5 3 , 2] − 𝑓[ 4 3 5 3 ] 2 3 = 0,225 𝑓 5 3 , 2 = 𝑓 2 − 𝑓[ 5 3] 1 3 = −0,3 f[2] = f(2) = 0,5 Proposition : 𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑥𝑖) (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )𝑛 𝑗=0,𝑗≠𝑖 𝑛 𝑖=0 Démonstration : Par récurrence. Théorème: (Formule de Newton) Le polynôme d'interpolation de f aux points x0, x1, …, xn s'exprime dans la base de Newton comme 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + (𝑥 − 𝑥0)𝑓 𝑥0, 𝑥1 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)𝑓 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 + … + (𝑥 − 𝑥𝑖) 𝑛−1 𝑖=0 𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛
  31. 31. Analyse numérique Interpolation polynomiale Jaouad DABOUNOU Page 31 Remarque: La formule de Newton présente l'avantage d'exploiter les calculs déjà faits si un point d'interpolation est ajouté à la liste précédente. Dans la formule de Lagrange tous les calculs doivent être refaits. 3.2. Exemple d'application On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction f(x) = 𝟏 𝒙 On considère les points xi = 1, 4 3 , 5 3 et 2. Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par : P(x) = 1 – 0,75 (x – 1) + 0,45 (x – 1) (x – 4 3 ) – 0,225 (x – 1) (x – 4 3 ) (x – 5 3 ) La figure suivante présente la courbe de P. 4. Calcul de l'erreur Soit f : [a , b]  R une fonction donnée, on construit le polynôme P(x) qui interpole les valeurs de f aux points x0, x1, ... , xn (xi  [a , b]), ce qui conduit à yi = f(xi) pour i = 1, 2, ..., n. Quelle est alors l'erreur commise si on considère le polynôme P(x) comme étant une approximation de la fonction f ? Dans ce qui suit on suppose que f est n+1 fois continûment dérivable sur [a , b], et on note e(x) l'erreur d'interpolation : e(x) = f(x) - P(x) Posons Int(x, x0 , x1, ... xn) le plus petit intervalle fermé contenant x, x1 , x2, ... xn et  la fonction (x) = (x – x0) (x – x1)..... (x - xn) 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
  32. 32. Analyse numérique Interpolation polynomiale Jaouad DABOUNOU Page 32 Théorème 1.2. Quelque soit x[a , b], il existe   Int(x, x0 , x1, ... xn) tel que 𝑒 𝑥 = 1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1 𝜉 𝜙(𝑥) Démonstration :  S'il existe i tel que x = xi, la formule (4) est immédiate  Si i, x  xi, alors (x)0 et on peut définir 𝑔 𝑧 = 𝑓 𝑧 − 𝑃 𝑧 − (𝑓 𝑥 − 𝑃 𝑥 ) 𝜙(𝑧) 𝜙(𝑥) Il est clair que g(x) = g(xi) = 0 pour i=0, 1, ..., n. Donc g s'annule au mois n+2 fois dans Int(x, x0 , x1, ... xn). On voit alors que - g' s'annule au mois n+1 fois dans cet intervalle - g" s'annule au mois n fois dans cet intervalle .... - g(n) s'annule au mois 2 fois dans cet intervalle. - g(n+1) s'annule au mois 1 fois dans cet intervalle. Soit donc   Int(x, x1 , x2, ... xn) tel que g(n+1) () = 0. Comme P est un polynôme de degré au plus égal à n, P(n+1) (z)  0 et comme le terme de plus haut degré de (z) est zn+1 on a (n+1) = (n+1)!, donc 0 = g(n+1) () = f(n+1) () – (n+1)! 𝑓 𝑥 −𝑃(𝑥) 𝜙(𝑥) On en déduit que : 𝑒 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃 𝑥 = 1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1 𝜉 𝜙(𝑥) Une autre expression de l'erreur d'interpolation peut être obtenue en utilisant la formule de Newton. Nous savons déjà que le polynôme d'interpolation de f aux points x0, x1, …, xn s'exprime dans la base de Newton comme 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + (𝑥 − 𝑥0)𝑓 𝑥0, 𝑥1 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)𝑓 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 + … + (𝑥 − 𝑥𝑖) 𝑛−1 𝑖=0 𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 Soit x tel que i, x  xi, le polynôme : 𝑄 𝑡 = 𝑃 𝑡 + (𝑡 − 𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=0 𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛, 𝑥
  33. 33. Analyse numérique Interpolation polynomiale Jaouad DABOUNOU Page 33 est le polynôme d'interpolation de f en x0, x1, …, xn, x. On a donc : 𝑄 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 + (𝑥 − 𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=0 𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛, 𝑥 On en déduit que l'erreur d'interpolation s'écrit : 𝑒 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃 𝑥 = (𝑥 − 𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=0 𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 Il est à noter que les deux expressions de l'erreur d'interpolation permettent de démontrer que pour tout x dans [a , b], différents des xi, i=0,1,…,n, il existe   Int(x, x0 , x1, ... xn) tel que : 𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 = 1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1 𝜉 5. Phénomène de Runge Soit f une fonction définie sur un intervalle [a , b], n un entier non nul et P le polynôme d'interpolation de f en n+1 points deux à deux distincts x0, x1, …, xn. Lorsque le degré du polynôme augmente, on observe quelquefois des oscillation de P au bord de l'intervalle [a , b]. L'augmentation du nombre de points d'interpolation n'améliore pas l'approximation de f par P. C'est ce qu'on désigne par Phénomène de Runge. Exemple: Pour illustrer ce phénomène, soit sur l'intervalle [-1 , 1] la fonction de Runge : 𝑓 𝑥 = 1 1 + 25𝑥2 On considère le polynôme d'interpolation P10 de f sur 10 points équidistants de [0 , 1]. La figure suivante met en évidence les oscillations au bord dues au phénomène de Runge.
  34. 34. Analyse numérique Interpolation polynomiale Jaouad DABOUNOU Page 34 6. Algorithme de Neville Soit P0 l'unique polynôme de degré 0 (c'est à dire une constante) qui passe par le point (x0,y0); d'où P0(x0) = y0. De la même manière, on construit les polynômes P1, P2, ... Pn. Soit maintenant P01 l'unique polynôme de degré 1 passant par les points (x0,y0) et (x1 , y1). On définit aussi les polynômes P12, P23, ... P(n-1)n. De proche en proche on arrive au polynôme de plus grand degré P01...n qui coïncide avec l'unique polynôme d'interpolation P. Pour n = 2 cet algorithme peut être représenté comme suit. x0 : y0 = P0 P01 x1 : y1 = P1 P012 P12 x2 : y2 = P2 L'algorithme de Neville permet de construire par récurrence les polynômes Pi(i+1)...(i+m). Soit 𝑃𝑖 𝑖+1 …(𝑖+𝑚) 𝑥 − 𝑥𝑖+𝑚 𝑃𝑖 𝑖+1 … 𝑖+𝑚−1 + 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑃 𝑖+1 𝑖+2 … 𝑖+𝑚 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+𝑚 7. Exercices Exercice 5 : On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 1. Tracer la courbe de f 2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange qui coïncide avec f en n points équidistants pour n=3 puis n=4. 3. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dans le cas de n=4. Exercice 2 : On considère sur l’intervalle [0 , 5] la fonction f(x) = ex . 1. Tracer la courbe de f 2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 3 points: 0, 1 et 3. 3. Tracer sur une même figure les courbes de f et de P1 définis sur l'intervalle [0 , 5]. 4. On pose E(x) = f(x)-P1(x), expliquez ce que représente E(x). 5. Tracer la courbe de la fonction E(x). 6. Quelles remarques peut-on tirer de la courbe de E(x) ?
  35. 35. Analyse numérique Interpolation polynomiale Jaouad DABOUNOU Page 35 7. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dans le cas des points d'interpolation 0, 1, 2 et 3. 8. En déduire le polynôme d'interpolation P2 utilisant les points d'interpolation 0, 1, 2 et 3. 9. Comparer P2(5) et f(5). 10. Que peut-on conclure de la dernière réponse ? Exercice 3 : On considère le tableau des xi et yi: i 0 1 2 3 4 xi -3 -1 0 1 3 yi 1.5 3.5 5.2 3.5 1.5 1. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange P en utilisant les xi et yi ci- dessus. 2. Tracer la courbe de P sur l’intervalle [-3 , 3]. 3. Retrouver le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec les mêmes points que ci-dessus. Exercice 4 : On considère sur l’intervalle [-3 , 3] la fonction 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 1. Tracer la courbe de f 2. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 4 points équidistants x1 , x2, x3, x4 avec x1= -3 et x4=3. 3. Tracer la courbe de P1 sur l’intervalle [-3 , 3]. 4. Calculer P1(0). Que pouvez-vous en déduire ? 5. Construire le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec les mêmes points que ci-dessus. Exercice 6 : On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 1. Tracer la courbe de f. 2. On sait d'après le cours que l'erreur d'interpolation en x0, x1,…, xn d'une fonction f est donnée par 𝑒 𝑥 = 1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1 𝜉 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … (𝑥 − 𝑥 𝑛) avec   Int(x, x1 , x2, ... xn): le plus petit intervalle fermé contenant x, x1 , x2, ... xn. 3. Comparer en traçant les courbes des fonctions correspondantes, les expressions : 𝑺𝒖𝒑 𝒙∈[𝟏 ,𝟐] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.5 (𝑥 − 2) et 𝑺𝒖𝒑 𝒙∈[𝟏 ,𝟐] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.2 (𝑥 − 2) 4. Quels points d'interpolation donneraient alors la meilleure approximation de f, x0=1, x1=1.5, x2=2 ou x0=1, x1=1.2, x2=2 ? 5. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2. 6. Calculer les coefficients du polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton pour x0=1, x1= 4 3 , x2= 5 3 et x3=2.
  36. 36. Jaouad DABOUNOU Page 36 Chapitre 4 Dérivation et intégration numériques 1. Introduction Soit f une fonction définie et dérivable sur [a , b]. Soit x]a , b[, la dérivée de f en x est donnée par : 𝑓′ 𝑥 = lim 𝑕0 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥) 𝑕 Soit f une fonction définie et continue sur [a , b]. L’intégrale de f sur [a , b] est donnée par : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑛+ 𝑏 − 𝑎 𝑛 𝑏 𝑎 𝑓(𝑎 + 𝑖 𝑏 − 𝑎 𝑛 ) 𝑛−1 𝑖=0 Le calcul analytique des dérivées ou des intégrales est souvent difficile ou couteux. D'autant plus que dans la plupart des problèmes concrets, l'expression de f peut ne pas être connue. 2. Dérivation numérique Soit f une fonction suffisamment dérivable sur [a , b], et x [a , b]. On se propose de calculer une approximation de la dérivée de f en x, f'(x). 2.1. Formule de différences progressives Soit h > 0 tel que x+h ]a , b[, une première approximation de f'(x) utilise la pente de la droite passant par (x , f(x)) et (x+h , f(x+h)). La formule de Taylor à l'ordre 2 donne :
  37. 37. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 37 avec c]x , x+h[, il s'en suit alors que D'où l'approximation d'ordre 1 de f '(x) : , e(x) étant l'erreur de dérivation. 2.2. Formule de différences centrales Soit h1, h2 >0 tels que x-h1 et x+h2 appartiennent à ]a , b[, l'approximation précédente de f'(x) sera améliorée par l'utilisation des points (x-h1 , f(x-h1)) et (x+h2 , f(x+h2)), ainsi on approche f'(x) par la pente de la droite passant par ces deux points. Les formules de Taylor à l'ordre 3 donnent : avec c1]x , x-h1[ et c2]x , x+h2[ L'élimination de f"(x) entre ces deux relations donne D'où l'approximation d'ordre 2 de f '(x) :
  38. 38. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 38 Dans le cas où h1 = h2 = h, cette approximation devient et l'erreur de dérivation vérifie alors l'inégalité : 2.3. Exemple d'application Pour illustrer les expressions précédentes, nous allons utiliser les approximations de dérivées à l'exemple suivant: 𝑓 𝑥 = Log 𝑥 + esin 𝑥 sur l'intervalle [1 , 10]. La figure suivante présente la courbe de f: On choisit x=3, le tableau suivant permet de constater l'évolution des dérivées numériques en fonction de h et de comparer les résultats des formules de différences progressives à ceux des formules de différences centrales. On remarque en particulier que : 𝑓"(3) ≈ −2 𝑒1 𝑕 𝑕 et que 𝑓(3) (3) ≈ −6 𝑒2 𝑕 𝑕2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
  39. 39. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 39 h 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥 𝑕 e1(h) −2 𝑒1 𝑕 𝑕 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥 − 𝑕 2𝑕 e2(h) −6 𝑒2 𝑕 𝑕2 0,025 -0,7960 -0,0107 0,8596 -0,8066 -0,0001 -0,5797 0,05 -0,7851 -0,0216 0,8638 -0,8065 -0,0002 -0,5804 0,075 -0,7742 -0,0325 0,8676 -0,8062 -0,0005 -0,5816 0,1 -0,7632 -0,0435 0,8710 -0,8057 -0,0010 -0,5833 0,125 -0,7521 -0,0546 0,8739 -0,8052 -0,0015 -0,5855 0,15 -0,7410 -0,0657 0,8765 -0,8045 -0,0022 -0,5882 0,175 -0,7298 -0,0769 0,8788 -0,8037 -0,0030 -0,5914 0,2 -0,7186 -0,0881 0,8807 -0,8027 -0,0040 -0,5950 0,225 -0,7075 -0,0993 0,8822 -0,8017 -0,0051 -0,5991 0,25 -0,6963 -0,1104 0,8835 -0,8004 -0,0063 -0,6036 0,275 -0,6851 -0,1216 0,8844 -0,7990 -0,0077 -0,6086 0,3 -0,6740 -0,1328 0,8850 -0,7975 -0,0092 -0,6140 0,325 -0,6628 -0,1439 0,8854 -0,7958 -0,0109 -0,6198 0,35 -0,6518 -0,1549 0,8854 -0,7939 -0,0128 -0,6261 0,375 -0,6407 -0,1660 0,8852 -0,7919 -0,0148 -0,6327 0,4 -0,6298 -0,1769 0,8847 -0,7896 -0,0171 -0,6397 0,425 -0,6188 -0,1879 0,8840 -0,7872 -0,0195 -0,6471 0,45 -0,6080 -0,1987 0,8831 -0,7846 -0,0221 -0,6549 0,475 -0,5972 -0,2095 0,8820 -0,7818 -0,0249 -0,6630 0,5 -0,5866 -0,2202 0,8806 -0,7787 -0,0280 -0,6714 2.4. Approximation des dérivées d'ordre supérieur Comme précédemment, les démonstrations reposent sur la formule de Taylor mais sont plus compliquées. Nous nous limitons donc à citer les formules les plus utilisées Pour la dérivée seconde : l'erreur étant en O(h) l'erreur est ici en O(h2 ). Pour la dérivée troisième, on a : l'erreur étant en O(h) l'erreur étant en O(h2 ).
  40. 40. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 40 3. Intégration numérique Soit f une fonction définie et continue sur [a , b]. L’intégrale de f sur [a , b] est donnée par : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑛+ 𝑏 − 𝑎 𝑛 𝑏 𝑎 𝑓(𝑎 + 𝑖 𝑏 − 𝑎 𝑛 ) 𝑛−1 𝑖=0 Comme cela a été dit auparavant, le calcul analytique des intégrales est souvent difficile ou couteux. Nous allons procéder, pour l'évaluer, à approcher f sur l'intervalle [a , b] par un polynôme P, ensuite, nous considérons que : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎  𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Plusieurs méthodes sont proposées en fonction, en particulier, du nombre de points d'interpolation utilisés. Cela permet par ailleurs de donner une estimation de l'erreur d'intégration. Elle est calculée à partir de l'erreur d'interpolation: 𝑒 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃 𝑥 = 1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1 (𝜉 𝑥) 𝜙(𝑥) (x) = (x – x0) (x – x1)..... (x - xn) On rappelle aussi que: 𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 = 1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1 𝜉 𝑥 Dans ces expressions, on a utilisé la notation ξx pour spécifier que ξx dépend de x. Finalement 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1 (𝜉 𝑥) 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 3.1. Méthode des rectangles La méthode des rectangles est une formule dite à un point x0 = a. Le polynôme d’interpolation associé est le polynôme constant P0(x) = f(a) et 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎  𝑃0 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑓(𝑎)(𝑏 − 𝑎)
  41. 41. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 41 Soit e(x) l'erreur d'interpolation, on a 𝑒 𝑥 = 𝑓′( 𝑥 ) 2 𝑥 – 𝑎 On en déduit que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 − 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 = 𝑏 − 𝑎 2 2 𝑓′  , [𝑎 , 𝑏] 3.2. Méthode des trapèzes La méthode des trapèzes utilise une approximation d'une intégrale en calculant l'aire d'un trapèze. Pour calculer l'intégrale de f sur [a , b], on approche ainsi f par le polynôme d'interpolation P1 en x0=a et x1=b. P1 est de degré 1 et est donné, d'après la formule de Newton, par: P1(x) = f[a] + (x – a) f[a,b] Donc 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≈ (𝑓[𝑎] + (𝑥 – 𝑎) 𝑓[𝑎, 𝑏])𝑑𝑥 𝑏 𝑎 En développant et en utilisant le fait que 𝑓[𝑎, 𝑏] = 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 On obtient: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎  𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 2 D'un autre côté, l'erreur d'interpolation est donnée par: e(x) = f (x) - P1(x) et on a 𝑒 𝑥 = 𝑓"( 𝑥 ) 2 𝑥 – 𝑎 𝑥 – 𝑏 Il s'ensuit que
  42. 42. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 42 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑓"  𝑥 2 𝑥 – 𝑎 𝑥 – 𝑏 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓"  2 𝑥 – 𝑎 𝑥 – 𝑏 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 [a , b], d'après le théorème de la moyenne. Remarquer que (x)=(x – a)( x – b) ne change pas de signe sur [a , b]. Et, en développant les calculs, on obtient: 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = − (𝑏 − 𝑎)3 12 𝑓"  Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment [a , b], on peut donc écrire: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 − 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 2 = − 𝑏 − 𝑎 3 12 𝑓"() pour un certain [a , b]. La méthode est donc du premier ordre. 3.3. Méthode de Simpson La méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson, utilise l'approximation d'ordre 2 de f par un polynôme d'interpolation quadratique P2 en en x0=a, x1=m= 𝑎+𝑏 2 et x2=b: On a 𝑃2 𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑥 − 𝑚 𝑥 − 𝑏 𝑎 − 𝑚 𝑎 − 𝑏 + 𝑓 𝑚 𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑚 − 𝑎 𝑚 − 𝑏 + 𝑓 𝑏 𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑚 𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑚 On approche alors l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a , b], par l'intégrale de P2 sur ce même intervalle. On a ainsi, la formule : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≈ 𝑃2 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑏 − 𝑎 6 𝑓 𝑎 + 4𝑓 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑓 𝑏
  43. 43. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 43 Si f est 4 fois continument différentiable sur [a , b], l'erreur d'approximation vaut : 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = − 𝑏 − 𝑎 2 5 𝑓(4)  90 = − (𝑚 − 𝑎)5 90 𝑓(4)  , [𝑎 , 𝑏] L'expression de l'erreur montre que la méthode de Simpson est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3. De plus, cette méthode est d'ordre 4 pour toute fonction 4 fois continument dérivable sur [a , b]. 3.4. Exemple d'application Pour améliorer la précision de l'intégrale obtenue par chacune des méthodes numériques, on procède souvent à la subdivision de [a , b] en des sous-intervalles d'intégration. Cette approche sera illustrée sur un exemple simple. Soit la fonction f définie sur [0 , 2] par f(x) = 2(x –1) + cos(x) esin(x) Une primitive de f est donnée par F(x) = x2 - 2x + esin(x) On en déduit que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1,1628 2 1 Le tableau suivant donne l'intégrale obtenue pour chacune des méthodes présentées. On remarque que la méthode de Simpson donne le meilleur résultat. Méthode Intégrale Rectangles 1,2534 Trapèzes 1,1101 Simpson 1,1646
  44. 44. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 44 3.5. Subdivision de l'intervalle d'intégration Pour améliorer la précision de l'intégrale obtenue par chacune des méthodes numériques, on procède souvent à la subdivision de [a , b] en des sous-intervalles d'intégration. Par exemple, on peut utiliser la méthode des rectangles sur [a , m] et sur [m , b] avec 𝑚 = 𝑎+𝑏 2 . En effet 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑚 𝑎 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑚 ce qui donne 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑚 − 𝑎 𝑓 𝑎 + 𝑚 − 𝑎 2 2 𝑓′ 1 + 𝑏 − 𝑚 𝑓 𝑚 + 𝑏 − 𝑚 2 2 𝑓′(2 ) 1[a , m] et 2[m , b] Donc 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑚 − 𝑎 𝑓 𝑎 + 𝑚 − 𝑎 2 2 𝑓′ 1 + 𝑏 − 𝑚 𝑓 𝑚 + 𝑏 − 𝑚 2 2 𝑓′(2 ) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑚 2 + 𝑏 − 𝑎 2 4 𝑓′ 1 + 𝑓′(2 ) 2 Or il existe [1 , 2] tel que 𝑓′  = 𝑓′ 1 + 𝑓′(2 ) 2 Donc on peut écrire 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑚 2 + 𝑏 − 𝑎 2 4 𝑓′  On remarque ainsi que la subdivision de l'intervalle d'intégration permet de diviser la valeur de l'erreur par 2 dans le cas de la méthode des rectangles. Le gain en précision par subdivision de l'intervalle d'intégration sera illustré en reprenant l'exemple du paragraphe précédent. f étant définie sur [0 , 2] par f(x) = 2(x –1) + cos(x) esin(x) Méthode Intégration sur [1 , 2] Intégration sur [1 , 1.5] et [1.5 , 2] Rectangles 1,2534 1,2226 Trapèzes 1,1101 1,1510 Simpson 1,1646 1,16288 La comparaison avec la solution analytique, 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1,1628 2 1 permet de constater que la précision est améliorée par la subdivision de l'intervalle pour chacune des méthodes utilisées.
  45. 45. Analyse numérique Dérivation et intégration numériques Jaouad DABOUNOU Page 45 4. Exercices Exercice 1 : Etablir, pour une fonction f suffisamment régulière, la formue 𝑓"(𝑥) = 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 2𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑥 − 𝑕) 𝑕2 − 𝑕2 12 𝑓(4) (), [𝑥 − 𝑕, 𝑥 + 𝑕] Exercice 2 : On se propose de calculer l’intégrale suivante : I = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 1. Calculer analytiquement I. 2. Soit P = 0.3333 x2 - 1.5 x + 2.1667, le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2. Calculer 𝑰 𝑷 = 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝟏 3. Calculer numériquement des estimations de I en utilisant les méthodes des trapèzes (pour obtenir It) et Simpson (pour obtenir Is). 4. Comparer et interpréter les résultats obtenus. 5. Utiliser la méthode des trapèzes pour obtenir une valeur approchée It2 de I en subdivisant l'intervalle [1, 2] en 2 sous-intervalles de même taille. 6. Expliquer graphiquement pourquoi It2 est supérieure à ln(2). Exercice 3 : On se propose de calculer l’intégrale suivante : I = 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 1. Calculer analytiquement I. 2. Utiliser le polynôme d’interpolation de Lagrange P en x0=-1, x1=-0.5, x2=0.5 et x3=1 pour obtenir une valeur approchée de I. 𝑰 𝑷 = 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 3. Calculer numériquement Is, une estimation de I en utilisant la méthode Simpson. 4. Comparer et interpréter les résultats obtenus. 5. Montrer comment on peut évaluer une estimation de l'erreur par rapport à I dans chacun des cas.
  46. 46. Jaouad DABOUNOU Page 46 Chapitre 5 Résolution de systèmes linéaires 1. Introduction Beaucoup de problèmes se réduisent à la résolution numérique d’un système d’équations linéaires. Il peut s'agir de la modélisation de certains phénomènes physiques ou lors de l'utilisation de méthodes numériques appliquées à des modèles mathématiques. On note Mn(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n. Un système linéaire d'ordre n est une expression de la forme AX = B où A = (aij), i,j=1,n désigne une matrice de taille n x n de nombres réels, B = (bi), i=1,n, un vecteur colonne réel et X = (xi), i=1,n, est le vecteur des inconnues du système. La relation précédente équivaut aux équations 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖, 𝑛 𝑗=1 𝑖 = 1, … , 𝑛 Ou encore 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 Ce qui donne sous forme matricielle 𝑎11 𝑎12 𝑎21 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏 𝑛 Si la matrice A est régulière, c'est-à-dire det(A)0, alors le système linéaire AX=B admet une solution unique quelque soit le vecteur B. Cette solution est donnée par la formule de Cramer 𝑥𝑖 = det⁡(𝐀𝑖) det⁡(𝐀) , 𝑖 = 1, … , 𝑛
  47. 47. Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires Jaouad DABOUNOU Page 47 Où Ai est la matrice obtenue en remplaçant la ième colonne de A par le vecteur B. Le calcul de la solution X par la méthode de Cramer pour n assez grand (n100) est de l'ordre de n.(n+1)!, ce qui montre qu'il n'est pas envisageable d'utiliser cette méthode pour des systèmes linéaires de grande taille. Il faut donc développer des algorithmes alternatifs avec un coût raisonnable. Dans les sections suivantes, on va analyser les méthodes dites directes. On appelle méthode de résolution directe d'un système linéaire un algorithme qui, si l'ordinateur faisait des calculs exacts (pas d'erreurs d'arrondi), donnerait la solution exacte en un nombre fini d'opérations élémentaires. Il existe aussi des méthodes itératives qui consistent à construire une suite de vecteurs xn convergeant vers la solution x. Selon le type et la taille de la matrice A, on utilise une méthode directe ou une méthode itérative. 2. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires On considère la résolution du système linéaire AX = B avec A une matrice d'ordre n à coefficients réels, inversible et B un vecteur de Rn , par des méthodes directes. On cherche à écrire A = LU où - L est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale, - U est une matrice triangulaire supérieure. La résolution de AX = B est alors ramenée aux résolutions successives des systèmes échelonnés LY = B et UX = Y. 2.1. Résolution des systèmes triangulaires. Une matrice A = (aij) est triangulaire supérieure si aij = 0 i,j tels que 1  j < i  n et triangulaire inférieure si aij = 0 i,j tels que 1  i < j  n Suivant les cas, le système à résoudre est dit système triangulaire supérieur ou inférieur. Si la matrice A est régulière et triangulaire alors, comme det(A) =aii, on en déduit que aii  0, pour tout i = 1,…, n. Supposons que A soit une matrice triangulaire supérieure. Le système AX=B peut alors s’écrire : 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 ⋱ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
  48. 48. Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires Jaouad DABOUNOU Page 48 Pour résoudre ce système, on utilise l'algorithme suivant appelé méthode de remontée ou algorithme de substitution rétrograde: 1. 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛𝑛 2. Pour i de n-1 à 1 par pas de -1 faire : 𝑥𝑖 = 1 𝑎𝑖𝑖 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑛 𝑗=𝑖+1 Si A est une matrice triangulaire inférieure, le système AX=B s'écrit alors: 𝑎11 𝑥1 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 ⋱ 𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 Pour résoudre ce système, on utilise l'algorithme suivant appelé méthode de descente: 1. 𝑥1 = 𝑏1 𝑎11 2. Pour i de 2 à n par pas de 1 faire : 𝑥𝑖 = 1 𝑎𝑖𝑖 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑖−1 𝑗=1 Remarque: On peut vérifier que la résolution d’un système d’équations linéaires triangulaire se fait en n2 opérations à virgule flottante. 2.2. Méthode d'élimination de Gauss et décomposition LU Soit A = (aij) une matrice non singulière (régulière) n x n. La méthode d'élimination de Gauss permet de construire une suite de systèmes linéaires équivalents: AX=B  A(k) X=B(k) , k = 1,2,…,n. L'algorithme est le suivant: 1. On pose A(1) = A, B(1) = B, c'est-à-dire 𝑎𝑖𝑗 (1) = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖 (1) = 𝑏𝑖 2. On suppose que pour 1  k  n, A(k) et B(k) sont déjà construits et on construit A(k+1) et B(k+1) ;
  49. 49. Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires Jaouad DABOUNOU Page 49 Pour 1  i  k, j = 1,2,…,n 𝑎𝑖𝑗 𝑘+1 = 𝑎𝑖𝑗 𝑘 𝑏𝑖 𝑘+1 = 𝑏𝑖 𝑘 Pour k  i  n, j = 1,2,…,n 𝑙𝑖𝑘 = 𝑎𝑖𝑘 𝑘 𝑎 𝑘𝑘 𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑘+1 = 𝑎𝑖𝑗 𝑘 − 𝑙𝑖𝑘 𝑎 𝑘𝑗 𝑘 𝑏𝑖 𝑘+1 = 𝑏𝑖 𝑘 − 𝑙𝑖𝑘 𝑏 𝑘 𝑘 3. Et enfin 𝐋 = 𝑙𝑖𝑗 et 𝐔 = 𝑎𝑖𝑗 𝑖 Le système A(2) X=B(2) , s'écrit 𝑎11 (1) 𝑎12 (1) 0 𝑎22 (2) ⋯ 𝑎1𝑛 (1) 𝑎2𝑛 (2) ⋮ ⋱ ⋮ 0 𝑎 𝑛2 (2) ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 (2) 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑏1 (1) 𝑏2 (2) ⋮ 𝑏 𝑛 (2) et à l'étape k, A(k) X=B(k) , 𝑎11 (1) 𝑎12 (1) 0 𝑎22 (2) ⋯ 𝑎1𝑛 (1) ⋯ 𝑎2𝑛 (2) ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ ⋮ 0 ⋯ 0 ⋮ 0 𝑎 𝑘𝑘 (𝑘) ⋯ 𝑎 𝑘𝑘 (𝑘) ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛𝑘 (𝑘) ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 (𝑘) 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑏1 (1) 𝑏2 (2) ⋮ 𝑏 𝑛 (2) A chaque étape k, on élimine l'inconnue xk des équations k+1 à n. Remarque: - A étant une matrice non singulière, la décomposition A=LU est unique. - Le coût de cette méthode de factorisation est de l'ordre de 2n3 /3 opérations à virgule flottante. - Cas d'un pivot nul: Si à l'étape k, le pivot akk=0, on peut permuter la ligne k avec une ligne i0, telle que i0k et 𝑎𝑖0 𝑘 0 et on continue la méthode de Gauss.
  50. 50. Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires Jaouad DABOUNOU Page 50 3. Application 3.1. Application On considère le système linéaire: 3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1 −𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3 𝑥1 + 𝑥3 = 1 L'écriture matricielle de ce système d'équations donne: 3 2 3 −1 1 1 1 0 1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 1 3 1 Les étapes de la méthode d'élimination de Gauss donnent: 𝐀(1) = 3 2 3 −1 1 1 1 0 1 𝐁(1) = 1 3 1 𝑙21 = −1 3 , 𝑙31 = 1 3 Pour obtenir A(2) , on ajoute respectivement aux lignes 2 et 3 de A(1) les termes de la ligne 1 multipliés respectivement par l21 et l31. Ce qui donne 𝐀(2) = 3 2 3 0 5 3 2 0 −2 3 0 𝐁(2) = 1 10 3 2 3 𝑙32 = −2 5 et donc 𝐀(3) = 3 2 3 0 5 3 2 0 0 4 5
  51. 51. Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires Jaouad DABOUNOU Page 51 𝐁(3) = 1 10 3 2 et on a l'équivalence AX=B  A(3) X=B(3) On obtient alors 3 2 3 0 5 3 2 0 0 4 5 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 1 10 3 2 et finalement, l’algorithme de substitution rétrograde donne la solution du système système d’équations linéaires 𝑥1 = −3 2 𝑥2 = −1 𝑥3 = 5 2 En outre, la décomposition A=LU s'écrit: 3 2 3 −1 1 1 1 0 1 = 1 0 0 −1 3 1 0 1 3 2 5 1 3 2 3 0 5 3 2 0 0 4 5 3.2. Utilisation de MATLAB Les commandes suivantes montre comment on peut utiliser MATLAB pour effectuer la décomposition LU d'une matrice A. >> A=[3 2 3;-1 1 1;1 0 1] A = 3 2 3 -1 1 1 1 0 1 >> [L,U]=lu(A) L = 1.0000 0 0 -0.3333 1.0000 0 0.3333 -0.4000 1.0000 U = 3.0000 2.0000 3.0000 0 1.6667 2.0000 0 0 0.8000
  52. 52. Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires Jaouad DABOUNOU Page 52 4. Exercices Exercice 1: Vérifier si la matrice 𝐀 = 0 1 1 0 admet une décomposition LU. Exercice 2: 1. Quel est le nombre de multiplications/divisions nécessaires pour effectuer la décomposition LU d'une matrice A d'ordre n ? 2. Montrer que ce nombre pour n grand est en O(n3 ). Exercice 3: Utiliser la méthode d'élimination de Gauss pour résoudre le système linéaire 𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 1 −𝑥1 + 3𝑥2 = 4 2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 2 Exercice 4: On considère la matrice 𝐀 = 4 1 −1 −2 2 1 7 0 3 1. Effectuer la décomposition LU de A 2. En déduire la résolution du système linéaire 4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 5 −2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1 7𝑥1 + 3𝑥3 = −3

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