modelo matematico para enfriamiento

1. Tema 3
Modelos Matem¶aticos basados en
E. D. O. de Primer Orden I
Incluiremos en este Tema algunos modelos sencillos que utilizan ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden. En el Tema siguiente, continuaci¶on de ¶este, nos centraremos
en modi¯caciones o generalizaciones m¶as complicadas, que a menudo no pueden ser
resueltos de forma exacta.
3.1 Modelizaci¶on Matem¶atica
En general se entiende por modelizaci¶on matem¶atica" el proceso por el cual se imita la
realidad en t¶erminos matem¶aticos. El objetivo evidentemente es bien explicar o compren-
der los fen¶omenos naturales, bien encontrar respuestas a problemas t¶ecnicos o cient¶³¯cos.
Toda modelizaci¶on lleva consigo un proceso de idealizaci¶on". La realidad suele ser
compleja y los problemas reales habitualmente dependen de multitud de par¶ametros o
variables, al mismo tiempo que suelen estar inter-relacionados con otros procesos. El
dise~no de un modelo matem¶atico lleva aparejada la simpli¯caci¶on de muchos aspectos
del problema real.
Veremos en este Tema varios modelos matem¶aticos relativos a las Ciencias Naturales
en general, en los que el modelo" consiste en representar un fen¶omeno por medio de una
ecuaci¶on diferencial ordinaria de primer orden. La resoluci¶on de la ecuaci¶on permitir¶a no
s¶olo comprender en profundidad algunos aspectos relevantes del fen¶omeno en cuesti¶on
sino adem¶as, en los casos en los que se trate de estudiar la evoluci¶on de un sistema, hacer
predicciones sobre el comportamiento futuro del mismo.
De manera general (y simpli¯cada), la modelizaci¶on matem¶atica puede describirse
de forma sistem¶atica por medio de los siguientes pasos a seguir1:
1Para detalles, ver: T.P. Dreyer, Modelling with Ordinary Di®erential Equations, CRC Press, 1993.
1

2. 2 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3
² 1. Identi¯caci¶on. Se trata de clari¯car las preguntas que se intentan responder
con el modelo, formular el problema en palabras, documentar los datos relevantes
e identi¯car el mecanismo subyacente al problema real.
² 2. Suposiciones. El problema debe ser analizado para decidir los factores del
mismo que son importantes y aqu¶ellos que pueden ser ignorados. Con todo ello
deben hacerse suposiciones (o idealizaciones) lo m¶as realistas posible.
² 3. Construcci¶on. En este paso se construye" el modelo, es decir, se traduce al
lenguaje matem¶atico el problema (junto con las suposiciones anteriormente reali-
zadas) obteni¶endose un conjunto de ecuaciones (o inecuaciones) despu¶es de haber
identi¯cado las variables que deben intervenir en las mismas.
² 4. An¶alisis o Resoluci¶on. Se trata de la resoluci¶on del problema. Las solu-
ciones consistir¶an en general en funciones por medio de las cuales la o las variables
dependientes se expresar¶an en t¶erminos de la o las variables independientes. Por
otro lado, se obtendr¶a informaci¶on acerca de los par¶ametros que intervienen en el
modelo.
² 5. Interpretaci¶on. En este paso, la soluci¶on matem¶atica debe ser comparada con
la realidad para observar si se ajusta a lo conocido acerca del problema real. Se
trata, en de¯nitiva, de interrumpir el proceso si se obtiene soluciones carentes de
sentido real.
² 6. Validaci¶on. Una vez interpretada la soluci¶on, se comprueba num¶ericamente
que concuerda con los datos disponibles sobre el problema.
² 7. Implementaci¶on. Finalmente, se usa el modelo para describir el problema,
se pueden por tanto realizar predicciones sobre los valores de las variables. Es
necesario prestar atenci¶on al rango de validez del modelo.
3.2 Modelos de Din¶amica de poblaciones para una s¶ola es-
pecie
Los Modelos matem¶aticos que intentan describir c¶omo la poblaci¶on de una especie evolu-
ciona frente al tiempo tienen una larga y fruct¶³fera historia. Presentaremos en este Tema
los dos modelos m¶as b¶asicos, que constituyen el punto de partida de esta rama de la Cien-
cia, el Modelo de Malthus y el Modelo Log¶³stico. En Temas sucesivos se completar¶a esta
exposici¶on con el estudio de otros modelos m¶as complejos, as¶³ como con el an¶alisis de
modelos que describen m¶as de una especie en interacci¶on.
El n¶umero de individuos N de una especie determinada en un instante dado de
tiempo t es obviamente un n¶umero natural N(t) 2 N, 8t 2 R. Si N es grande, podemos

3. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3 3
considerarlo como un n¶umero real N(t) 2 R y as¶³ suponer que N : R ! R es una
funci¶on2 continua y derivable 8t 2 R.
t
N(t)
Figura 3.1: Gr¶a¯cas de una N(t) real" (curva discontinua, N toma ¶unicamente valores natu-
rales) y de su idealizaci¶on, la funci¶on real de variable real N(t).
La tasa de incremento de la poblaci¶on (crecimiento o decrecimiento, seg¶un el caso)
en un intervalo de tiempo [t1; t2] vendr¶a dada por:
N(t2) ¡ N(t1)
t2 ¡ t1
mientras que la tasa instant¶anea o velocidad de crecimiento", cuando t2 ! t1, ser¶a la
derivada:
dN(t)
dt
Hasta aqu¶³ hemos expresado matem¶aticamente, mediante una funci¶on derivable, la
poblaci¶on de una especie aislada, vamos a considerar por tanto modelos continuos para
una ¶unica especie"3.
En este problema tenemos la posibilidad de establecer una ley (ecuaci¶on) de con-
servaci¶on", lo cual ser¶a de una inestimable ayuda a la hora de construir un modelo
concreto (en otros problemas no se dispone de tales leyes de conservaci¶on). En este caso,
es evidente que se veri¯car¶a:
dN(t)
dt
= tasa de nacimientos(t) ¡ tasa de muertes(t) + tasa migratoria(t)
(idealizando evidentemente que la tasa de nacimientos, muertes y migraciones puedan
ser considerados una funci¶on del tiempo t).
2Dada la libertad que tenemos en empezar a contar el tiempo", podemos escribir en general t 2 R.
Es habitual no obstante comenzar el estudio del fen¶omeno de crecimiento o decrecimiento en un instante
concreto t0 = 0, con lo cual t s¶olo podr¶³a tomar valores positivos t 2 R+.
3Veremos en pr¶oximos temas modelos para varias especies y comentaremos las posibilidades que ofrece
el considerar modelos discretos.

4. 4 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3
Con estos ingredientes podemos ya plantear diferentes modelos consistentes en una
e.d.o. en las variables (t;N(t)). Cada modelo concreto ser¶a caracter¶³stico de nuevas
idealizaciones que se tengan en consideraci¶on.
3.2.1 Modelo de Malthus
En el contexto antes referido, se llaman Modelos de Malthus o Modelos malthusianos
a todos aquellos en los que se considera que los nacimientos y las muertes son propor-
cionales a la propia poblaci¶on, es decir: tasa de nacimientos= aN, tasa de muertes= bN,
con a y b constantes evidentemente positivas, mientras que no existen migraciones. La
ecuaci¶on ser¶a por tanto:
dN
dt
= aN ¡ bN = kN
donde k = a¡b ser¶a positiva si la tasa de natalidad es mayor que la tasa de mortalidad,
negativa en caso contrario y nula si se produce la situaci¶on ideal en la que ambas coinciden
(las unidades en las que viene dada k son evidentemente de T¡1, inverso de tiempo).
La soluci¶on de la ecuaci¶on diferencial ordinaria N0 = kN es trivial (se trata de una
ecuaci¶on aut¶onoma, y por tanto de variables separables) y se tiene:
N(t) = C ekt
Si se dispone, como dato a~nadido, de la poblaci¶on en el instante inicial N(t0) = N0,
podemos determinar la soluci¶on particular del correspondiente problema de Cauchy:
N0 = kN
N(t0) = N0
)
) N(t) = N0 ek(t¡t0)
k>0
k=0
k<0
Figura 3.2: Gr¶a¯ca de tres soluciones posibles de la ecuaci¶on de Malthus con id¶entico valor de
N0, correspondientes a un valor de k positivo, negativo y nulo.
Como ya se ha comentado, en general se considera el inicio" del tiempo en el instante
t0, es decir t0 = 0, con lo cual la soluci¶on se reduce a:
N(t) = N0ekt

5. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3 5
Esta soluci¶on presenta un comportamiento cualitativamente muy diferente seg¶un sea
el signo de la constante de proporcionalidad k. De hecho, para k > 0 tenemos una
situaci¶on de crecimiento exponencial, para k = 0 una soluci¶on constante, y para k < 0
una soluci¶on decreciente asint¶oticamente a cero (debe recordarse que N = 0 es una
soluci¶on estacionaria de la ecuaci¶on de Malthus, y por tanto, debido al Teorema de
Picard, ninguna otra soluci¶on de la ecuaci¶on puede atravesar el eje de abscisas).
El modelo fue propuesto en 1798 por el economista y dem¶ografo Thomas Malthus, si
bien ya hab¶³a sido sugerido con anterioridad por L. Euler. El modelo de Malthus suele
ser ¶util como modelo estimativo para intervalos de tiempo no muy grandes. Se ha usado
para el estudio de colonias de bacterias, poblaciones de peque~nos mam¶³feros e incluso
para poblaci¶on humana.
3.2.2 Modelo Log¶³stico
El Modelo de Malthus que acabamos de estudiar implica que multitud de factores no
sean tenidos en cuenta, de hecho es un modelo extremadamente simple.
Una sustancial mejora en las suposiciones del modelo de Malthus viene dada por
el Modelo Log¶³stico, propuesto por el matem¶atico belga P. F. Verhulst en 1836. La
idea de Verhulst fue mejorar el Modelo de Malthus introduciendo la competencia entre
los individuos de la especie en estudio como factor que altera los nacimientos y/o las
muertes. Tanto si la competencia afecta a la lucha por los alimentos, o por sobrevivir al
contagio de enfermedades, o al factor de que se trate, una suposici¶on razonable es medir
dicha competencia por medio del n¶umero de contactos posibles entre dos individuos de
la especie: el n¶umero de tales contactos, cuando se dispone de N individuos en total,
es
¡N
2
¢
= 1
2N(N ¡ 1). De esta manera la ecuaci¶on de Verhulst o ecuaci¶on log¶³stica se
plantea de la forma4:
dN
dt
= k1N ¡ k2
N(N ¡ 1)
2
)
dN
dt
= rN
µ
1 ¡
N
K
¶
donde se han rede¯nido las constantes: r = k1 + 1
2k2 y K = 2k1
k2
+1. Las dos constantes
as¶³ de¯nidas tienen un signi¯cado importante, 1
r tiene unidades de tiempo y recibe a
r proporciona
veces el nombre de escala temporal" del modelo, se suele estimar que 1
el intervalo de tiempo en el cual el modelo puede considerarse como una aproximaci¶on
aceptable al problema real. Por su parte, K (unidades de poblaci¶on) recibe el nombre de
poblaci¶on l¶³mite" por motivos que se har¶an evidentes en cuanto resolvamos la ecuaci¶on
anterior. En Ecolog¶³a suele denominarse a K capacidad de carga o de persistencia,
4Puede entenderse en esta ecuaci¶on que el t¶ermino k1N es de tipo Malthusiano, mientras que
¡k2
1
2N(N ¡ 1) mide la in°uencia (negativa) que la competencia tiene sobre la natalidad y/o (posi-
tiva) sobre el n¶umero de muertes.

6. 6 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3
puesto que representa de manera aproximada el nivel m¶aximo de poblaci¶on que puede
soportar un medio sin sufrir un serio impacto negativo.
Antes de resolver la ecuaci¶on, comentaremos que otra manera equivalente de plantearla
es razonar de la siguiente manera: Si en la ecuaci¶on de Malthus: N0 = kN, se toma en
consideraci¶on que la tasa de crecimiento por individuo, k, debe verse alterada por la falta
de recursos que aparecer¶a al incrementarse la poblaci¶on, es razonable suponer que k no
ser¶a constante con respecto a N. Si se toma entonces: k = r(1 ¡ N
K), la tasa ser¶a tanto
menor cuanto m¶as cercanos estemos al valor de K, mientras que ser¶a casi" constante
para valores peque~nos de N. Obvimente este razonamiento convierte" la ecuaci¶on de
Malthus en la ecuaci¶on log¶³stica de una forma alternativa.
La ecuaci¶on log¶³stica es aut¶onoma, y por tanto, de variables separables.
La resoluci¶on de la ecuaci¶on y posterior simpli¯caci¶on, tomando adem¶as como dato
inicial N(0) = N0 nos lleva a la soluci¶on particular (ver Problema 1):
N(t) = N0Kert
K + N0 (ert ¡ 1)
= N0K
N0 + (K ¡ N0) e¡rt
Dado que se trata de una ecuaci¶on aut¶onoma es f¶acil observar que N = 0 y N = K son
las soluciones estacionarias de la ecuaci¶on log¶³stica. El signi¯cado de la soluci¶on N = 0
es trivial, si la poblaci¶on inicial es nula no hay posibilidades de crecimiento dentro de este
modelo (ni de cualquiera en el que las migraciones no sean consideradas). La segunda
soluci¶on estacionaria, que se produce cuando N0 = K, nos indica que para una poblaci¶on
inicial exactamente igual a K, encontramos que N(t) es constante 8t 2 R+. Se trata
por tanto de dos estados de equilibrio. Por otro lado, la ecuaci¶on log¶³stica veri¯ca de
manera evidente las hip¶otesis del Teorema de Picard para cualquier valor de N, y en
consecuencia, las soluciones N = K y N = 0 no pueden ser cortadas por ninguna otra
soluci¶on particular del modelo.
1.5
1.0
0.5
-4 -2 2 4
Figura 3.3: Algunas soluciones de la ecuaci¶on log¶³stica obtenidas mediante an¶alisis cualitativo.
Si calculamos ahora el l¶³mite cuando t ! 1 de la soluci¶on tendremos:
lim
t!1
N(t) = lim
t!1
N0Kert
K + N0 (ert ¡ 1)
= K

7. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3 7
encontramos que, para una poblaci¶on inicial N0 > 0 cualquiera, la soluci¶on siempre
tiende al valor K, de ah¶³ su nombre de poblaci¶on l¶³mite".
Observamos en de¯nitiva que el modelo log¶³stico no prev¶e un crecimiento ilimitado
de la poblaci¶on, como ocurr¶³a en el Modelo de Malthus (con constante positiva), sino
que se prev¶e una estabilizaci¶on de la poblaci¶on alrededor del valor K. Se encuentran
tres reg¶³menes bien diferenciados seg¶un N0 sea mayor que K, menor que K pero mayor
que K
2 y menor que K
2 , como puede observarse en la Figura 6.3 (ver problema 3).
N0>K
N0=K
K>N0>
K
2
N0<
K
2
Figura 3.4: Gr¶a¯cas de las soluciones del modelo log¶³stico para los diferentes valores relativos
de las constantes N0 y K.
Finalmente es interesante comentar que a pesar de sus restricciones evidentes, el
modelo log¶³stico (e incluso el de Malthus para intervalos de tiempo cortos) se ajustan
muy razonablemente a los datos de que se dispone para algunas poblaciones, incluso a
veces m¶as all¶a de lo que cabr¶³a esperar (por ejemplo en an¶alisis de poblaciones humanas
sujetas a considerables migraciones y que a¶un as¶³ se ajustan a una curva tipo log¶³stica).
Existe una raz¶on para que esto ocurra: Consideramos un modelo general de la forma:
dN
dt
= f(N)
es decir donde tan s¶olo suponemos que la ecuaci¶on es aut¶onoma. Siempre podemos
aproximar la funci¶on f(N) (que en principio ser¶a todo lo complicada que deseemos), en
las cercan¶³as del punto inicial N0 por su polinomio de Taylor de grado n, en particular,
para n = 2:
dN
dt
¼ f(N0) + f0(N0) (N ¡ N0) + f00(N0)
2
(N ¡ N0)2 + : : :
desarrollando el segundo miembro:
dN
dt
¼ a0 + a1N + a2N2
Si adem¶as suponemos que a0 = 0 (a06= 0 signi¯ca que el modelo presenta generaci¶on
espont¶anea" de individuos, o bien migraciones, puesto que a N = 0 le corresponder¶³a
una situaci¶on con n06= 0)), esta ecuaci¶on se reduce a la del modelo log¶³stico est¶andar.

8. 8 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3
Concluimos por tanto que independientemente de los razonamientos que llevaron
a introducir los modelos de Malthus y log¶³stico, ¶estos constituyen respectivamente las
aproximaciones lineal y cuadr¶atica naturales a cualquier modelo aut¶onomo que se pueda
plantear.
3.3 An¶alisis Compartimental
Estudiaremos en esta secci¶on modelos b¶asicos de an¶alisis compartimental. Se trata de
describir mediante una funci¶on x(t) la cantidad de una sustancia que est¶e presente en un
compartimento en el instante de tiempo t. El compartimento" puede ser de cualquier
tipo: un lago, un tanque de mezclas, etc. La idea b¶asica de estos modelos est¶a en una
ley de conservaci¶on evidente: la tasa de cambio de la sustancia en el compartimento dx
dt
ser¶a igual a la velocidad de entrada de la sustancia en el compartimento en el instante
t menos la velocidad de salida de la misma:
dx
dt
= ventrada ¡ vsalida
Dado que las velocidades de entrada y salida de la sustancia en el compartimento
dependen del proceso en cuesti¶on, poco m¶as podemos decir de manera general sobre
estos modelo. Pasamos por tanto directamente a analizar un problema concreto:
Ejemplo: El agua del Lago Magdalena se est¶a viendo sujeta a un proceso contaminante debido
a la concentraci¶on de plaguicidas consecuencia de la fumigaci¶on de los naranjales cercanos. Por
otro lado, el r¶³o Aguadulce, que desemboca en el lago, °uye hacia ¶este a raz¶on de 200 l/m portando
una concentraci¶on de plaguicidas de 5 partes por mill¶on. Si se suspende la fumigaci¶on en los
alrededores del lago en el momento en el que la concentraci¶on de plaguicidas hab¶³a alcanzado el
valor de 40 partes por mill¶on y se supone que en dicho instante el volumen del lago es de 100
millones de litros, calcular el tiempo que transcurrir¶a hasta que la concentraci¶on sea inferior a
20 partes por mill¶on. >Qu¶e volumen tendr¶a el lago en ese instante?
Nota: Suponer que el lago pierde agua a raz¶on de 300 l/m.
Resoluci¶on: Denominaremos x(t) a la cantidad de plaguicidas presentes en el lago a tiempo t.
La concentraci¶on de plaguicidas en el lago a tiempo t, que denominaremos c(t), ser¶a obviamente:
c(t) = x(t)
vol(t) , donde vol(t) denota el volumen del lago en cada instante de tiempo.
Es importante, en este tipo de problemas, distinguir con precisi¶on las velocidades de entrada
y salida de la disoluci¶on y las correspondientes al soluto, es decir a la sustancia en cuesti¶on (en
este caso los plaguicidas). Desde este punto de vista la velocidad de entrada de disoluci¶on en
el compartimento (lago) es ventrada dis: = 200 l/m y la de salida vsalida dis: = 300 l/m, donde l
denota litro de disoluci¶on. Las respectivas velocidades del soluto se obtendr¶an multiplicando las
de la disoluci¶on por la concentraci¶on correspondiente. De esta manera, al tener la disoluci¶on
entrante una concentraci¶on de 5 partes por mill¶on (es decir 5 mg/l) tendremos: ventrada =
200 l=m 5 mg=l = 1000 mg=m. Por otro lado, el volumen vol(t) ser¶a evidentemente: vol(t) =

9. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3 9
vol(0) + (ventrada dis: ¡ vsalida dis:) t. Como vol(0) = 100 106 = 108, se tiene:
vol(t) = 108 ¡ 100 t = 100 (106 ¡ t) ) c(t) = x(t)
100(106 ¡ t)
Podemos calcular ¯nalmente la velocidad de salida:
vsalida = 300 l=m x(t)
100(106 ¡ t)
mg=l =
3x(t)
106 ¡ t
mg=m
y as¶³ escribir la ecuaci¶on diferencial:
dx
dt
= 1000 ¡
3x
106 ¡ t
La ecuaci¶on es f¶acilmente identi¯cable como una ecuaci¶on lineal de primer orden en las variables
(t; x). La ecuaci¶on lineal homog¶enea asociada:
dx
dt
+
3x
106 ¡ t
= 0 ) xH:A: = K (106 ¡ t)3
y en consecuencia el cambio de variable adecuado para resolver la ecuaci¶on completa ser¶a x =
u (106 ¡ t)3. Este cambio convierte la ecuaci¶on en:
du
dt
=
1000
(106 ¡ t)3
cuya integraci¶on nos conduce a la soluci¶on general (tras deshacer el cambio de variable):
x(t) = 500 (106 ¡ t) + C(106 ¡ t)3 ; c(t) = x(t)
100(106 ¡ t)
= 5 + C
100
(106 ¡ t)2
para la cantidad de plaguicidas y para la concentraci¶on de plaguicidas en el lago, respectivamente.
Si se tiene en cuenta ahora la condici¶on inicial: c(0) = 40, es f¶acil calcular la constante C
que determina la soluci¶on particular que estamos buscando: C = 35 10¡10. Podemos escribir
¯nalmente la soluci¶on particular:
x(t) = 500 (106 ¡ t) + 35 10¡10 (106 ¡ t)3 ) c(t) = 5 + 35 10¡12(106 ¡ t)2
100 200 300
t
xHtL
4000
3000
2000
1000
100 200 300
t
cHtL
40
30
20
10
Figura 3.5: Gr¶a¯ca de x(t) (x en kilogramos, t en d¶³as) y de c(t) (en mg/ml, t en d¶³as).

10. 10 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3
La ecuaci¶on: 20 = 5 + 35 10¡12(106 ¡ t1)2, nos proporciona el tiempo que tarda la concen-
traci¶on en descender hasta 20 partes por mill¶on: t1 = 345346 minutos = 239:8 d¶³as. El volumen
del lago en t = t1 ser¶a de 65.4 millones de litros.
De manera general esta es la resoluci¶on t¶³pica de un problema de an¶alisis comparti-
mental con un s¶olo compartimento. Si se dispone de varios compartimentos interconec-
tados el planteamiento es similar pero se obtienen sistemas de ecuaciones diferenciales
de primer orden, que estudiaremos en un tema posterior.
3.4 Ley de Newton del Calentamiento y Enfriamiento
Entre las much¶³simas aportaciones de Isaac Newton a la ciencia se encuentra la llamada
Ley de Newton del Calentamiento y Enfriamiento" que establece: La raz¶on de cambio
de la temperatura de un cuerpo en contacto con otro es proporcional a la diferencia de
temperatura entre ambos". De esta manera, si T(t) representa la temperatura del cuerpo
en estudio y Text(t) es la temperatura otro cuerpo en contacto con ¶el, o, en muchos casos,
la temperatura del exterior o ambiente que rodea al cuerpo, entonces la ley de Newton
queda establecida por medio de la ecuaci¶on diferencial5:
dT (t)
dt
= k (Text(t) ¡ T(t))
donde k es la constante de proporcionalidad (obviamente positiva).
Se pueden construir modelos m¶as realistas si se a~naden en la ecuaci¶on nuevos t¶erminos
que tengan en consideraci¶on la in°uencia de otros factores como pueden ser aparatos de
calefacci¶on, calor generado por el propio cuerpo en estudio, etc. Tendr¶³amos as¶³ la
ecuaci¶on:
dT(t)
dt
= k (Text(t) ¡ T(t)) + f(T; t)
Si nos restringimos al caso m¶as sencillo, con f(T; t) = 0 y Text =constante, la ecuaci¶on
se reduce a una del tipo variables separadas, cuya integraci¶on es inmediata:
dT
dt
= k (Text ¡ T) ) T(t) = Text + Ce¡kt
Si se tiene en cuenta la condici¶on inicial: T(0) = T0 se deduce f¶acilmente que la
soluci¶on particular buscada es:
T(t) = Text + (T0 ¡ Text) e¡kt
Analizando la soluci¶on se observa que la Ley de Newton predice que con el paso del
tiempo la temperatura del cuerpo tiene a Text de manera asint¶otica.
5Evidentemente se da por sentado que todos los puntos de ambos cuerpos tienen exactamente la
misma temperatura.

11. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM¶ATICOS / TEMA 3 11
3.5 Desintegraci¶on Radiactiva
Entre 1900 y 1902, Rutherford y Soddy (posteriormente galardonados ambos con el
premio Nobel de Qu¶³mica), estudiaron la desintegraci¶on de la materia por emisi¶on de
radiactividad. Aunque exist¶³an algunos experimentos previos, los resultados que ob-
tuvieron fueron realmente revolucionarios, pues se romp¶³a" de¯nitivamente la idea de
indestructibilidad de la materia.
Las observaciones experimentales que realizaron les llevaron a proponer que la can-
tidad de n¶ucleos at¶omicos ¢x de una sustancia radiactiva que se desintegran en un
intervalo de tiempo ¢t es directamente proporcional al n¶umero de n¶ucleos presentes, x,
y al intervalo ¢t. Es decir:
¢x / x¢t
Si se consideran intervalos de tiempo in¯nitesimales, llegamos a la ecuaci¶on diferencial:
dx
dt
= ¡a x
donde a recibe el nombre de constante de desintegraci¶on radiactiva (obviamente a es
positiva).
Podemos plantear entonces el problema de valor inicial:
dx
dt = ¡a x
x(t0) = x0
)
Cuya resoluci¶on es f¶acil (n¶otese que es id¶entico al problema de valor inicial del Modelo
de Malthus, ahora con constante ¡a, necesariamente negativa), obteni¶endose:
x(t) = x0 e¡a(t¡t0)
Es habitual de¯nir en este tipo de modelos la vida media", o semi-vida" (a veces
denotada por T, y otras por t 1
2
) de una sustancia radiactiva como el tiempo necesario
para que una sustancia se desintegre hasta la mitad de su masa inicial. No es dif¶³cil
demostrar que se veri¯ca (ver problemas):
T =
1
a
ln 2