1. Cadeias de MarkovCadeias de Markov
• Carlos Diego Nascimento Damasceno - 08088001701
• Felipe Leite da Silva - 08088001001
• Téofilo Augusto Vieira Bordalo - 08088000201
2. Índice
• Definições Teóricas;
• Processo Estocásticos;
• Processo Marcoviano;
• Cadeia de Markov;
• Obtenção de Soluções;
• Aplicações;
4. Processos estocásticos:
• Conjunto de variáveis aleatórias (estados) indexadas por um
parâmetro que, geralmente, representa o tempo;
X(t)
• Podem ser discretos ou contínuos considerando- se Tempo
e espaço;
5. Processos Markovianos:
•Um tipo de processo estocástico;
• Obedecem a condição:
P{Xn+1=j / X0=i0, X1=i1,..., Xn-1=in-1, Xn=i} = P{Xn+1=j / Xn=i}
para todos os pontos no tempo n e todos os estados i0,..., in-1, i, j.
6. Processos Markovianos:
•Um tipo de processo estocástico;
• Obedecem a condição:
P{Xn+1=j / X0=i0, X1=i1,..., Xn-1=in-1, Xn=i} = P{Xn+1=j / Xn=i}
para todos os pontos no tempo n e todos os estados i0,..., in-1, i, j.
“Para se ter a predição de um estado novo basta ter
conhecimento do estado atual”
7. Cadeia de Markov:
• Um caso de processo estocástico de estado discreto em que
novos estados serão obtidos apenas considerando o estado atual.
• A análise de cadeias de Markov podem ser feitas mediantes o
tempo discreto ou continuo.
• Trabalharemos somente com Cadeias de Markov a tempo
discreto.
9. Abstração:
Xa Xat Xs
influência
Não influenciam
•Xa – conjunto de estados anteriores
•Xat – estado atual
•Xs – estado seguinte
Processo de Markov
10. • π = πP
•
Σ
i=1
M
Πi = 1
Obtenção de soluções:
O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por
uma matriz denominada de Matriz de Transição.
A distribuição inicial e final do sistema estão representadas nos
vetores de estados.
11. • π = πP
•
Σ
i=1
M
Πi = 1
Obtenção de soluções:
O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por
uma matriz denominada de Matriz de Transição.
A distribuição inicial e final do sistema estão representadas nos
vetores de estados.
12. • π = πP
•
Σ
i=1
M
Πi = 1
Obtenção de soluções:
O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por
uma matriz denominada de Matriz de Transição.
A distribuição inicial e final do sistema estão representadas nos
vetores de estados.
matriz singular;
soma das linhas=1;
13. • π = πP
•
Σ
i=1
M
Πi = 1
Obtenção de soluções:
O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por
uma matriz denominada de Matriz de Transição.
A distribuição inicial e final do sistema estão representadas nos
vetores de estados.
16. • Cadeias de Markov possuem uma ampla abrangência na
modelagem em aplicações;
• Determinam, normalmente, uma previsão sobre como algo se
apresentará após um determinado tempo;
• Neste trabalho serão abordadas as modelagens para problemas
meteorológicos e agrícolas e o Algoritmo PageRank.
17. Modelagem para problemas meteorológicos
•Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia;
•Estados sujeito a mudanças
Ensolarado, Chovendo, Nublado
• Tabela de probabilidade de Transição
[ ].3 .2 .5
[ ].5 .4 .1
.3 .4 .3
.2 .5 .3
18. Modelagem para problemas meteorológicos
•Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia;
•Estados sujeito a mudanças
Ensolarado, Chovendo, Nublado
• Tabela de probabilidade de Transição
[ ].3 .2 .5
[ ].5 .4 .1
.3 .4 .3
.2 .5 .3
Π1 = ensolarado;
π2 = Chovendo;
Π3 = nublado;
19. Modelagem para problemas meteorológicos
•Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia;
•Estados sujeito a mudanças
Ensolarado, Chovendo, Nublado
• Tabela de probabilidade de Transição
[ ].3 .2 .5
[ ].5 .4 .1
.3 .4 .3
.2 .5 .3
Esta
ensolarado
Continuará ensolarado
20. Modelagem para problemas meteorológicos
•Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia;
•Estados sujeito a mudanças
Ensolarado, Chovendo, Nublado
• Tabela de probabilidade de Transição
[ ].3 .2 .5
[ ].5 .4 .1
.3 .4 .3
.2 .5 .3
Esta
ensolarado
será chuvoso
21. [ ].3 .2 .5 [ ].5 .4 .1
.3 .4 .3
.2 .5 .3
= [ ].3 .3 .4
• Verificando que as duas condições para obtermos as soluções
Estão satisfeitas;
• Obtemos a solução:
Π1’ = ensolarado;
Π2’ = Chovendo;
Π3’ = nublado;
22. • Esta solução nos mostra a variação considerando um único dia;
• Para obtermos para n dias, basta elevar a matriz P a potência n
(Pn
);
π
n = πPn
• Outra solução também pode ser obtida resolvendo: π = πP,
considerando o vetor inicial de estados como o vetor anterior ao
que se deseja calcular;
π
2 = π
1 P
Vetor de estados
calculado para 1 dia.
23. • Esta solução nos mostra a variação considerando um único dia;
• Para obtermos para n dias, basta elevar a matriz P a potência n
(Pn
);
π
n = πPn
• Outra solução também pode ser obtida resolvendo: π = πP,
considerando o vetor inicial de estados como o vetor anterior ao
que se deseja calcular;
π
2 = π
1 P
Vetor de estados
calculado para 2 dias.
24. Modelagem para problemas agrícolas
•Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema
meteorológico ;
• Deve- se determinar se a condição de um solo mediante o uso de
2 tipo de adubo
[ ].3 .6 .1 [ ].2 .5 .3
.1 .2 .7
.05 .35 .6
= [ ].1 .4 .5
Probabilidades
baseadas no uso do
adubo I .
25. Modelagem para problemas agrícolas
•Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema
meteorológico ;
• Deve- se determinar se a condição de um solo mediante o uso de
2 tipo de adubo;
[ ].3 .6 .1
.5 .3 .2
.4 .3 .3
.4 .4 .2
= [ ].4 .6 .0
Probabilidades
baseadas no uso do
adubo II.
[ ]
26. Modelagem para problemas agrícolas
•Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema
meteorológico ;
• Deve- se determinar se a condição de um solo mediante o uso de
2 tipo de adubo
• Assim através de uma cadeia de Markov podemos simular uma
previsão de resultados e portanto como obter os melhores
destes.
28. PageRank
• Como criar um rank de páginas mais
referenciadas?
• Algoritmo PageRank
• Criado por Larry Page e Sergei Brin
• Fundadores do Google
• Classifica Páginas web com base no
número de referências feitas à ela
29. Dados
• Temos três páginas web:
– pag1 pag2 e pag3
• Probabilidade de ir de uma página x para y:
–
• p1, p2 e p3 são as probabilidades de se
alcançar a página
1
k
ondek é aquantidade de páginasque x referencia