Este documento apresenta uma introdução à matemática financeira, abordando os seguintes tópicos em 3 frases ou menos: 1) Define matemática financeira como o estudo do dinheiro no tempo e como ele ganha valor através dos juros. 2) Explica os diagramas de fluxo de caixa como uma representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo com entradas, saídas e taxas de juros. 3) Distingue entre juros simples, onde os juros incidem apenas sobre o valor inicial,

1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Professor: Daniel Moura
Disciplina: Engenharia Econômica
Curso: Graduação em Engenharia de Produção

2. Uma pergunta inicial …
O que é
Matemática
Financeira?
Financeira?

3. Uma resposta simples …
= RETORNO

4. Constatação importante …
Dinheiro
tem custo
no
tempo!!!

5. Primeiro passo …
Entendendo
o dinheiro
no tempo!!!
tempo!!!

6. Diagramas de fluxo de caixa
Representação gráfica da evolução
do dinheiro no tempo
Símbolos
Movimentações de $
(+) Entradas
Tempo
(-) Saídas
Juros
Taxa de juros =
Valor Inicial

7. Ilustrando o uso do DFC
Um investidor aplicou hoje $100,00 por
um mês, planejando resgatar $108,00.
Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da
operação.
juros = $8,00
taxa = 8/100 = 8% ao período
+108,00
0 meses
1
-100,00

8. Componentes do DFC
Valor presente (VP)
VF - VP
Valor futuro (VF) juros = $80,00
Tempo (n)
Taxa de juros (i)
i
taxa = 80/400 = 20% ao período
+480,00 VF
0
4
n
-400,00
VP

9. Analisando a compra do rádio
A vista: $100,00
ou
1+1: $60,00

10. Pensando sem esforço …
Já que o bem custa $100,00 e
eu vou pagar duas de
$60,00 …
Vou pagar 20%
de juros!

11. Pensando melhor …
Ops!
Estude o diagrama
de fluxo de caixa
da operação!!!

12. Para sempre lembrar …
Que
absurdo!
Ops … recebi 100, pagando 60 …
juros = $20,00
taxa = 20/40 = 50% ao mês
+40,00
+100,00
0 1
-60,00 -60,00

13. Conceito de juros simples
Juros sempre
incidem sobre o
VALOR
PRESENTE

14. Equações dos juros simples
No regime de juros simples, o juro é calculado sobre o
capital inicial , proporcionalmente ao número de
capitalização.
J=C i n (equação 4.1)
onde:
J = juros;
C = capital inicial (ou principal);
i = taxa de juros;
n = número de capitalização durante o
prazo da operação financeira.

15. Exemplo de cálculo.
Calcular o juro produzido por um capital de $ 100.000,
aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de
2% a.m.
J=Cxixn
J = $ 100.000 x 0,02 x 6 = $ 12.000,00

16. A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-se
Montante (M), e pode ser calculado de duas formas
(equação 4.2 ou 4.3).
M=C+J (equação 4.2)
M = C (1 + i ⋅ n) (equação 4.3)

17. Exemplo de cálculo.
Calcular o montante de um capital de $ 100.000,
aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de
2% a.m.
Forma de cálculo 1:
M=C+J
M = $ 100.000 + $ 12.000 = $ 112.000
Forma de cálculo 2:
M = C x (1 + i x n)
M = $ 100.000 x (1 + 0,02 x 6)
M = $ 112.000

18. Preste atenção!!!
Empréstimo
Valor atual na data zero
igual a $100,00
Taxa igual a 10% a.p.
Considere juros
simples

19. Juros simples
n Juros VFJuros simples sempre
Fórmula
incidem sobre valor presente
0 - 100,00 VF=VP
10% x $100
1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP
10% x $100
2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP
n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)

20. Fórmula dos juros simples para Cálculo do
Valor Futuro
VF=VP (1+ i.n)
Devem estar
em uma mesma
base!!!
Como a taxa é sagrada,
ajusta-se o valor de n

21. Abreviaturas nas taxas
Abreviatura Significado
a.d. ao dia
a.d.u. ao dia útil
a.m. ao mês
a.m.o. ao mês over
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano
a.a.o. ao ano over

22. Cuidado com os anos
ano civil ou exato
formado por 365
dias;
ano comercial
formado por 360
dias.

23. Exemplo A
Uma aplicação de $500,00 foi feita
por oito meses a uma taxa simples
igual a 5% am. Qual o valor do
resgate?
VF
i = 5% a.m.
0 8 meses
VF = VP (1+in)
VF = 500 (1+0,05 x 8)
-500
VF = 700

24. Características dos juros simples
Valor uniforme dos juros
períodicos
Valor futuro cresce
linearmente
Capitalização Linear
Valor Futuro
VP
Tempo

25. Exercícios de …
Sala!

26. Exemplo B
Sabina precisará de $1.200,00 em
dez meses. Quanto deverá aplicar
hoje para ter a quantia desejada?
Considere uma taxa simples igual a
5% am
i = 5% a.m. 1.200,00
0 10 meses
VF = VP (1+in)
-VP
1200 = VP (1+0,05 x 10)
VP = 800

27. Exemplo C
Neco aplicou $8.000,00 por seis
meses e recebeu $2.400,00 de juros
simples. Qual a taxa mensal
vigente na operação?
i=? 10.400,00
0 6 meses
VF = VP (1+in)
10400 = 8000 (1+i x 6)
-8000
i = 5%

28. Exemplo D
A aplicação de $9.000,00 a uma
taxa simples igual a 6% a.m. resulta
em um valor futuro igual a
$11.700,00. Qual o prazo em meses
dessa operação?
i = 6% a.m. 11.700,00
0 n=?
VF = VP (1+in)
11700 = 9000 (1+0,06 x n)
-9000
n=5

29. Importante!!!
Taxas são
sagradas!!!

30. Exemplo E
Calcule o valor futuro de uma
aplicação de $500,00 por 24
meses a 8% a.a.
Taxa anual !!!
VF
24 meses = 2 anos
0
X
24 2 anos
n em anos
-$500,00

31. Alterando o prazo …
VF=VP (1+ i.n)
VF=500 (1+ 0,08.2)
VF=$580,00

32. A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-se
Montante (M), e pode ser calculado de duas formas
(equação 4.2 ou 4.3).
M=C+J (equação 4.2)
M = C (1 + i ⋅ n) (equação 4.3)

33. Exemplo de cálculo.
Calcular o montante de um capital de $ 100.000,
aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de
2% a.m.
Forma de cálculo 1:
M=C+J
M = $ 100.000 + $ 12.000 = $ 112.000
Forma de cálculo 2:
M = C x (1 + i x n)
M = $ 100.000 x (1 + 0,02 x 6)
M = $ 112.000

34. Juros compostos
No regime de juros compostos, os juros produzidos
em um período de capitalização e não pagos são
integrados ao capital no início do período seguinte,
para produzirem novos juros, ou seja, os juros
incidem sobre o capital inicial e sobre os próprios
juros.

35. 35
O juro composto é a maior invenção da humanidade,
porque permite uma confiável e sistemática
acumulação de riqueza." - Albert Einstein.
“Juros Compostos são juros sobre juros!”

36. Emprega-se $ 100,00 a 10% a.a.. Observe a analise deste capital (principal) a
juros compostos:
Saldo Juros Saldo Crescimento
Período Início calculados inicial por período do
do + montante
período Juros
0 100,00 100 x 0,1 = 10 110,00 10,00
1 110,00 110,00 x 0,1 = 11 121,00 11,00
2 121,00 121,00 x 0,1 = 133,10 12,10
12,1
3 133,10 133,10 x 0,10 = 13,31 13,31
13,3

37. As diferenças entre a capitalização simples e a composta cresce,
exponencialmente, com a taxa de juros...
Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%)
i=10% Montante Montante Diferença
Ano Juros simples Juros compostos
início 1o. Ano 1000 1000 0
fim 1o. Ano 1100 1100 0
fim 2o. Ano 1200 1210 10
fim 3o. Ano 1300 1331 31
fim 4o. Ano 1400 1464,1 64,1
fim 5o. Ano 1500 1610,51 110,51
Quadro 4: Juros apurados com capitalização
composta
i=20% Montante Montante Diferença
Ano Juros simples Juros compostos
início 1o. Ano 1000 1000 0
fim 1o. Ano 1200 1200 0
fim 2o. Ano 1400 1440 40
fim 3o. Ano 1600 1728 128
fim 4o. Ano 1800 2073,6 273,6
fim 5o. Ano 2000 2488,32 488,32

39. 39
Em juros compostos, o problema principal consiste
em calcular o montante (soma) F obtido pela
aplicação de um único valor principal P no instante
t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

40. 40
Juros pode ser representado pela seguinte fórmula:
(
J = P (1 + i ) − 1
n
)
Sendo que:
J = Juros recebido (ou pago) referente ao período;
P = Capital aplicado (ou tomado);
i = Taxa de juros;
n = Período de aplicação (ou prazo da operação).

41. 41
Montante: É o valor do capital inicial somando aos
juros acumulados no decorrer do período, onde
usamos a seguinte fórmula:
J = F −P
n
F = P(1 + i)
Sendo que:
F = Representa o montante ou valor futuro

42. 42
Por meio das fórmulas básicas de valor futuro
podemos extrair outras fórmulas para facilitar o
cálculo de outras variáveis, como:
F = P(1 + i) n
F 1
Log   F n
P=
F
n= P i =   −1
(1 + i) n Log (1 + i ) n P
Valor presente Prazo Taxa de juros

43. Aplicações para Juros Compostos
Calcular o valor inicial de uma aplicação que foi
remunerada a 6% a.a., em 4 anos e teve como
resgate final $ 7.400,00.
n
F = P(1 + i)
Resposta:
5.861,493. Logo, o valor inicialmente aplicado foi
de aproximadamente $5.861,50.

44. Qual o tempo necessário para $ 6.000,00, a 5% a.a.,
renderem $ 900,00 de juros?
F
Log  
n= P
Log (1 + i) n
Para juros compostos usando a equação , tem-se:
J = F - P F= P + J = 6.000 + 900 = 6.900,00.
n = 3 anos

45. A que taxa deve-se colocar o capital de $ 10.000,00
para em 2 anos, 6meses e 10 dias ter $ 1.137,50 de
juros?
1
Fn
i =   −1
P
Como F = P + J = 10.000 + 1.137,50 = 11.137,50; 2a,
6m e 10d = 910 dias; e substituindo n por na
equação, tem-se que:
i = 4,354% a.a

46. Exercícios
Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro
composto de 1,7% a.m., quanto receberei de
volta após um ano de aplicação? Qual o juro
obtido neste período?
R: F = 18362, 96 J = 3362,96

47. Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um
período de 18 meses ao final do qual pretendo
receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual
deve ser o percentual da taxa de juro composto
para que eu venha a conseguir este montante?
i = 2,25% a.m.

48. Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período
de quantos meses, a uma taxa de juro
composto de 1,7% a.m., para que ao final da
aplicação eu obtenha o dobro deste capital?
R: 41, 12 meses de aplicação