1) El documento discute la evolución del concepto de simetría en física y más allá, desde Emmy Noether hasta autores contemporáneos. 2) Propone un enfoque adaptado del concepto de simetría y un "grupo genérico" con dos niveles y elementos opuestos que pueden aplicarse a cualquier disciplina científica. 3) El documento muestra cómo este enfoque cumple con las propiedades de los grupos y revela simetrías rotacionales y de reflexión en los sistemas estudiados.

1. LA IMPORTANCIA DE LA SIMETRÍA
#1 Presentación
Hoy vamos a abordar un tema cuyo tratamiento no es habitual en el ámbito
tecnológico, me refiero a la simetría.
Todos tenemos una idea intuitiva de qué es la simetría. Esta idea parte de
reconocer, en nuestro entorno, la semejanza bilateral del cuerpo humano y de la
mayoría de los animales, la regularidad radial de las flores o la armonía espacial
de numerosos objetos naturales o creados por el hombre.
No es de esa simetría evidente o aparente de la que vamos a hablar, sino de una
simetría que subyace a las distintas manifestaciones de la realidad que
compartimos, e inclusive, a los procesos orgánicos que nos permiten vivir en ella.
Estas simetrías son transformaciones que dejan intacta, en su discurrir, toda la
estructura relevante de una entidad; el resultado de su aplicación es siempre,
exactamente igual al original en todos sus aspectos fundamentales.
#2 Evolución del argumento de simetría (Noether)
El argumento del principio de simetría ha sufrido, por así decirlo, una suerte de
evolución desde que en la segunda década del siglo pasado, la matemática
alemana Emmy Noether demostrara en un teorema el por qué de la existencia
de las leyes de conservación y magnitudes que no cambian durante el
despliegue temporal de un sistema físico. O dicho de otra forma, demostró que
las leyes naturales no cambian con el tiempo.
Por ejemplo, observemos este cilindro girando sobre su eje vertical, vemos que
nos ofrece la misma imagen antes y después de la rotación. Esta es la simetría
de la que estamos hablando; aunque de todas formas, salvo que hagamos
alguna marca sobre la superficie del cilindro, no podremos capturar la esencia
de esa simetría. Ahora sí nos damos cuenta que está girando, pero ya dejó de
ser simétrico bajo esta transformación. Lo que quiero destacar es que este tipo
de simetría no es evidente a la simple observación.
Si pretendemos definir cuantitativamente este tipo de simetría debemos
transformar el sistema que estamos observando. Si la lectura que hacemos de
él, sin modificarlo, antes y después de aplicar la transformación no muestra
diferencias o solo una diferencia infinitesimalmente pequeña, podremos afirmar
que ese sistema es invariante bajo esa transformación. El cilindro es invariante
bajo la rotación sobre su eje vertical. Luego, la existencia de invariancia revela
la simetría subyacente.
Una transformación es un cambio del marco de referencia, es un nuevo sistema
de coordenadas. El momento o la energía de un sistema puede conservarse,
pero no necesariamente ser invariante. Veamos por qué.
¿Qué ocurre con una bola de billar aproximándose a otra? Si tomamos como
marco de referencia la mesa de billar el momento del sistema es distinto de cero,

2. pues antes de la colisión, una bola se aproxima a otra. Pero si tomamos como
marco de referencia el centro de la masa de la bola, el momento es cero. Estas
diferencias nos están diciendo que el momento se conserva dentro de cada
marco, aunque no es invariante entre ellos. De esta manera, podemos afirmar
que hay
Conservación: cuando no hay cambios en un marco de referencia. Y que hay
Invariancia: cuando no hay cambios entre marcos de referencia.
El teorema de Noether relaciona la conservación con la invariancia, y por tanto,
con la simetría y determina que el conjunto de transformaciones forma una
estructura algebraica llamada grupo.
#3 Evolución del argumento de simetría (Van Fraassen)
El filósofo estadounidense de origen neerlandés Bas Van Fraassen,
especializado en Filosofía de la Ciencia y Lógica, define la simetría según lo hizo
Noether pero la propone como guía para la caracterización de una teoría
científica, ya que la considera como la clave principal para comprender el mundo
construido teóricamente a través de un modelo.
Nos dice Van Fraassen: si tenemos una regla R para resolver un problema
determinado (A), la aplicación de esa regla arrojará como salida su solución
(R(A)). Pero también, disponemos de otra transformación (h) que al aplicarla
hace que el problema, esencialmente, vuelva a ser el mismo. Si un problema
concreto con una entrada A es modificado por la transformación h, se convierte
en el problema con la entrada h(A). En el vértice inferior derecho del esquema
tenemos dos salidas: la salida original transformada y la salida del problema
transformado. Pero, si los dos problemas son esencialmente el mismo, luego las
dos soluciones también lo son. Se cumple así con el requerimiento de simetría:
h(R(A)) = R(h(A)). El problema sigue siendo el mismo luego de haber encontrado
una solución. (Principio de invariancia)
Sus aportes se centran en proyectar el concepto de simetría más allá de la física
o de las matemáticas, intentando su aplicación a cualquier teoría científica,
sugiriendo que ‘problemas similares tienen soluciones similares’. Por otro lado,
establece como método el individualizar los rasgos o aspectos relevantes de la
solución, aunque no especifica cómo hacerlo.
#4 Evolución del argumento de simetría (Salatino)
En 2009 centramos nuestro interés en el grupo que comporta la simetría y
propusimos algunas modificaciones, que permitieron adaptarlo como
herramienta para el análisis de algunos fenómenos sociales, como por ejemplo,
el lenguaje.
Entre las modificaciones propuestas se destacan: la generación de un grupo de
permutación conformado por dos elementos y dos transformaciones dispuestos
en oposición, que representan, perfectamente identificados, los elementos
esenciales de cualquier problema. Esto permite identificar dos niveles (o

3. subgrupos) con distinto marco de referencia que demuestran, en su evolución
temporal, la existencia de diferentes simetrías, entre ellas, algunas no
planteadas originalmente por Noether, como son el discurrir en sentido opuesto
de los niveles y la simultaneidad o concurrencia de los marcos de referencia,
como ocurre, por ejemplo, cuando ambas bolas de billar colisionan.
En esta presentación mostraremos que es posible proyectar esta adaptación del
concepto de simetría más allá de las Ciencias Sociales y aplicarlo a cualquier
disciplina científica, incluidas la Física y las Matemáticas, y esto con un doble
propósito; por un lado, para convalidar este enfoque como método de
investigación científica, y por otro, para aportar una herramienta que puede ser
útil para la educación en ciencias empíricas.
Veamos todo esto con mayor detalle.
#5 Grupo genérico
Un grupo debe mostrar una serie de propiedades para ser considerado como tal.
Para certificar dichas propiedades tomaremos como guía un grupo genérico.
Vemos aquí distintas formas de representar este tipo de grupo según lo que
pretendamos resaltar de su estructura.
La estructura de este tipo de grupo consta de dos elementos estáticos
contrapuestos y dos elementos dinámicos dispuestos en oposición. Cada uno,
en forma alternada, ocupa cada uno de los cuatro vértices de un paralelogramo
rectángulo. Todos los elementos tienen un código binario que los identifica y que
surge de una tabla de asignaciones con, al menos, dos atributos básicos.
Los elementos estáticos además de opuestos son complementarios y
concurrentes. De los elementos dinámicos, uno de elllos tiene como función el
ligar ‘transformando’ en forma evidente ambos elementos estáticos. Desde el
punto de vista lógico se comporta como una disyunción y su código se
corresponde con la co-presencia de ambos atributos, lo que equivale a la unión
de los elementos por sus diferencias, por lo que también lo conoceremos como
‘organización’. El otro elemento dinámico representa una ‘transformación oculta’
cuya función es romper la ligadura anterior, lo que posibilitará la futura evolución
del sistema. Lógicamente se comporta como una conjunción y su código surge
de una co-ausencia de los atributos, lo que equivale a una separación de los
elementos por sus semejanzas; también lo conoceremos como
‘desorganización’.
Este arreglo que estructuralmente representa un grupo de Galois,
funcionalmente representa una conexión de Galois; o sea, la oposición de dos
aspectos o conceptos a través de otra oposición, que aquí conoceremos como
PAU (Patrón Autónomo Universal). El triángulo es solo para destacar los dos
niveles que forman esta estructura y su evolución temporal en sentido opuesto.

4. #6 Propiedades del grupo
Hechas las definiciones elementales, veremos si cumple con las propiedades
que todo grupo de cumplir.
Clausura: para que un conjunto de elementos sea cerrado bajo cierta
transformación, la respuesta ante su aplicación a cualquier combinación posible
de sus elementos, debe ser la producción de un elemento que pertenezca al
conjunto. Todo grupo debe tener una ‘operación de composición’ que se utiliza
para ‘simular’ una transformación dada. En este caso utilizamos XOR
(disyunción exclusiva). Con su aplicación se logra la evolución aparente del
grupo; esto es, el ciclado hacia la derecha del triángulo que representa el grupo,
al obtener con cada aplicación el elemento subsiguiente hasta llegar a la posición
inicial. Esto equivale a decir que muestra una simetría rotacional, que se puso
en evidencia en los tres giros sucesivos de 120º del triángulo.
Identidad: debe existir un elemento del conjunto tal que al afectar mediante una
transformación a otro elemento del mismo conjunto, no lo modifique. Esto lo
podemos comprobar según estas operaciones. A este elemento que representa
la transformación oculta, lo conoceremos como elemento identidad o neutro.
Inverso: todos los elementos del conjunto deben tener su inverso, tal que la
composición entre ellos den como respuesta el elemento neutro.
Propiedad asociativa: todas las composiciones logradas mediante una
determinada transformación son independientes de su agrupamiento. Si
observamos estas operaciones, agrupadas de distinta forma, dan el mismo
resultado.
El conjunto aquí presentado cumple con estas propiedades que permiten poner
en evidencia una simetría por rotación. Pero además, debe cumplir con otra
propiedad que podríamos denominar la clausura del conjugado.
#7 Clausura del conjugado
Si recordamos la demostración de la propiedad de clausura se verá que se
cumple parcialmente porque nunca aparece como respuesta a las sucesivas
operaciones el elemento neutro o identidad. Esto tiene una explicación.
Si observamos la figura vemos que nuestro supuesto grupo genérico, en
realidad, está formado por dos subgrupos; en donde, uno es la negación del otro;
o lo que es lo mismo, uno es el reflejo del otro a través de un espejo plano. Los
elementos dispuestos en los vértices del triángulo reflejado (azul) constituyen a
su vez un grupo. A diferencia del grupo original, aquí la operación utilizada es la
equivalencia, o sea, la opuesta a la de composición. La evolución que se muestra
este grupo ‘reflejado’ también una simetría rotacional ya que luego de tres giros
de 120º vuelve a su posición inicial, aunque girando en sentido contrario.
Aquí podemos revisar las tablas básicas de los cuerpos finitos mínimos que
representan los dos niveles de que consta nuestro grupo: un nivel superficial
cuya operación interna es la suma lógica y la operación aparente es XOR; y un

5. nivel oculto o profundo cuya operación interna es el producto lógico y su
operación aparente la equivalencia. La tercera tabla representa la
correspondencia generalizada entre estos cuerpos finitos y el grupo que se
denomina ‘conexión de Galois’ y en donde quedan integrados ambos niveles y
en donde el producto de giro dextrógiro certifica la clausura del nivel superficial
generada por la transformación aparente, mientras que el producto de giro
levógiro hace lo propio en el nivel profundo mediante la transformación oculta.
En resumen, hemos comprobado la existencia de simetría tanto rotacional como
de reflexión del grupo formado por los aspectos esenciales de un problema, lo
cual cumple con la exigencia planteada por Van Fraassen.
#8 Producto cíclico de cuaterniones
Otra manera de representar, gráficamente, lo anterior es a través del producto
cíclico de cuaterniones propuesto por Hamilton en 1853; otra caracterización de
los grupos cíclicos finitos, que es como los definió quien los descubrió en 1832:
Evariste Galois.
Los cuaterniones descubiertos por Hamilton representan una extensión del plano
complejo a las tres dimensiones, lo cual aportó una nueva interpretación
tridimensional de la realidad física; hoy utilizada profusamente en robótica, en
problemas de posicionamiento (industria aeroespacial, satélites) y en la industria
de videojuegos.
La razón de mostrarlos aquí es que, como pueden ver, siguen una distribución
idéntica a la que hemos propuesto, pero además, aporta un detalle significativo:
desglosa el elemento que ocupa el centro del nivel oculto (reflejado). Esto último
lo consiguen incluyendo un aspecto más en la caracterización de los elementos
fundamentales del grupo.
#9 Teoría del color de la luz
El agregado del último aspecto permite poner en evidencia la última propiedad
de nuestro grupo: la concurrencia o simultaneidad de la dinámica compleja de
sus niveles. En esta conexión de Galois que llamamos PAU se constata, entre
sus elementos, una triple interrelación que da cuenta de su complejidad: son
opuestos (uno es la negación del otro), son complementarios (sumados dan la
unidad (111), multiplicados dan 0 (000); y además, giran en sentido opuesto) y
son concurrentes ya que transcurren al mismo tiempo.
Como vemos la aplicación simultánea de XOR y equivalencia al mismo conjunto
de elementos pone en funcionamiento, sincrónicamente, la dinámica que
conduce a la clausura (la simetría rotacional) de ambos niveles y a la simetría
por reflexión entre niveles. La posibilidad de establecer un origen o fuente de la
transformación o cambio que anima al sistema y descubrir una instancia en
donde se desorganiza y luego reorganiza esta dinámica, dan la pauta de que
este sistema puede exhibir un cierto grado de evolución adaptativa; al agregar
un tercer atributo a la tabla de referencia para representar rotaciones en los ejes

6. 3D, también nos revela los detalles relacionales de la teoría del color de la luz
como una prueba de la utilidad que puede brindar este enfoque.
#10 Leyes de Maxwell
Vamos a mostrar solo algunos ejemplos en donde se confirma la existencia de
un PAU.
En primer lugar analizaremos las leyes de Maxwell que establecieron que la
electricidad, el magnetismo y la luz son distintas manifestaciones del mismo
fenómeno. Comenzamos aislando los parámetros relevantes para explicar la
teoría electromagnética de la luz, considerándolos al interrelacionarlos, como el
‘núcleo fundamental’ de la teoría de Maxwell y le asignamos un código según un
par de atributos.
La radiación electromagnética, como Uds. saben, es un tipo de campo
electromagnético variable; es decir, una combinación de campos eléctricos y
magnéticos oscilantes, que se propagan a la velocidad de la luz, transportando
energía de un lugar a otro.
De las ecuaciones de Maxwell se infiere que un campo eléctrico variable en el
tiempo genera un campo magnético, y recíprocamente, la variación temporal del
campo magnético induce un campo eléctrico. Esta ‘inducción mutua’ sugiere una
solución de estas ecuaciones en forma de onda que se propaga desde una
fuente a la velocidad de la luz en el vacío, siendo su dirección de propagación
perpendicular a las oscilaciones del campo eléctrico y del campo magnético, que
a su vez, son perpendiculares entre sí.
Este esquema además muestra que las ondas magnéticas son evidenciadas
indirectamente, la electricidad es evidenciable directamente, la luz se ve (es
evidente) pero ‘no se siente’, en cambio la energía ‘no se ve pero se siente’ (está
oculta). Este esquema simple deja constancia de las cuatro ecuaciones de
Maxwell que justifican el electromagnetismo y la inducción eléctrica.
#11 Identidad de Euler
La identidad de Euler que relaciona cinco unidades fundamentales: la base de
los logaritmos neperianos, la unidad imaginaria, , la unidad del producto
(elemento neutro) y el elemento neutro de la suma, es un caso especial de su
conocida fórmula, proporciona una potente conexión entre el análisis matemático
y la trigonometría y se utiliza para representar los números complejos en
coordenadas polares. Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que
es la única función matemática que permanece con la misma forma (invariancia)
con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, por lo que
se utiliza para convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas,
simplificando los cálculos. Geométricamente, la suma y la multiplicación de un
número complejo permiten poner en evidencia las simetrías de rotación y
reflexión de un grupo como se ve en el esquema.
#12 Constantes universales de Planck – Relatividad especial de Einstein

7. Un año antes de que Max Planck postulara la existencia de un cuanto elemental
de acción como la base de la Mecánica Cuántica, propuso un sistema de
unidades naturales que se basaba en cuatro constantes universales que tienen
que ver con la frecuencia electromagnética, con la carga eléctrica, con la
velocidad de la luz y con la energía de un fotón; y que demuestran la constancia
de la estructura fina de la naturaleza. Estas constantes, interrelacionadas,
conforman un PAU.
Algo similar podemos constatar en el caso de la Relatividad Especial de Einstein
en donde se relacionan el tiempo, el espacio, el momento y la energía analizados
desde sistemas de referencia inerciales.
#13 ADN
No solo en las Matemáticas y en la Física se puede comprobar la existencia de
simetría, también otros fenómenos naturales, como la vida, respetan el principio
de invariancia. El mejor ejemplo lo representa el código genético, origen de la
vida. Las bases nitrogenadas que conforman el ADN: citosina, guanina,
adenosina y timina/uracilo conforman un grupo con las características antes
citadas. La asignación de los códigosbinarios de las bases nitrogenadas se basa
en aspectos bioquímicos y químicos. Esto es, las bases se agrupan siempre de
la misma forma, cuatro bases nitrogenadas apareadas: adenina-timina y
citosina-guanina, unidas mediante moléculas de azúcar y fosfato, formando una
especie de escalera en espiral. La pertenencia de las bases a dos grupos
químicos complementarios permiten colocarle un código binario a cada base. Por
otro lado, los códigos se justifican, también, en los enlaces químicos que
mantienen unidos los átomos de una molécula.
Desde esta perspectiva, las bases nitrogenadas que forman el ADN forman un
grupo, y por lo tanto, las relaciones entre ellas representan una conexión de
Galois. Este hallazgo da la posibilidad de establecer un nuevo ordenamiento de
la tabla del código genético que brinda una serie de ventajas en el estudio de la
posible evolución del proceso biológico que permitió llegar a los aminoácidos
actuales.
#14 Sistema Nervioso Central
Siguiendo con los seres vivos, veremos con algún detalle el funcionamiento del
SNC en donde se demuestra la presencia de simetría.
Desde un punto de vista muy general nuestro SNC puede ser considerado como
un sistema de control de lazo cerrado. Un sistema de control es un conjunto de
procesos que se encargan de mantener y regular el adecuado funcionamiento
de otro sistema con el fin de obtener de él un comportamiento determinado. Un
sistema de control cerrado o de control realimentado es aquel donde la acción
de control está en función de la señal de salida.
Si codificamos las distintas instancias del circuito de control según las pautas
mostradas en los ejemplos anteriores, vemos que se arma, nuevamente, una
conexión de Galois, y que por tanto, permite observar el fenómeno de simetría.

8. Lo mismo ocurre si analizamos en detalle las conexiones entre las neuronas.
Podemos armar una conexión de Galois con sus distintos tipos (eléctrica y
química) y sus distintas formas de conectarse (acoplamiento eléctrico y
rectificación). Estas características permiten que algunas neuronas actuen como
osciladores (marcapasos) y otras como moduladores (selectores de frecuencia)
y explique así el funcionamiento electrofisiológico cerebral.
#15 Música
No hay nada que diferencie, evolutivamente hablando, el lenguaje musical de
nuestro lenguaje materno natural. La afirmación anterior se fundamenta en la
absoluta relación que existe, según hemos demostrado, entre el origen de un
lenguaje natural (y la música lo es) y el origen y evolución del SNC. Las tres
etapas evolutivas del SNC coinciden con las etapas evolutivas del lenguaje
natural. El logro evolutivo señalado nos habla sobre ciertas predisposiciones
neurológicas y psíquicas que fueron adquiridas a través del tiempo y en donde
siempre están presentes un desarrollo estructural y uno funcional que se
expresan, universalmente, en la estructura; naturalmente, en el sentido que
adquiere para el sujeto lo percibido; y pragmáticamente, en la respuesta que ese
sujeto sea capaz de ofrecer a su entorno.
Que la música es un lenguaje queda demostrado desde el momento en que
puede ser abordado desde el punto de vista semiótico y lingüístico tradicional,
ya que posee, según vemos en el esquema, un componente sintáctico
(estructural o biológico), un componente semántico (funcional o psíquico) y un
componente pragmático (de proyección o socio-cultural).
Cada uno de estos componentes muestran los dos niveles antes especificados:
estructural y funcional que coinciden con la disposición que describimos en el
2009 del aparato psíquico.
Sin entrar en detalles, podemos ver que cada nivel de este lenguaje forma con
sus elementos básicos sendas conexiones de Galois y por tanto, se puede
comprobar la presencia de simetría.
Con esta representación fasorial de distintas oscilaciones se pueden desglosar
ondas de igual frecuencia pero de fases y amplitudes diferentes, algo que se
puede observar en presencia de osciladores acoplados. Este es el mecanismo
que hemos propuesto como ‘selector’ de las distintas instancias funcionales del
cerebro y del aparato psíquico según las necesidades de un sujeto enfrentado a
su entorno. Lo que queremos decir es que este aspecto funcional está
sustentado en una suerte de motor temporal, de allí la posibilidad de influir
psíquicamente con la música, ya que ésta tienen como factor común con la
psiquis, el tiempo.