Lycée Marcelin Berthelot – Maths en JEANS 2009       Sébastien Canu – David Nowinsky
Partie I
L’objetIl doit être : plan convexe pouvoir en calculer l’aire pouvoir calculer des parties de son aire flottant (dens...
Quelques objets
Ce qu’on lui fait subir On le plonge dans l’eau On le fait tourner
Notation On notera d la densité, c’est-à-dire le rapport entre  l’aire de la zone mouillée et l’aire totale de l’objet.  ...
Ce qu’on chercheQuelle est la surface de l’objet qui n’est jamais mouillée lors de notre expérience ?On appelle cette surf...
Dispositif expérimentalAvec plongée                          Super objet transparent (TM)       On évite les déformations ...
Exemple facile : le cercle La surface de flottaison d’un cercle est un cercle  concentrique. Avec R le rayon du cercle et...
Partie II
Méthode d’étude On prend un triangle équilatéral de densité d. On fait bouger un point M sur un des côtés et on  considè...
Paramétrage Pour faciliter les calculs, on préfère garder le triangle  fixe et faire bouger l’eau ! On note m l’abscisse...
Equation de la surface de flottaison On trouve, avec m la position du point M sur le côté, que la droite (MN) (surface de...
Tracé de la surface de flottaisonLorsqu’on fait varier m :
Tracé de la surface de flottaison Pour obtenir la totalité de la surface de flottaison, il  suffit de faire 2 rotations d...
Influence de la densitéd=0.35          d=0.02
Partie III
Deux cas à distinguerCas du triangle   Cas du trapèze
Cas du triangle On cherche les    coordonnées polaires du    point S, c’est-à-dire h en    fonction de θ.    1h     2 cos...
1Cas du triangle   h                      2                        2 cos(                                 4               ...
Cas du trapèze On cherche les coordonnées polaires du point S, c’est-à-dire h en fonction de θ.     cos( ) h          c (...
cos( )                 h          c (1 2d )Cas du trapèze          2
Raccord des solutions On cherche à quel angle  θ correspond le cas  limite.          arctan( d )                2 On déf...
Influence de la densitéDensité d=0.4   Densité d=0.01
Tracé de la surface de flottaison Maintenant qu’on a tous  les points S, il faut tracer  toutes les perpendiculaires  aux...
Influence de la densitéDensité d=0.48   Densité d=0.01
Et après ?... En faisant tendre vers l’infini le nombre de droites  tracées, on trouve la totalité de la zone mouillée. ...
Pistes de recherches :• d’autres surfaces (ellipses, polygones réguliers ou non,... )• généralisation (une formule général...
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La surface de flottaison - Math en Jeans 2009

  1. 1. Lycée Marcelin Berthelot – Maths en JEANS 2009 Sébastien Canu – David Nowinsky
  2. 2. Partie I
  3. 3. L’objetIl doit être : plan convexe pouvoir en calculer l’aire pouvoir calculer des parties de son aire flottant (densité < 1 et même en dessous pour que la surface de flottaison ne soit pas nulle)
  4. 4. Quelques objets
  5. 5. Ce qu’on lui fait subir On le plonge dans l’eau On le fait tourner
  6. 6. Notation On notera d la densité, c’est-à-dire le rapport entre l’aire de la zone mouillée et l’aire totale de l’objet. a d A
  7. 7. Ce qu’on chercheQuelle est la surface de l’objet qui n’est jamais mouillée lors de notre expérience ?On appelle cette surface la surface de flottaison.
  8. 8. Dispositif expérimentalAvec plongée Super objet transparent (TM) On évite les déformations dues à la réfraction.
  9. 9. Exemple facile : le cercle La surface de flottaison d’un cercle est un cercle concentrique. Avec R le rayon du cercle et r le rayon de la surface de flottaison, R² d R² arccos(r / R) r R sin(arccos r / R)) ( R r
  10. 10. Partie II
  11. 11. Méthode d’étude On prend un triangle équilatéral de densité d. On fait bouger un point M sur un des côtés et on considère que ce point appartient { la surface de l’eau. Où se trouve le point N tel que la droite (MN) soit la surface de l’eau ?
  12. 12. Paramétrage Pour faciliter les calculs, on préfère garder le triangle fixe et faire bouger l’eau ! On note m l’abscisse de M.
  13. 13. Equation de la surface de flottaison On trouve, avec m la position du point M sur le côté, que la droite (MN) (surface de l’eau) est donnée par :
  14. 14. Tracé de la surface de flottaisonLorsqu’on fait varier m :
  15. 15. Tracé de la surface de flottaison Pour obtenir la totalité de la surface de flottaison, il suffit de faire 2 rotations de 120° et de centre le centre du triangle. Ici : d=0.1
  16. 16. Influence de la densitéd=0.35 d=0.02
  17. 17. Partie III
  18. 18. Deux cas à distinguerCas du triangle Cas du trapèze
  19. 19. Cas du triangle On cherche les coordonnées polaires du point S, c’est-à-dire h en fonction de θ. 1h 2 cos( ) c d sin( 2 ) 2 4
  20. 20. 1Cas du triangle h 2 2 cos( 4 ) c d sin( 2 )
  21. 21. Cas du trapèze On cherche les coordonnées polaires du point S, c’est-à-dire h en fonction de θ. cos( ) h c (1 2d ) 2
  22. 22. cos( ) h c (1 2d )Cas du trapèze 2
  23. 23. Raccord des solutions On cherche à quel angle θ correspond le cas limite. arctan( d ) 2 On définit alors la fonction par morceaux.
  24. 24. Influence de la densitéDensité d=0.4 Densité d=0.01
  25. 25. Tracé de la surface de flottaison Maintenant qu’on a tous les points S, il faut tracer toutes les perpendiculaires aux droites OS passant par S pour obtenir toutes les surfaces de l’eau. Ici, pour une densité de d=0.1.
  26. 26. Influence de la densitéDensité d=0.48 Densité d=0.01
  27. 27. Et après ?... En faisant tendre vers l’infini le nombre de droites tracées, on trouve la totalité de la zone mouillée. La surface de flottaison est le complémentaire de cet ensemble dans le plan.
  28. 28. Pistes de recherches :• d’autres surfaces (ellipses, polygones réguliers ou non,... )• généralisation (une formule générale de cette surface ?)• étudier les propriétés de la surface (points de rebroussement,…)• tester d’autres surfaces dans votre lavabo !Télécharger les animations :http://davinov.free.fr/ rubrique Math en Jeansdavinov@free.fr

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