2. Son funciones entre espacios vectoriales que
preservan las cualidades de los espacios
vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la
suma y la multiplicación por escalares.
TA: R2 R3
1 0 x
A = 2 -1 y V=
y
3 4
x x
TA y = 2x – y
3x + 4y
3. DEFINICION: Una transformación T : Rn Rm se
denomina transformación lineales si
1- T(u + v) = T(u) + T(v) para todo u y v en Rn
2- T(cv) = c T(v) para todo v en Rn y todo escalar c
T W
V
T(v)
T(u)
T (u + v)
T(u) + T(v)
T (cv)
c T(v)
4. Transformación lineal
TEOREMA 1
Sea A una matriz de m x n . Entonces la
transformación matricial TA: R n R m definida por.
TA(x) = A x (para x en Rn)
es una transformación lineal.
EJEMPLO: Sea F: R2 R2 la transformación que manda a
cada punto hacia su punto de reflexión sobre el eje x.
y
(1;2)
(X ;Y)
x
(x;-y)
(1;-2)
5. Transformaciones lineales
EJEMPLO: Sea R: R2 R2 la transformación que gira
cada punto a 90o en el sentido contrario de las
manecillas del reloj con respecto al origen.
7. Transformaciones lineales
TEOREMA 2
Sea T: Rn Rm una transformación
lineal. Entonces T es una transformación matricial.
Mas específicamente, T = TA, donde A es la matriz de
mxn
A = T(e1); T(e2); ... ; T(en)
Esta matriz se la conoce como matriz estándar de
la transformación lineal T
8. Nuevas transformaciones lineales a
partir de las antiguas
TEOREMA 3
Sean T: Rm Rn y S: Rn Rp
transformaciones lineales. Entonces S T: Rm Rp es
una transformación lineal. Además, sus matrices
estándar se encuentran relacionadas mediante
S T = S T
9. Inversas de transformaciones lineales
Definición :
Sean S yT transformaciones
lineales de Rn a Rm. Entonces S yT son
“transformaciones inversas” si ocurre
que S T = In y T S = In.
10. Inversas de transformaciones lineales
TEOREMA 4
Sea T: Rn Rn una matriz
invertible. Entonces su matriz estándar T
es una matriz invertible, y
T-1 = T -1
11. Asociatividad
Sean R = TA, S = TB y T = TC.
A(BC) = (AB)C si y solo si R (S T) = (R S) T
(R (S T))(x) = R((S T)(x))
= R(S(T(x)))
= (R S)(T(x)) = ((R S) T)(x)
12. Muchas de las transformaciones lineales que hemos estudiado,
conservan la forma y las medidas de las figuras u objetos, como por
ejemplo las simetrías y las rotaciones.
13.
14. Integrantes:
Taboada Laura Ornella
Del Rio Candela
Cortez Julio Ricardo
Palacio Eliana Jessica
Frojel Rita María E.
Gramajo Silvia Alejandra
Fuentes Claudia Andrea