Mecânica Aplicada e Resistência dos Materiais

GERÊNCIA DE ENSINO
COORDENADORIA DE RECURSOS DIDÁTICOS

MECÂNICA APLICADA
E
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS

Mecânica
CSO-Ifes-55-2009

MECÂNICA APLICADA
E
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
JOÃO PAULO BARBOSA

São Mateus, Fevereiro de 2010.
CSO-Ifes-55-2009

Mecânica Aplicada e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa

Sumário
1

Sistemas de Unidades ................................................................................... 3
1.1 Sistema Internacional - SI - ............................................................................ 6
1.2 Sistema Inglês ................................................................................................ 6
1.3 Sistema Gravitacional Britânico...................................................................... 7

2

Estática de pontos materiais ...................................................................... 11
2.1 Introdução .................................................................................................... 11
2.2 Força Resultante .......................................................................................... 11
2.3 Forças no Plano ........................................................................................... 11
2.4 Componentes Cartesianas de uma força ..................................................... 12
2.5 Equilíbrio de um ponto material .................................................................... 14

3

Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças ................................... 20
3.1 Classificação das forças atuantes em corpos rígidos................................... 20
3.2 Princípio de transmissibilidade ..................................................................... 21
3.3 Momento de uma força em relação a um ponto ........................................... 22
3.4 Momento de um conjugado .......................................................................... 22
3.5 Conjuntos Equivalentes ................................................................................ 23

4

Equilíbrio de corpos rígidos ....................................................................... 28
4.1 Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões: ................................... 28
4.2 Reações nos Apoios e Conexões. ............................................................... 29

5

Análise das Estruturas ................................................................................ 40
5.1 Análise de Treliças ....................................................................................... 40
5.2 Análise de uma estrutura ............................................................................. 44
5.3 Máquinas ...................................................................................................... 48

6

Centróide e Baricentro ................................................................................ 66
6.1 Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos ............................................ 67

7

Movimento Circular ..................................................................................... 72
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5

Velocidade Angular (ω) ............................................................................... 72
Período (T) ................................................................................................... 72
Frequencia (f) ............................................................................................... 72
Rotação (n)................................................................................................... 73
Velocidade Periférica ou Tangencial (v) ....................................................... 73

8

Relação de Transmissão (i) ........................................................................ 75
8.1 Transmissão por Correias ............................................................................ 75
8.2 Transmissão por engrenagens ..................................................................... 76

9

Torção Simples ............................................................................................ 78
9.1 Momento Torçor ou Torque (MT) .................................................................. 78
9.2 Torque nas Transmissões ............................................................................ 79

1


10 Potência (P) .................................................................................................. 81
10.1
Torque X Potência .................................................................................... 82
10.2
Força Tangencial (FT) ............................................................................... 83
11 Rendimento das Transmissões (η) ............................................................ 94
η
11.1
Rendimento das transmissões .................................................................. 94
11.2
Perdas nas Transmissões......................................................................... 95
12 Noções de Resistência dos Materiais .......................................................103
12.1
Introdução ............................................................................................... 103
12.2
Esforços externos ou carregamentos...................................................... 104
12.3
Solicitações Simples ............................................................................... 106
12.4
Solicitações Compostas .......................................................................... 109
12.5
Ensaio de Tração .................................................................................... 110
12.6
Modos de falhas trativas: ........................................................................ 112
12.7
Tensões .................................................................................................. 112
12.8
Módulo de Elasticidade ........................................................................... 113
12.9
Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência: ........... 114
13 Tração e compressão .................................................................................116
13.1
Carregamento Axial ................................................................................ 116
13.2
Deformação sob Carregamento Axial ..................................................... 116
13.3
Tensão Normal σ .................................................................................... 117
13.4
Deformação Longitudinal (ε) ................................................................... 117
13.5
Deformação Transversal (εt) ................................................................... 118
13.6
Estricção ................................................................................................. 118
13.7
Coeficiente de Segurança k .................................................................... 118
14 Flexão ..........................................................................................................124
14.1
Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor...................................... 124
14.2
Tensão de Flexão ................................................................................... 125
15 Torção ..........................................................................................................130
15.1
Transmissão de Potência........................................................................ 130
15.2
Análise das Tensões num Eixo ............................................................... 131
15.3
Deformações nos Eixos de Secção Circular ........................................... 132
15.4
Tensão de Torque................................................................................... 133
15.5
Tensões no Regime Elástico .................................................................. 133
15.6
Modos de Falha Torcionais ..................................................................... 135
15.7
Ângulo de Torção no Regime Elástico .................................................... 140
15.8
Eixos Estaticamente Indeterminados ...................................................... 140
16 Flambagem ..................................................................................................143
16.1
Módulo de Young .................................................................................... 143
16.2
Carga Crítica de Flambagem .................................................................. 143
16.3
Indice de Esbeltez................................................................................... 144
16.4
Flambagem de Colunas .......................................................................... 145
17 Referencias Bibliográficas:........................................................................146

2


CAPÍTULO 1
1 Sistemas de Unidades
Se o instrumento é utilizado para medir variáveis de processos, convém então
mencionar rapidamente sobre sistemas de unidades usados para medir a
magnitude de grandezas (as variáveis dos processo mecânicos) e expressá-las
como dimensões. Na medida em que ainda há diversos sistemas de unidades
utilizados pelo homem, a sua definição e estabelecimento corretos auxiliam no
processo de conversão de unidades entre os vários sistemas de unidades
disponíveis.
Há vários sistemas de unidades em uso nos ambientes industrial, comercial,
laboratorial, residencial, etc. Por convenção, há um sistema aceito
internacionalmente, estabelecido pela Conferência Geral de Pesos e Medidas
(toda a documentação das Conferências é mantida e divulgada pelo Bureau
International des Poids et Mesures – BIPM), o Sistema Internacional de
Unidades - SI. As unidades básicas do SI, como todos sabemos, são o metro [m],
a massa [kg], o segundo [s], o Kelvin [K], o Ampere [A] o mole [mol] e a candela [cd],
para as dimensões comprimento, a massa, o tempo, a temperatura, a corrente, a
quantidade de matéria e a intensidade luminosa, respectivamente. Todas as outras
unidades são chamadas de unidades derivadas (joule [J] para trabalho, watt [W]
para potência, etc), pois são definidas em termos das unidades básicas.
Atribui valores numéricos específicos para fenômenos físicos observáveis, de
maneira que estes possam ser descritos analiticamente.
DIMENSÃO quantidade física utilizada para
propriedade que pode ser medida ou observada.

definir

qualitativamente

Exemplo: Comprimento [L], Tempo [t], Massa [M], Força [F] e Temperatura [θ].
UNIDADE são nomes arbitrários atribuídos às dimensões.
Exemplo: dimensão → comprimento
unidades → centímetros, pés, polegadas,

3

uma


Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades

Assim, a dimensão especifica a magnitude da grandeza (variável do processo)
medida de acordo com o sistema de unidades adotado. No SI a unidade da
grandeza comprimento é o metro, em outros sistemas de unidade podem ser em a
polegada, o centímetro, o kilômetro, a milha, etc.
Em várias áreas industriais diferentes sistemas de unidades que misturam unidades
do SI, com unidades inglesas e antigas unidades de comércio têm uso corrente. São
comumente referidas como Unidades de Engenharia. É o caso, por exemplo, da
indústria hidráulica: o diâmetro de tubulações é usualmente referido em polegadas
(dimensão típica em uso nos USA e outros países de língua e industrialização de
origem inglesa e americana), e o comprimento desta mesma tubulação pode ser
referido em metros. Compra-se no comércio, mesmo no Brasil, uma tubulação de
PVC de 6 m comprimento e 2” (polegadas) de diâmetro, classe 10 - pressão de
trabalho de 10 atm (atmosferas, ou 1.01325 x 106 N/m2). Na indústria do petróleo a
produção (a vazão de óleo, volume na unidade de tempo) é medida em barris/dia
[bbl/dia].

4


Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades

O Sistema CGS foi corrente na área da mecânica, e se baseava em três dimensões
e suas unidades básicas: o centímetro, o grama e o segundo.
Na indústria automobilística de matriz baseada nos USA, todas as dimensões –
folgas de válvulas, bitola de parafusos e porcas, tamanho de rodas, etc, têm por
base o Sistema Inglês de Unidades. O Sistema Inglês, por sua vez, tem unidades
de uso próprio nos USA, que diferem, em valor, de unidades usadas na Inglaterra: o
pé inglês é maior que o pé americano, assim como o galão, etc.

5


1.1

Sistema Internacional - SI L
M
t
θ

Comprimento
Massa
Tempo
Temperatura

metro
quilograma
segundo
graus Celsius ou Kelvin

m
kg
s
°C ou K

Força: definida pela 2ª Lei de Newton

F = m.a
F - força [N]

 m

F = m.a kg 2 = N 
 s


m - massa [kg]
a - aceleração [m/s2]

1.2

Sistema Inglês
L
M
F
t
θ

Comprimento
Massa
Força
Tempo
Temperatura

Pés
libra-massa
libra-força
Segundo
graus Fahrenheit ou Rankine

ft
lbm
lbf
s
°F ou °R

Força: é estabelecido como uma quantidade independente definida por
procedimento experimental: a força de 1 lbf acelerará a massa de 1 lbm 32,174 pés
por segundo ao quadrado.
- Ao relacionar força e massa pela lei de Newton, surge uma constante de
proporcionalidade, gc:
m.a 1lbm.(32,174 ft / s 2 )
F=
=
= 1lbf
gc
gc
- gc terá as dimensões MLF-1t-2
32,174lbm. ft
- para sistema inglês: g c =
lbf .s 2
gc tem o mesmo valor numérico que a aceleração da gravidade ao nível do mar, mas
não é aceleração da gravidade. Serve para relacionar estas quantidades.

6


1.3

Sistema Gravitacional Britânico
L
M
F
t
θ

Comprimento
Massa
Força
Tempo
Temperatura

pés
slug
libra-força
segundo
graus Fahrenheit ou Rankine

ft
slug
lbf
s
°F ou °R

Outros:
- Sistema Técnico de Engenharia: kg, m, s, kgf
gc= 9,80665 kg.m/(kgf.s2)
-

Sistema CGS: g, cm, s, dina

PESO ≠ MASSA
O Peso de um corpo é definido como a força que age no corpo resultante da
aceleração da gravidade. Varia com a altitude.
Prefixo usados no SI
Para facilitar a escrita de grandezas de magnitude muito grande ou muito pequenas,
as unidades podem ser acompanhadas de prefixos que designam seus múltiplos e
submúltiplos.
Prefixos do SI
Prefixo
exa
peta
terá
giga
mega
quilo
hecto
deca
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto

Símbolo
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a

Fator multiplicador
1.000.000.000.000.000.000
1.000.000.000.000.000
1.000.000.000.000
1.000.000.000
1.000.000
1.000
100
10
0,1
0,01
0,001
0,000 001
0,000 000 001
0,000 000 000 001
0,000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 001

7


8


9


1) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado.
a) 20000mm:

m

b) 14000000000 W:

GW

c) 2,75x104Pa:

kPa

d) 0,000055kg:

g

e) 0,00023cm:

µm

f) 250kN:

N

g) 0,0043 MPa:

Pa

h) 0,000025A:

mA

2) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado.
a) 50000N:

kN

b) 200000MPa:

GPa

c) 75000N:

kN

d) 0,000014kg:

g

e) 0,1x10-3 mm

µm

f) 500 000 000 N/m²

kN/mm²

g) 150km/h:

m/s

h) 20m/s

km/h

i) 30m/s

km/min

j) 120km/h

m/min

k) 50l

m³

l) 100m³

l

m) 200m²

cm²

n) 10pol

cm

o) 100mm

pol

p) 120HP

KW

q) 2000W

CV

r) 50Bar

Psi

10


CAPÍTULO 2
2 Estática de pontos materiais
2.1

Introdução

O que é Mecânica?
Pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou
movimento de corpos sob ação de forças.
Corpos rígidos, deformáveis e fluidos.

2.2

Força Resultante

A somatória das forças que atuam em um dado ponto material é a força resultante.
(produz o mesmo efeito que as forças originais)

2.3

Forças no Plano

Uma força representa a ação de um corpo sobre o outro. Ela é caracterizada por seu
ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.
2ª Lei Newton: F=m.a e no SI (N)
Fazendo a regra do Paralelograma.
P

A

P

Q

R=P+Q

R

Q

As forças não obedecem às regras de adição definidas na álgebra ou na aritmética.
Q
P

R

ou
R
Q

Caso possua mais de um vetor
Q

P

S

Q+S
P+Q+S

11

P


2.4

Componentes Cartesianas de uma força

Em muitos problemas é desejável decompor uma força em duas componentes
normais uma à outra.
y
y
F
F
Fy
Fy
x
θ
Fx
θ
o
x
Fx
Fx = F cos θ

e

Fy = F sen θ

F² = Fx²+ Fy²
Adição de forças pela soma das componentes segundo x e y.
Resultante da soma dos vetores P, Q e S.
Teremos as componentes:
Rx + Ry; Px + Py ; Qx + Q y ; Sx + Sy.
Sendo assim:
Aonde:

R x = Px + Q x + Sx

Rx = ΣFx

e

S

S

e

Ry = Py + Qy + Sy

Ry = ΣFy
Sy

P

P

Py
Sx

A

R

Px
A

Q

Ry

Qx
Qy

Rx

Q

R² = Rx²+ Ry²

12


Exemplo 1: Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A. Um
terceiro cabo AC é usado para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que
a resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical.
A
10°

25°

12kN=F2
30kN=F1

20
m

F1 = 30 KN
F2 = 12 KN
Tac= ?

R↨

C

B

15
m

Calculando a distância AC = 25 m.
Como é vertical Rx = ΣFx=0
Logo a Resultante é Ry
Decompondo os vetores XY
F1 = (-30.cos 25° em x e (-30.sen 25° em y
)
)
F2 = (12.sen 10° em x e (-12.cos 10° em y
)
)
TAC = (TAC.sen θ) em x e (-TAC.cos θ) em y (adotado o sentido de

20 θ

25

15

senθ =

15
25

cosθ =

20
25

Rx = ∑ Fx = −30 cos 25° + 12 cos10° + TAC senθ = 0
30 cos 25° - 12 cos 10
= 25,619
sen θ
R y = ∑ Fy = −30sen25° + 12sen10° + TAC cosθ

TAC =

Ry = −35,257 KN

13

TAC)


2.5

Equilíbrio de um ponto material

Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero,
este ponto está em equilíbrio.

R = 0∴

Rx = ∑ Fx = 0

R y = ∑ Fy = 0

100N

100N

Exemplo 2: Como parte do projeto de um novo veleiro deseja-se determinar a força
de arrasto a uma dada velocidade. Com esse objetivo, um modelo do casco é
colocado em um canal para testes, sendo mantido alinhado com o eixo do canal por
meio de três cabos presos a sua proa. Leituras de dinamômetro indicam que, para
uma dada velocidade da água, a tração no cabo AB é de 200N e de 300N no cabo
AE. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC.
0,45m

2,10m

C

B
α

1,2m

β

A

Fluxo

1,2m

AB = 200N
AE = 300N
Fmastro = ?
AC = ?

E

Decompondo os vetores XY
TAB

α

TAc

β

A

F
TAE

Encontrar α e β
2,1
tgα =
= 1,75
1,2
α = 60,26°

e

0,45
= 0,375
1,2
β = 20,56°
tgβ =

R = T + TAB + TAC + TAE

Corpo em equilíbrio
∑ Fx = 0

∑F

y

=0

F − TAB senα + TAC senβ = 0

− TAE + TAB cosα + TAC cos β = 0

F = 98,37 N

TAC = 214,5 N
14


Exemplo 3: A manga A pode deslizar livremente sobre o eixo horizontal, sem atrito.
A mola presa à manga tem constante 1751 N/mm e elongação nula quando a manga
está diretamente embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P
necessária para manter o equilíbrio quando: (a) c= 228 mm e (b) c= 406 mm.
C
B

305 mm

k = 1751 N/m
P=?
C = 228 mm
A
P

L

L0
C

L ² = L0 ² + C ² ⇒ L = 380,8mm
∆x = L − L0 = 75,8mm

F = K ⋅ ∆x = 1751× 75,88 ×10−3
F = 132,72 N

(F: força da mola;

∆x: deslocamento da mola)

D.C.L
Equilíbrio
→ ⊕∑ Fx = 0

F
P
Fat=0
Μ=0

N

ω

P − F cos θ = 0
C
P=F
L

15

cosθ =

C
L


Exemplo 4: Caixotes de 30 kg estão suspensos por diversas combinações de corda
e roldana. Determine, em cada caso, a tração na corda. (A tração na corda é a
mesma dos dois lados da roldana, Veremos isto mais tarde).
b)

R
T

T

T

T

T

∑F

y

T

T

T

T

=0

R = 2T

∑F

y

=0

2T − P = 0
P
T=
2

P

P

c)
Roldana B
A
T
T
T
T

T

T

T
T

T’

B
T’
T’

T’ = 2T

T
C

Roldana C
T’
T

T

∑F

y

=0

T '+2T − P = 0
2T + 2T = P
P
T=
4

P
P

16


Exercícios:
1) Determine a Força resultante das quatros forças aplicadas na figura abaixo:

a)

b)

2) Determine a Força Resultante das Forças aplicada no desenho abaixo.

a)

b)

17


3) Determine o peso máximo do motor que pode ser suportado sem exceder uma
força de 450N na corrente AB e de 480N na corrente AC.
4) Uma caixa é erguida com um guincho pelas cordas AB e AC. Cada corda resiste a
uma força de tração máxima de 2500 N sem se romper. Se AB permanece sempre
horizontal e AC permanece com θ = 30° determine o peso máximo da caixa para
,
que ela posa ser levantada.

3)

4)

5) João tenta alcançar Maria subindo com velocidade constante por uma corta
amarrada no ponto A. Qualquer um dos três segmentos de corda suporta uma força
máxima de 2 kN sem se romper. Determine se João, que tem massa de 65 kg, pode
subir pela corda. Em caso positivo, verifique se ele, juntamente com Maria, que tem
massa de 60 kg, pode descer pela corda com velocidade constante.

18


6) Um bloco de 200kg pende de uma pequena polia que pode rolar sobre o cabo
ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição mostrada abaixo por um segundo
cabo DF, paralelo ao trecho CB do cabo. Determine a tração no cabo ACB e no cabo
DF. Despreze o raio da polia e a massa dos cabos e da roldana. Adote gravidade
10m/s².

19


CAPÍTULO 3
3 Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças
3.1

Classificação das forças atuantes em corpos rígidos

a) Forças Externas: Representam a ação de outros corpos sobre o corpo rígido
considerado.
Causarão o movimento (rotação/translação) ou assegurarão a permanência em
repouso.
b) Forças Internas: Mantém unidas as partículas que formam o corpo rígido. Se o
corpo rígido é composto de diversas partes, essa força que mantém estas partes
unidas.
(Somatório das forças internas é zero)
Guindastes:

D

C

E

F

B
G

P

Barras:
BE , DCEF , ABC.

A

D.C.L. Guindaste (estrutura)
TDG

P

A = Ax i + Ay j

Ax
A

Ay

∑F

ext

= A + P + T DG = 0

D.C.L. da Barra BE

D.C.L. da Barra ABC

F BE = − F EB

C = C xi + C y j

20


FEB

E

Cy

Cx

FBE
B
FBE

Ax
Ay

D.C.L. da Barra DCEF
TDE
α

3.2

Cy

Cx
P

FEB

Princípio de transmissibilidade

Este princípio é definido pelos pontos em que a força pode estar atuando em um
corpo, sem que altere o efeito que ela exerce sobre o corpo. Uma força pode atuar
em qualquer ponto sobre a sua linha de ação que o efeito causado no corpo será o
mesmo.

F
A
F’
A’

A”
F”

F

F

=
P
R1

P
R2

R1

21

R2


3.3

Momento de uma força em relação a um ponto

Momento é a tendência de giro que uma força aplicada a um ponto tende a outro
ponto do corpo.
Força no Plano xy
F

y
A

Fy

y
A

α

=

r

r

θ

F
α

Fx

θ

x

componentes de

x

F

componentes de

Fx e Fy

dx e dy

Fx = F cos α

d x = r cos θ

Fy = Fsenα

r

d y = rsenθ

Momento de uma força em relação a um ponto é força vezes a distancia da linha de
ação da força ao ponto aonde quero calcular o momento.
M 0 = Fy d x − Fx d y

3.4

Momento de um conjugado

Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e
sentidos opostos formam binários

∑F = 0
∑M ≠ 0

-F

F

Podemos calcular o momento das duas forças em relação a qualquer ponto do
corpo, que o momento sempre será o mesmo.
y

y

B

B
d

-F

F

-F

F

=

rB
rA

A

A
x

x

22

No caso de forças
binárias, o momento
é calculado pela
força e a menor
distância entre elas.
M=F.d


3.5

Conjuntos Equivalentes

(Os três binários têm o mesmo efeito sobre a caixa)

y
M

M

M
150N
0,1m
150N

x

150N
0,1m

100N

150N

0,15m
100N

z

Exemplo 1: Uma força P de 300 N é aplicada ao ponto A da figura. (a) Calcule o
momento de P em relação a O utilizando as componentes horizontal e vertical da
força.
P
30°
A

B

120mm

40°

200mm

40°
o

P = 300N
P
a) M O = ? (componentes y e x)
a)
Px = Psen30
Py = P cos 30
x = 200 cos 40°
y = 200sen 40°

M o = − Px . y + p y .x
M O = (20527N ⋅ mm)

23


Exemplo 2: A força P é aplicada a uma pequena roda que se desloca sobre um cabo
ACB. Sabendo que a tração nas duas partes do cabo é de 750N, determine o
módulo de P.

A

30°

45°

C

α

P

TABC = 750N
P=?
TAC = TBC = TABC = 750N
D.C.L Roda
TBC

TAC

45°

30°
α

r
TACx
r
TACy
r
TBCx
r
TBCx

P

= TAC cos 30°
= TAC sen30°
= TBC cos 45°
= TBC sen45°

Px = Psenα
Py = P cosα

∑F

x

=0

− T AC cos 30 ° + T BC cos 45 ° + Px = 0
Px = 119 ,19 N

∑F

y

=0

T AC sen 30 ° + T BC sen 45 ° − Py = 0
Py = 905 ,33 N

Sendo: Px = 119,19; Py = −905,33 , teremos:
P²=Px²=Py² -> P = 913,15N

24

B


Exercícios:
1) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam
sobre o corpo.

2) Determine o Momento das três forças em relação ao ponto A.

3)Determine o momento da força F em relação ao ponto A. θ = 45°
.

25


4) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam
sobre o corpo.
5) Determine a intensidade F da força aplicada no cabo da alavanca, de modo que a
resultante das três forças passe pelo ponto 0.

4)

5)

6) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas e do momento
(conjugado), mostrados, que atuam sobre o suporte vertical.
7) Uma força F e aplicada ao pedal de freio em A. Sabendo que F = 500N, determine
o momento de F em relação a B. ( as medidas estão em milímetros).

6)

7)

26


8) O corpo de 330N é mantido dentro no equilíbrio pelo peso W. E o sistema das
polias excedentes B e C tem uma corda é contínua. As duas polias B e C estão
presas em A e giram como uma unidade as cordas de A para B e C é prendido às
bordas das polias em A. Determine o peso W para o equilíbrio do sistema e Todas
as tensões nas demais cordas.

9) Quatro pinos são presos a tábua. Dois barbantes, apoiados nos pinos, são
tracionadas. Determine o diâmetro dos pinos sabendo que o momento do binário
resultante aplicado à tábua é de 54,8N, anti-horário.

203mm

111N

156N

y
A

B

152mm
z
C

D
156N

111N

27

x


CAPÍTULO 4
4 Equilíbrio de corpos rígidos
4.1

Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões:

r

∑ F = 0;
r

∑M

O

=0

∑F
( 2) ∑ F

(1)

x

= 0;

y

= 0;

r

(3)

∑M

z

=0

28


4.2

Reações nos Apoios e Conexões.
Vinculo

Reação

Numero de
incógnitas

1

1

1

2

3

29


Exemplo 1: Um tanque cilíndrico de 250 kg tem 2 m de diâmetro e deve galgar uma
plataforma de 0,5 m de altura. Um cabo é enrolado no tanque e puxado
horizontalmente. Sabendo que o canto A da plataforma é áspero, calcule a força de
tração no cabo necessária para levantar o tanque e a reação em A.
T

G
0,5m

A

2m
P
B

- Massa do tanque: 250kg
- Canto A é áspero
T=?
Reação em A = ?
∑ FX = 0
∑ Fy = 0

R AX − T = 0

− P + R Ay = 0

R AX = T

r
obs: R B = 0 (força T para retirar
o tanque do chão )

R Ay = P = mg

r
MA =0
∑
T ⋅1,5 − P ⋅ l = 0
P ⋅l
T=
1,5

1

0,5

l

30

l = 1² − 0,5²


Exemplo 2: Determine em A e B quando: (a) α = 0, (b) α = 90 (c) α = 30 .
0,15m
A

0,15m
250N

0,2m

B
α

∑F

x

=0

RAx + RB cos α = 0

∑F

y

=0

− 250 + R Ay + RB senα = 0
r
∑MA = 0
RB senα ⋅ 0,2 + RB cos α ⋅ 0,2 = 0

31


Exemplo 3: Sabendo que a tração em todos os pontos da correia é 300N, determine
as reações nos apoios A e B, quando: (a) α = 0 (b) α = 90 e (c) α = 30 .

B
50mm

300mm

300N

α

300N

A
250mm

200mm

T = 300N
Reações nos apoios A e B para:
a) α = 0°
b) α = 90°
c) α = 30°
D.C.L
A
By

Ay

Bx

α
Ax

300N

cos α =

300N

Ax
Ay
; senα =
A
A

Ax
Ay

∑F

x

=0

300 − 300 + Ax + Bx = 0 ⇒ Ax = − Bx

∑F

y

=0

Ay + B y = 0 ⇒ Ay = − B y

∑M

A

=0

300 ⋅100 − 300 ⋅ 350 + B y ⋅ 250 − Bx ⋅ 400 = 0
250B y − 400Bx = 75000
Para cada α dado, encontramos os valores das reações

32


Exemplo 4: Uma haste delgada BC de comprimento e peso P está presa a dois
cabos, como se vê. Sabendo que o cabo AB está na horizontal, determine: (a) o
ângulo θ que o cabo CD forma com a horizontal e (b) a força de tração em cada
cabo.

θ
C

l

A

B

40°

a) θ = ?
b) TCD = ? e TAB = ?
D.C.L.
TCD

TCDy

∑F

x

TCDx

TCDx − TAB = 0

∑F
l
TAB

P

40°
lcos40°

TCDx

y

=0

TCDy − P = 0 ⇒ TCDy = P

lsen40°

r
∑MB = 0
−P⋅

=0

l cos 40°
− TCDx ⋅ lsen 40° + TCDy ⋅ l cos 40° = 0
2
P ⋅ cos 40°
1
=
⋅
2
sen 40°

33


Exemplo 5: Uma barra delgada de comprimento L está apoiada em C e na parede
vertical. Ela suporta uma carga P em sua extremidade A. Desprezando o atrito e o
peso da barra, determine o ângulo θ correspondente ao equilíbrio.
A

P

θ
L
B

a

D.C.L.

P

B
Cx

∑F
∑F

x

= 0 ∴Cx − B = 0

y

= 0∴C y − P = 0

Cy

r
B⋅a
M C = 0 ∴ P (Lsen θ − a ) −
=0
∑
tgθ
r
Cx ⋅ a
∑ M B = 0 ∴ P (lsen θ ) − tgθ − C y ⋅ a = 0
B ⋅a
=0
tgθ
B⋅a
P ⋅ Lsenθ +
− P⋅a = 0
tgθ
P ⋅ Lsenθ + P ⋅ Lsenθ − P ⋅ a − P ⋅ a = 0
P (Lsenθ − a ) −

2 P ⋅ Lsenθ = 2 P ⋅ a
senθ =

a
a
⇒ θ = arcsen 
L
L

34

(1)
( 2)


Exemplo 6: Uma barra leve AD suporta uma carga vertical P e esta presa a mangas
B e C que deslizam livremente nas hastes. Sabendo que o fio preso em A forma um
ângulo α = 30 com a horizontal, determine: (a) a força de tração no fio e (b) as
reações em B e C.
A
30°

a

B

a

30°

C
a

30°

D
P

30°

Ax = A cos 30°

A
60°
B

P = − Py
60°

C

Bx = Bsen30°
By = B cos 30°

P

∑F
∑F

Ay = Asen30°

Cx = Csen30°
Cy = C cos 30°

x

= 0 ∴ − A cos 30° + Bsen30° + Csen30° = 0

y

= 0 ∴ − Asen30° + B cos 30° + C cos 30° − P = 0 (2)

∑M

A

=0

B ⋅ sen30° ⋅ a + C ⋅ sen30° ⋅ 2a = 0 ⇒ B = −2C
eq (1)
− A ⋅ 0,866 − C + C ⋅ 0,5 = 0 ⇒ − A ⋅ 0,866 − C ⋅ 0,5 = 0
A= −

0,5
⋅C
0,866

35

(1)


eq (2)
0,5
⋅ 0,5 ⋅ C − 2 ⋅ C ⋅ 0,866 + C ⋅ 0,866 − P = 0
0,866
P
− 0,577C − P = 0 ⇒ C = −
0,577

B=

2P
0,577

A=

0,5
P
⋅
0,866 0,577

Exercícios:
1) Determine as reações nos apoios em A (rolete) e B (pino) da estrutura.

2) Determine a intensidade das reações na viga em A e B. Despreze a espessura da
viga.

36


3) Determine as componentes horizontal e vertical do pino A e a reação no rolete B,
necessárias para treliça. Considere F= 600N.

4) Determine as reações em A e B. A barra tem espessura de 0,1m.

5) A barra uniforme de 30 kg com roldanas nas extremidades está apoiada pelas
superfícies horizontal e vertical e pelo arame AC. Calcule a força no arame e as
reações contra as roldanas em A e B.

37


6) Determine as reações em A e B.

7) Determine as reações em A (roletes) e B (pino).

8) O redutor de engrenagens, esta sujeito a dois conjugados, o seu peso de 200 N e
a uma força vertical em cada uma das bases A e B. Se a resultante deste sistema de
dois conjugados e de três forças for zero, determinar as forças em A e B.

38


9) Determine as reações em A e B.

39


CAPÍTULO 5
5 Análise das Estruturas
Princípio Básico:
3ª lei de Newton- Estabelece que forças de ação e reação entre corpos em contato,
possuem o mesmo módulo, mesma linha de ação e sentidos opostos.
Categoria de estruturas:
1) Treliça;
2) Estruturas;
3) Máquinas;

5.1

Análise de Treliças

Treliça: Barra comprimida ou tracionada
Método dos Nós
Eficaz quando é necessário determinar as forças em todas as barras da treliça.
Método das Seções
Eficaz quando a força em uma ou poucas barras são desejadas.

40


5.1.1 Análise das treliças pelo método dos nós.
C

1

D

A

Ax

B

1

1
Ay

By

F

F = 1000N
Estrutura de 5 barras

∑ F = 0 ∴ A = 0; ∑ Fy = 0∴ Ay + By − F = 0 ⇒ Ay = 500N
+ ∑ M = 0 ∴ − F ⋅1 + B ⋅ 2 = 0
x

x

A

By =

y

1000
⇒ By = 500 N
2

F AC

C

FCA

C
D

FCD
FAD

FDA

Ay

Ax

C

FDC

A

Ax

Nó A:

FBC

A

B

FBD

D

FCB

FDB
D

B

F

By

F AC
45º

∑ Fx = 0∴ Ax + F

FAD

AD

FAD = 500 N

∑F

Ay

y

Tração

= 0 ∴ Ay + FAC ⋅ sen 45º = 0

FAC = −707 N

41

+ FAC ⋅ cos 45º = 0

Compressão


Nó B:

∑F

FBC

y

= 0 ∴ B y + FBC ⋅ sen 45º = 0

FBC = −707 N

45º

FBC

∑F

x

By

∑F

FCD
FAD

= 0 ∴ − FBD − FBC ⋅ cos 45º = 0

FBD = 500 N

Nó D:

y

Compressão

Tração

=0

FDC − F = 0
FDC = 1000 N (T )

FBD

∑F

x

=0

FDB − FDA = 0 ⇒ FDB = FDA

F

42


5.1.2 Análise das treliças pelo método das Seções.
1

1

F1
B

A

1

F3

F2

G

D

F1 = F2 = F3 = 10³N

1

Gx
C

Gy

E

Ey

D.C.L. da treliça:
∑ Fx = 0 ∴ G x = 0

∑F

y

⇒ G y = −3000 N

= 0 ∴ − F1 − F2 − F3 + E y + G y = 0

∑M

⊕

G

=0

F1 ⋅ 3 + F2 ⋅ 2 + F3 ⋅1 − E y ⋅1 = 0
E y = 6000 N

F1

B

A

F2
45º

C

F3

FCE

FDB

B

FBD
FBE

D

Gx
+

GY

FEB
FEC

E

E

Ey

Seção 1

∑ Fx = 0
FCE + FBD + FBE ⋅ sen45º = 0

∑F

y

=0

− F1 − F2 − FBE ⋅ cos 45º = 0 ⇒ FBE =
⊕

∑M

B

G

− F2 − F
= − 2828,4 N
cos 45º

=0

F1 ⋅1 + FCE ⋅1 = 0
FCE = − F1 = − 1000N ∴ FBD = 3000N

43


5.2
•

Análise de uma estrutura

Treliças ⇒ É uma estrutura com barras retas submetidas a apenas duas forças.

⇒ Vamos considerar agora estruturas que possuem pelo menos uma barra
submetida a três ou mais forças.

C
F1

F2

β

α

A

B

AC = L1
CB = L2

F1 e F2 atuam no ponto médio de cada barra.
D.C.L. da estrutura

F1

F2

Ax

Bx
Ay

By

D.C.L. barra AC :

D.C.L. barra CB

Cy

F1

Cy

Cx

Cx

F2

Ax

Bx
Ay

By

44


D.C.L estrutura

∑F

x

= 0 ∴ Ax + B x = 0 ⇒ Ax = − B x

Fy = 0 ∴ Ay + B y − F1 − F2 = 0

⊕ ∑M A = 0
− F1 ⋅

L1
L


cos α − F2  L1 cos α + 2 cos β  + B y ( L1 cos α + L2 cos β ) = 0
2
2



By =

F1 ⋅ L1 cos α 2 + F2 (L1 cos α + L2 cos β 2)
 Com isso teremos, By e Ay
L1 ⋅ cos α + L2 cos β


D.C.L AC

∑F
∑F

x
y



 Logo teremos Cx e C y também.
= 0 ∴ Ay + C y − F1 = 0


= 0 ∴ Ax + C x = 0

⊕ ∑MC = 0
− Ay ⋅ L1 cosα + Ax ⋅ L1 senα + F1

Ax =

L1
⋅ cos α = 0
2

Ay ⋅ L1 ⋅ cos α − F1 ⋅ L1 ⋅ cos α 2 
 Teremos Ax
L1 ⋅ senα


45


Exemplo 1: Sabendo que a polia tem um raio de 0,5m, determine a componente das
reações em A e E.

1m

3m

3m

C
1m

B

D

2m
E

Ax

A

700N
Ey

Ay

Raio da Polia é 0,5m.
Reações “A” e “B”.
D.C.L da estrutura

∑F

= 0 ∴ Ax + E x = 0

∑F

= 0 ∴ Ay + E y − 700 = 0 ⇒ Ay = 250 N

x

y

⊕∑MA = 0
E y ⋅ 7 − 700 ⋅ 4,5 = 0
E y = 450 N

46

Ex


D.C.L (Polia)
700

∑F
∑F

x

= 0 ∴ D y = 700 N

x

∑F
∑F

= 0 ∴ Ax + 700 + C x = 0

y

Dx

= 0 ∴ D x = 700 N

y

Dy

= 0 ∴ Ay + C y = 0 ⇒ C y = −250 N

700

D.C.L (Barra ABC)
Cy

Cx
700

Ax
Ay

⊕ ∑ MC = 0
+ 700 ⋅1 + Ax ⋅ 3 − Ay ⋅ 1 = 0
Ax =

− 700 + 250
⇒ Ax = − 150 N
3

Logo:

C x = − 550 N
E x = 150 N

47


5.3

Máquinas

• Máquinas são estruturas projetadas para transmitir e modificar forças.
Seu principal objetivo é transformar forças de entrada em forças de saída.
Exemplo 2:

Analisamos as forças e momentos nas partes separadas
ΣF=0;
ΣM=0.

48


Exemplo 3: A tesoura de poda pode ser ajustada apoiando-se o pino A em um dos
vários dentes da lâmina ACE. Sabendo que forças verticais de 1500N são
necessárias para cortar um ramo, determine o modulo P das forças que devem ser
aplicadas nos apoios de mão quando a tesoura está ajustada como ilustrada.

D.C.L(Barra AB)

FAB

13,8
= 40,25º
16,3
= FAB ⋅ cos α = FAB ⋅ 0,76

α = arctg

A

FABX

13,8

α

FABY = FAB ⋅ senα = FAB ⋅ 0,65
B

FBA
16,3

49


D.C.L (ACE)
35,1

12,5

37,5

E

FC
FAB

∑F

y

=0

− FAB ⋅ 0,65 + C y + 1500 = 0

∑F

x

=0

C x + FAB ⋅ 0,76 = 0
⊕ ∑MC = 0

1500 ⋅ 37,5 + FAB ⋅ 0,76 ⋅12,5 + FAB ⋅ 0,65 ⋅ 35,1 = 0
FAB = −1740N
logo
Cx = 1323N

C y = −2631N
D.C.L (MCD)
87,5

37,5

P

Cy
Cx

1500

32,55

Dx
Dy

⊕∑MD = 0
P ⋅ 87,5 − 1500 ⋅ 37,5 + C x ⋅ 32,55 = 0
P=

1500 ⋅ 37,5 − 32,55 ⋅ 1323
⇒ P = 150,7 N
87,5

50


Exemplo 4: Uma barra uniforme de forma circular está presa por um pino em B e
apoiada em uma parede sem atrito em A. determine as reações em A e B.

Ax

r
P

2r/π

Bx

By

∑M

B

=0

2π

− Ax ⋅ r + P0  r −
r

2π  1

Ax = P r −

r r



=0


∑F

= 0 ⇒ Ax + Bx = 0 ⇒ Bx = −

∑F

P
2π 
r −

r
r 

= 0 ⇒ By − P = 0 ⇒ By = P

x

y

51


Exemplo 5: Determine as forças nas barras GJ, GK e IK da treliça.

3

TGk

TGj

θ

J

TIk

3
4

∑M

1

L

=0

− TG j ⋅ 4 + Lx ⋅ 3 = 0
TG j = 30 KN

∑F

x

= 0 ∴ Lx − TG k ⋅ cosθ = 0

TG k = −50 KN
D.C.L (estrutura)
∑ML = 0
− Ax ⋅ 9 + 15 ⋅12 + 15 ⋅ 8 + 15 ⋅ 4 = 0
Ax = 10 KN

∑F

x

=0

Ax + Lx = 0 ⇒ Lx = −40 KN

∑F

y

=0

L y − 15 − 15 − 15 ⇒ L y = 45KN

∑F

y

= 0 ∴TG j + TG k ⋅ senθ + TI k + L y = 0 ⇒ TI k = −45kN

52


Exemplo 6: Usando o método dos nós, determine a força em cada barra da treliça.
Indique se cada barra esta tracionada ou comprimida.

D.C.L (Estrutura)
∑MC = 0

1,6 ⋅ 3 + Fx ⋅1,6 = 0 ⇒ Fx = −3KN

∑ F = 0 ∴ C + F = 0 ⇒ C = 3KN
∑ F ∴ −1,6 + C ⇒ C = 1,6
x

x

y

x

y

x

y

Método dos Nós
D.C.L (A)

TBA

∑F

TDA

− 1,6 − TDA ⋅ senθ = 0

y

=0

TDA = −3,4 kN
1,6

 0,8 
 = 28,07
 1,5 

θ = arctg

∑F

x

= 0 ∴TBA + TDA ⋅ cos θ = 0

TBA = 3kN

53


Exemplo 7: Determine a força P que deve ser aplicada ao elo articulado CDE para
manter o suporte ABC na posição.

D.C.L (toda estrutura)
∑ME = 0

− Ax ⋅150 − Ay 300 + P ⋅150 + 900 ⋅150 = 0

∑F
∑F

x

= 0 ∴ Ax + E x + P = 0

y

= 0 ∴ Ay + E y − 900 = 0

Ax = −60
D.C.L (ABC)
∑MC = 0

− Ay ⋅ 300 − Ax ⋅ 450 + 900 ⋅150 = 0

∑F
∑F

x

= 0 ∴ Ax + C x = 0

y

= 0 ∴ Ay + C y − 900 = 0

D.C.L (ED)
∑ M D ∴ − E x ⋅150 − E y ⋅ 25 = 0

∑F
∑F

x

= 0 ∴ E x + Dx + P = 0

y

= 0∴ E y + Dy = 0

D.C.L (D.C)
∑MD = 0

C x ⋅150 − C y ⋅ 25 = 0

∑F
∑F

x

= 0 ∴ −C x − D x + P = 0

y

= 0 ∴ −C y − D y = 0

54


Exercícios:
1) Determine as forças em todas as Barras, e indique se ela esta sofrendo tração ou
compressão.

2) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob
ação de tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4 kN.

3) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob
tração ou compressão. Considere que P1 = 0 eP2 = 20 kN.

55


4) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob
tração ou compressão.

5) Determine a força em cada barra da treliça. Indique se cada barra esta tracionada
ou comprimida. As forças estão em [N].

6) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob

56


7) Determine as forças nas barras BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se
eles estão sob tração ou compressão.
8) Determine as forças nas barras GF, CF e CD para a treliça da ponte e indique se
eles estão sob tração ou compressão.

7) e 8)
9) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles
estão sob tração ou compressão.

10) Determine as forças nas Barras CE, CD e BD, e indique se ela esta sofrendo

57


11) Determine as forças nas barras DF, EF e EG da treliça. As forças estão em [N].

12) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles
estão sob tração ou compressão.

13) Calcular a força suportada pela barra BH da treliça, em balanço, carregada.

58


14) Calcular as forças que atuam nas barras IH, BH e BC da treliça, carregada pelas
forças de 40 E 60 kN.

15) Calcular as forças que atuam nas barras CH, CB e GH da treliça em balanço.
16) No guindaste em ponte rolante mostrado, todos os elementos cruzados são
barras de amarração esbeltas incapazes de suportar compressão. Determine as
forças nos elementos DF e EF e encontre a reação horizontal na treliça em A.

(15)

(16)

17) Calcule a força no elemento HN da treliça carregada.

59


18) Determine a força no elemento DK da treliça para placas de sinalização
carregada.

19) As estruturas articuladas ACE e DFB estão interligadas pelas duas barras
articuladas, AB e CD, que se cruzam sem estarem ligadas. Calcular a força que atua
em AB.

20) A treliça é composta de triângulos retângulos isósceles. As barras cruzadas nos
dois painéis centrais são tirantes esbeltos, incapazes de suportar compressão.
Calcular as forças nas barras MN, GM e FN.

60


21) A treliça suporta uma rampa (mostrada com uma linha tracejada) que se estende
de um nível de chegada fixo próximo ao ponto F até um nível de saída fixo perto de
J. As cargas mostradas representam o peso da rampa. Determine as forças nos
elementos BH e CD e indique se eles estão sob tração ou compressão.

22) Determine as forças nos elementos CD, CF e CG e indique se eles estão sob

23) Determine as forças nos elementos DE, EI, FI e HI da treliça do telhado em arco
e indique se eles estão sob tração ou compressão.

61


24) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para as cargas aplicadas.
As duas barras ABC e BD estão ligadas por este pino.

30

25) Determine os componentes horizontal e vertical da força em C exercida pelo
elemento ABC sobre o elemento CEF.

26) Determine a maior força P que deve ser aplicada à estrutura, sabendo-se que a
maior força resultante em A deve ter intensidade de 2 kN.

62


27) Determinar a força suportada pelo pino C da estrutura carregada.

28) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para a carga aplicada de
300 kg. As duas polias estão ligadas entre si, formando uma unidade integral.

29) O elevador para carros permite que o carro seja movido para a plataforma, após
o que as rodas traseiras são levantadas. Se o carregamento devido a ambas as
rodas traseiras vale 6 kN, determine a força no cilindro hidráulico AB. Despreze o
peso da plataforma. O elemento BCD é um suporte em ângulo reto preso por pino à
plataforma em C.

63


30) Uma força de 75 N é aplicada ao cabo OAB do saca-rolha. Determine a força de
extração F exercida sobre a rolha.

31) Para a tesoura de poda mostrada, determine a força Q aplicada ao galho circular
de 15 mm de diâmetro para uma força de aperto P=200 N.

32) O rebitador é usado para inúmeras operações de junção. Para a posição do
cabo dada por α = 10º e um aperto no cabo P = 150 N, calcule a força de aperto C
gerada. Observe que os pinos A e D são simétricos em relação à linha de centro
horizontal da ferramenta.

64


33) Um lingote de aço pesando 40kN é levantado pela tenaz. Determine as forças
aplicadas nos pontos C e E da peça BCE.

65


CAPÍTULO 6
6 Centróide e Baricentro
Baricentro: Centro de Gravidade
Centróide: Centro Geométrico
P = m ⋅ g = ρ ⋅V ⋅ g = ρ ⋅ t ⋅ A ⋅ g

δ = ρ ⋅g

ρ : densidade da massa específica
t : espessura

δ : peso específico

Baricentro
Centróide

Madeira

Aço

y

y
∆P

P

x
y

x
G

x

y

=

z

z

66

x


6.1

Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos

Placas
X ∑ Ai = ∑ Xi ⋅ Ai

Arames
XLi = ∑ Xi ⋅ Li

Y ∑ Ai = ∑ Y i ⋅ Ai

Y Li = ∑ Y i ⋅ Li

y

A = ∑ Ai

y

A2
A1

C2
A3

C

Y

C1

X

C3
x

x

Alguns centróides são tabelados devidos as suas formas comuns como veremos nas
tabelas a seguir.

67


68


Exemplo 1:
y

A2

A1

A3

Y = 0 , pois tem o eixo de
simetria no eixo x.

x
Furo

A1

A2

A3

_

+

i
1
2
3

Xi
+
+

Ai
+
+
-

XiAi
+
-

X =

69

∑ XiAi
Ai


Exemplo 2:

y

1
r

L

x

2

i
1

X
L
2

2

L+r

Y

L

0

−

2r
π

YL

L

XL
L²
2

π ⋅r

(L + r ) ⋅ π ⋅ r

− 2r ²

0

X ∑ Li = ∑ XiLi
X (L + π ⋅ r ) =

L²
+ (L + r )π ⋅ r
2

Y=

0 − 2r ²
L +π ⋅r

L²
+ (L + r )π ⋅ r
2
X=
L +π ⋅r
Exercícios:
Determine o centróide da área sombreada em relação aos eixos x e y.
a)

b)

70


c)

d)

e)

f)

g)

71


CAPÍTULO 7
7 Movimento Circular
7.1

Velocidade Angular (ω)

Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma
variação angular (∆ϕ) em um determinado intervalo de tempo (∆t). A relação entre a
variação angular (∆ϕ) e o intervalo de tempo (∆t) define a velocidade angular do
movimento.

ω=

∆ϕ
∆t

Em que:
ω = velocidade angular [rad/s]
∆ϕ = variação angular [rad]
∆t = variação de tempo [s]

7.2

Período (T)

É o tempo necessário para que um ponto material "P",movimentando-se em uma
trajetória circular de raio "r",complete um ciclo.
T =

2π

ω

Em que:
T = período [s]
π =constante trigonométrica 3,1415...

7.3

Frequencia (f)

É o número de ciclos que um ponto material "P" descreve em um segundo,
movimentando-se em trajetória circular de raio "r".
A freqüência (f) é o inverso do período (T).
f =

1 ω
=
T 2π

Em que:
f = freqüência [Hz]
T = período [s]
π = constante trigonométrica 3,1415...

72


Radiano
É o arco de circunferência cuja medida é o raio.

7.4

Rotação (n)

É o número de ciclos que um ponto material "P", movimentando-se em trajetória
circular de raio "r", descreve em um minuto.
Desta forma,podemos escrever que:
Logo: n = 60 f
Como f =

ω
60ω
30ω
, tem-se n =
, portanto: n =
2π
2π
π

Em que:
n = rotação [rpm]
f = freqüência [Hz]

7.5

Velocidade Periférica ou Tangencial (v)

A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de
trajetória a cada instante, porém o seu módulo permanece constante

A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade angular (ω) é definida pelo
raio da peça.
v

ω

= r , portanto: v = ω.r

mas,isolando ω na expressão da rotação,obtém-se:
substituindo ω na expressão anterior,obtém-se:
Em que:
v =velocidade periférica [m/s]
n =rotação [rpm]
r =raio [m]
ω =velocidade angular [rad/s]

73


Exercícios:
1) A roda da figura possui d= 300mm ,gira com velocidade angular (J) = 10π rad/s.
Determinar para o movimento da roda:
a) Período(T)
b) Freqüência (f)
c) Rotação(n)
d) Velocidade periférica (Vp)

2) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação
n= 1740rpm.
Determine as seguintes características de desempenho do motor:
a) Velocidade angular (ω)
b) Período (T)
c) Freqüência (f)

3) O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d=660mm), viajando com um
movimento que faz com que as rodas girem com n= 240rpm. Qual a velocidade do
ciclista? V[km/h].

74


CAPÍTULO 8
8 Relação de Transmissão (i)
8.1

i=

Transmissão por Correias

d 2 ω1
f
n
M
=
= 1 = 1 = T2
d1 ω 2 f 2 n2 M T 1

Em que:
i = relação de transmissão [adimensional]
d1 =diâmetro da polia (1) (menor) [m; ...]
d2 =diâmetro da polia (2) (maior) [m; ...]
ω1 =velocidade angular (1) [rad/s]
ω2 =velocidade angular (2) [rad/s]
f1 =freqüência (1) [Hz]
f2 =freqüência (2) [Hz]
n1 =rotação (1) [rpm]
n2 =rotação (2) [rpm]
MT1 =torque (1) [N.m]
MT2 =torque (2) [N.m]

75


Exercício:
1) A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias
com os seguintes diâmetros respectivamente:
polia (1) motora d1 =100mm
polia (2) movida d2 =180mm
A polia (1) (motora) atua com velocidade angular ω =39π rad/ s.
Determinar para transmissão:
a) Período da polia (1) (T1)
b) Freqüência da polia (1) (f1)
c) Rotação da polia (1) (n1)
d) Velocidade angular da polia (2) (ω2)
e) Freqüência da polia (2) (f2)
f) Período da polia (2) (T2)
g) Rotação da polia (2) (n2)
h) Velocidade periférica da transmissão (v p)
i) Relação de transmissão (i)

8.2

Transmissão por engrenagens

Diâmetro primitivo da engrenagem: do= m . z
Em que:
do - diâmetro primitivo
m – módulo da engrenagem
z – número de dentes

i=

d o 2 m.z 2 ω1 f1 n1 M T 2
=
=
=
= =
d o1 m.z1 ω2 f 2 n2 M T 1

76


Observação
Para que haja engrenamento entre duas engrenagens, é condição indispensável que
os módulos sejam iguais. Portanto:

i=

d o 2 z 2 ω1
f
n M
= =
= 1 = 1 = T2
d o1 z1 ω2 f 2 n2 M T 1

Em que:
i – relação de transmissão [adimensional]
d01 - diâmetro primitivo do pinhão (1) [m]
d02 – diâmetro primitivo da coroa (2) [m]
Z1 – número de dentes do pinhão(1) [adimensional]
Z2 – número de dentes da coroa (2) [adimensional]
ω1 – velocidade angular do pinhão(1) [rad/s]
ω2 – velocidade angular da coroa (2) [rad/s]
f1 – freqüência do pinhão (1) [Hz]
f2 – freqüência da coroa (2)[Hz]
n1 – rotação do pinhão(1) [rpm]
n2 – rotação da coroa (2) [rpm]
MT1 - torque do pinhão (1) [Nm]
MT2 – torque da coroa (2) [Nm]
REDUTOR DE VELOCIDADE
A transmissão será redutora de velocidade quando o pinhão acionara coroa.
AMPLlADOR DE VELOCIDADE
A transmissão será ampliadora de velocidade quando a coroa acionar o pinhão.

77


CAPÍTULO 9
9 Torção Simples
Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção,quando sofre a ação de um
torque (MT) em uma das extremidades e um contratorque (MT) na extremidades
oposta.

9.1

Momento Torçor ou Torque (MT)

É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de
aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior).
MT=2F.S
Em que:
MT- torque (Nm)
F – carga aplicada (N)
S – distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da
peça (m).
Exemplo1:
Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do
torno. A carga aplicada nas extremidades da haste F=80N. O comprimento da haste
é l= 200mm.
Resolução:
MT=2Fs
MT=2.80.100
MT=16000 Nmm
MT=16 Nm
Exemplo 2:
Dada a figura, determinar o torque de aperto (MT) no parafuso da roda do
automóvel. A carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 120N,e o
comprimento dos braços é l=200mm.
Resolução:
MT=2F.l
MT=2.120.200
MT=48000 Nmm
MT=48 Nm

78


9.2

Torque nas Transmissões

Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a
força tangencial (FT) e o raio(r) da peça.
MT=F.r
Em que:
MT- Torque [Nm]
FT – Força tangencial [N]
r – raio da peça [m]
Exemplo 3:
A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora (1)
que possui diâmetro d1= 100mm e a polia movida (2) que possui diâmetro
d2=240mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial FT= 600N.

a) Torque na polia (1)
b) Torque na polia (2)

79


80


CAPÍTULO 10
10 Potência (P)
Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo.
Tem-se então:

W-Watt
Em que:
P – potência [W]
FT – força tangencial [N]
Vp - velocidade periférica [m/s]
No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao
povo inglês quantos cavalos equivalia a sua máquina.
Para isso,efetuou a seguinte experiência:

F= Qmáx= 76 kgf
Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1m/s.
Resultado em:
P=F.v
P=76kgf. 1m/s
P=76kgfm/s

81


Como:
kgf=9,80665N
P=76.9,80665N.1m/s
P=745,...Nm/s, a unidade Nm/s = 1W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa
experiência o HP (horsepower).
hp=745,...w – cuja utilização é vedada no SI.
Após algum tempo a experiência foi repetida na França constando-se que Q=75kgf.
Resultou daí o cv (cavalo vapor)
P=F.v
P=75kgf. 1m/s
P=75kgfm/s
Como kgf=9,80665N
Conclui-se que:
P = 75 . 9,80665Nm/s
p=735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI.
RELAÇÕES IMPORTANTES
hp = 745,...W (horse power) – vedada a utilização no SI.
cv = 735,5W (cavalo vapor) – permitida temporariamente a utilização no SI.
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
hp (horse power)-unidade de potência ultrapassada que não deve ser utilizada.
cv (cavalo-vapor) – unidade de potência cuja utilização é admitida temporariamente
no SI.

10.1

Torque X Potência

82


10.2

Força Tangencial (FT)

Exemplo 1:
O elevador da figura encontra-se projetado para transportar carga máxima
Cmáx= 7000N (10pessoas). O peso do elevador é Pe=1KN e o contra peso possui a
mesma carga Cp=1kN.
Determine a potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade
constante v=1m/s.

83


Exemplo 2:
A figura dada representa um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto
com peso Pc=200N. A corda e a polia são ideais. A altura da laje é h=8m, o tempo
de subida é t= 20s. Determinar a potência útil do trabalho do operador.

84


Exemplo 3:
Supondo que, no exercício anterior, o operador seja substituído por um motor
elétrico com potência P=0,25kW, determinar:
a) Velocidade de subida da lata de concreto (v s)
b) Tempo de subida da lata (ts)

Exemplo 4:
Uma pessoa empurra o carrinho de supermercado, aplicando uma carga
F=150N,deslocando-se em um percurso de 42m no tempo de 1minuto.
Determinar a potência que movimenta o veículo.

85


Exemplo 5:
A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico
com potência P=5,5kW com rotação n=1720rpm chavetando a polia (1) do sistema.
As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros:
d1=120mm (diâmetro da polia 1)
Desprezar as perdas.
a) Velocidade angular da polia 1 (W1)
b) Freqüência da polia 1 (f1)
c) Torque da polia 1 (MT) I
d)Velocidade angular da polia 2 (W2)
e)Freqüência da polia 2 (f2)
f) Rotação da polia 2 (n2)
g)Torque da polia 2 (MT2)
h)Relação de transmissão (i)
i) Velocidade periférica da transmissão (Vp)
j) Força tangencial da transmissão (FT)

86


87


Exemplo 6:
A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por intermédio
de um motor elétrico que possui potência P=0,75KW e gira com rotação n=1140rpm,
acoplado à engrenagem (1) (pinhão). As engrenagens possuem as seguintes
características:
Pinhão (1)

Coroa (2)

Número de dentes
Z1=25 dentes
Módulo
M=2mm

Número de dentes
Z2=47dentes
Módulo
M=2mm

Desprezando as perdas, determinar para a transmissão:
a) Velocidade angular do pinhão 1 (ω1)
b) Freqüência do pinhão 1 (f1)
c) Torque no pinhão 1 (MT1)
d) Velocidade angular da coroa 2(ω2)
e) Freqüência da coroa 2 (f2)
f) Rotação da coroa 2 (n2)
g) Torque na coroa 2 (MT2)
h) Relação de transmissão (i)
i) Força tangencial da transmissão (FT)
j) Velocidade periférica da transmissão (v)

88


89


90


Exercícios:
1) A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia
1 por um motor elétrico com potência P= 7,5kW (P = 10cv) e rotação n=1140rpm. As
polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros:

d1 = 120mm (diâmetro da polia 1)
d2 = 220mm (diâmetro da polia 2)
a) Velocidade angular da polia 1(ω1)
b) Freqüência da polia 1 (f1)
c) Torque da polia 1 (MT1)
d) Velocidade angular da polia 2 (ω2)
e) Freqüência da polia 2 (f2)
f)Rotação da polia 2 (n2)
g) Torque da polia 2(MT2)
h) Velocidade periférica da transmissão (v)
i) Força tangencial (FT)
j) Relação de transmissão (i)

91


2) A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por meio do
pinhão 1 acoplado a um motor elétrico de IV pólos com potência P= 15kW (p=20cv)
e rotação n=1720rpm.
As características das engrenagens são:
Pinhão (engrenagem 1)
Coroa (engrenagem 2)
Z1=24dentes (número de dentes)
Z2=73dentes (número de dentes)
m=4mm (módulo)
m=4mm (módulo)

Determinar para a transmissão:
Engrenagem 1 (pinhão)
a) velocidade angular (ω1)
b) freqüência (f1)
c) torque (MT1)

Engrenagem 2 (coroa)
d) velocidade angular (ω2)
e) freqüência (f2)
f) rotação (n2)
g) torque (MT2)

Características da transmissão:
h) velocidade periférica (v)
i) força tangencial (FT)
j) relação de transmissão (i)

3) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação
n= 1500rpm.
Determine as seguintes características de desempenho do motor:
a) Velocidade angular (ω)
b) Período (T)
c) Freqüência (f)

92


4) A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor
elétrico com potência P=2,5kW com rotação n=2000rpm chavetando a polia (1) do
sistema.
As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros:
Desprezar as perdas.
a)Freqüência da polia 2 (f2)
b) Rotação da polia 2 (n2)
c)Torque da polia 2 (MT2)
d)Relação de transmissão (i)
e) Velocidade tangencial da transmissão (VT)
f) Força tangencial da transmissão (FT)

93


CAPÍTULO 11
11 Rendimento das Transmissões (η)
η
Em qualquer tipo de transmissão, é inevitável a perda de potência que ocorre nas
engrenagens, mancais, polias, correntes, rodas de atrito, originada pelo atrito entre
as superfícies, agitação do oléo lubrificante, escorregamento entre correia e
polia,etc.
Desta forma, constata-se que a potência de entrada da transmissão é dissipada em
parte sob a forma de energia, transformada em calor, resultando a outra parte em
potência útil geradora de trabalho.
Pe = Pu + Pd
Em que:
Pe - potência de entrada [W;kW;...]
Pu – potência útil [W;kW;...]
Pd – potência dissipada [W;kW;...]

11.1

Rendimento das transmissões

Transmissão por parafuso sem fim

94


11.2

Perdas nas Transmissões

A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência (P) e rotação
(n). As polias possuem os seguintes diâmetros:
d1 – diâmetro da polia 1
d2 – diâmetro da polia 2
As engrenagens possuem os seguintes números de dentes:
Z1 – número de dentes

da engrenagem 1
da engrenagem 2
da engrenagem 3
da engrenagem 4

Os rendimentos:
ηc - rendimento da transmissão por correias
ηe - rendimento da transmissão por engrenagens
ηm - rendimento do par de mancais

Exemplo 1:
Determinar as expressões de:
a) Potência útil nas árvores (1, 2 e 3)
b) Potência dissipada/estágio
c) Rotação das árvores(1, 2 e 3)
d) Torque nas árvores(1, 2 e 3)
e) Potência útil do sistema
f) Potência dissipada do sistema
g) Rendimento da transmissão

95


96


Exemplo 2:
A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P=5,5kW
(P=7,5CV) e rotação n=1740 rpm. As polias possuem os seguintes diâmetros:
d1=120mm
d2 = 280mm
Z1= 23 dentes; Z2= 49 dentes;
Z3=27 dentes; Z4= 59 dentes
Os rendimentos são:
ηc = 0,97 (Transmissão por correia em V)
ηe = 0,98 (Transmissão/par de engrenagens)
ηm = 0,99 (Par de mancais (rolamentos))
Determinar na transmissão:
a) Potência últil nas árvores 1, 2 e 3.
c) Rotação das árvores 1, 2 e3.
d) Torque nas árvores 1, 2 e 3

97


98


Exercícios:
1) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico compotência P=3,7kW
(p= 5cv) e rotação n=1710rpm.
Os diâmetros das polias são:
d1=100mm(polia motora)
d2= 250mm(polia movida)
O número de dentes das engrenagens:
Z1= 21dentes; Z2= 57dentes;
Z3= 29dentes e Z4= 73dentes
Rendimentos dos elementos de transmissão:
ηc= 0,97 (transmissão por correias)
ηe= 0,98 (transmissão por engrenagens)
ηm= 0,99 [par de mancais (rolamentos)]
a) Potência útil nas árvores 1, 2 e 3
c) Rotação das árvores 1, 2 e 3
d) Torque nas árvores 1, 2 e 3

99


2)

3) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P=5,0kW
e rotação n=1500 rpm. As polias possuem os seguintes diâmetros:
d1=100mm
d2 = 200mm
Z1= 23 dentes; Z2= 59 dentes;
Z3=27 dentes; Z4= 49 dentes
Os rendimentos são:
ηc = 0,97 (Transmissão por correia em V)
ηe = 0,98 (Transmissão/par de engrenagens)
ηm = 0,99 (Par de mancais (rolamentos))
Determinar na transmissão:
a) Torque na saída do sistema.
b) Potência útil do sistema.
c) Potência dissipada do sistema.
d) Rendimento da transmissão.

100


4) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P = 5,1
kW e rotação de n=1930 rpm.

O número de dentes das engrenagens
de módulo 2mm:
Z1= 23dentes, Z2= 73dentes;


a) Potência útil nos eixos I, II, III e IV;
b) Rotação nos eixos I, II, III e IV;
c) Torque nos eixos I, II, III e IV;
d) Freqüência nos eixos I, II, III e IV;
e) Velocidade angular nos eixos I, II, III e IV;
f) Velocidade Tangencial de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das
engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6);
g) Força tangencial da de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das
h) Potência útil do sistema;
i) Potência dissipada do sistema;
j) Rendimento da transmissão;
k) Qual a relação de transmissão do sistema (motor até a saída da transmissão)?

101


5) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P = 9,5
kW e rotação de n=2500 rpm.

O número de dentes das engrenagens
de módulo 2mm:


a) Potência útil nos eixos I, II, III e IV;
b) Rotação nos eixos I, II, III e IV;
c) Torque nos eixos I, II, III e IV;
d) Freqüência nos eixos I, II, III e IV;
e) Velocidade angular nos eixos I, II, III e IV;
f) Velocidade Tangencial de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das
g) Força tangencial da de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das
h) Potência útil do sistema;
i) Potência dissipada do sistema;
j) Rendimento da transmissão;
k) Qual a relação de transmissão do sistema (motor até a saída da transmissão)?

102


CAPÍTULO 12
12 Noções de Resistência dos Materiais
12.1

Introdução

A Resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças
internas que atuam dentro do corpo.
Abrangência
Cálculo da deformação do corpo
Estudo da estabilidade do corpo quando ele está submetido a forças externas.
Nomes
Mecânica dos materiais e Mecânica dos corpos deformáveis
Corpos sólidos considerados: Barras com carregamentos axiais, eixos em torção,
vigas em flexão e colunas em compressão.

Por que o entendimento do comportamento
mecânico é essencial?
Pense nos parafusos que são usados no
acoplamento da estrutura apresentada na
figura ao lado.

Forças Externas: Força de superfície ou força de corpo.
Forças de superfície: Causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície
de outro ⇒ Força distribuída na área de contato entre os corpos.
Caso particular: Carga concentrada Por que?
Forças de Corpo: Um corpo
exerce uma força sobre outro,
sem contato físico direto entre
eles. Ex: Efeitos causados pela
gravidade da terra…etc

103


Os objetivos do estudo da resistência dos materiais são:
Analisar o comportamento dos elementos ou estruturas quando estes estão sendo
solicitados;
Determinar as propriedades dos elementos (dimensões, forma, material) que o
fazem ser capaz de resistir à ação destas solicitações;
Descobrir as possíveis causas das falhas dos elementos.

12.2

Esforços externos ou carregamentos

Os esforços externos que estão interagindo com o elemento a ser estudado, devem
ser determinados com certa exatidão, para que o projeto seja valido.
Os esforços externos podem ser divididos em:
Forças externas;
Momentos externos.
Forças externas
Quanto ao ponto de aplicação
Quanto ao fato de serem ação ou reação
Quanto em relação ao eixo
Quanto à direção relativa a uma seção
Quanto ao tipo de carregamento
Força Normal N e Força Cortante Q
A força normal N é perpendicular a superfície ou seção, enquanto que a força
cortante Q é tangencial a esta superfície ou seção.
Momentos externos
Momentos de torção
Momentos de flexão

104


Momento de Flexão
O momento fletor tende a encurvar as barras ou eixos

MOMENTO DE TORÇÃO
O momento torçor ou torque tende a produzir giro ou deslizamento entre as seções
de um eixo.

105


SOLICITAÇÕES MECÂNICAS
COMBINAÇÃO

12.3

Solicitações Simples

São Cinco os tipos básicos de carregamentos (forças e momentos) que podem
submeter os elementos de máquinas.
Tração: Cabo de aço;
Compressão: Latas de refrigerantes empilhadas;
Corte ou cisalhamento: Chapas parafusadas, Corte de chapas (guilhotina);
Flexão: Viga ou eixo;
Torção: Chave apertando um parafuso.
12.3.1 Tração

106


12.3.2 Compressão

12.3.3 Cisalhamento ou corte
Cisalhamento ou corte ocorre quando se aplica um esforço tangencial à área da
seção transversal da peça de modo a produzir nesta área uma pressão maior que a
máxima pressão (tensão admissível) suportada pela peça em questão.

12.3.4 Flexão
Flexão quando se aplica um esforço cortante na peça, as fibras superiores da peça
serão comprimidas e as fibras inferiores serão tracionadas, ou vice-versa.

107


12.3.5 Torção
Torção quando atuar um torque em uma de suas extremidades e um contra-torque
na extremidade oposta. Assim, tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal
da barra.

Resumo

108


12.4

Solicitações Compostas

Combinações das solicitações simples aplicadas em peças e elementos de
máquinas.
Eixo de transmissão

Barra em forma de L

Elo de corrente

Viga e tirante

109


12.5

Ensaio de Tração

12.5.1 Tensão Deformação

110


Deformação plástica - dutilidade

111


12.6

Modos de falhas trativas:

Material Frágil

12.7

Material Dúctil

Tensões

Tensão: Esforço interno distribuído ao longo de uma seção da peça mecânica.
Parece Pressão mas não é!!!
Tensão Normal: σ = P/A (Força Normal);
Tensão Cisalhante: Esforço interno para suportar força de corte ou cisallhamento
distribuido ao longo da seção da peça
Tensão Cisalhante: τ = Q/A;

112


12.8

Módulo de Elasticidade

Obs.: È Comum encontrar-se o módulo de elasticidade em Mpa (megapascal)

113


12.9

Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência:

114


115


CAPÍTULO 13
13 Tração e compressão
13.1

Carregamento Axial

13.2

Deformação sob Carregamento Axial
Da lei de Hooke:

σ = Eε

ε=

σ
E

=

P
AE

Da definição de extensão:

ε =

δ

L

A deformação é expressa por:

δ =

PL
AE

Para variações da área da secção,
propriedades e/ ou cargas aplicadas:

PL
δ =∑ i i

i Ai Ei

116


13.3

Tensão Normal σ

Lei de Hooke (cientista inglês – 1678)

13.4

Deformação Longitudinal (ε)

117


13.5

Deformação Transversal (εt)

13.6

Estricção

13.7

Coeficiente de Segurança k

118


Tensão (pressão) de escoamento : quando se entra na deformação permanente
do material que está submetido a esforços de tração ou compressão. Esta situação
ocorre após o limite máxima da deformação elástica
Tensão de ruptura : quando se excede à máxima tensão (pressão) do material que
está submetido a esforços de tração ou compressão. Neste momento ocorre a
estricção.

Exemplo 1:

119


120


Exemplo 2:
A barra rígida BDE rígido é suportada por dois elementos AB e CD. O elemento AB
é feito em alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área de secção transversal de 500
mm2. O elemento CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma área de secção
transversal de 600 mm2. Para uma força de 30 kN aplicada na extremidade da barra
BDE, determine o deslocamento:
a) do ponto B,
b) ponto D,
c) ponto E.

Resolução:

121


Descolamento do ponto D:
BB′ BH
=
DD′ HD
0.514 mm (200 mm ) − x
=
0.300 mm
x
x = 73.7 mm
EE′ HE
=
DD′ HD

δE
0.300 mm

=

(400 + 73.7 )mm
73.7 mm

δ E = 1.928 mm
δ E = 1.928 mm ↓

122


Exercício 1:

Exercício 2:

Exercício 3:

123


CAPÍTULO 14
14 Flexão
•
•
•
•

Vigas são barras comprimidas e retas com área da seção transversal
constante que suporta cargas aplicadas perpendicularmente ao seu eixo
longitudinal.
Exemplos: Apoio dos pinos de edifícios, tabuleiro de uma ponte ou asa de
avião, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste, etc.
Vigas desenvolve força cortante e momento fletor que variam de ponto para
ponto ao longo do seu eixo.
Consideremos elementos retos de seção transversal simétrica, feitos de
material homogêneo linear elástico.

São classificadas conforme seus apoios:
Viga em balanço ( ou viga engastada):
Viga apoiada em apenas uma das
extremidades por um apoio do tipo engastado.
Viga simplesmente apoiada:
Viga apoiada em uma das extremidades por
um apoio articulado fixo e na outra por um
apoio articulado móvel.
Viga apoiada com extremidade em balanço:
Viga simples que se prolonga além de um ou
dos dois apoios.

14.1

Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor

Tipos de Carregamento em uma Viga:
o Carga concentrada: quando um carregamento é aplicada sobre uma área
muito pequena.
o Carga distribuída: quando o carregamento está distribuído pelo eixo da
viga, são medidos pela sua intensidade que é expressa em unidades de
força por unidade de distancia, por exemplo [N/m]. Podem ser
Carregamento uniformemente distribuído, ou
Carregamento com variação linear.
o Binário: é um momento que atua sobre uma força.
o Quando uma viga sofre a ação de forças e momentos, são criadas tensões
e deformações no seu interior.
Para determinar essas tensões e deformações, primeiro devemos encontrar as
forças e os momentos internos que atuam nas seções transversais da viga.
Sabendo-se calcular o valor do momento fletor e da força cortante nas infinitas
seções de uma viga torna-se possível traçar diagramas ou gráficos que representem
estes esforços.

124


A fim de projetar viga adequadamente é necessário determinar o cisalhamento e
momento máximos.
Convenção de sinais: A força de cisalhamento V e o momento fletor M são positivos
no sentido mostrado:

14.2

Tensão de Flexão

A Máxima tensão de flexão (σmax) produzido pelo momento Maximo será inferior à
tensão admissível à flexão do material.

σ adm ≥ σ max =

M f .h
I

=

Mf
W

Mf – Momento fletor máximo (Nmm);
h – altura da linha neutra ate a extremidade (mm);
I - momento de inércia da secção (mm4);
- Tensão normal num ponto na fibra externa (N/mm²);

σ

W – Modulo de Resistencia da transferência ( N/mm).

W=

I
h

125


Exemplo 1:
Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga mostrada

126


Exemplo 2:
Momento Fletor e Esforço Cortante

127


Exercícios:
1) Determine o Momento Fletor Máximo aplicado na viga que será utilizado para
calcular a Máxima tensão de flexão (σmax)

2) Determine o Momento Fletor Máximo aplicado na viga que será utilizado para
calcular a Máxima tensão de flexão (σmax)

3)

4)

128


5)

129


CAPÍTULO 15
15 Torção
Torção refere-se ao giro de uma barra quando carregada por torques que tendem a
reproduzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.
Exemplos de barras em torção: O Giro de uma chave de fenda, eixos propulsores,
brocas de furadeiras, etc.

15.1

Transmissão de Potência

Eixos e tubos com seção transversal circular são, com freqüência, empregados para
transmitir potência gerada por maquinas.
A potência é transmitida através de um movimento rotatório do eixo e a quantidade
de potência transmitida depende do torque e da velocidade de rotação
Um problema comum de dimensionamento é determinar o tamanho do eixo de tal
forma que ele transmita uma quantidade especifica de potência numa velocidade de
rotação especicada sem exceder as tensões admissíveis do material.

130


15.1.1 Torção em Eixos de Secção Circular

•
•
•

15.2

A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T.
O eixo transmite o momento T ao gerador.
O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.

Análise das Tensões num Eixo

O momento torçor T tem a mesma intensidade que a soma dos momentos dF, em
relação ao centro:

O momento torçor produz tensões tangenciais nas faces perpendiculares ao eixo da
barra.
Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões tangenciais nas duas
faces formadas pelos planos que passam pelo eixo.
Considerando o eixo constituído por lâminas finas, verifica-se o deslizamento das
lâminas devido à aplicação de momentos, com a mesma intensidade e sentidos
opostos, nas extremidades da peça.

131


15.3

Deformações nos Eixos de Secção Circular

O ângulo de torção é proporcional a T e ao comprimento L do eixo:
φ ∝T

φ∝L
Nos eixos circulares, as secções transversais mantêm-se planas e não se
deformam.

A distorção numa barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra.
Lγ = ρφ

γ max

cφ
=
L

ou
e

γ=
γ=

ρφ
L

ρ
c

γ max

132


15.4

Tensão de Torque

No caso de ter tensão de cisalhamento ( τ max ) produzido pelo torque Maximo será
inferior a tensão admissível à torção do material.

τ adm ≥ τ max =

M t .r M t
=
J
W

Mf – Momento fletor máximo (Nmm);
r – Raio (mm);
J – Momento Polar de inércia da seção (mm4);
τ - Tensão cisalhante na fibra externa (N/mm²);
W – Modulo de Resistencia da transferência ( N/mm).
J
r

W=

15.5

Tensões no Regime Elástico

A partir da equação anterior:

Gγ =

ρ
c

Gγ max

Aplicando a lei de Hooke, τ = Gγ , vem:

τ=

ρ
c

τ max

133


A tensão tangencial varia linearmente com a distância ao eixo da barra.
Recordar que:

T = ∫ ρτ dA =

τ max
c

∫ρ

2

dA =

τ max
c

J

Fórmulas de torção no regime elástico:

τ max =

Tc
J

e

τ=

Tρ
J

J = 1 π c4
2

(

4
4
J = 1 π c2 − c1
2

134

)


15.6

Modos de Falha Torcionais

Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais.
Material ductile:

Material frágil:

135


Exemplo 1:

136


Exercício de Esforços Internos de Torção
Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo
girar livremente, represente o diagrama de esforços internos de torção.

137


Exemplo 2
O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, respectivamente
interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar:

a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;
b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material
for de 65 MPa.
Resolução:
Considerar secções transversais nos eixos AB e BC, e recorrer ao equilíbrio estático:

∑M

x

= 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB

TAB = 6 kN ⋅ m = TCD

∑M

x

= 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC

TBC = 20 kN ⋅ m

138


Aplicar as fórmulas de torção no regime elástico, para determinar as tensões
tangenciais no eixo BC:

J=

π

(c
2

4
2

)

− c14 =

τ max = τ 2 =

[(0.060) − (0.045) ] = 13.92 ×10
2

π

4

4

−6

m4

TBC c2 (20 kN ⋅ m )(0.060 m )
=
= 86.2 MPa
J
13.92 ×10 −6 m 4
45 mm
τ min
=
86.2 MPa 60 mm

τ min c1
=
τ max c2
τ min = 64.7 MPa

τ max = 86.2 MPa
τ min = 64.7 MPa
Aplicar a fórmula de torção no regime elástico e determinar o diâmetro necessário:

τ max =

Tc Tc
=π 4
J
2 c

− > 65MPa =

6 kN ⋅ m
π 3
2 c

c = 38.9 ×10 −3 m
d = 2c = 77.8 mm

139


15.7

Ângulo de Torção no Regime Elástico
cφ
L
Aplicando a Lei de Hooke,
τ
Tc
γ max = max =
G
JG
Igualando as expressões e resolvendo
em ordem ao ângulo,
TL
φ=
JG

γ max =

φ=∑
i

15.8

Ti Li
J iGi

Eixos Estaticamente Indeterminados

Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao
momento em A e B.
A partir do diagrama de corpo livre,

TA + TB = 90 lb ⋅ ft
Conclui-se que o problema é estaticamente indeterminado.
Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,

φ = φ1 + φ2 =

TA L1 TB L2
−
=0
J1G J 2G

TB =

L1 J 2
TA
L2 J1

Substituir na equação de equilíbrio inicial, TA +
140

L1 J 2
TA = 90 lb ⋅ ft .
L2 J1


Exercícios:
1) Determine qual será a Torção Máxima aplicado no eixo que será utilizado para
calcular a Máxima . tensão de cisalhamento (τmax)

a)

b)

141


2)

3)

4)

142


CAPÍTULO 16
16 Flambagem
A flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas,
quando submetidas a um esforço de compressão axial. Acontece quando a peça
sofre flexão transversalmente devido à compressão axial.
A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder
sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento.
Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de
sua seção transversal. A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da
tensão de escoamento do material, mas de seu módulo de Young.

16.1

Módulo de Young

O módulo de Young ou módulo de elasticidade é um parâmetro mecânico que
proporciona uma medida da rigidez de um material sólido.
Obtém-se da razão entre a tensão (ou pressão) exercida e a deformação unitária
sofrida pelo material. Isto é,

16.2

Carga Crítica de Flambagem

Pcr - carga crítica de flambagem: faz com que a peça comece a flambar.
Equilíbrio estável: P < Pcr - não há flambagem
Equilíbrio indiferente: P = Pcr
Equilíbrio instável: P > Pcr

143


Para determinar se uma peça irá sofrer flambagem ou compressão, temos que
calcular o seu índice de esbeltez e compará-lo ao índice de esbeltez crítico. Esse
índice é padronizado para todos os materiais.
Se o índice de esbeltez crítico for maior que o índice de esbeltez padronizado do
material, a peça sofre flambagem, se for menor, a peça sofre compressão.

16.3

Indice de Esbeltez

Mede o quão esbelto é um pilar.
Ele mede a facilidade ou a dificuldade que um pilar tem de flambar. O índice de
esbeltez de uma peça é dado por:

Consideramos uma barra homogênea de comprimento inicial L preso por pinos em
ambas as extremidades, à qual é aplicada uma força axial de compressão de
módulo P. Supomos que a barra se flexiona formando uma pequena flecha para
direita. Esta flexão acarreta que a distância entre as extremidades seja ligeiramente
reduzida de L para A. Denotamos então por u(x) a deflexão horizontal da curva
central, onde x varia entre 0 e A.

O momento da força P à altura x é dado então por:
Da teoria de vigas, sabe-se que o momento fletor se relaciona com o raio de
curvatura da barra de seguinte forma:

144


16.4

Flambagem de Colunas

Carga Excêntrica – Fórmula Secante

M - Momento
P - Força Axial
e - Excentricidade

O conjugado M sempre irá provocar flexão na coluna;

145


17 Referencias Bibliográficas:
MELCONIAN, SARKIS. Mecânica técnica e resistência dos materiais. Editora Érica,
ISBN-10: 8571946663, 2000.
Mecânica Vetorial para Engenheiros : Estática - Ferdinand P. Beer, E. Russell
Johnston Jr, Elliot R. Eisenberg e William E. Clausen, 7 Ed. Mc Graw Hill, 2006.
Mecânica: Estática - J. L. Merian, L.G. Kraige, 5 Ed. LTC, 2004.
Estática; Mecânica para Engenharia – R. C. Hibbeler, 10 Ed. Pearson, 2005.
Estática - Arthur P. Boresi, Richard J. Schmidt – 1 Ed. Thomson Learning, 2003.
Resistência dos Materiais - E. Russell Johnston, Jr. Ferdinand P. Beer e John T.
Dewolf, 4 Ed. Mcgraw Hill, 2007.
Resistência dos Materiais - R. C. Hibbeler, 5 Ed. Pearson, 2004.
Resistência dos Materiais - Manoel Henrique campos Botelho, 1 Ed. Edgard Blucher,
2008.
Mecânica dos Materiais - James M. Gere, 1 Ed. Thomson Learning, 2003.

146


Respostas dos Exercícios:
Capitulo 2
3)P. max=240N
5)para João subir: AC=377,9 e AB=755,81 para os dois descerem: AC=726,74 e
AB=1453,48
6)ABC=1907,5 e DE=309,96
Capitulo 3
1)16,5N
2)Mo= -2579,01 N.m
3)Ma= 1414,20 N.m
4)Ma = 19,90 kN.m
5)f = 160 N
6)Ma = - 16,281kN.m
7)Mb = -457.52 N.mm
8)W = 120 N
Capitulo 4
1)A = 7,35 kN e B = 16,65kN
4)A = 11134,10N e B = 12034,81N
5)A = 72,72N e B = 200N
6)A = 5240,80N e B 6535,22N
7)A = 8kN e B = 7,20kN
8)A = 85N e B = 115 N
9) Ax = 296,19N, Bx = - 46,19N e By = 273,20N
Capitulo 5
1)AB = 25kN (T), BD = 25kN (T), AC = -35,35kN (C) , BC = 100kN (T) e CD = 106,06kN (C)
2)AB=12kN (T) , ED= -6,96kN (C), EB= -4kN (C), DC= -6,96kN (C), BD= 4kN (T) e
BC= 8kN (T)
147

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