trabalho de area de projecto secundario 2006 2007

1. ESCOLA SECUNDÁRIA/3 DE CARREGAL DO SAL
ÁREA DE PROJECTO
A MONTANHA
RUSSA
RITA PAIS & DANIELA PAIS
ANO LECTIVO 2006/2007
CARREGAL DO SAL

2. A MONTANHA RUSSA
A nossa Montanha Russa
1

3. AGRADECIMENTOS
Agradecemos ao nosso pai António Pais, aos nossos tios José Fidalgo e José Pais a
ajuda prestada na construção da nossa Montanha Russa. À professora Carla Marques pela
sua orientação durante todas as fases do projecto. Reconhecemos ainda a ajuda valorosa da
professora Paula Cruz, na orientação temática do trabalho.
À professora Anabela Batista e ao professor Francisco Pinto igualmente
agradecemos os livros facultados, que se manifestaram muito valorosos com o decorrer da
investigação.
A todos o nosso muito Obrigada!
Rita e Daniela Pais
2

4. ÍNDICE
A MONTANHA RUSSA ...................................................................................................... 1
AGRADECIMENTOS .......................................................................................................... 2
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 4
CAPÍTULO I ......................................................................................................................... 6
UM POUCO DE HISTÓRIA DA FÍSICA ............................................................................ 6
CAPÍTULO II ...................................................................................................................... 10
MECÂNICA DA PARTÍCULA.......................................................................................... 10
CAPÍTULO III .................................................................................................................... 13
MONTANHA RUSSA ........................................................................................................ 13
HISTÓRIA DA MONTANHA RUSSA: .................................................................................... 14
COMO CONSTRUIR UMA MONTANHA RUSSA? ................................................................... 15
COMO FUNCIONA? ............................................................................................................ 21
SEGURANÇA: .................................................................................................................... 22
APLICAÇÃO PROFISSIONAL: .............................................................................................. 23
CAPÍTULO IV .................................................................................................................... 24
A NOSSA MONTANHA RUSSA ...................................................................................... 24
CAPÍTULO V ..................................................................................................................... 27
RECORDES ........................................................................................................................ 27
A MONTANHA RUSSA MAIS RADICAL ...................................................................... 27
RECORDE DE MAIOR TRECHO COBERTO: ........................................................................... 28
RECORDE DE MAIOR LOOPING: .......................................................................................... 28
RECORDE DE MAIOR TRILHO INVERTIDO: .......................................................................... 28
RECORDE DE COMPRIMENTO:............................................................................................ 28
RECORDE MAIS ANTIGA EM FUNCIONAMENTO: ................................................................. 29
RECORDE MAIS FAMOSA: .................................................................................................. 29
A MAIS RADICAL:.............................................................................................................. 29
CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 30
ANEXO ............................................................................................................................... 31
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................. 35
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5. INTRODUÇÃO
A Montanha Russa foi o tema escolhido para o projecto desenvolvido no âmbito da
disciplina de Área de Projecto, pois a nossa principal ambição era levar os leitores a
perceberem que a Física está presente no seu quotidiano, até em algo tão banal. De facto, a
Física, a «velha» e a «nova», está nos dias de hoje por todo o lado. Se olharmos à nossa
volta, veremos a Física em acção tanto em objectos e máquinas construídas pelo Homem
como em elementos que já existem na natureza. A Montanha Russa é um exemplo de como
a Física está presente no nosso dia-a-dia, pois esta ciência é de melhor aprendizagem se
observada em acção ao nosso redor!
Neste campo, temos como principais objectivos mostrar e explicar o funcionamento
da Montanha Russa, bem como princípios físicos e matemáticos implicados na construção
e funcionamento da mesma, tais como a Lei da Conservação da Energia Mecânica, o
Principio da Conservação da Energia, as três Leis de Newton, entre outros. Sendo o nosso
último objectivo a construção de uma Montanha Russa ideal, isto é, que se movesse apenas
devido à sua inércia, ou seja, uma Montanha Russa onde o carrinho descrevesse todo o
percurso, utilizando apenas a energia que possui no início do trajecto.
Com isto, pretendemos mostrar a aplicação dos princípios físicos e matemáticos na
construção e funcionamento da Montanha Russa. Para tal, foi necessário investigar.
Assim, efectuámos uma pesquisa exaustiva em páginas da Internet de cariz
científico, de sítios referentes a parques de diversões, entre outros e ainda em livros de
diversos autores alusivos à Mecânica Clássica. Resnick, Einstein, Carlos Fiolhais são
alguns dos exemplos de autores consultados na ênfase da Dinâmica e Cinemática e Jorge
Valadares, no que diz respeito à energia. Os nomes de Galileu Galilei e Isaac Newton são
os mais sonantes na Mecânica Clássica, uma vez que Newton foi o inventor das Três Leis
do Movimento, que fundamentam toda a Mecânica Clássica.
Contudo, para compreender toda a dinâmica da Montanha Russa não basta
conhecer todos os princípios implicados no seu funcionamento, é necessário conhecer um
pouco da história da Física. Facto para o qual foi imprescindível fazer uma investigação,
para conseguirmos fazer uma sucinta contextualização da sua evolução.
No final da pesquisa, aplicámos os conhecimentos adquiridos na construção da
nossa Montanha Russa, iniciando assim a parte prática do projecto. Esta começou com a
4

6. elaboração de um dos muitos esboços da Montanha, no qual se estudavam as diversas
manobras pretendidas, tais como looping vertical e horizontal, lomba e descida em queda
livre. Posto isto, realizámos os cálculos necessários ao bom funcionamento desta, com base
nas dimensões que pretendíamos que tivesse (altura, raio do loop, etc). Não obstante, como
os cálculos foram feitos desprezando o efeito do atrito, a sua construção não foi fácil,
sendo necessário seguir o velho processo da quot;experiência e erroquot;.
Construída a Montanha Russa ideal, decidimos confrontar os resultados obtidos a
partir dos nossos cálculos, que desprezavam a acção da força de atrito, com os valores
verídicos, que é possível determinar com a ajuda de sensores como por exemplo o smart
pulley, para assim demonstrarmos que os verdadeiros valores são muito menores que os
valores que iríamos obter teoricamente, na ausência de atrito.
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7. CAPÍTULO I
UM POUCO DE HISTÓRIA DA FÍSICA
6

8. A palavra física provém de um termo grego “Physis”, que significa “natureza”.
Este termo terá sido utilizado pela primeira vez por Aristóteles para designar os primeiros
livros (I - IV) do seu tratado – a Ciência da Natureza (Phys. I, 1, 184 a), porque os citava
de Físicos (tá fusiká).
Crê-se que esta ciência terá surgido na civilização grega (cerca do século I a.C.),
contudo é impossível afirmar uma data em concreto para a sua génese, pois muito antes da
teorização já existia a experimentação mecânica.
Desde o seu surgimento, até aos inícios do século XIX, a Física era designada por
“Filosofia Natural” visto significar a ciência da natureza, simultaneamente, a científica e a
filosófica., abarcando assim o estudo de todos os seres naturais bem como de todas as
mudanças por estes apresentadas.
O italiano Galileu Galilei foi pioneiro da Física como ciência pura, teórica e
experimental.
A descoberta e o emprego do raciocínio científico por Galileu marca o verdadeiro
princípio da Física (disse um dia Einstein acerca do filósofo italiano).
O objecto da Física não é o observável, mas sim a realidade material que é possível
observar, a qual com o florescer da investigação se aproxima cada vez mais do domínio do
inteligível, ficando este cingido ao estudo das propriedades, estados e transformações
apresentadas pelos corpos.
A Física é difícil de descrever dada a grandeza das áreas de estudo que abarca
(óptica, mecânica, magnetismo, electromagnetismo…) e, por isso, possui diversas
definições. Aquela que cremos ser mais apropriada ao nosso objecto de estudo é a
seguinte: A Física é o estudo da energia, das suas formas, das suas transformações e dos
seus efeitos.
Actualmente, a Física ambiciona sempre, no estudo do seu objecto, estabelecer a
expressão matemática que relaciona as diferentes grandezas físicas, a considerar no
fenómeno, ou seja, auferir as suas leis quantitativas.
Esta ciência divide-se em duas vias diferentes: de um lado, a experiência, que
permite descobrir e analisar os fenómenos de factos físicos; do outro lado, a teoria, que
relaciona e congrega um conjunto concordante de factos já conhecidos os quais servem
também para guiar a investigação experimental, conduzindo a novas descobertas.
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9. A Física Teórica, por sua vez, ramifica-se, dialecticamente, em cinco ramos ou
sistemas mais particulares: Mecânica Clássica (ou newtoniana), Termodinâmica, Teorias
da Electrodinâmica (Óptica, Relatividade Especial, Mecânica Ondulatória), Teorias
quânticas e Teoria da Relatividade Generalizada.
Frequentemente, as pessoas julgam que a Física é uma colecção de leis ou uma lista
de factos sem concatenação, quando na verdade se trata de algo muito superior. A Física é
uma criação do espírito humano, com ideias e conceitos soltamente inventados.
Quando alguém concebe uma teoria física, pretende criar liames com o nosso
grande mundo de impressões da realidade, onde são as teorias que relacionam todas as
nossas impressões. É com a ajuda desta teorização que buscamos alcançar a compreensão
do nosso mundo de impressões sensoriais, percorrendo o grande caminho obscuro dos
factos, à primeira vista não relacionados. Deste modo, todos os cientistas pretendem que as
construções teóricas progridam livremente com base na sucessão natural dos factos.
O esforço perante as ideias novas e velhas é enaltecido pelos obstáculos que cada
vez mais emergem ante a nossa compreensão.
A Física de Aristóteles era apenas uma filosofia da natureza.
Foi na escola de Alexandria que a ciência pura começou a distinguir-se da
Filosofia. Houve um período em que a Física não teve evoluções, o qual durou cerca de
quinze séculos, foi entre a Física Aristotélica e o sistema geocêntrico de Ptolomeu.
Entre o final do século XVI e os princípios do século XVII foi fundada a Física
Cinemática por Galileu, este foi o instituidor do método experimental. Tendo sido então o
percursor de profundas transformações na Mecânica, podendo desta forma ser considerado
como o fundador da Dinâmica.
Newton construiu toda a Mecânica (Cinemática e Dinâmica) sobre três princípios
ou leis gerais (conhecidos como as Três Leis do Movimento, 1687) e atribuiu as duas
primeiras a Galileu. A sistematização destas leis construiu uma base coerente para a
edificação de uma nova Mecânica (séc. XVIII). Mecânica essa que foi reduzida pela
Mecânica Relativista de Einstein (séc. XX) pela condição de representar uma primeira
aproximação a uma teoria mais exacta, por ser mais geral.
Seria inútil tentarmos querer compreender qualquer coisa da Mecânica Quântica
(1900) sem que possuíssemos conhecimentos suficientes da Mecânica de Newton e de
Lagrange.
8

10. A última descoberta da Física remonta ao ano de 2000, quando os cientistas de
CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) comprovaram que é possível
retirar partículas sub-atómicas, quarks, dos protões e neutrões.
9

11. CAPÍTULO II
MECÂNICA DA PARTÍCULA
10

12. A Mecânica é o conjunto de princípios que se aplicam a todo o tipo de movimentos,
independentemente da natureza das interacções. É também conhecida como ciência do
movimento, das forças e da energia.
No nosso quotidiano, vemos corpos em movimento em todo lado e, por isso, é
importante conhecer as suas características. Isaac Newton permitiu-nos compreender
melhor a Cinemática e a Dinâmica ao escrever a grande síntese Philosophi Naturalis
Principia Mathemática, onde publicou as Três Leis do Movimento.
A Mecânica abrange várias áreas de aplicação, como por exemplo, o movimento
circular, os movimentos oscilatórios, o momento linear, a mecânica de fluidos, a
gravitação, a mecânica da partícula, entre outros. Este último engloba ainda o movimento
de corpos sujeitos a forças de ligação.
As forças de ligação resultam de interacções com corpos apoiados em planos ou
suportes, sejam eles horizontais, inclinados ou ondulados. O seu módulo não tem de ser
necessariamente constante ao longo da trajectória. Este depende dos módulos das forças
aplicadas e, no caso de os corpos se encontrarem em movimento, das características do
movimento (velocidade, aceleração, etc.). É importante realçar que as forças aplicadas,
como por exemplo o peso, têm módulo sempre bem definido, ao contrário das forças de
ligação, cujo módulo se subordina às circunstâncias em que o movimento se realiza.
Uma força de ligação restringe a trajectória de um corpo.
A Montanha Russa insere-se na mecânica da partícula, mais particularmente no
movimento de corpos sujeitos a forças de ligação.
Assim, quando o carrinho se desloca ao longo da calha apenas se pode mover sobre
ou acima desta, ou seja, as forças de ligação como a reacção normal, por exemplo,
limitam-lhe as trajectórias de possível descrição.
Este tipo de forças não transfere energia para os corpos nem lhes retira energia, pois
é perpendicular à velocidade.
No caso particular da Montanha Russa, a reacção normal exercida pela calha
depende da cinemática do carro, isto é, se está em repouso ou se está em movimento,
dentro ou fora da calha.
Vejamos agora o subconjunto da mecânica denominado movimento circular.
Este tipo de movimentos pode ser descrito no plano inclinado, horizontal ou
vertical. É neste que o nosso tema, a Montanha Russa, se insere, na medida em que, desta
11

13. forma, podemos estudar todas as forças que actuam no passageiro, considerando sempre
um referencial ligado à partícula, ao passageiro. Veremos todo este estudo mais à frente,
no capítulo IV.
12

14. CAPÍTULO III
MONTANHA RUSSA
13

15. História da Montanha Russa:
Algures entre os séculos XV e XVI nas montanhas da Rússia, várias pessoas
desciam grandes escorregas de gelo com uma estrutura em madeira, sentadas em trenós
que possuíam um buraco forrado com palha. Alguns destes escorregas chegavam a ter 23
metros de altura.
Estes foram evoluindo e, em 1784, surgiu em São Petersburgo, Rússia, a primeira
Montanha Russa com rodas. Nascera assim a Montanha Russa. O seu nome surgiu em
Paris, 1804, com a designação Montagne Russe.
Os ditos escorregas eram tão populares que vários empresários construíram carros
com rodas em trilhos (p.e. Les Montagnes Russes à Belleville construíram a primeira
Montanha Russa de gravidade em Paris, 1812).
O número de Montanhas Russas foi aumentando, no entanto, ainda com muitos
problemas. Alguns deles prendiam-se com o facto de as rodas descarrilarem
frequentemente, de os carrinhos não conseguirem parar no final do trajecto, entre outros.
O trajecto possuía duas partes: primeiro, as pessoas iam até ao ponto mais alto e,
em seguida, experimentavam a agradável sensação da descida, sendo os carrinhos levados
até ao topo por funcionários. Isto porque, na época, não existiam mecanismos capazes de
os transportar. Note-se que, ao longo do percurso da Montanha Russa, não pode haver
ponto mais alto aquele.
Nos Estados Unidos da América foi demonstrado pouco interesse pelas Montanhas
Russas e, curiosamente, só no século XIX é que estas chegaram ao país que actualmente
mais Montanhas possui!
No século XIX houve uma série de evoluções na Montanha Russa, como por
exemplo, o surgimento do primeiro looping, chamado quot;estrada de ferro centrífugaquot;, em
Paris, 1846. Este foi testado com macacos e sacos de areia e possuía um diâmetro de 3,96
metros. É ainda neste século que La Marcus Adna Thompson projecta Switchback Railway
(ver anexo, fig. 1 e 2), a Montanha Russa que atingiu cerca de 9,6 km/h em 1884. É
também neste ano que surge a trilha completa.
Apesar de toda esta evolução, só a 20 de Janeiro de 1885, La Marcus Thompson
patenteia a primeira Montanha Russa e Philip Hinkle introduz o conceito de “monte
elevador”.
14

16. Em 1895, o looping foi utilizado na Montanha Russa The Flip Flap no parque Sea
Lion Park, Brooklin, nos EUA. No entanto, foi necessário que decorresse mais de meio
século para que os loopings se tornassem mais seguros.
A primeira Montanha Russa “underfriction” (ver anexo, fig. 3) surge em 1912.
Underfriction é um dispositivo de rodas extra sob os carrinhos que os mantem presos aos
trilhos, em caso de movimentos intensos. Este dispositivo foi desenvolvido por John
Miller.
Um novo design de aço tubular foi introduzido pela Disneylândia na Matterhorn
Bobsleds, 1959. Este material pode ser dobrado em todos os sentidos, o que permite uma
maior liberdade de manobras e necessita de muito menos manutenção, quando comparado
com a madeira. Até então todas as Montanhas eram construídas em madeira. Actualmente,
a maioria é construída em aço tubular, porém ainda se constroem Montanhas Russas em
madeira.
As Montanhas Russas já tiveram duas eras douradas. A primeira ficou marcada pela
The Great Depression e o declínio dos parques de diversão durou até 1972. Foi neste ano
que o Racer foi construído em King Island, mais precisamente em Ohio, EUA. Este parque
foi projectado por John Allen. O sucesso que este parque de diversões adquiriu iniciou a
segunda era dourada das Montanhas Russas, que se prolonga até aos nossos dias.
Como construir uma Montanha Russa?
O objectivo dos criadores de Montanhas Russas é levarem os passageiros a
sentirem as mais variadas sensações ao longo de uma trajectória verdadeiramente
emocionante.
Com uma mistura de entusiasmo e apreensão, os passageiros vêem do alto os trilhos
a aproximarem-se lentamente. Ao atingir o cume, começa uma arrepiante sequência de
abismos abruptos, curvas imprevisíveis e subidas de tirar o fôlego. Tudo isso acontece em
cerca de dois minutos numa Montanha Russa, embora aos passageiros pareça uma
eternidade!
Deste modo, para construírem Montanhas Russas, os projectistas utilizam
princípios descobertos há mais de trezentos anos, tais como: Lei da Conservação da
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17. Energia Mecânica, descoberta por Lagrange em 1777, que nos diz que num sistema
isolado, isto é, num sistema onde só as forças interiores realizam trabalho, a variação da
energia mecânica é constante para qualquer transformação do sistema, sendo, a variação da
energia mecânica nula; o Princípio da Conservação da Energia Mecânica de Julius Robert
von Mayer, que refere que a energia pode variar de forma (química, eléctrica, magnética,
mecânica, térmica, etc.) mas também pode ser convertida de uma forma em outra não
obstante, a sua soma é sempre constante; por último, as Três Leis da Mecânica de Newton.
A 1ª Lei de Newton, também denominada Lei da Inércia, expressa por p  mv  cte
se F  0 , o que significa que os corpos conservam o seu estado de repouso ou de
movimento uniforme em linha recta, salvo se forem compelidos a sair desse estado por
acção de forças exteriores.
E se uma força com sentido do movimento fosse exercida de forma continuada
sobre o carro? O que aconteceria? Caso isto se verifique a referida força produziria um
aumento progressivo da velocidade, isto é, aceleraria o carro. Esta situação remete-nos
imediatamente para a 2ª Lei, frequentemente referenciada como Lei Fundamental da
Dinâmica: F  ma , ou seja, a aceleração que o corpo adquire é directamente proporcional
à força que lhe é aplicada e inversamente proporcional à sua massa. Por exemplo, em
queda livre, o carrinho sofre a acção da força gravítica e, portanto, acelera, visto esta ser
uma força exercida continuamente no carrinho.
Por fim, a 3ª Lei, também denominada Lei da Acção/Reacção, pode explicar as
forças que actuam no vagão aquando do looping. Esta lei refere que, quando um corpo
exerce uma força sobre um segundo corpo, à qual Newton designou de acção, o segundo
corpo reage sobre o primeiro com uma força de igual módulo e direcção, mas sentido
oposto (reacção).
O looping, já referido anteriormente, é uma manobra que permite que os
passageiros fiquem literalmente de cabeça para baixo. Inicialmente, pensava-se que o
círculo perfeito era a solução ideal. Contudo, isto não se verificou porque quando o vagão
entra a alta velocidade, a subida é muito brusca, logo a força centrípeta é muito intensa. Já
no topo acontece o contrário, isto é, o carrinho desacelera subitamente e a gravidade puxa
os passageiros dos seus assentos, quando estes estão de cabeça para baixo. Todavia, a
solução para este problema já existia desde 1744 (foi descoberta pelo suíço Leonhard Euler
(1707-1783)), e tem a forma de uma gota e dá pelo nome de clotóide ou espiral de Cornu.
16

18. Esta possui um raio variável, que permite controlar a velocidade do carrinho. Assim, como
entra com uma velocidade inferior à que teria no círculo, a força centrípeta sobre os
passageiros diminui. E no topo, como o raio da curva é menor, o vagão gira com mais
velocidade que num círculo e a força centrípeta supera a atracção da gravidade.
Como a trajectória é circular, utilizamos um referencial ligado à partícula, pelo que,
para cada posição, teremos de considerar três eixos: o tangencial, denominado t, o normal,
designado por n (aponta sempre para o centro da circunferência) e um terceiro,
perpendicular a estes dois, intitulado z. Porém, visto que não actua nenhuma força na
direcção do eixo dos zz, este torna-se desnecessário. Desta forma, consideraremos apenas o
eixo tangencial e o normal.
Consideremos a imagem abaixo apresentada e estudemos as forças que actuam
aquando da lomba e do looping com o auxílio da Segunda Lei de Newton.
Fig. 4 - Esquema de forças numa lomba e num looping. 1
1
Retirada do livro 12F (consultar a página 35).
17

19. Apliquemos então a 2ª Lei de Newton ou Lei Fundamental da Dinâmica aos dois
eixos que interessam. Ft  mat e Fn  man são as equações escalares desta lei.
Agora, podemos escrever as equações para cada posição e tirar ilações acerca das
condições mínimas de segurança e bom funcionamento.
Para a posição A:
Ft  mat  0  mat
2
vA
Fn  man  P  N A  m
r
Para que descreva a lomba é necessário que a força resultante seja do tipo
centrípeta, isto é, a reacção normal em A, N A , tem de ser menor que o peso, P .
Verifiquemos,
2
vA
Fn  man  N A  P  m . Portanto, verifica-se que N A menor que P .
r
Apesar de tudo, a reacção normal nunca pode ser negativa, podendo no limite ser igual a
zero. Nesta situação, o plano não exerce nenhuma força sobre o carrinho, estando este
prestes a entrar em voo, sujeito apenas ao seu peso. Assim, afim de garantir a segurança
em A, terá de se verificar:
2
v2
vA
NA  0  P  m  0  mg  m A  v A  gr , ou seja, a velocidade em A
r r
gr . Esta é a condição de segurança em A. Se isto
tem de ser necessariamente inferior a
não se verificar, o carrinho, sujeito apenas ao peso, move-se como um projéctil, tal qual
um carro que salta de uma lomba na estrada.
Para a posição B:
Ft  mat  0  mat
2
v2
vB
Fn  man  N B  P  m  NB  P  m B
R R
Como em B a reacção normal é sempre maior que o peso, então a segurança está
garantida. Todavia, é preciso ter em atenção que se a velocidade for muito elevada vai
incomodar os passageiros, na medida em que estes se sentirão demasiado pesados.
18

20. Recorrendo ainda à Lei da Conservação da Energia Mecânica, podemos concluir
que a velocidade mínima que o carrinho deve ter para que descreva o looping é a seguinte:
12 12
Em  0  Em B  Em D  mvB  mghB  mvD  mghD , como B está a
2 2
altura nenhuma do solo e a altura de D é equivalente a 2R , então:
12 1
v B  gR  g 2 R  v B  5 gR . Isto é, o carrinho nunca poderá ter uma velocidade
2 2
inferior a esta para descrever a manobra.
Da Lei anteriormente referida resulta ainda a altura mínima de onde o carro deve
partir para que efectue a manobra, sendo esta:
12
Em  0  Em A  Em B  Ec A  Ep A  Ec B  Ep B  mv A  mghA 
2
12
 mvB  mghB , supondo que o corpo tem velocidade nula em A e que desce devido à Lei
2
1 5
da Inércia, então como v A  0 e hB  0 temos gh A  5 gR  h A  gR .
2 2
Resumindo, para que descreva o looping, o carrinho deverá partir de uma altura
5
5 gR .
g vezes superior ao raio (R) e possuir uma velocidade, na base, não inferior a
2
Para a posição C:
Ft  mat   P  mat
2
vC
Fn  man  N C  m
R
Neste ponto a reacção normal depende da velocidade que o carrinho possui neste
mesmo ponto.
Para a posição D:
Ft  mat  0  mat
2
v2
vD
Fn  man  N D  P  m  ND  m D  P
R R
Para que neste ponto os passageiros se encontrem em segurança é imprescindível
que se verifique:
19

21. 2
v2
vD
ND  0  m  P  0  m D  mg  v D  gR
R R
Em suma, o carro tem de ter uma velocidade mínima para que não caia. Esta
depende do raio da circunferência, neste caso do looping, tal como acontece em A.
Note-se que a posição D não é igual à posição A. Nesta última, o carrinho move-se
por cima da calha, ao contrário do que acontece em B, onde se move no interior da calha.
Por isso, as reacções normais não são iguais.
Apesar de a análise anterior conter aproximações, pois desprezou-se o atrito, ela
permite concluir que a construção e utilização dos arcos numa Montanha Russa tem,
obrigatoriamente, de obedecer aos critérios de segurança, acima apresentados. E ainda para
uma maior segurança os passageiros são presos às cadeiras!
Quanto ao tipo de material em que pode ser construída uma Montanha Russa, estes
são diversos, sendo os mais habituais a madeira e o aço tubular. A sua estrutura é feita,
habitualmente, em aço, não obstante, pode ser executada noutros materiais.
As configurações possíveis são inúmeras, basta dar azo à imaginação nunca
esquecendo os princípios e as regras a seguir! O looping vertical e horizontal, a lomba, a
descida em parafuso, entre outros, são bons exemplos das várias configurações que é
possível descrever ao longo do percurso da Montanha, pelo que, os trajectos das
Montanhas Russas são muito similares.
Também o número de trens as Montanhas Russas varia, podendo ter dois ou mais
trens ao mesmo tempo.
Mediante este caso, a possibilidade de ocorrer um acidente aumenta, pois os trens
correm o risco de colidir.
Assim, para evitar que tal acontecesse, foi necessário inventar um sistema capaz de
evitar tal tragédia. Esse sistema dá pelo nome de block ou bloco. Neste método somente
uma carruagem é permitida por bloco, cada uma na sua vez. Nas extremidades de cada
bloco existe uma secção de trilho onde o carrinho pode ser parado, sempre que se verifique
alguma anomalia com este, evitando que ele continue o seu percurso e colida com um
carrinho danificado à sua frente. Os sensores na extremidade de cada bloco detectam
quando um carrinho passa em cada bloco e enviam esses dados para um computador que
monitoriza a Montanha Russa.
20

22. E, quando o computador detecta que um carrinho está pronto para iniciar o seu
passeio no bloco, ainda ocupado por um carrinho, usa os métodos disponíveis para evitar
que estes entrem na pista. Não obstante, este método não é tão necessário quando o trilho
faz um movimento de Shuttle ou vaivém.
Como funciona?
Uma Montanha Russa bem projectada tem energia cinética suficiente para
completar o percurso até que a força de atrito anule a velocidade e faça o carro parar. Mas,
como o carrinho raramente possui energia suficiente são necessários mecanismos que
auxiliem os carrinhos durante o percurso.
A única força capaz de deter o carrinho é a força de atrito. Esta é uma força não
conservativa que se opõe sempre ao movimento. Caso o atrito fosse máximo, o vagão não
sairia do lugar, pois apesar de as rodas diminuírem grande parte do atrito, não são capazes
de o eliminar. Por outro lado, na ausência total deste, a viagem não teria fim, o carrinho
não mais pararia.
Normalmente, o percurso de uma Montanha Russa é iniciado por uma descida,
sendo então o carrinho largado de um ponto alto e descendo o carrinho por acção das
forças gravíticas. Note-se que, ao longo de todo o percurso, não pode existir ponto mais
alto que este. É neste ponto que a energia potencial é máxima. Pois, quanto mais alto for o
ponto, maior será a energia potencial, ( Ep  mgh ). Energia esta que se transforma em
energia cinética na descida e acelera o vagão.
Define-se por energia a capacidade de realizar trabalho, ou seja, de deslocar
determinada massa por uma distância.
No terminus da descida, a energia potencial anula-se visto estar ao nível do solo e a
12
energia cinética passar a ser máxima ( Ec  mv ).
2
Uma vez que no decurso das subidas há um decréscimo da velocidade, a energia
cinética transforma-se em energia potencial. Assim, podemos dizer que por um lado, o
aumento da energia potencial corresponde a um aumento da elevação e que, por outro lado,
o aumento da energia cinética corresponde, por sua vez, ao aumento da velocidade.
21

23. A energia cinética e a energia potencial são as duas faces da energia mecânica. Esta
é utilizada de forma inteligente no percurso, servindo para mover uma série de geradores
que fornecem electricidade às lâmpadas que iluminam a Montanha Russa. Quando excede
a necessidade, é canalizada para baterias e convertida em energia química, sempre que for
preciso transforma-se novamente em energia eléctrica.
Se o percurso não tiver início no ponto alto, o carro não tem energia para iniciar,
por si só, a subida. Existem então várias hipóteses: ou o carro é puxado até ao ponto alto
por mecanismos capazes ou o carro inicia o percurso com um lançamento adaptado por
mecanismos (p.e.: motores de indução lineares, motores de sincronismo lineares,
lançamento hidráulico, lançamento com ar comprimido, pneu de movimentação).
Perante uma situação de queda livre, carro move-se apenas devido à força gravítica.
É também devido a esta que ele acelera.
Durante o looping ou uma decida em parafuso, podemos aplicar a 3ª Lei de
Newton, também conhecida por Lei da Acção/ Reacção: sempre que uma força é exercida
num corpo, este responde com outra de igual módulo e direcção, mas sentido oposto. Pelo
que, na descida em parafuso, a reacção centrípeta de apoio do trilho sobre o carrinho
equivale à força centrífuga com que o carrinho comprime a pista.
Segurança:
Toda a Montanha Russa quando é construída tem de seguir todas aquelas quot;regrasquot; e
princípios para garantir a sua segurança e os seus passageiros são presos aos assentos para
garantir mais segurança! Por isso, a probabilidade de sofrer um acidente é de um em um
milhão, o que é bastante reduzido dada a quantidade de pessoas que frequenta esta atracção
dos parques de diversão.
Nas estatísticas, as Montanhas Russas revelam-se muito seguras. Um estudo feito
no ano de 2001 divulgou que apenas 134 visitantes necessitaram de hospitalização. O
número de fatalidades relacionadas com este divertimento é de duas por ano.
Um estudo pedido pelo parque Six Flags, anunciou que a probabilidade de uma
pessoa sofrer um acidente numa Montanha Russa é de apenas um em um milhão. Realce-se
que neste estudo apenas foram consideradas as Montanhas Russas americanas. De facto, é
22

24. mais provável sofrer um acidente na viagem para o parque de diversões do que no interior
do parque de diversões!
O último acidente de que há registo foi a 5 de Setembro de 2003, na Disneyland do
qual resultou um morto. A causa foi ficara a dever-se à falta de manutenção.
Aplicação profissional:
Actualmente, está a ser desenvolvida pela NASA, uma Montanha Russa que servirá
para auxiliar o escape de astronautas da almofada de lançamento, aquando de uma
emergência.
23

25. CAPÍTULO IV
A NOSSA MONTANHA RUSSA
24

26. Na construção da nossa Montanha Russa, seguimos todas as quot;regrasquot; supra
mencionadas, dando maior ênfase à Lei da Conservação da Energia Mecânica, ao
Princípio da Conservação da Energia e à Lei Fundamental da Dinâmica.
O nosso protótipo possui uma altura de 81 cm, um looping com 22 cm de diâmetro,
bem como uma lomba com 15 cm de altura e um raio de 3 cm e três loopings horizontais
com 8 cm de diâmetro. Percorria os 5 m de comprimento em 4 segundos,
aproximadamente.
Para a construção necessitámos de madeira para a base, ferro para a estrutura, 5 m
de mangueira de nível com 10 mm de diâmetro e ainda de uma esfera com cerca de 3 mm
de raio para descrever o percurso.
Vejamos agora os valores da velocidade em pontos-chave da nossa Montanha
Russa:
Consideremos os pontos:
A – Início de percurso;
B – Base do looping;
C – Topo do looping;
D – Topo da lomba;
E – Fim de percurso.
Com base nas condições mínimas de segurança descritas acima, por meio de
expressões matemáticas, calculemos:
● Altura mínima para descrever o looping:
5 5
hA  gr  0,81   9,8  r  r  0,03 m
2 2
● Velocidade mínima para descrever o looping:
v B  5gr  v B  5  9,8  0,11  v B  2,32 ms 1
● Velocidade mínima para que o carrinho não caia:
vC  gr  vC  9,8  0,11  vC  1,04 ms 1
25

27. ● Velocidade à saída:
12 12
E mB  E mD  E c B  E p B  E c D  E p D  mvB  mghD  mvD  v D  5  9,8  0,11  2 
2
2 2
 0,15  9,8  v D  2,45 ms 1
2
12 12
E mD  E mE  E c D  E p D  E c E  E p E  mvD  mghD  mvE  v E  v D  2 ghD 
2
2 2
 v E  2,32 ms 1
No entanto, todos estes cálculos são feitos desprezando a força de atrito (força que
se opõe sempre ao movimento), a qual existe na realidade e faz com que estes valores
sejam bastante inferiores aos calculados.
26

28. CAPÍTULO V
RECORDES
A Montanha Russa mais radical
27

29. Recorde de maior trecho coberto:
A recordista é Space Mountain (ver anexo, fig. 5), fica no parque Disneyland,
Califórnia, EUA. Foi projectada pela WED Enterprises. Steel Roller Coaster é o seu tipo.
Percorre 1054 m no escuro em 2 minutos e 30 segundos. A sua velocidade máxima é de
27,4 km/h e tem ainda 2211,9 m de comprimento. A15 de Janeiro de 1975 foi aberta ao
público.
Recorde de maior looping:
Viper (ver anexo, fig. 6) é a recordista desta categoria. Abriu a 28 de Abril de 1995
e situa-se no parque Six Flags Great America, nos EUA. É do tipo Wood, modelo Wooden
Coaster, foi desenhada e construída pela Six Flags. Tem uma altura de 30,5 m, 1054 m de
comprimento, a sua velocidade máxima é de 80,5 km/h. Tem um looping com 42 m de
diâmetro. O seu percurso tem a duração de 1 minuto e 45 segundos.
Recorde de maior trilho invertido:
Situa-se no parque Cedar Point, em Ohio, EUA e é denominada Wicked Twister
(ver anexo, fig. 7). Foi construída pela Intamin AG of Wollerau. O modelo é Steel tubular
track, estruturado em aço tubular.
Recorde de comprimento:
A recordista é a Steel Dragon 2000 (ver anexo, fig. 8), parque Nagashima Spaland,
Japão. É do tipo Steel. Foi projectada por Steve Okamoto e construída por D.H. Morgan
Manufacturing. Foi aberta ao público a 1 de Agosto de 2000. Custou 50 mil milhões de
libras. Tem um comprimento de 2479 m e 97 m de altura. A sua velocidade máxima é de
152,9 km/h.
28

30. Recorde mais antiga em funcionamento:
Leap The Dips (ver anexo, fig. 9) é a recordista. Construída em madeira, no ano de
1902 tendo sido remodelada em 1999. Está situada no parque Lakemont, Altoona, na
Pensilvânia.
Recorde mais famosa:
The Cyclone (ver anexo, fig. 10) é a detentora do título. Esta localizada no parque
Six Flags. É do tipo Wood, modelo Twister roller coaster. Foi construídda por William
Cobb & Associates. A sua altura é de 34,1 m, sendo o seu comprimento 1097,3 m,
consegue atingir os 88,5 km/h. Foi aberta ao público em 1983.
A mais radical:
Aquela que é considerada a Montanha Russa mais radical é a Top Thrill Dragster
(ver anexo, fig. 11). Abriu ao público a 4 de Maio de 2003, situa-se no parque Cedar Point,
em Ohio. Foi desenhada por Werner Stengel e construída pela Intamin AG. Modelo Strata
coaster e tipo Steel – Launched. O mecanismo de iniciação do percurso é um cabo ligado a
um motor hidráulico. Possui uma altura máxima de 128 m, uma descida em queda livre de
121,9 m (semelhante a um prédio de 40 andares!) e um comprimento de 853,4 m. Ao longo
dos seus 20 segundos de percurso consegue atingir uma velocidade de 193,1 km/h. O seu
custo foi de 25 mil milhões de libras.
29

31. CONCLUSÃO
Com este projecto provámos, como era nosso objectivo, que a Montanha Russa
possui variados critérios de segurança. Estas normas derivam de leis físicas.
Na pesquisa desenvolvida foi importante investigar a História da Física para assim
podermos fazer uma contextualização da Mecânica Clássica e dos seus principais
acontecimentos e evoluções.
No nosso projecto também foi necessária a Matemática para a resolução das
equações e interpretação de fórmulas bem como o Português para a realização desta
dissertação, o que revela a interdisciplinaridade existente no projecto desenvolvido.
No entanto, não conseguimos alcançar alguns dos objectivos propostos. Como por
exemplo, o facto de não termos conseguido medir a velocidade da esfera em diversos
pontos-chave do percurso, por exemplo, topo do looping, topo da lomba e à saída.
Pensamos que tal não foi possível por duas razões: ou a esfera, por ser tão pequena, não
intersectava o feixe de luz emitido pelo sensor; ou o feixe não penetrava a mangueira,
apesar de esta ser transparente.
Foi durante a apresentação que nos deparamos com um caso insólito, a Montanha
Russa não funcionou. Este acontecimento é anómalo pois, antes e depois da apresentação,
a Montanha Russa funcionou.
Ao longo do decorrer da investigação apercebemo-nos de que existe pouca
informação sobre este famoso brinquedo dos parques de diversões! Facto que nos limitou a
investigação.
Uma das vertentes que gostaríamos de ter aprofundado era a construção da
Montanha Russa pela NASA, bem como as características de uma Montanha Russa na Lua
e a simulação deste acontecimento. Este último seria realizado, evidentemente, por nós.
30

32. ANEXO
Fig. 1 – Switchback Railway
Fig. 2 – La Marcus
Fig. 3 – Underfriction
31

33. Fig. 5 - Viper
Fig. 8 – Wicked Twister
32

34. Fig. 9 – Steel Dragon 2000
Fig. 10 – Leap The Dips
Fig. 11 – The Cyclone
33

35. Fig. 12 – Top Thrill Dragster
34

36. BIBLIOGRAFIA
ALONSO, Marcelo et alii, Física, Um curso universitário. Editora Edgard Blücher LTDA,
São Paulo, 1971.Vol. 1. pp. 79,168, 198 e 216.
BELLO, Adelaide et alii, Ontem e Hoje. Editora Porto Editora. pp. 78-81.
DEUS, João Dias de et alii, Introdução à Física. Editora McGraw-Hill de Portugal, Lda, 2ª
Ed. Amadora, 2000. pp. 2, 124, 126, 128 e 129.
EINSTEIN, Albert et alii, A Evolução da Física – De Newton à Teoria dos Quanta. Edição
Livros do Brasil – Lisboa, Lisboa.
FIOLHAIS, Carlos et alii, 12 F. Edição Texto Editores, Lisboa. pp. 51 e 52
MARTINS, Décio, História das Ideias em Física. Coimbra, 2000.
RESNICK, Robert et alii, Física I. Editora Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de
Janeiro, 1973. Vol. 2.
VALADARES, Jorge et alii, Manual de Física – Mecânica. Editora Didacta Editora, 3ª Ed.
Lisboa, 1985. pp. 13, 110, 136, 154 e 155.
http:// mundoestranho.abril.com.br/edicoes/32/curiosidades/conteudo_mundo_50637.shtml
( em Fevereiro de 2007)
http://paginas.terra.com.br/educacao/pifer/artigo2.htm (em Fevereiro de 2007)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Montanha-russa (em Janeiro de 2007)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_f%C3%ADsica (em Abril de 2007)
http://www.suapesquisa.com/fisica/ (em Abril de 2007)
http://www.parktrombini.com.br/interno.php?Conteudo=curiosidades (em Fevereiro de
2007)
http://en.wikipedia.org/wiki/Cedar_Point (em Maio de 2007)
http://en.wikipedia.org/wiki/Six_Flags_Great_America (em Maio de 2007)
http://en.wikipedia.org/wiki/Space_Mountain (em Maio de 2007)
http://en.wikipedia.org/wiki/Nagashima_Spa_Land (em Maio de 2007)
http://en.wikipedia.org/wiki/Six_Flags_New_England (em Maio de 2007)
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