el mundo de las matemáticas

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I. Principio de Multiplicación:
Si el suceso “A” se puede realizar de “p” maneras y el suceso B
se puede realizar de “q” maneras entonces los sucesos A y B se
pueden realizar en forma conjunta de "p.q " maneras siempre
que se efectué uno después del otro.
Nota: Este principio se puede generalizar para más de sucesos.
1. Un artículo debe pasar por 3 controles de calidad, en
cada uno se inspecciona cierta particularidad y se anota
su conformidad; en el primer control hay 3 exámenes y
en los otros dos hay 4 exámenes en cada uno. ¿De
cuántas maneras se puede controlar la calidad a su
producto?
Resolución:
Aplicando el principio de multiplicación:
1 2 3n 3 , n 4 , n 4  
3 4 4= 48  
II. Principio de Adición:
Si el suceso A Puede realizarse de “p” maneras y el suceso B de
“q” maneras, entonces el suceso A o el suceso B se pueden
realizar de (p+q) maneras.
Nota: Para que se cumpla el principio de adición se debe verificar
que no sea posible por los sucesos A y B ocurran juntos.
2. Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en
ómnibus, si hay tres rutas para el tren y 2 para el
ómnibus. ¿Cuántos números tenemos para decidir
nuestro viaje?
Resolución:
Suceso A ( ir en tren): p 3
Suceso B ( ir en ómnibus): q 2
Se puede realizar el suceso A o el suceso B de “p+q”
maneras
S p q S= 3+ 2=   5 Rpta.
VARIACIÓN:
Supongamos un conjunto de “n” elementos de los cuales
tomamos “r” elementos tales que n r 0  y ordenamos
estos.
“r” elementos de cualquier forma, tenemos así una variación de
“n” elementos tomando “r” a la vez ( de “r” en “r” )
Ejemplo Dado:  A a , b , c
Las variaciones serían
Si tomamos de 2 en 2; r=2
Se tiene:  ab,ac, bc, ba,ca,cb
Si tomamos de 3 en 3; r=3
Se tiene:
 abc,acb, bac, bca,cab,cba
Número de variaciones
    n
rV n n 1 n 2 ....... n-r+ 1  
De otra forma:
 
n
r
n!
V
n r !


II ANALISIS COMBINATORIO
 Desarrollar la capacidad de resolver el análisis combinatorio.
 Aplicar adecuadamente los conceptos teóricos desarrollados.
 Desarrollar la capacidad de abstracción, sistematizar en la resolución de problemas.

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3. Calcular el número de palabras de 3 letras diferentes
que pueden formarse con las letras. a, b, c, d, e, f
Resolución:
Colocamos tres casillas de la forma:
Donde cada casillero representa una letra de los
posibles que se pueden hacer. En el primer casillero
tenemos 6 posibilidades una por cada una de las letras
que dispongo.
En el segundo casillero 5 , pues no se
pueden repetir en el primer casillero por condición del
problema y en el tercer casillero tenemos 4
posibilidades, ya que no se pueden utilizar aquellas
letras puestas en los casilleros anteriores.
S 6 5 4  
S  120 palabras Rpta.
Método Alternativo:
Lo que pide en el problema es calcular:
6
3V
6
3
6 5 4 3!6!
V
3!
  
 
3!
 120
PERMUTACIONES
Son aquellas sucesiones de tipo:
n
rV en donde n r
n
n n nP V n! P n!   
4. De cuantas manera se pueden sentarse 5 personas en
5 asientos uno a continuación del otro.
Resolución
5P 5! 120 maneras 
5. Cuantas palabras de 4 letras se puede hacer con las
letras a, b, c, d.
Resolución
4P 4! 24 maneras 
PERMUTACIÓNES CON REPETICIÓN
1 2 3 kn ,n ,n ,...n
n
1 2 k
n!
P
n !n !........n !

En donde:
n # total de objetos
1n Grupo de objetos iguales entre si
2n Grupo de objetos iguales entre si
3n Grupo de objetos iguales entre si
..
.

kn Grupo de objetos iguales entre si
6. Calcular cuantas palabras de 7 letras se puede formar
con las letras de la palabra ROBERTO.
Resolución:
n 7
1n 2 ( Se repite 2 veces la letra R )
2n 2 ( Se repite 2 veces la letra O )
2;2
7
7!
P 1260
2!2!
 
2;2
7P 1260 palabras
PRUEBAS ORDENADAS
Experimentos en los cuales de un conjunto dado extraemos
objetos uno después de otro con los cuales realizamos cierta
ordenación.
A) Con Sustitución: De un conjunto inicial de “n” elementos,
sacamos un objeto y luego de anotarlo, lo regresamos al
conjunto de cuantas maneras puedo extraer “r” elementos.
Resolución:
r casilleros
n n n n ............. n
Cada elemento se puede sacar de “n” maneras por lo que los “r”
elementos se podrán sacar de “n” maneras.
B) Sin Sustitución: De un conjunto inicial de “n” elementos
sacamos un objeto y no lo volvemos a introducir en el conjunto.
¿De cuántas maneras se pueden sacar “r” elementos?
Resolución:
n n 1 n 2 n 3 ............. n r 1    
El primer elemento se puede sacar de “n” maneras, el segundo
de (n 1) maneras, el tercero de (n 2) y asi sucesivamente,
el último se pude sacar de (n r 1)  maneras de tal manera
que los “r” elementos se puede sacar de:
S n(n 1)(n 2).....(n r 1) maneras    
Por lo que:
n
rS V
PERMUTACIÓN CIRCULAR
El número de permutaciones que hacen “n” elementos alrededor
de un círculo es (n 1) .
Ejemplo:
De cuantas maneras pueden sentarse 5 personas alrededor de
una mesa circular.
Resolución:
S (5 1)! 4!  
S 4! 4 3 2 1 24 maneras     

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COMBINACIONES
Si tenemos un conjunto de “n” elementos de los cuales tomamos
“r” tendremos un subconjunto al cual se llamará una
combinación de “n” elementos tomados de “r” en “r”.
Nota: La diferencia entre combinaciones y variaciones, está en
que las primeras se diferencian por sus elementos y las
segundas por el orden de los mismos.
Ejemplo: Dado el conjunto
 A a , b , c , d
Calcular las variaciones y las combinaciones de los elementos
de “A” tomando 3 a la vez
Combinaciones:
abc ; abd ; acd ; bcd
Dos condiciones son diferentes sólo si difieren por lo menos en
un elemento.
Variaciones:
abc,acb,bac,bca,cab,cba,aba,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad
,cda,dac,dca,bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb.
Si cambiamos el orden de los elementos se puede decir de una
variación distinta de la anterior.
Nótese que:
4 4
3 3C 4 y V 24 
Fórmula para calcular el número de combinaciones de “m”
elementos tomados “n” a la vez.
m
r
m m 1 m 2 m r 1
C ......
1 2 3 r
   
   
ó expresado de otra manera:
 
m
r
m!
C
m r !r!


donde m r
Así por ejemplo:
6
2
6 5
C 15
1 2
   ó
6
2
6! 6 5 4!
C 15
4!2! 4! 2!
 
  

6
4
6 5 4 3
C 15
1 2 3 4
     ó
6
2
6! 6 5 4!
C 15
2!4! 2! 4!
 
  

Números combinatorios complementan, esto al observar los
ejemplos anteriores.
Es decir, buscando una relación
6 6
2 6 2C C 
En general se puede afirmar:
m m
r m rC C 
Para que se pueda demostrar fácilmente expresando cada
número combinatorio en función de sus factoriales.
7. Tenemos una urna con 7 bolas numeradas y se quiere
saber de cuantas maneras podemos sacar primero 2
bolas, luego 3 y finalmente 2.
Resolución:
7 5 2
2 3 2N C C C  
N 21 10 1 210   
N 210
Numero Total De Combinaciones:
n n n n n n
n 1 2 3 n 1 nC C C C ....... C C 2 1       
n
nC 2 1 
8. Se tiene una urna de 5 bolas numeradas de cuantas
maneras se puede extraer por lo menos una bola.
Resolución:
5 5 5 5 5
1 2 3 4 5 5S C C C C C C     
5
5S C 2 1  
S 31
NIVEL I
1. ¿De cuántas maneras diferentes puede colocarse 4
soldados en una fila?
a) 21 b) 20 c) 24
d) 120 e) 14
2. ¿Cuántas variaciones pueden formarse de 10 objetos
tomados de tres en tres?
a) 780 b) 720 c) 730
d) 760 e) 740
3. Un individuo descansa 2 días cualesquiera de la
semana. ¿Cuántas semanas podrán transcurrir para
que no se repitan los días de descanso?
a) 14 b) 20 c) 21
d) 25 e) 19

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4. Cuántos objetos distintos tienen que haber para que el
número de combinaciones que se pueden formar,
tomándolo de 3 en 3 para que sea igual a 12 veces el
número de obreros.
a) 8 b) 10 c) 12
d) 9 e) 7
5. Elías desea comprar 8 libros de cálculo y 10 libros de
análisis. ¿De cuántas maneras diferentes puede
escoger 8 libros de análisis y 5 libros de cálculo?
a) 2 520 b) 2 530 c) 3 620
d) 2 730 e) 3 520
6. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9
banderas izando 3 de cada vez?
a) 550 b) 508 c) 505
d) 480 e) 500
7. Hallar “n” si:
n n 1
3 46C V


a) 5 b) 7 c) 9
d) 6 e) 8
8. Al término de una reunión hubieron 28 estrechones de
mano; suponiendo que cada de los participantes fue
cortés con cada uno de los demás; el número de
personas era de:
a) 14 b) 56 c) 28
d) 9 e)8
9. ¿Cuántos números de 3 dígitos diferentes pueden
formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y en los cuales
no se repita ningún dígito?
a) 120 b) 180 c) 150
d) 160 e) 140
10. Se tienen grifos de: 1, 3, 5 y 8 litros por segundo. ¿En
cuántos tiempos diferentes se podrán llenar un
recipiente empleando cada vez 3 de ellos?
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 7
NIVEL II
1. ¿7 corredores, de cuántas maneras diferentes pueden
obtener 3 premios?
a) 200 b) 230 c) 180
d) 210 e) 190
2. De 14 hombres. ¿De cuántas maneras pueden
seleccionarse 2 personas?
a) 366 b) 364 c) 324
d) 346 e) N.A.
3. Calcular el valor de “x” que satisface la igualdad.
x x
2 2. 450V C 
a) 2 b) 4 c) 6
d) 3 e) 5
4. Cuatro personas entran en un vagón de ferrocarril en
el que hay 7 asientos. ¿De cuantas maneras diferentes
pueden sentarse?
a) 360 b) 240 c) 120
d) 250 e) 200

5. Pág. 83
5. 7 hombres y 5 mujeres se van a formar comités mixtos
de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden
formarse si en el comité hay dos mujeres?
a) 520 b) 340 c) 220
d) 720 e) 640
6. De A a B hay 6 caminos diferentes y de B a C hay 4
caminos diferentes. ¿De cuantas maneras se puede
hacer el viaje de A hacia C pasando por B?
a) 276 b) 424 c) 576
d) 368 e) N.A.
7. Hallar el valor de “n” sabiendo que.
2n
3
n
2
44
3
C
C

a) 6 b) 8 c) 10
d) 7 e) 9
8. Calcular “n” en:
n n 1
2 3
n 2
4
7
5
C C
C




a) 1 b) 3 c) 5
d) 2 e) 4
9. Calcular: “n” si
n 2 n 1 n 2 n 2n 21 2n 21
20 22 21 21 22 21C C C C C C
    
    
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
10. Efectuar:
n n 1 n 2
3 3 3K C 4C C
 
  
a)
3
n b) 5n c)
2
5n
d)
6
n e)
3
5n

6. Pág. 84
NIVEL III
1. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un
estudiante si tuviese 3 camisas, 4 pantalones y 2 pares
de zapatos?
a) 12 b) 34 c) 24
d) 6 e) 42
2. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con
las letras de la palabra REPITENTE?
a) 30 240 b) 30 470 c) 30 420
d) 30 740 e) N.A.
3. A una reunión social han asistido 40 personas, si al
despedirse lo hacen estrechándose las manos.
¿Cuántos apretones se dieron?
a) 780 b) 680 c) 640
d) 720 e) 620
4. Hallar “n” en:
n n 1 n 2
2 3 45 C C 7C
    
a) 3 b) 5 c) 2
d) 4 e) 6
5. ¿De cuántas formas diferentes pudieron sentarse, en
la última cena alrededor de la mesa, Jesucristo y los
12 apóstoles?
a) 128 b) 130 c) 132
d) 129 e) 131
6. Calcular:
2
x x 1  a partir de:
x x 1 x 2 2x 2x 2
0 1 2 x x 2
11
C C C ..... C C
21
  
    
a) 188 b) 231 c) 421
d) 189 e) 361
7. Reducir:
2x 2x
x 1 x 1
2x 2x
x 2 x 2
C C
T
C C
 
 



a)
x 2
x 1

 b)
x 2
x 1

 c) 1
d) 0 e) N.A.

7. Pág. 85
8. Efectuar:
1n 1
n
n 1
n
C
A 1 1
C


 
   
  
a) n b) 0 c) –1
d) 1 e) N.A.
9. Calcular:
y x
E xy

a) 20 b) 15 c) 9
d) 5 e) N.A
10. Hallar “x” si:
     
   
x 40 ! x 41 ! x 42 !
60
x 42 ! x 41 !
    

  
a) 1 b) 40 c) 102
d) 100 e) N.A