SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI MATEMATICA II 2009 I Visita: http://infinitymoviesonline.blogspot.com/

1. Matemática
Pregunta N.º 20 Ejecución del plan
I.
Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es
el menor posible y cuya gráfica se representa a
continuación.
p(x)=k(x – 1)2a(x – 2)2b – 1;
a, b ∈ Z+
Encuentre el residuo al efectuar la división de Como el grado de p(x) es el menor posible,
p(x) con q(x)=x – 3. entonces
a=1 y
A) – 6 b=1
B) – 4 Luego, tenemos
C) – 1
p(x)=k(x – 1)2(x – 2)
D) 1
De la gráfica
E) 4
p(0)=2
Solución p(0)=k(–1)2(–2)
Tema p(0)=2
→ k=–1
Gráfica de funciones polinomiales
Luego
p(x)=–(x – 1)2(x – 2)
Referencias
II. Aplicando el teorema del resto tenemos
Para la solución del problema se necesita
p( x)
conocer:
x−3
• Gráfica de una función polinomial.
→ R(x)=p(3)
• Teorema del resto.
p(3)=–(2)2(1)
Análisis y procedimiento ∴ p(3)=– 4
Plan de resolución
Respuesta
I. A partir de la gráfica, hallar la regla de
correspondencia de p(x). El residuo de dividir p(x) entre x – 3 es – 4.
II. Aplicar el teorema del resto. Alternativa B
15

2. Matemática
Pregunta N.º 21
En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de
lado 2R, además BC es diámetro de la semicircun-
ferencia de centro O y radio de longitud R. Si T es
un punto de tangencia entonces m TOA es
Como ABCD es un cuadrado
→ BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R
Trazamos OD → OD: Bisectriz del CDT
53º
Luego, OCD (not. ):
2
53º
m CDO= y
A) 7,5 2
B) 8 53º
m ODT=
C) 10 2
D) 10,5 En TOCD: inscriptible
E) 12,5
→ m BOT=m CDT
m BOT=53º
Solución
53º
Tema OBA (not )
2
Circunferencia 53º
→ m BAO=
2
Referencias
En OBA
En la pregunta nos piden la medida de un ángulo;
53º
entonces, debemos ubicarlo en una figura donde 53º+x+ =90º
2
se puede obtener dicha medida; por ejemplo,
21º
un triángulo; además, como se observa una x=
2
semicircunferencia debemos aplicar los teoremas
→ x=10,5º
que se cumplen en la circunferencia.
Respuesta
Análisis y procedimiento
La medida del ángulo TOA es 10,5º.
En el gráfico,
nos piden x. Alternativa D
16

3. Matemática
Pregunta N.º 22 QR // DB
ABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a BD
los catetos se construyen los triángulos equiláteros → m RQC=150º y RQ=
2
ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE,
BC y DC respectivamente. Si el área de la región PQ // EC
triangular ABC es 32 cm2, entonces el área de la → m PQC=120º y
región triangular PQR (en cm2) es
EC
PQ=
2
A) 4 B) 6 C) 8
D) 12 E) 16 Luego
m PQR=90º
Solución En el gráfico,
Tema PQR ~ ABC (caso LAL de razón 1/2)
Área de regiones triangulares
Por áreas de regiones semejantes
2
Referencias A PQR ⎛ razón de ⎞
=⎜ ⎟
Para relacionar las áreas de dos regiones trian- A ABC ⎝ semejanza ⎠
gulares, se busca la relación entre los elementos
Reemplazamos
de ambos triángulos (lados, alturas, medida de
2
ángulos, etc.). A PQR ⎛1⎞
=⎜ ⎟
32 ⎝ 2⎠
Análisis y procedimiento
→ APQR=8
Respuesta
El área de la región triangular PQR (en cm2) es 8.
Alternativa C
Pregunta N.º 23
Indique la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas
Piden APQR: área de la región triangular PQR.
diferentes que se intersectan, entonces dichos
Dato A ABC: área de la región triangular ABC. planos también se intersectan.
(A ABC=32) II. El lugar geométrico que determinan los pies de
los segmentos oblicuos de longitudes iguales
Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan trazadas desde un punto exterior a un plano
bases medias en los triángulos BEC y DBC. es una circunferencia.
17

4. Matemática
III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es II.
ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas
contenidas en dicho plano.
A) VVF
B) VFV
C) FFV
D) VVV
E) FFF
Solución • Como el punto Q es exterior al plano, traza-
Tema mos QQ' de modo que Q' sea la proyección
Geometría del espacio. Rectas y planos ortogonal de Q sobre el plano W.
• En el gráfico, los triángulos rectángulos
Referencias AQ'Q; BQ'Q y DQ'Q son congruentes
En este tipo de preguntas debemos hacer una entre sí.
comparación entre los conceptos teóricos y los • Luego, m=n=p=…
casos posibles que plantean las proposiciones. De • Además, el punto Q' equidista de A, B,
esta manera, determinamos la veracidad o falsedad C, D, …
de la proposición dada. Por lo tanto, el lugar geométrico que deter-
minan A, B, C y D es una circunferencia de
Análisis y procedimiento centro Q'.
Esta pregunta consta de tres proposiciones. Entonces, la proposición es verdadera.
I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones
III. En el gráfico, para que una recta sea perpendicular
relativas entre dos planos: son paralelos o son
a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas
secantes.
no paralelas contenidas en dicho plano.
Entonces, la proposición es verdadera.
• En la fig.1, los planos son paralelos si son
perpendiculares a una misma recta. Respuesta
• En la fig. 2, los planos son secantes si son La secuencia correcta después de analizar las
perpendiculares a dos rectas que se interse- proposiciones es VVV.
can (proposición de la pregunta).
Entonces, la proposición es verdadera. Alternativa D
18

5. Matemática
Pregunta N.º 24 Análisis y procedimiento
En la figura mostrada, ABCD es un trapecio Piden
rectángulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es Volumen de la pirámide Q-BCP:
perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a
1
y los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-CDP Vx = [ A BCP ][PQ] (I)
3
son iguales, calcule el volumen de la pirámide
Q-BCP.
Del gráfico tenemos PQ=a (II)
Como los volúmenes de las pirámides Q-ABP y
Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, las
A) 1 a 3 B) 3 a 3
áreas de sus bases son también iguales.
2 8
Entonces,
AABP=ACPD=4A.
4 3
C) a
5 En el plano de la base
7 3 5 3
D) a E) a
8 9
Solución
Tema
Geometría del espacio. Pirámide
Referencias
En preguntas donde piden el cálculo o la relación
de volúmenes, conviene hacer un análisis de las Del dato de áreas iguales
→ AP=2(PD)
longitudes de las alturas o de las relaciones de
Por relación de áreas, el área de la región trapecial:
las bases. Generalmente, para el cálculo del área
de la base se emplean capítulos anteriores de ⎛ a + 2a ⎞ a2
18 A = ⎜ ⎟ (2a) → A =
geometría plana. ⎝ 2 ⎠ 6
19

6. Matemática
Luego,
5a 2
ABCP=10A= (III)
3
Reemplazamos (II) y (III) en (I)
1 ⎛ 5a 3 ⎞ 5a 3
→ Vx= ⎜ ⎟ (a) =
3⎝ 3 ⎠ 9
y para poder aprovechar el ángulo de inclinación
Respuesta es preciso asociarlo con el teorema de las tres
5a 3 perpendiculares.
El volumen de la pirámide Q-BCP es
9
Análisis y procedimiento
Alternativa E
Graficamos el prisma según las condiciones
planteadas.
Pregunta N.º 25 D' C'
M
La altura de un prisma recto mide 1 u, su base es S' B'
una región limitada por un rombo cuyo lado mide 1u N
A'
2 u y su ángulo agudo mide 30º. Por un lado de 2u C h
1u
la base se traza un plano que interseca al prisma 30º
2u
D
y está inclinado un ángulo de 60º con respecto 2u S
60º 30º
B
de la base, luego el área de la sección (en u2) que H
A 3u
resulta en el prisma es: 2u
5 4
A) 2 3 B) C) donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la
3 3
m ABC=30º.
3 2
D) E)
3 3 Si trazamos
CH ⊥ AB ... 1.a ⊥
Solución SS' ⊥ CH ... 2.a ⊥
Tema → S'H ⊥ AB ... 3.a ⊥
Prisma
Sea S'H=h.
Referencias Como la altura del prisma es 1 u
→ S'S=1 u
Al trazar planos secantes a un sólido, este determina
Luego, en el S'SH:
secciones planas, que varían de acuerdo al ángulo
de inclinación y el lugar por donde interseca. Así, hsen60º=1 u
un plano secante en un prisma puede determinar 2
→ h= u
una sección triangular, cuadrangular, ... 3
20

7. Matemática
Luego, el área de la sección ABMN, que es una Análisis y procedimiento
región paralelográmica, se calcula multiplicando Piden r2+3r.
AB y h.
Las longitudes de los lados del polígono convexo
de 8 lados están en progresión geométrica de
⎛ 2 ⎞
ABMN= AB h = ( 2 u ) ⎜
A ( ) u⎟ razón r.
⎝ 3 ⎠ B
a ar
4 2 A C
A ABMN = u
3
ar7 ar2
Respuesta
H D
4
El área de la sección en u2 es .
3 ar3
ar6
Alternativa C G E
ar5 ar4
F
Pregunta N.º 26 además
Se tiene un polígono convexo de 8 lados circuns- AB= ´ 1 , BC= ´ 2 , CD= ´ 3 , DE= ´ 4 , EF= ´ 5 ,
crita a una circunferencia, si las longitudes de sus FG=´6, GH=´7 y HA=´8,
lados están en progresión geométrica de razón r.
En el octógono circunscrito por el teorema de Pithot
Determine r2+3r.
general, tenemos:
A) 1 B) 4 C) 10
´1+´3+´5+´7=´2+´4+´6+´8
D) 18 E) 28 → a+ar2+ar4+ar6=ar+ar3+ar5+ar7
Factorizamos
Solución a(1+r2+r4+r6)=ar(1+r2+r4+r6)
Tema → r=1
Polígonos circunscritos a una circunferencia:
Teorema de Pithot generalizado Respuesta
El valor de r2+3r es 4.
Referencias
En un cuadrilátero circunscrito o circunscriptible, Alternativa B
se cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma de
longitudes de lados opuestos son iguales.
En un polígono circunscrito o circunscriptible se
Pregunta N.º 27
cumple que la suma de longitudes de lugar par
es igual a la suma de longitudes de lugar impar, Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC
es considerado para un cuadrilátero, hexágono, miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre AB
octógono, ..., en polígonos cuyo número de lados se toma el punto D. Si m BAC=m BCD.
es par. Entonces AD es:
21

8. Matemática
A) 3,5 B) 4 C) 4,5 Piden AD
D) 5 E) 5,5
Datos:
AB=8, BC=6
Solución m BAC=m BCD
Tema ABC: Por teorema de semejanza
Semejanza de triángulos tenemos:
(BC)2=(AB)(BD) (I )
también
Referencias
BD=8 – AD
Cuando en un triángulo se desea relacionar las Reemplazamos:
longitudes de lados y segmentos determinados 62=8(8 – AD)
por una ceviana, se puede recurrir a la teoría de → AD=3,5
semejanza, y más aún si la medida de un ángulo
Respuesta
es igual al ángulo determinado por dicha ceviana
Entonces, AD es 3,5.
y un lado; por ejemplo:
Alternativa A
B
q
x
Pregunta N.º 28
En figura, AB y AC con diámetros, CT es tan-
gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.
C
q M m
A
b
Teorema:
En el ABC
m BAC=m MBC=θ
A) 2 3 B) 2 2 C) 3
→ x2=bm
D) 6 E) 3 3
Análisis y procedimiento
B
Solución
Tema
Semejanza de triángulos
8D 6
Referencias
En el problema nos piden calcular el radio de la
q semicircunferencia menor, para ello debemos rela-
q
A C cionar el dato numérico con la variable, utilizando
22

9. Matemática
los teoremas que se cumplen en circunferencias Pregunta N.º 29
tangentes interiores. Luego, para obtener el valor
En un triángulo ABC se cumple AB=2 m y
del radio debemos establecer una operación que
AC=32 m. Halle el perímetro del triángulo en
relacione la incógnita con los datos.
metros, sabiendo que es un número entero y el
ángulo en A es obtuso.
Análisis y procedimiento
E A) 65 B) 66 C) 67
D) 68 E) 69
D 4
4 2
T
4 a Solución
2 2
a a Tema
a
A r r B 2r C Clasificación de triángulos:
Triángulo obstusángulo.
Trazamos BT
→ m BTA=90º Referencias
Por teorema Para realizar el cálculo del perímetro, es necesario
ET=TA=4 conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero.
Como las longitudes de los otros dos lados son
Trazamos AD
conocidas, podemos restringir a BC mediante el
→ AT es bisectriz del DAC
teorema de existencia; pero como la medida de
m DAT=m TAC=α un ángulo interior es mayor de 90º (obtuso), se
Luego puede realizar la restricción de BC por la naturaleza
del triángulo.
m ECD=m DAE=α
En AEC: Teorema de semejanza Análisis y procedimiento
(EC)2=(8)(4)
Por dato del problema tenemos
→ EC = 4 2
AB=2,
AEC: Teorema base media
AC=32 y
→ TB = 2 2
m BAC>90º
2
ATB: (2r)2=42+( 2 2 )
Piden
r= 6
2P ABC=2+32+BC=34+BC.
Respuesta B
El valor de r es 6.
2
C
Alternativa D 32
A
23

10. Matemática
En el ABC: Existencia de triángulos 27 54 108
A) B) C)
π π π
32 – 2 < BC < 32+2 (I)
• Como m BAC>90º
D) 54 E) 108
322+22 < BC2
32,06 < BC (II)
Solución
• Luego, relacionamos las restricciones (I) y (II).
Tema
32,06 < BC < 34 (III)
Sólidos geométricos
• 2P ABC=34+BC
Como el perímetro es entero, entonces, BC es
Referencias
entero.
Para calcular el volumen de una pirámide se ne-
• Luego, de la expresión (III) obtenemos cesita conocer el área de su base y la altura de la
BC=33 pirámide, mientras que para calcular el volumen
del cilindro se requiere conocer el área de su base
∴ 2P ABC=67
y su altura. Como el cilindro es circular oblicuo,
su base es un círculo, mientras que la base de la
Respuesta pirámide es un triángulo equilátero.
El perímetro de la región triangular ABC en metros
es 67. Análisis y procedimiento
Del gráfico que nos dan como dato podemos no-
Alternativa C tar que ambos sólidos tienen la misma altura y el
triángulo de la base de la pirámide está inscrita en la
circunferencia que limita la base del cilindro.
Pregunta N.º 30 Denotemos los vértices de la base de la pirámide
En la figura se tiene una pirámide inscrita en un como A, B y C, y r el radio del círculo de la base
del cilindro.
cilindro circular oblicuo. La base de la pirámide
es un triángulo equilátero. El volumen de la
O
27 3 r
pirámide es cm3. Calcule el volumen del
π
cilindro (en cm3).
B
A
r
C
Graficando el triángulo equilátero inscrito en la
circunferencia tenemos:
24

11. Matemática
B Pregunta N.º 31
30º 30º En un polígono convexo equiángulo ABCDEF se
r r tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF.
O'
7
r r A) 3 B) 7 C) 5 3
120º 2
A C
r 2 D) 7 2 E) 7 3
En el AO'C:
Solución
Tema
AO=r=OC
Polígonos
m AOC=120º
→ AC=r 3=AB=BC
Referencias
Ahora podemos calcular el volumen de la pirá- Dentro del grupo de los polígonos tenemos al
mide. polígono equiángulo, que se caracteriza por que
sus medidas angulares internas y externas son,
2
1 1 ⎛ (r 3 ) 3 ⎞ respectivamente, iguales.
VO-ABC= (Abase)×h= ⎜⎜ ⎟×h
⎟ Como se conoce que la suma de las medidas
3 3⎝ 4 ⎠
angulares de un polígono convexo es 180º(n – 2)
2 y n es el número de lados, entonces, la medida de
VO-ABC= r 3⋅
h=
27 3 cm3
un ángulo interior será:
4 π
De aquí podemos despejar las variables y obte- 180º ( n − 2 )
i=
nemos: n
πr 2 · h=108 cm3 (I)
Análisis y procedimiento
Ahora calculamos el volumen del cilindro
Según el dato del problema, el polígono equián-
Vcilindro=A base×h
gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6);
Vcilindro=πr 2×h
entonces,
De (I):
Vcilindro=108 cm3 180º ( 6 − 2 )
i( 6 ) = = 120º.
6
Respuesta
Grafiquemos el hexágono con las condiciones del
El volumen del cilindro en cm3 es 108. problema:
AB=7, CD=6 y
Alternativa E
DE=8.
25

12. Matemática
B C Pregunta N.º 32
120º El ángulo de desarrollo de un cono circular recto
7 6
mide 120º. Si la altura del cono mide 4 cm,
A 120º 120º D entonces el radio (en cm) del cono es:
x
60º 60º
a a 8 8 2
A) B) 2 C) 3
60º 60º 120º 60º 60º 2
M a F E 8 N
D) 2 2 E) 2 3
Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas de
los ángulos externos en A, F, E y D es 60º, además, Solución
se forman los triángulos AFM y DEN; estos, a la
Tema
vez, forman el triángulo isósceles MBCN, donde
Cono circular recto
MB=CN.
Como
Referencias
DE=8
→ DN=EN=8. Al desarrollar la superficie lateral de un cono
Así también si circular recto, resulta un sector circular cuyos
elementos se asocian con los del cono dado.
AF=a
→ AM=MF=a.
A
Luego g
a+7=6+8 V
∴ a=7 a
Por lo tanto, en el triángulo notable BAF tenemos 2pr B
g g
h
A
r
7 120º 7 B O A
F x B En el gráfico α es la medida del ángulo de
Entonces, BF=7 3. desa-rrollo.
Sea θ su medida en radianes.
Respuesta πα
→ θ=
180º
La longitud de BF es 7 3.
Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el
Alternativa E radio de la base del cono.
26

13. Matemática
´ ABA =2πr Solución
Tema
´ ABA =θ×g
Sistemas de medición angular
2πr
∴ θ=
g
Referencias
Análisis y procedimiento La equivalencia entre los grados sexagesimales y el
número de radianes de un ángulo es π rad=180º.
Nos dan como dato α=120º y h=4 cm; entonces,
podemos calcular θ y encontrar una relación entre Análisis y procedimiento
r y g.
• Nuevo sistema de medición angular (X), donde
1X denota un grado en el sistema X.
π (120º ) 2π
→ θ= =
180º 3 • Condiciones:
Luego αº=(α – 3)X
π rad=120X
r 1 ó g=3r
= Empleamos el método del factor de conversión:
g 3
Como nos piden el radio de la base en cm, re- ⎛ π rad ⎞ ⎛ 180º ⎞
αº = (α − 3) X ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 120 X ⎠ ⎝ π rad ⎠
currimos al teorema de Pitágoras para relacionar
r, g y h. º
⎛3⎞
En el AVO: g 2=r 2+h2 αº = (α − 3) ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
Reemplazamos valores:
2α=3α – 9
(3r)2=r 2+(4)2
α=9
∴ r= 2
Se busca calcular
(α – 3).
Respuesta
El radio del cono en centímetros es 2.
Respuesta
Alternativa B El valor de (α – 3) es 6.
Alternativa B
Pregunta N.º 33
En un nuevo sistema de medición angular, un
ángulo de α grados sexagesimales mide α – 3. Si
Pregunta N.º 34
a 3
un ángulo de π radianes mide 120 en el nuevo En la figura = y el área de la región sombreada
b 2
sistema, halle α – 3. es 5 veces el área del sector circular OPQ.
´ SR
Determine la relación .
A) 3 B) 6 C) 9 ´ BA
D) 12 E) 15
27

14. Matemática
2k D
B
3k
Q S
O q a
P
A R
2 16 3 C
A) B) C)
3 27 2
Pero ´ SR = α(5k)
45 10
D) E)
16 3 ´ BA = θ(3k)
Solución
´ SR 5 ⎛ α ⎞
Tema = (I)
´ BA 3 ⎜ θ ⎟
⎝ ⎠
Longitud de arco y área del sector circular
Condición 2
Referencias
El área sombreada es igual a cinco veces el área
• Longitud de arco (´) del sector OPQ.
1 1 ⎛ α(3k)2 ⎞
r θ(5k)2 − θ(3k)2 = 5 ⎜
2 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟
⎝ ⎠
q rad µ µ=q×r
16θk 2 45αk 2
=
2 2
• Área de un sector circular (A) 16 α
= (II)
45 θ
r
Al reemplazar (II) en (I) se obtiene:
q rad A=qr 2
2
´ SR 5 ⎛ 16 ⎞
=
´ BA 3 ⎜ 45 ⎟
⎝ ⎠
´ SR 16
Análisis y procedimiento =
´ BA 27
Condición 1
a 3 a = 3k Respuesta
=
b 2 b = 2k ´ SR 16
La relación es .
´ BA 27
´ SR
Incógnita:
´ BA Alternativa B
28

15. Matemática
Pregunta N.º 35 Reemplazamos (II) en (I)
Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5), 2
⎛1 ⎞
(x – 2)2+⎜ ( x − 7 ) ⎟ = 10
10 unidades. La pendiente de la recta que pasa ⎝2 ⎠
por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M
1
de mayor abscisa. (x – 2)2+ (x – 7)2=10
4
Reduciendo, tenemos
A) (–1; 4) B) (–1; 6) C) (1; 8)
D) (3; 2) E) (5; 4) x2 – 6x+5=0
x –5
Solución x –1
Tema x=5 ∨ x=1
Piden el punto M de mayor abscisa< enton-
Geometría analítica
ces, x=5.
Referencias Reemplazamos en (II)
1
• Distancia entre dos puntos y – 5= (5 – 7)
2
• Ecuación de una recta
y=4
Entonces, M=(5,4).
Análisis y procedimiento
De la condición tenemos Respuesta
• C(2; 5) El punto M de mayor abscisa es (5,4).
10 Alternativa E
M (x ; y )
Por distancia entre dos puntos se cumple que Pregunta N.º 36
2 2 En el círculo trigonométrico de la figura, se tiene
10 = ( x − 2 ) + ( y − 5 )
CM = DM . Entonces el área de la región triangular
Elevando al cuadrado, tenemos
ABM es:
(x – 2)2+(y – 5)2=10 (I)
1
• Dato m =
L 2
L
A(7; 5)
M
Calculamos la ecuación de la recta L .
y – 5=m (x – 7)
L
1
y – 5= (x – 7) (II)
2
29

16. Matemática
⎛ 3π ⎞ En el gráfico se observa que AB= 2 y AM=BM,
A) 2 tan ⎜ ⎟
⎝ 8 ⎠ 2
entonces, AH=HB= .
1 ⎛ 3π ⎞ 2
B) tan ⎜ ⎟
2 ⎝ 8 ⎠ Calculamos la altura MH en el triángulo AHM.
⎛ 3π ⎞ 2 3π
C) 2 tan ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ MH = tan
2 8
1 ⎛ 3π ⎞ Luego
D) tan ⎜ ⎟
2 ⎝ 4 ⎠
( AB)(MH )
S=
⎛ 4π ⎞ 2
E) 2 tan ⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠
⎛ 2 3π ⎞
( 2)⎜
⎜ 2
tan ⎟
8 ⎟
S= ⎝ ⎠
Solución 2
Tema
Por lo tanto,
Circunferencia trigonométrica (C. T.)
1 3π
S= tan .
Referencias 2 8
• Ubicación de arcos en la C. T.
Respuesta
• Resolución de triángulos rectángulos.
• Cálculo del área de una región triangular. El área de la región triangular ABM es igual a
1 3π
tan .
Análisis y procedimiento 2 8
π Alternativa B
Dato: CM = DM → mCM = m DM =
4
π π 3π
además, m BM = + → m BM = .
2 4 4
Pregunta N.º 37
Simplificando la siguiente expresión
Y K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A,
3p C se obtiene
4
M
A) 6cos22A
B) 6cos2A
B C) 8sen2A
D X D) 12senA
2
E) 12cos22A
3p 2
H
8 2 Solución
A 2
Tema
Identidades trigonométricas de arcos múltiples
30

17. Matemática
Referencias Solución
• Empleamos las identidades auxiliares del arco Tema
triple Funciones trigonométricas
sen3θ=senθ(2cos2θ+1)
cos3θ=cosθ(2cos2θ – 1) Referencias
• Empleamos la identidad del arco doble relacio- Para reducir la expresión aplicaremos identidades
nada con el coseno. trigonométricas.
cos2θ=2cos2θ – 1 sen x cos x
tan x = cot x =
cos x sen x
Análisis y procedimiento
K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A Análisis y procedimiento
sen x + tan x π
entonces f ( x) = x≠K
cos x + cot x 2
2 2
⎛ sen 3 A ⎞ ⎛ cos 3 A ⎞
K =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + 2 cos 4 A
⎝ sen A ⎠ ⎝ cos A ⎠ cosx+cotx ≠ 0
Ahora aplicamos las identidades del arco triple. cosx(1+1/senx) ≠ 0
K=(2cos2A+1)2+(2cos2A – 1)2+2cos4A cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ – 1
Desarrollando los binomios y aplicando la identi- π
→ x ≠ (2n+1)
dad del arco doble, obtenemos 2
K=2(4cos22A+1)+2(2cos22A – 1)
sen x
→ K=12cos22A sen x +
f ( x) = cos x
cos x
cos x +
Respuesta sen x
Entonces, K es igual a 12cos22A. ⎛ 1 + cos x ⎞
sen x ⎜ ⎟
⎝ cos x ⎠
f ( x) =
⎛ 1 + sen x ⎞
cos x ⎜ ⎟
Alternativa E ⎝ sen x ⎠
sen 2 x (1 + cos x )
f (x) =
cos 2 x (1 + sen x )
Pregunta N.º 38 senx > – 1
→ 1+senx > 0
sen x + tan x π cosx > – 1
Sea f ( x ) = , x≠k .
cos x + cot x 2 → 1+cosx > 0
Entonces podemos afirmar que Entonces, se deduce que f(x) es positivo.
A) f(x) toma valores positivos y negativos.
Respuesta
B) f(x) toma un número finito de valores negativos.
f(x) toma solamente valores positivos.
C) f(x) toma solamente valores negativos.
D) f(x) toma solamente valores positivos.
Alternativa D
E) f(x) es constante.
31

18. Matemática
Pregunta N.º 39 ⎛ x−y⎞ ⎛ x−y⎞
→ 4·cos 2 ⎜ ⎟ + 4 cos ⎜ ⎟−3=0
Dado el sistema ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎧ 4π ⎛ ⎛ x−y⎞ ⎞⎛ ⎛ x−y⎞ ⎞
⎪ x+y= ⎜ 2 cos ⎜ ⎟ + 3 ⎟ ·⎜ 2 cos ⎜ ⎟ − 1⎟ = 0
⎨ 3 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
⎪sec x + sec y = 1
⎩
⎛ x−y⎞ 1
cos ⎜ ⎟= o
el valor de cos(x – y) es: ⎝ 2 ⎠ 2
⎛ x−y⎞ 3
1 1 1 cos ⎜ ⎟=−
A) − B) − C) − ⎝ 2 ⎠ 2
4 3 2
La ecuación admite para
1 1
D) E)
4 2 ⎛ x−y⎞ 1
cos ⎜ ⎟=
⎝ 2 ⎠ 2
Solución
Tema Luego, debido a que
Sistemas de ecuaciones trigonométricas
⎛ x−y⎞
cos ( x − y ) = 2 cos 2 ⎜ ⎟ −1
⎝ 2 ⎠
Referencias
Por lo tanto
Transformaciones trigonométricas.
1
⎛ x+y⎞ ⎛ x−y⎞ cos ( x − y ) = −
cos x + cos y = 2 cos ⎜ ⎟ ·cos ⎜ ⎟ 2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Respuesta
Identidad de arco doble.
1
cos2x=2cos2x – 1 El valor de cos(x – y) es − .
2
Análisis y procedimiento
Alternativa C
De la condición
secx+secy=1 Pregunta N.º 40
2 · (cosx+cosy)=2(cosx · cosy) En las circunferencias tangentes de la figura, son
datos r0 (radio) y α. Determine el radio R.
⎛ x +y⎞ ⎛ x −y⎞
2× 2 ·cos ⎜ ⎟ ·cos ⎜ ⎟ = cos ( x + y ) + cos ( x − y )
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Por dato sabemos que
4π
x+y= .
3
⎛ −1 ⎞ ⎛ x−y⎞ 1 2⎛ x −y⎞
4 ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = − + 2 cos ⎜ ⎟ −1
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠
32

19. Matemática
⎛ 1 − cos α ⎞ Análisis y procedimiento
A) ⎜ ⎟ r0
⎝ cos α ⎠
⎛ cos α ⎞ r0
B) ⎜ ⎟ r0
⎝ 1 − cos α ⎠
R
⎛ 1 − cos α ⎞
C) ⎜ ⎟ r0
⎝ 1 + cos α ⎠ a
R
⎛ 1 + cos α ⎞ Por definición tenemos
D) ⎜ ⎟ r0 R
⎝ cos α ⎠ cos α =
R + r0
Rcosα+r0cosα=R
⎛ 1 + cos α ⎞
E) ⎜ ⎟ r0
⎝ 1 − cos α ⎠ r0cosα=R(1 – cosα)
r cos α
R= 0
1 − cos α
Solución
⎛ cos α ⎞
Tema R=⎜ ⎟ r0
⎝ 1 − cos α ⎠
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Respuesta
Referencias
Entonces, el radio R, en términos de r0 y α, es
Definición del coseno de un ángulo agudo.
⎛ cos α ⎞
⎜ ⎟ r0
cateto adyacente ⎝ 1 − cos α ⎠
cos α =
hipotenusa Alternativa B
33