1. TRIGONOMETRY
SINE &
TRIGONOMETRY TRIGONOMETRY COSINE
RATIOS IDENTITY RULE
TRIANGLE
AREA
2. A. Trigonometri ratios
hypotenuse
Right-angle side
Right-angle side S
opposite side O
Sine =
hypotenuse h c
cosine =
adjacent side a t
hypotenuse
h o
tan = opposite side
a
adjacent side
3. Secant
( sec )
=
hypotenuse
adjacent side
Cosecant
( csc/cosec )
=
hypotenuse
opposite side
Cotangen
( cot ) =
adjacent side
opposite side
4. Sisi miring
sisi depan
Sisi samping
de
sisi depan
Sinus =
sisi miring
mi
Cosinus =
sisi samping sa
sisi miring
sisi depan
mi
tangen = de
sisi samping
sa
5. sisi miring
Secan = 1 =
( sec ) cos sisi samping
Cosecan = 1
sin
=
sisi miring
( csc ) sisi depan
Cotangen
( cot / ctg ) =
cos
sin
=
sisi samping
sisi depan
6. Example 1 :
It is known that triangle ABC is right angled on point B with
AB = 3 cm, BC = 4 cm and measure of angle BAC =
Determine the value of :
a. Sine d. sec
b. Cos e. csc
c. Tan f. cot
Solution :
C
AC2 = AB2 + BC2
4 cm 5 = 32 + 42
= 9 + 16
A = 25
B 3 cm
AC = 25
AC = 5
7. a. sin =
4
5
b. cos =
3
5
c. Tan = 4
3
d. sec = 5
3
e. csc =
5
4
f. cot =
3
4
8. Example 2 :
=
1
If sine then determine the value of :
d. sec
3
a. Sine
b. Cosine e. csc
c. tangen f. Cot
Solution :
8
b. cosine =
3
tangen
3 1 1 2 1
1 c. = 8 2 2
8 8 8 4
8
d. Sec =
3
=
3
2
8 4
e. csc = 3 f. cot =
8
1
9. Example 3 :
Determine other trigonometric ratios values if it is known
that cos
= 0,4 .
is an acute angle
Solution : 21 1
sin = 21
5 5
5 21 1
21 tan = 21
2 2
5
2 sec =
2
5 5
4 2 csc = 21
0,4 = 21 21
10 5
2 2
cot = 21
21 21
10. Perbandingan Trigonometri
sudut-sudut khusus
( sudut istimewa = Extraordinary angles )
Sudut-sudut khusus yang dimaksud adalah :
00, 300, 450, 600, 900
Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 00 dan 900
Kita bisa gunakan lingkaran satuan di koordinat Cartesius.
11. P(x,y) Titik P (x,y) terletak pada lingkaran
satuan.
y Garis OP membentuk sudut
o dengan sumbu x.
N x
Panjang ON adalah x satuan,
panjang PN adalah y satuan dan
y panjang OP adalah 1 satuan ( krn
OP jari-jari lingkaran )
ONP adalah segitiga siku – siku
.
Perbandingan trigonometri untuk sudut adalah sbb :
sin =
y
1
= y, cos =
x
= x, tan =
y
x
1
12. Jika = 00, maka garis OP berimpit dengan sumbu x,
dengan demikian posisi P adalah ( 1, 0 ), akibatnya :
Sin 00 = y = 0
Cos 00 = x = 1
y 0
Tan 00 = 0
x 1
Jika = 900, maka garis OP berimpit dengan sumbu y,
dengan demikian posisi P adalah ( 0, 1 ), akibatnya :
Sin 900 = y = 1
Cos 900 = x = 0
y 1
Tan 900 = tak terdefnisi
x 0
13. Untuk sudut 300, Perhatikan gambar dibawah ini:
B ABC siku – siku di C,
600
c BAC = 300 dan ABC = 600
a
300 ADC merupakan pencerminan
A b 900 C
dari ABC terhadap AC
Karena setiap sudut pada ABD
= 600, maka ABD= sama sisi
D sehingga AB = AD = BD = 2a
atau c = 2a
Dalam ABC berlaku teorema Pythagoras :
c2 = a2 + b2
(2a)2 = a2 + b2
b2 = 4a2 – a2
b = 3a 2 a 3
14. Kita peroleh :
a a = 1 b a 3 1
sin 300 = = Sin 600 = = = 3
c 2a 2 c 2a 2
b a 3 1 a a 1
cos 300 = = = 3 Cos 600 = =
=
c 2a 2 c 2a 2
1 a b a 3
a= Tan 600 = = = 3
Tan 300 = = 3 a a
b a 3 3
15. Untuk sudut 450
Perhatikan gambar dibawah ini :
B
ABC siku siku di C dan BAC = 450
c Karena BAC = 450 maka
a
ABC = 450 sehingga ABC
450 merupakan segitiga siku-siku sama
A b C kaki ( a = b )
c2 = a2 + b2
= a2 + a2
= 2a2
c = 2a 2 = a 2
16. B
Kita peroleh :
a 2 Sin 450 =
a =
1
a 2
a 2 2
450
C
A a
a 1
Cos 450 = = 2
a 2 2
a
Tan 450 = = 1
a
Berdasarkan nilai perbandingan trigonometri diatas, kita
dapat mengganti panjang sisi – sisi pada gambar menjadi
a = b = 1 dan c = 2
18. Example 1 :
Determine the value of :
a. sin 30 cos 45 tan 45
0 0 0
b. sin 30
2 0
cos 302
Solution :
a. sin 30 cos 45 tan 45
0 0 0
= 1 1 – 1
+ 2
2 2
1 1
= 2–
2 2
20. cos 450. cos 300 sin 450. sin 600
c.
tan 300. tan 600
1 1 1 1
2. 3 2. 3
= 2 2 2 2
1
3. 3
3
1 1 1
6. 6 6
= 4 4 = 2
1 1
.3
3
1
= 6
2
21. B. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Teorema Phytagoras :
y
x2 + y2 = r2
Jika dibagi dengan r2 maka :
x2 y2 r2
B
2
2 2
r r r
r 2 2 2
y x y r
r r r
x O x A
cos sin 1
2 2
22. x2 + y2 = r2 x2 + y2 = r2
Jika dibagi x2 maka : Jika dibagi y2 maka :
2 2 2
2 2 2 x y r
x y r
2 2 2
2 2
x 2
x x y y y
2 2 2
x y r
2 2 2
x y r
y y y
x x x
1+tan2 = sec2 cot 1 csc
2 2
23. contoh Buktikan :
cos
2
1. 1 sin
1 sin
Ruas kiri
=
cos 2
1 sin
=
1 sin 2
a b
2 2
a ba b
1 sin
1 sin 1 sin
=
1 sin
= 1 sin
24. 2.
cos A sin Acos A sin A 1 2 sin 2
A
ruas kiri :
= cos A sin Acos A sin A
= cos 2 A sin 2 A
= 1 sin A sin A
2 2
= 1 2 sin 2 A
25. 3.
4
cos 1 tan cos 2
2
ruas kiri
=
4
cos 1 tan 2
= cos sec
4
2
1
= cos
4
cos
2
1
= cos . cos
2 2
cos
2
= cos
2
26. 4. 1 cot csc
2 2
Ruas kiri :
= 1 cot 2
sin 2 cos 2
=
sin
2
sin 2
= sin 2 cos 2
sin
2
=
1 = csc 2
sin 2
27. 5 1 tan 1 cos tan
2 2 2
Ruas kiri :
= sec . sin
2 2
1
= . sin
2
cos
2
= sin 2
cos
2
= tan
2
28. KOORDINAT KUTUB / POLAR
P(x,y) P(r, )
r r
y y
O O
x x
Koordinat cartesius Koordinat polar/kutub
sin = y r= x2 y2
r
y = r sin tan =
y
x x
cos = r y
= arc tan
x = r cos x
29. Tentukan koordinat cartesius dari titik berikut :
1. P ( 5, 450 ) Pr ,
x = r cos y = r sin
= 5 cos 450 = 5 sin 450
= 5.
1 1
2 = 5. 2
2 2
5 5
= 2 = 2
2 2
5 5
Jadi koordinat cartesius P ( x,y ) adalah 2 , 2
2 2
30. 2. Tentukan koordinat polar dari titik P ( 4, – 4 )
P ( 4, – 4 ) P x , y
y
r x y tan
2 2
x
r 4 4
2 2
4
tan 1
4
r 32
r4 2 arc tan 1
3150
Jadi koordinat kutub P(4,– 4 ) adalah
P 4 2 , 3150
31. ATURAN SINUS
C Lihat ACD Lihat BCD
CD CD
b a sin A sin B
AC BC
CD = AC sin A CD = BC sin B
B
A D CD = a sin B
CD = b sin A
c
CD = CD
b sin A = a sin B
a b
sin A sin B
32. C
E a
Lihat ACE Lihat ABE
b AE AE
sin C sin B
AC AB
B AE = AC sin C AE = AB sin B
A c
AE = b sin C AE = c sin B
AE = AE
b sin C = c sin B
b c
sin B sin C
a b c
Jadi
sin A sin B sin C
33. Contoh 1
Diket ABC dengan A 300 Panjang sisi BC = 2 cm,
Dan panjang sisi AB = 4 cm. Tentukan besar sudut dan
Panjang sisi yang belum diketahui.
C
a c
b
2 sin A sin C
0
30 2
4
A 4 B 0
sin 30 sin C
2 sin C = 4 sin 300
1
4.
sin C 2 1
2
C 90 0
34. b c a
2 2
B 180 (30 90 )
0 0 0
b 4 2
2 2
B 60 0
b 16 4
b 12
b2 3
2. Diket ABC A 300 , C 450 dan panjang sisi
AB = 5 cm. Tentukan besar sudut B dan panjang sisi a
dan sisi b
35. A
30 0 B 180 (30 45 )
0 0 0
b
5 B 1050
450 C
B a
a c 5
a
sin A sin C 2
a sin 450 = 5 sin 300 5 2
a .
1 1 2 2
a. 2 5.
2 2 5
1 a 2
5. 2
a 2
1
2
2
36. b c
b
a
sin B sin C sin B sin A
b 5 5
2
sin 105 0
sin 45 b
2 0
sin 1050 sin 30
b sin 450 = 5 sin 1050
5
2 . sin 1050
b . 0,707 5. 0,97 b 2 0
5. 0,97 sin 30
b 1
0,707 5. 2 .0,97
4,85 b 2
b 1
0,707 2
b 6,859 b 6,859
37. ATURAN COSINUS
C Lihat ACD
b BD = AB – AD
a AD
cos A BD = c – b cos A
AC
D B
A AD = AC cos A
c
AD = b cos A
Lihat ACD Lihat BDC
CD 2 AC 2 AD 2 CD 2 BC 2 BD 2
b b cos A a c b cos A
2 2 2 2
CD2 b 2 b 2 cos 2 A a 2 (c 2 2bc cos A b 2 cos 2 A)
CD2 a 2 c 2 2bc cos A b 2 cos 2 A
38. CD2 = CD2
a c 2bc cos A b cos A b b cos A
2 2 2 2 2 2 2
a b c 2bc. cos A
2 2 2
Rumus untuk mencari sisi :
a b c 2bc. cos A
2 2 2
b a c 2ac. cos B
2 2 2
c a b 2ab. cos C
2 2 2
39. Untuk mencari besarnya sudut :
b c a
2 2 2
cos A
2bc
a c b2 2 2
cos B
2ac
a b c2 2 2
cos C
2ab
40. Contoh 1:
Diketahui segitiga ABC dengan a = 6 cm, b = 4 cm dan
C 1200 Hitunglah panjang c.
Jawab :
A
c a b 2ab. cos C
2 2 2
c
b=4
1200 c 6 4 2.6.4. cos120
2 2 2 0
B
C a=6 1
c 36 16 2.6.4.
2
2
c 76
2
c 76 c 2 19
41. 2. Dalam segitiga ABC diketahui C 600 panjang
sisi b = 6 cm, panjang sisi c = 2 13 cm
Tentukan panjang sisi a.
C c a b 2.a.b. cos C
2 2 2
b=6
600 ?
2 13 a
2 2
6 2.a.6. cos 60
2 0
1
B 52 a 36 12a
2
A c 2 13 2
52 a 36 6a
2
a 6a 16 0
2
a 8a 2 0
a 8 a 2
42. 3. Sebuah segitiga KLM dengan panjang sisi KL = 12 cm
panjang sisi KM = 10 cm dan panjang sisi LM =2 31 cm
Tentukan besar sudut K
l 2 m2 k 2
M cos K
2.l.m
10 2 31
10 2 12 2 (2 31) 2
cos K
12 L 2.10.12
K 100 144 124
cos K
240
120 1
cos K
240 2
K 60 0
43. FORMULA OF RELATED ANGLE
TRIGONOMETRIC RATIOS
( RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI )
A. ANGLE WITH 900
'
B ' X ' ,Y ' Y=X
A x'
y'
r
900 B(X,Y)
r
y
O C X
A
44. x
sin sin
y
r r
y
cos cos
x
r r
x
tan tan
y
y
x
Relasi di kwadran I
sin 90 cos
0
cos 90 0
sin
tan 90 0
cot
45. y
y
sin y
sin
r r
x
cos cos
x
r r
y
tan tan
y
x
B x
r r
y y
-x o x A x
-y r -y
r
y
y sin
sin r
r
x
cos
x cos
r r
y
tan
y tan
x x
46. Relasi di kwadran II
sin 180 sin
0
cos 180 0
cos Relasi dikwadrat IV
tan 1800
tan
sin 360 sin
0
cos 360 0
cos
tan 360 tan
Relasi dikwadran III 0
sin 180 sin
0
cos 180 0
cos
tan 1800
tan
47. x
sin
r y
y sin
cos -x r
r x
x cos
tan r
y r y
y tan
x
r
y
x
x
sin
r
sin
x
cos
y r -y
r
r y
cos
x x r
tan
y y x x
-x tan
y
48. Relasi dikwadran II :
sin 90 cos
0
cos 90 0
sin Relasi dikwadran IV :
tan 90 0
cot 0
sin 270 cos
Relasi dikwadran III : cos 270 0
sin
sin 270 cos
0
tan 270 0
cot
cos 270 0
sin
tan 270 0
cot