06 - Variables aleatorias conjuntas
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Notes de l'éditeur
- For $Sigma=mathrm{E} left[ left( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}] ight) left( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}] ight)^ op ight]$ and $mu = mathrm{E}( extbf{X})$, where $X$ is a random $p$-dimensional variable and $Y$ a random ''q''-dimensional variable, the following basic properties apply: egin{itemize} item $ Sigma = mathrm{E}(mathbf{X X^ op}) - mathbf{mu}mathbf{mu^ op} $ item $ Sigma ,$ is [[Positive-definite_matrixitemNegative-definite.2C_semidefinite_and_indefinite_matrices|positive semi-definite]] item $ operatorname{var}(mathbf{A X} + mathbf{a}) = mathbf{A}, operatorname{var}(mathbf{X}), mathbf{A^ op} $ item $ operatorname{cov}(mathbf{X},mathbf{Y}) = operatorname{cov}(mathbf{Y},mathbf{X})^ op$ egin{itemize} item $ operatorname{cov}(mathbf{X}_1 + mathbf{X}_2,mathbf{Y}) = operatorname{cov}(mathbf{X}_1,mathbf{Y}) + operatorname{cov}(mathbf{X}_2, mathbf{Y})$ item If $p$ = $q$, then $operatorname{var}(mathbf{X} + mathbf{Y}) = operatorname{var}(mathbf{X}) + operatorname{cov}(mathbf{X},mathbf{Y}) + operatorname{cov}(mathbf{Y}, mathbf{X}) + operatorname{var}(mathbf{Y})$ item $operatorname{cov}(mathbf{AX}, mathbf{B}^ opmathbf{Y}) = mathbf{A}, operatorname{cov}(mathbf{X}, mathbf{Y}) ,mathbf{B}$ item If $mathbf{X}$ and $mathbf{Y}$ are independent, then $operatorname{cov}(mathbf{X}, mathbf{Y}) = 0$ end{itemize} where $mathbf{X}, mathbf{X}_1$ and $mathbf{X}_2$ are random $p imes 1$ vectors, $mathbf{Y}$ is a random $q imes 1$ vector, $mathbf{a}$ is $q imes1$ vector, $mathbf{A}$ and $mathbf{B}$ are $q imes p$ matrices.
- fXY:3-x-y; ux:integrate(integrate(x*fXY,y,0,x),x,0,1); uy:integrate(integrate(y*fXY,y,0,x),x,0,1); covar:integrate(integrate((x-ux)*(y-uy)*fXY,y,0,x),x,0,1); sx:sqrt(integrate(integrate((x-ux)^2*fXY,y,0,x),x,0,1)); sy:sqrt(integrate(integrate((y-uy)^2*fXY,y,0,x),x,0,1)); corrcoef:covar/(sx*sy);
- Hablar que ese ½ es Cholesky
- N = 50; mux = 1; muy = 8; sx = 1; sy = 0.6; rxy = -0.9; mu = [mux muy]; Sigma = [sx^2 rxy*sx*sy; rxy*sx*sy sy^2]; [X1,X2] = meshgrid(linspace(-3,4,N)', linspace(6,10,N)'); X = [X1(:) X2(:)]; figure p = mvnpdf(X, mu, Sigma); mesh(X1,X2,reshape(p,N,N)); axis tight xlabel('Eje X','FontSize',15) ylabel('Eje Y','FontSize',15) title('FDP normal bivariada con parámetros mu_X = 1, mu_Y = 8, sigma_X = 1, sigma_Y = 0.6, ho_{XY} = -0.9','FontSize',15);
- N = 50; mux = 1; muy = 8; sx = 1; sy = 0.6; [X1,X2] = meshgrid(linspace(-3,4,N)', linspace(6,10,N)'); X = [X1(:) X2(:)]; mu = [mux muy]; figure subplot(1,3,1); rxy = -0.9; Sigma = [sx^2 rxy*sx*sy; rxy*sx*sy sy^2]; p = mvnpdf(X, mu, Sigma); contour(X1,X2,reshape(p,N,N),20); axis tight xlabel('Eje X, ho_{XY} = -0.9','FontSize',15) ylabel('Eje Y','FontSize',15) axis tight subplot(1,3,2); rxy = 0.0; Sigma = [sx^2 rxy*sx*sy; rxy*sx*sy sy^2]; p = mvnpdf(X, mu, Sigma); contour(X1,X2,reshape(p,N,N),20); axis tight xlabel({' ho_{XY} = 0','Eje X'},'FontSize',15) axis tight title('FDP normal bivariada con parámetros mu_X = 1, mu_Y = 8, sigma_X = 1, sigma_Y = 0.6','FontSize',15); subplot(1,3,3); rxy = 0.9; Sigma = [sx^2 rxy*sx*sy; rxy*sx*sy sy^2]; p = mvnpdf(X, mu, Sigma); contour(X1,X2,reshape(p,N,N),20); axis tight xlabel(' ho_{XY} = +0.9','FontSize',15) axis tight
- N = 50; mux = 1; muy = 8; sx = 1; sy = 0.6; [X1,X2] = meshgrid(linspace(-3,4,N)', linspace(6,10,N)'); X = [X1(:) X2(:)]; mu = [mux muy]; rxy = -0.9; Sigma = [sx^2 rxy*sx*sy; rxy*sx*sy sy^2]; figure p = mvncdf(X, mu, Sigma); mesh(X1,X2,reshape(p,N,N)); title({'FDA normal bivariada con parámetros','mu_X = 1, mu_Y = 8, sigma_X = 1, sigma_Y = 0.6, ho = -0.9'},'FontSize',15); xlabel('Eje X','FontSize',15) ylabel('Eje Y','FontSize',15) %view(90,0) % x1 %view(0,0) % x2