гдз геометрия 8 класс бурда тарасенкова

1. [EIKIPII
ДО підручника
М . I. Бурди,
H . A . Тарасенкової
w
w
w
.4book.org

2. РОЗДІЛ 1
1. Ч о т и р и к у т н и к о м ABCD є ф ігу р а на
м а л. 14.
2.M N K P — ч от и р и к ут н и к .
N
§1
1) Протилежні сторони: M N і РК; N K і
М Р. Протилежні вершини: М ІК , N і Р.
Протилежні кути: A M і ZK , Z N і ZP.
2) Сусідні сторони: M N і NK; M N і М Р;
М Р і РК; N K і KP. Сусідні вершини: М
i N ; M iP ; N iK ; K iP . Сусідні кути: ZM
і ZP; Z M і ZN ; Z N і ZK ; Z K iZ P .
3) Діагоналі: М К і NP.
3.1)і" = 1+ 3 +4 + 6 = 14(см);
2 )Р = 5 + 7 + 9 + 10 = 31(см);
3 )Р = 12 + 10 + 8 + 4 = 34 (мм).
4.Градусну міру кутів чотирикутни­
ка на мал. 16 вказано неправильно, бо
сума кутів чотирикутника дорівнює
360°, а сума кутів чотирикутника на
мал. 16 не дорівнює 360°: 95° + 90° +
+ 100°+ 60° = 345°.
На мал. 17 градусна міра кутів ука­
зана правильно, бо 60° + 120° + 60° +
+ 120° = 360°.
5.Зовнішні кути чотирикутника M N PK
при вершині: V)N — ZENF; 2)М — ZAMC;
Z )K — ZDKB.
І.
а 8 CM 10 CM 5 CM 23 CM 14 CM
Ь 12 см 25 CM 13 CM 27 CM 16 CM
с 16 CM 30 CM 25 CM 30 CM 20 CM
d 18 CM 25 CM 17 CM 35 CM 24 CM
Р 54 CM 90 CM 60 CM 115 c m 74 CM
7.1) JC CM — м е н ш а с т о р о н а ч о т и р и к у т н и ­
к а ; 2х — т р и і н ш і с т о р о н и ч о т и р и к у т н и ­
ка; Р = л: -і-2д: -і-2ж-н2х = їх ; 1х = Ы 0 ;х =
= 20 ( c m ) — менша сторона чотирикут­
ника; 20 X 2 = 40 (ом) — три інші сторо­
ни; 20 см; 40 см; 40 ом; 40 см — сторони
чотирикутника;
2) д; см — менша сторона чотирикутни­
ка; Зх см — три інші сторони; х + Зх +
+ 3х + 3х=140;1 0 х=1 4 0 ;х=1 4 (см) —
менша сторона; 14 х З = 42 (см) — три
інші сторони; 14 см; 42 см; 42 см;
42 см — сторони чотирикутника;
3) л см — менша сторона чотирикут­
ника; 9* см — інші сторони чотири­
кутника; х + 9х+ 9х+ 9 х - 140; 28х =
- 140; х = 5 (см )— менша сторона; 5х
X 9 = 45 (см) — інші сторони чотирикут­
ника; 5 см; 45 см; 45 см; 45 см — сторо­
ни чотирикутника.
8.1) Так, може, бо для кожної сторони ви­
конується умова: сторона чотирикутни­
ка менша за суму трьох інших сторін.
2) Ні, не може, бо 10 = 2 -І-З-н5 (не вико­
нується умова, тому що сторона менша
за суму трьох інших сторін).
3) Ні, не може, бо18>6-(-5-(-6 (не вико­
нується умова, тому що сторона менша
за суму трьох інших сторін).
9.Мал. 19:
ZA = ZD = ZC = (360° - 60°): З = 100°;
Мал. 20:
ZB = ZD = (360° - 90° - 70°): 2 = 100°;
Мал. 21:
ZC = 360° - (120° + 90° + 90°) = 60°.
10. 1) 360° - (1 0 0 ° -I- 60° -I- 5 0 °) =
= 150° — четвертий кут чотирикутни­
ка; 2) 360° - (120° -н80° -н100°) = 60° —
четвертий кут чотирикутника; 3) 360° -
- (70° -н130° + 90°) = 70° — четвертий кут
чотирикутника.
11. 1) 55°-н75°-І-100° 4-80° = 310°, тому
кути чотирикутника не можуть дорівню­
вати 55°, 75°, 100°, 80°;
2) 160° -І- 95° + 45° 60° = 360°, кути чо­
тирикутника можуть дорівнювати 160°,
95°, 45°, 60°; 3)145°-ь 85°+ 70°+ 65 =
= 265°, тому кути чотирикутника не мо­
жуть дорівнювати 145°, 85°, 70°, 65°.
12. 1)ге°+2л° + 3л° + 4л° = 360°; 10п° =
w
w
w
.4book.org

3. p r
S 360°; n° = 36“; ZA = 36°; ZB = 72°; ZC =
*108°; ZD = 144°;
2 )n - 30° + n - 20° + n - 10° + n = 360°;
4я= 420°; n= 105°: Z A = 105°- 30° =
=75°; 105° - 20° = 85°; ZC= 105°-
_10° = 95°;Z2)=105°;
3)7t+ 10°+ Л+ 20°+ Л+ 30+ n= 360°;
4rt= 300°; ra= 75°; ZA = 75°+ 10°= 85°;
^ B = 75°+ 20°= 95°; Z.C= 75°+ 30° =
= 105°; ZD = 75°; 4 )n + 2n+ n+ 5n =
= 360°; 9л = 360°; n = 40°; ZA = 40°; ZB =
= 80°; /ІС= 40°; ZJD= 200°.
13. Усі кути чотирикутника не можуть
бути тупими, оскільки градусна міра ту­
пого кута більша за 90°, тому сума всіх
кутів чотирикутника буде більшою за
360°, а цього бути не може.
14. Сума кутів чотирикутника дорівнює
860°, якщо кути рівні, то градусна міра
кожного кута дорівнює 360° : 4 = 90°.
15. ^1 + ^2 = 90° + 90° = 180°(сумадвох
прямих кутів). Тоді Z3 + Z 4 = 360° -180° =
=180°.
16. Z 1=Z 2 = Z3 = 90°;Z4 = 360° = (Z1 +
+Z2 + Z3) = 360° - (90° + 90° + 90°) = 90°;
четвертий кут також прямий.
17. 1) ZC = 75°; 180° - 75° = 105° - зов­
нішній кут при вершині с чотирикутни­
каABCD;
2)Z C = 360°- (90°+ 90°+ 90°) =
= 90°; 180° - 90° = 90° — зовнішній кут
при вершині с чотирикутникаABCZ);
3)Z C = 360°- (110°+ 111°+ 60°)= 80°;
180°- 80°= 100°— зовнішній кут при
вершині С чотирикутника ASCi?.
18. хсм — довжина першої сторони, тоді
(х - 8) CM— друга сторона; (х + 8) см —
третя сторона; ( і - 8) х З см — четверта
сторона.
За умовою: і + ^с-8 + д:+ 8 + (д :-8 )х З =
= 66; Зх + З х-2 4 = 66; 6х = 90; і = 15;
15 см — перша сторона: 1 5 -8 = 7 см —
друга сторона; 15+ 8= 23 см — третя
сторона; 7 х 3 = 21 см — четверта сто­
рона.
Відповідь: 15 см; 7 см; 23 см; 21 см.
19. 9x3-27 см— другасторона; 27-8 =
= 19см — третя сторона; 19- 10 = 9 см —
четверта сторона; Р = 9 + 2 7 + 1 9 + 9 =
= 64 (см).
20. 1)Неможе. Якщо Р = 90 см, тоді 90-
-(10 + 15 + 20) = 45см— четверта сторона
чотирикутника, але 45 = 10 + 15 + 20. Та­
кого чотирикутника не можу бути.
2) Може. Якщо Р = 72 см, тоді 72-(10 +
+ 15+ 20)= 27 см — четверта сторона;
27<10+15 + 20.
3) Не може. Якщо Р = 115 см, тоді 115 -
- (10 + 15 + 20) = 70 см — четверта сто­
рона чотирикутника; 70 > 10+ 15+ 20.
Такого чотирикутника не може бути.
21. ABCD — чотирикутник;
АС — діагональ; АС <АВ + ВС (з ДАВС);
АС < CD + AD (з &ACD), тоді АС + АС <
AB + B C +C D + A D ;2 A C < P ; А С к ^ Р ,
тобто діагональ менша, ніж півпе-
риметр. Ангиіогічно доведемо, що
BD < ^ P f розглянувши ДАВ!) і ACBD.
22. ABCD — чотирикутник.
В
ТО ДІ
AC + B D < -P + - P .
2 2
AboAC + B D < P .
23. äABD= л е в о (за II ознакою рівності
трикутників); BD —спільна CTopoHa;ZABÖ =
= Z.CBD-, ZADB = ZCDB (за умовою).
З рівності трикутників маємо: AB = СВ
iA D = CD.
w
w
w
.4book.org

4. 24. AB = ВС; AD = CD (за умовою).
В
BD — спільна сторона AABD і ACBD.
Звідси AABD = ACBD.
З рівності трикутників маємо ZABD =
= ZCBD. АС і BD перетинаються в
т. О.
ДАВО= ДСВО (І ознака); А В = СВ (за
умовою); ZABD = ZCBO (доведено
вище); ВО — спільна сторона. З рів­
ності ААВО і АСВО: ZAOB = ZCOB, але
ZAOB+ ZCOB= 180° (суміжні кути).
Звідси ZAOB = 90°, Z.COB = 90°. Тобто
АС 1 BD.
25. 1) Нехай кути чотирикутника: х; 2х;
Зд:; 4х, тоді x + 2x + Sx + 4x = 360°; 10л: =
= 360°; X = 360° : 10; л:= 36°; Z1 = 36°; Z2 =
= 2 X 36° = 72°; Z3 = З X 36° = 108°; Z4 =
= 4x36° = 144°;
2)Z1= х; Z2= 2х; Z3= 4х; Z4= 5х; х +
+ 2х + 4х+5х= 360°; 12х= 360°; і = 360° :
: 12; х = 30°; Z1 = 30°; Z2 = 2х 30° = 60°;
Z3 = 4X 30° = 120°; Z4 = 5х 30° = 150°;
3) Z1 = 4х; Z2 = 6х; Z3 = 12х; Z4 = 14л:;
4х+ 6х+ 12х+ 14х= 360°; 36д:= 360°;
л: = 360° : 36; X = 10°; Z1 = 4 х 10° = 40°;
Z2 = 6 X 10°= 60°; Z3 = 12 X 10° = 120°;
Z4 = 14x 10° = 140°.
26. 1) Найбільша кількість тупих кутів
дорівнює 3.
А
4) Найбільша кількість прямих кутів
дорівнює 4.
м
■'90° 90°'-
1^0°
90°
N
3) Найбільша кількість гострих кутів
дорівнює З (мал. 3).
27. 1) Не можна, бо сума кутів чотири­
кутника буде більша, ніж 360°.
2) Один з кутів чотирикутника не може
дорівнювати сумі трьох інших, бо тоді
цей кут дорівнював би 180°, а це немож­
ливо.
28. У чотирикутнику ABCÖ: ZA -І-ZB =
= 180°;
бісектри-BN — бісектриса Zß; AN ■
ca ZA.
Тоді ZNBA = ZB-, Z N AB = - ZA.
2 1 2 .
Звідси Z.NBA -ьZ N AB = і ZB -hі ZA =
2 2
= i(Z ß + ZA) = і X180° = 90°.
^ А
У ДВЛГА: ZB N A = 180°- (ZNBA +
Z N AB) = 180° - 90° = 90°.
29. 1)38°; 158°; 44° — три кута чотири­
кутника, тоді четвертий кут дорівнює
360° - (38° -І-158° -І-44°) = 120°.
Зовнішні кути дорівнюють: 180° - 38° =
= 142°; 180°- 158°= 22°; 180°- 44° =
= 136; 180°-120° = 60°.
2) 50°; 150°; 65° — три кути чотирикут­
ника; 360° - (50° -І-150° 65°) =) 95°.
w
w
w
.4book.org

5. Зовнішні кути дорівнюють: 130°; 30°;
115°: 85°.
8) 49°; 145°; 91° — три кути чотирикут-
0яка; 75° — четвертий кут.
Зовнішні кути: 131°; 35°; 89°; 105°.
3Q, Z1, ^2, Z3, Z4 — кути чотирикут-
яика;^1 + Z2 + Z3 + Z4 = 360°.
Зовнішні кути чотирикутника дорів­
нюють: 180° - Z1; 180° - Z2; 180° - Z3;
180°-Z 4 .
Сума зовнішніх кутів чотирикутника,
взятих по одному біля кожної верши­
не, дорівнює
180° - ^1 -н180° - Z 2-І-180° - Z3 180° -
_ ^ 4 = 180° X 4 - (Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z4) =
«720°-360° = 360°.
31. 1) 120° +8 0 °-ь59°-І-101° = 360°.
Отже, такий чотирикутник існує.
2) 49°+98°-ь68° +125° =340° 360°.
Отже, такого чотирикутника не існує.
S) 100° + 55° -І-160° -ь45° = 360°.
Отже, такий чотирикутник існує.
32. Сума кутів чотирикутника дорів­
нює 360°.
Сума всіх зовнішніх кутів чотирикут­
ника дорівнює 720°.
Отже, сума зовнішніх кутів чотирикут­
ника удвічі більша за суму всіх кутів
чотирикутника.
33. Мал. 23
ZBAD = 180° - 70° = 110°; ZCDA = 180° -
- 60°= 120°; ZABC+ ZDCB= 360°-
-(110°-І-120°) = 130°;
ZNBA + ZNAB = - Z B + - Z A =
2 2
= (Z B + ZA) = і X180° = 90°.
2 2
a = ZBOC= 180°- (ZOBCOCB)= 180°-
-65° = 115°.
Мал. 24
ZBCD= 180°- 60°= 120°; Z B + ZD =
= 360°-(80°+120°° = 160°;
0 = 360°- ZC + - (Z B + ZD )
2
= 3 6 0 ° -
-^120° + |xl60°j = 3 6 0 ° - 2 0 0 ° = 1 6 0 °.
Мал. 2 5
ZC = ( 3 6 0 ° - 1 2 0 ° ): 3 = 8 0 °;
а = 1 8 0 ° - 8 0 ° = 1 0 0 ° .
ZAM B = 1S0'‘ - - Z A - - Z B =
2 2
= 1 8 0 °-i(Z A + ZB).
^ 1
ЗДСЛГГ): ZCND = 1 80°-^{ZC + ZD).
36. 3 A A B M :
37. Зовнішній кут при вершиніЛ дорів­
нює 1 8 0 ° — ZA.
Зовнішній кут при вершині в дорівнює
1 8 0 ° — ZB.
A N — бісектриса зовнішнього кута при
вершині А.
BN — бісектриса зовнішнього кута при
вершині В.
ЗДАЛГВ:
ZANB = 1 8 0 ° - і (1 8 0 ° - Z A )-
- | ( 1 8 0 ° - Z B ) = 1 8 0 ° - 9 0 ° +
+ i z A - 9 0 ° + i z B = 1 8 0 ° - 9 0 ° +
2 2
+ 4 z A -9 0 °+ 4 z B = 4 z A + 4 z B.
І
ПІ
S
X
т
а
се
З
ос
О
Аналогічно, розглядаючи iiDCP, має­
мо: ZDPC = - Z C + -ZD
2 2
ZANB + ZDPC = zA--)-ZB + zC-^
2 2 А
■-zD = (Z A + ZB + ZC + Z D ) =
2 2
= і 3 6 0 ° = 1 8 0 °.
2
Отже. ZAT + Z P = 1 8 0 °.
Аналогічно Z M + Z K = 1 8 0 °. n
w
w
w
.4book.org

6. 38. Дві сторони чотирикутника і діаго­
наль утворюють трикутник.
Побудуємо AD = а.
Коло з центромА, радіусом Ьперетне коло
з центром D, радіусом d, вт. В. З’єднаємо
точкиЛ і В, D i В. Коло з центром В, радіу­
сом с перетне коло з центром D, радіусом
d вт. С. З’єднаємо точки B iC ,D iC .
ABCD — шуканий чотирикутник.
39. Кут чотирикутника і дві його сторо­
ни утворюють трикутник.
А d
Побудуємо трикутник за двома сторо­
нами і кутом між ними.
1. Побудуємо кут а.
2. На одній стороні відкладемо відрізок
е, на другій відрізок d. AB = с; AC = d.
3. Коло з центром В, радіусом BD пе­
ретне коло з центром С, радіусом CD в
т. D. ABDC — шуканий чотирикутник.
40. Дві сторони і діагональ чотирикут­
ника утворюють трикутник.
dl
da
Побудуємо трикутник за трьома сторо­
нами: а, Ь, d. Сторони Ь, с і діагональ d^
також утворюють трикутник. Побудує­
мо трикутник за сторонами Ь, с, d^.
Сторона Ь побудована. З кінця сторо­
ни ft, протилежній стороні dj (у побу­
дованому трикутнику) проведемо коло
з радіусом dj, з іншого кінця коло, ра
діусом с. Перетин цих кіл дасть четвер­
ту вершину чотирикутника. З’єднаємо
вершини. Чотирикутник побудовано.
42. Мал. 33
Градусні міри кутів вказано непра­
вильно, бо протилежні кути у пара­
лелограма рівні, а на малюнку ZA^
*Z C .
Мал. 34
Довжини сторін вказано неправильно,
бо протилежні сторони паралелограма
рівні, а на малюнку АВ ^ CD.
43. Протилежні сторони паралелогра­
ма рівні, тому
PK = M N = a ;M K = N P = b.
1 )Р К = 5см; М К = 10см; 2 )Р К =
= 1,2 дм; М К = 0,4 дм.
N Ь Р
§ 2
М К
44. Протилежні кути паралелограма
рівні.
ZADC = ZABC = а; ZBAD = ZBCD = ß.
1)ZADC= 120°; ZBAD=60°; 2)ZADC =
= 45“; ZßAD = 135°; 3) ZADC = ZBAD =
= 90°. В С
А D
45. На мал. 35довжини відрізківдіагона­
лей паралелограма вказано неправильно,
бодіагоналі паралелограматочкоюперети­
ну діляться навпіл, а на мал. 35 діагоналі
точкою перетину поділить не навпіл.
46. 1)ОС = А О = 6 см ; OD = OB = 3 c m ;
2) АС =АО + ОС = 6+ 6 = 12 c m ; BD = ВО +
-нDO = З З= 6 см; 3) AD = ВС = 8 см; Z)C =
= AB = 5 см.
47.
ZA 35° 40° 75° 116°
ZB 145° 140° 105° 64°
ZC 35° 40° 75° 116°
ZD 145° 140° 105° 64°
48. 1) Не може, бо протилежні кути
рівні, а сусідні в сумі дають 180°; 30° *
60°; 30°-н60° 5t 180°;
2) Може, бо 55° + 125° = 180°. Отже, 55°
w
w
w
.4book.org

7. i r
і 125° — сусідні кути паралелограма;
3)Не може, бо 1 1 6°123° і 116°+ 123°
Ф180°.
49. 1) Не може, бо сусідні кути в сумі
дають 180°. Якщо один кут гострий, то
другий кут тупий. 2) Не може. Четвертий
кут повинен бути рівний одному з трьох
кутів. 3) Не може. Протилежні кути рів­
ні. Якщо один кут тупий, то протилеж­
ний йому кут теж тупий.
50. Мал. 37:
/ З = 180° - (25° -t-20») = 135°; ^D = /.B =
S 135°: ZA = = 180° - 135° = 45°.
Мал. 38:
^ = 30°-(-20° = 50°; ZC = ZA = 50°: ZB =
= ZD =180°-50° = 130°.
Мал. 39:
ZA = 90° - 30° = 60° (з ААВМУ, ZC = ZA =
. 60°; Z.B = ZD = 180° - 60° = 120°.
51. 1) Оскільки кути нерівні, TO мова
йдеться про сусідні кути.
Нехай Z1 = X, тоді Z2 = Зх; х + Зх =
т 180°; 4х= 180°; л:= 45°; Z1 = Z3 =
.45°; Z2 = Z4 = 3x45° = 135°.
2) Мова йде про сусідні кути.
Z l = * , Z2= о:-!- 50°; х + х + 50°= 180°;
2х= 130°; х = 65°; Z l= Z3= 65°; Z2 =
-Z 4 = 65° + 50° = 115°.
3) Дані кути не сусідні, протилежні, бо
сума сусідніх кутів 180°.
Тому Z1+ Z3= 120°; Z l= Z3= 120°:
: 2 = 60°; Z2 = Z4 = 180° - 60° = 120°.
4) Кут паралелограма при цій же вер­
шині Z I = 180° = 140° = 40°.
Z2= 180°- 40°= 140°; Z3= Z I = 40°;
Z4 = Z2=140°.
52. ABCD — паралелограм.
Л М — бісектриса ZA. ZM AD = a.
В M C
А D
Тоді ZA = ZC = 2a; ZB = ZD = 180° - 2a.
1)Якщо a = 29°, TO ZA = ZC = 2 X 29° =
= 58“; Z B = Z D = 180°- 58°= 122°.
2) Якщо a= 34°, то ZA = ZC= 2 x 34° =
=•68°; Z ß = ZZ)= 180°- 68°= 112°.
3)Якщо a = 45°, то Z A = ZC= 2 x 45° =
= 90“; Zß = ZZ) = 180° - 90° = 90°.
53. H e може, бо протилежні сторони па­
ралелограма рівні. Четверта сторона па­
ралелограма протилежна одній з трьох
сторін, а тому рівна одній з трьох сторін.
Отже, якщо три сторони рівні, то четвер­
та сторона також їм рівна.
54. 1) л: см — одна сторона; (х -н3) см —
друга сторона; Р =(х-і-д:+ 3)х2;(2д:-і-3)х2 =
= 48; 2х + З= 24; 2 х=2 1 х= 10,5 (см);
10,5x3 = 13,5 (см).
Відповідь: 10,5 см; 13,5 см; 10,5 см;
13,5 см.
2) д: см — менша сторона; 7х см — біль­
ша сторона; (х + 7х) х 2 = 48; 8х = 24; х =
= 3см; 7x = 7x3 = 21 (см).
Відповідь: З см; 21 см; З см; 21 см.
3) д:см — одна сторона; (х -ь 7) см — дру­
га сторона; {х+ дс-н 7)х 2= 8; 2х+ 7=
= 24; 2х= 17; х= 8,5(см); х-(- 7= 8,5+ 7=
= 15,5 (см).
Відповідь: 8,5 см; 15,5 см; 8,5 см; 15,5 см.
55. Мал. 40
AB = 4 CM(з ДАВІГ); CD =АВ = 4 см; AD =
=AK-+ Ä-D = 2 + 4 = 6 см; ßC =AD = 6 CM .
Мал. 41
З AABJC, у якому ZABK= 30°: Aß= 2х
AS:= 2х 5= 10см; CD = AB= 10см; AD =
AK + KD = 5+ 5=10cm;BC = AD = 1 0 c m .
Мал. 42
З AABK прямокутного: AB = 2 x KB
(властивість катета, що лежить навпро­
ти кута 30°).
AB = 2 X З= 6 см; DC = AB = 6 см; ZC =
= ZA = 30°.
З ABDC: ВС = 2 X ßD = 2 X 3,4 = 6,8 (см);
AD = ßC = 6 ,8 ( c m ).
56. ABCD — паралелограм. AC — діаго­
наль, розбиває паралелограм на два три­
кутники: AAßC і ACDA.
В С
А D
ВС = DA; AB = CD (протилежні сторони
паралелограма). АС — спільна сторона.
ДАЙС = ACDA (ІП ознака).
57. Дві сусідні сторони і діагональ пара­
лелограма утворюють трикутник. Сторо­
ни паралелограма З см і 5 см.
w
w
w
.4book.org

8. 1) Діагональ не може дорівнювати
10 см, бо трикутника зі сторонами Зсм,
5 см і 10 см не існує:
10>3 + 5.
2) Діагональ не може дорівнювати 8 см,
бо трикутника зі стоіюнами Зсм, 5 см і
8 см не існує:
8 = 3+ 5.
3) Діагональ може дорівнювати 4 см, бо
трикутник зі сторонами Зсм, 5 смі 4 см
існує:
5<3 + 4;4<3 + 5;3<5 + 4.
58. Відрізки, які дорівнюють половиш
діагоналей і стороні, утворюютьтрикут­
ник.
А D
1) Паралелограм з діагоналями 4 см,
10см і стороною 6 см існує, бо існує
трикутникзі сторонами: 2см, 5 см, 6 см
(6<2 + 5).
2) Паралелограма з діагоналями 8 см,
10см і стороною 9 см не існує, бо не іс­
нує трикутника із сторонами 4 см, 5 см,
9 см (9 = 4-н5).
3) Паралелограма з діагоналями 8 см,
10см і стороною 10 см не існує, бо не іс­
нує трикутника із сторонами 4 см, 5 см,
10 см(10 > 4 + 5).
59. ABCD — паралелограм.
В М С
А К
Р — внутрішня точка.
P M 1 B C ;P K L A D .
РК і Р М лежать на одній прямій, Р М +
Р К = Л, (висота, проведена до сторінAD
іВС).
PN І.АВ-,РЕХ. DC; Р М і РЕ лежать на
одній прямій P N + РЕ = Aj (висота, про­
ведена до сторінAB і CD).
Р М + Р К + P N + Р Е = h^+ Л,, де Л, і
Aj — висоти паралелограма, прове­
дені з однієї вершини до сторін пара­
лелограма.
60. Можна побудувати три паралелог­
рама: ВАМС-, АСРВ; ABCN.
61. 1) Нехай Z l = 2 x , Z 2 = 3^:.
Z1 і Z2 нерівні, тому вони сусідні.
Z1 + Z2 = 180°; 2x-^Zx = 180°; Ьх = 180°;
х= 180°: 5; х = 36°; /Г1= 2х 36°= 72°;
Z2 = ЗX 36° = 108°; Z3 — протилежний
Z1; Z3= 72°; Z4 — протилежний Z2;
Z4 = 108°.
2) Z1 = 4ж; Z2 = Ьх; Z1 і Z2 — сусідні.
4х+5 х= 180°; 9х= 180°; х= 20°; Z1 =
= 4 X 20° = 80°; Z3 — протилежний Z1;
Z3 = 80°;
Z2 = 5 X 20° = 100°; Z4 — протилежний
Z2;Z4 = 100°.
3) Z1 = Зл; Z2 = 7х; Z1 і Z2 — сусідні.
Зх-ь 7л= 180°; 10х= 180°; х = 18°; Z l =
= ЗX 18° = 54°; Z3 — протилежний Z1;
Z3 = 54°; Z2 = 7 X 18° = 126°; Z4 — про­
тилежний Z2; Z4 = 126°.
62. ^ с
А D
1 ) Т у п и й к у т п а р а л е л о г р а м а д о р і в н ю є
с у м і д в о х г о с т р и х к у т і в . х° — г о с т р и й
к у т , т о д і 2х° — т у п и й к у т .
х°+ 2х°= 1 8 0 °; 2х= 1 8 0 °; х = 6 0 °; Z A =
= ZC = 6 0 °; Z B = ZZ) = 6 0 ° X 2 = 1 2 0 °.
2 ) Т у п и й к у т у 4 р а з и б і л ь ш и й з а с у м у
д в о х г о с т р и й к у т і в . х° — г о с т р и й к у т ,
т о д і 4 X (х° + х°) = 8х° — т у п и й к у т .
х° + 8 х ° = 1 8 0 °; 9 х ° = 1 8 0 °; х = 2 0 °;
ZA = ZC = 2 0 ° — г о с т р і к у т и ; ZB = ZD =
= 1 8 0 ° - 2 0 ° = 1 6 0 ° — т у п і к у т и .
3 ) П о л о в и н а г о с т р о г о к у т а д о р і в н ю є
т р е т и н і т у п о г о к у т а . х° — г о с т р и й к у т ;
1 8 0 ° - х ° — т у п и й к у т .
і х = і ( 1 8 0 ° - х ) ; З ж = 2 ( 1 8 0 ° - х); Зх =
2 З
= 3 6 0 ° - 2х; 5х= 3 6 0 °; х= 7 2 ° — г о ­
с т р і к у т и п а р а л е л о г р а м а ; 1 8 0 ° - 7 2 ° =
1 0 8 ° — т у п і к у т и п а р а л е л о г р а м а .
w
w
w
.4book.org

9. 53. Мал. 43
A N D
/Х)= 120°; Z C = Z A = 180°- 120°= 60°;
120°; ZC B K = 9 0 °-6 0 °= 30°;
ZABN= 90°- 60°= 30°; ж= ZN B K =
= 120° - (ZABN + ZCBK) = 120° - (30° +
+ 30°) = 60°.
Мал. 44
В С
A D
ZCBO= ZODA= 30° (внутрішні різно-
сторонні при ВС IIAD і січній BD).
З ДВОС; ZBOC= 180°- (30°+ 20°) =
= 130°.
X = 180° -130° = 50° ( X і ZBOC — суміж­
ні).
Мал. 45
В С
A N D
У чотирикутникуЛГВІГІ): ZB = 60°; Z N =
= ZK = 90°; Z N + ZB + Z K + ZD = 360°.
Тому Z D = 360°- (Z N + Z B + Z K ) =
= 360°- (90°+ 60°+ 90°)= 120°; л: =
= 120°.
64. ABCD — паралелограм. ZB — ту­
пий. BN LA D ; BP ± CD; ZN B P = а.
В С
A N D
У чотирикутнику NBPD: Z N = Z P =
90°; ZB = а.
Z B + Z P + Z D ^ 360°; Z D = 360°-
(Z N + Z P + ZD ) = 360° - (90° + 90° a) =
180°- a .
^ B = Z D = 180°- a; ZA = ZC = 180°-
(180°-a) = a.
1) Якщо а = 35°, то Zß = ZD = 180° - а =
180° - 35° = 145°; ZA = ZC = 35°;
2) Якщо a = 45°, то ZB = ZD = 180° - a =
180° - 45° = 135°; ZA = ZC = a = 45°;
3) Якщо a = 89°, t o ZB = ZD = 180° - a =
180° - 89° = 91°; ZA = ZC = a = 89°.
65. ABCD — паралелограм. BK L A D ;
BP L CD. ZK B P — кут між висотами па-
рале лограма.
В С
А К D
Нехай ZA = а — гострий кут паралелог­
рама. Тоді Z S = 180°- а — тупий кут
паралелограма.
У чотирикутнику BPDK:
Z K = 90°; Z P = 90°; ZD = 180°- а;
ZK B P = 360° - (Z K + ZP + ZD) = 360° -
- (90° + 90° + 180° - a) = 360° - (360° -
-a )° = 360°-360° + a = a.
Отже, кут між висотами паралелогра­
ма дорівнює гострому куту паралело­
грама.
66. Z B = ZD; ZD = 84°; ZD = ZADB +
ZBDC-, ZADB = Z D - ZBDC = 84° - 68° =
16°; ZBCD = ZC = 180° - ZB = 180° - 84° =
96°. ^ в
D С
67. ABCD — паралелограм. BD — діаго­
наль; ß с
А D
B D = A B ;B D L A D .
AABD — прямокутний і рівнобедре-
ний, тому ZA= 45°, тоді ZB = 180°-
-45° = 135°.
ZC = ZA = 45°;ZD = ZB = 135°.
w
w
w
.4book.org

10. 68. ABCD — паралелограм. A ff — бісек­
триса ZA; BK — бісектриса ZB.
В С
А D
Нехай ZA = а, тоді ZB = 180° - а.
ZBAK = - Z A = -a-,
2 2
ZABK = і ZB = і (180° - а) = 90° - і а.
2 2 Ä
Z.K = 180° -(ZBAJi: + ZABK) =
= 180°- - а + 90° - і « ) = 90°;
ZßXA = 90°.
Тому ДАВЛГ — прямокутний.
69. ABCD — паралелограм. АЙГ, ВЛГ —
бісектриси кутів А і В. CM — бісектри­
са ZC. В С
A M D
Нехай ZA = а, тоді ZC = а, ZB =
= 180°- а .
ZBAK = ^ ; ZABK = ^(180’’ -а ).
З&АВК:
ZAKB = 180° ~{ZBAK + ZABK) =
= 180°-
= 180°
- ( І
-1-90°--
2
= 90°.
Отже, В К 1 А Х , тобто бісектриси кутів,
прилеглих до однієї сторони паралелог­
рама, перпендикулярні.
АК — бісектриса ZA, тому ZKAD =
СМ — бісектриса ZC, том ZM CD = —;
ZD = ZB = 180°-a. 2
3AMCD:
ZCM D = 180°- --І-180
2
ZKAD = ZCM D = —, а ці кути — від­
повідні до прямихТІіГ, СМ і січній AD.
Тому А К II СМ, тобто бісектриси проти­
лежних кутів паралелограма паралельні.
70. ABCD — паралелограм. В К — бі­
сектриса ZB.
В С
А К D
ВК перетинає AD під кутом ВКА;
ZBKA = ZBAK.
Оскільки ZCBK і ZAKB — внутрішні
різносторонні при ВС IIAD і січній ВК,
ToZCBK = ZBKA.
ВК — бісектриса ZB, тому ZABK =
= ZCBK = ZBKA.
Звідси: у ААВК усі кути рівні, тому ZA =
= 60°; ZC = ZA = 60°.
ZB = 180° - 60° = 120°; ZD = ZB = 120°.
71. Я кщ оВ К =а; КС = Ь,т:оВС = ВК +
+ КС = а + Ь.
ААВК — рівнобедрений, бо ZBAK =
= ZKAD (А К — бісектриса), а ZXAD =
= ZBKA (внутрішні різносторонні кути
при паралельних ВС, АС і січній AST).
Звідси ZBAK = ZBKA.
Оскільки ААВК— рівнобедрений, то
А В ^ В К ^ а .
Р = (AB + ВС) X 2 = (а+ а+ Ь)х 2= (2а +
+ Ь )х2 = 4а + 2Ь.
1)Якщо а= 14 см, 6= 17 см, то Р = 4a +
+2& =4xl4-^-2x7=70 (ом):
2) Якщо а = 2 см; &= З см, то Р = 4а -і-2й=
= 4 x2 + 2x3 = 14 (см).
72. Див. мал. 46 у підручнику.
ААВК — рівнобедрений (див. № 71).
1.AB = 6 C M , AD = 9 C M .
Якщо AB = 6 C M , то ВК = 6 см; ВС = AD
(протилежні сторони паралелограма);
ВС= В К + КС; 6-І- Л:С= 9; КС= 9 - 6 =
= З (см).
2. AB = 4 C M , тоді ВК =АВ = 4 см.
ВС = ВК + КС = 4+11 = 15 (см).
A D = ВС (протилежні сторони парале­
лограма). AD = 15 (см).
3. Нехай В К = Зх; КС= 4х, тоді ВК +
+ к е = ВС, а ВС = AD = 14 см, тому Зх +
+ 4х = 14; 7зс= 14; х = 2 (см).
w
w
w
.4book.org

11. Ході BK = 3 x 2 = 6 (см); КС = 4 х
X2 = 8 (см).
^АВК — рівнобедрений; AB = BK =
= 6 (см).
р = (AB + ВС) X 2 = (6 + 14) X 2 = 40 (см).
73.
А 'F D
1)BO=OD (О — середина діагоналі BD).
2вО Е= ZDOF (вертикальні). ZOBE =
=ZODF (внутрішнірізносторонніприВС |{
IIAD і січній BD). Звідси АВОЕ = ADOF (II
ознака рівності трикутників).
З рівності трикутників маємо:
а)OE = OF;
б) BE = DF.
АСОЕ= ^AOF (І ознака рівності три­
кутників). ОС = ОА (О — середина діа­
гоналі); ОЕ = OF (доведено в пункті а);
ZEOC = ZFOA (вертикальні).
З рівності трикутників:
я)СЕ=АЕ.
2) BE = 5 c m ; AF = 4 c m . AF = EC (доведе­
но вище), тому EC = 4 см.
BC = BE +EC = 5+4 = 9 (см).
A D = ВС (протилежні сторони парале­
лограма).
О т ж е , AD = 9 см, ВС = 9 см.
74. В М С
A N D
75. ABCD — паралелограм.
^ «сі.= 7см;РД^^=6см.
^ABCD= (Л В +В С ) X 2; (А В + В С )х 2=7;
A B -І-ВС = 3,5 (см).
•РД^с =АВ + ВС +АС; (AB + ВС) +АС = 6;
3,5 +АС = 6; АС = 6 - 3,5; АС = 2,5 (см).
В С
■»«* А D
fO. 1) AfJVIIВС (за умовою);АС — січна.
Тому ZN M A = ZBCA (відповідні кути).
За умовою ААВС — рівнобедрений,тому
ZBCA =ZBAC. Оскільки ZiVAfA =ZBCA,
то ZN M A = ZBAC. Звідси: AANM — рів­
нобедрений, тому A N = N M . Аналогіч­
но AMКС — рівнобедрений, тому М К =
КС. M N + N B + В К + К М =
= A N + N B ^ В К + КС= А В + ВС= 2АВ
(AB = ВС, оскільки ААВС — рівнобед­
рений).
2) = 2АВ = 2 X 15 = ЗО (см).
77. 1) Побудуємо трикутникADC за дво­
ма сторонами і кутом між ними, а) обу-
дуємо кут а. На йоГо сторонах відкладе­
мо відрізки а — на одній стороні, Ь — на
другій стороні. З’єднаємо кінці відрізків
а і Ь. Одержали AACD.
2) Коло з центром А, радіусом Ь пере­
тне коло з центром С радіусом а в т. В.
З’єднаємо точки А і В, В і С. ABCD —
шуканий паралелограм.
2) Побудуємо AAOD (за трьома сторо
нами): AD = а; АО = —d,; DO = - c
2
Продовжимо відрізок АО за т. О і на
продовженні відкладемо ОС = ОА. Про­
довжимо відрізок DO і на продовженні
відкладемо OB = OD. З’єднаємо послі­
довно точки А, B jC iD . ABCD — шука­
ний паралелограм.
78. 1) а, &— сторони; d — діагональ.
Побудуємо трикутник за трьома сторо­
нами: а, Ь, d:
аАі-
Аі-
Ві-
Ь
-ЗГ
мВ
-D
—Ю
а) побудуємо відрізок AD = Ь; б) побу­
дуємо коло з центром А, радіусом AB =
а; в) побудуємо коло з центром D, радіу­
сом BD = d ; r )l перетин кіл дасть т. В.
Поділимо BD навпіл (О — середина
BD). Проведемо промінь АО. Від т. О
відкладемо послідовно після відрізка
АО відрізок ОС = ОА. З’єднаємо точки
В і С, С і D. ABCD — шуканий парале­
лограм.
w
w
w
.4book.org

12. 2)dj, dg— діагоналі паралелограма;
а — кут між ними.
Лі---------І iD
Аі------------------ €
Побудуємо кут а. Побудуємо кут вер­
тикальний куту а. Поділимо і нав­
піл. На одній стороні кута а на промені,
доповняльному до цієї сторони кута від
т. О відкладемо відрізки, довжина яких
дорівнює -d j.
На іншій стороні на доповняльному
промені — відрізки, довжиною
З’єднаємо послідовно точкиЛ, B ,C iD .
ABCD — шуканий паралелограм.
3) а — сторона: d — діагональ; а — кут
проти діагоналей.
d
Вь ч2)
Побудуємо кут а. На одній стороні кута
а від вершини відкладемо відрізок АВ =
= а. Коло з центром В, радіусом BD пе­
ретне іншу сторону кута а в т. X).
Через т. В проведемо пряму, паралель­
ну AD, через т. jD— пряму, паралельну
АВ. т. С — точка перетину цих прямих.
ABCD — шуканий паралелограм.
В С
4)АВ — сторона паралелограма; АС —
діагональ. ZBAC — кут між ними.
Побудуємо ZBAC. На одній стороні кута
відкладемо відрізок АВ, на другій —
АС. Поділимо АС навпіл. О — середина
АС. Побудуємо промінь ВО, від т. О від­
кладемо послідовно відрізок OD= ВО.
З’єднаємо послідовно точки В, С, D i А.
ABCD — шуканий паралелограм.
79. Кути відносяться як 1 : 3. Отже, ці
кут и сусідні, бо нерівні.
Р В
У
Нехай ZA = x ,Z B = 3 x .Z A + Z B = 180°;
х + Зх= 180°: 4л: = 180°; х = 45°; ZA =
= 45°; Zß = 45° XЗ = 135°. ВЛ:± AD; В М 1
1 CD; ZK B M — кут між висотами, про­
веденими з вершини тупого кута.
З ААВК— прямокутного: /А В К = 90°,
/.ВАК = 45°, тому ZABK = 45°.
ZC = ZA = 45°.
З 6СМВ — прямокутного: ZCBM =
= 45°. ZK B M = ZABC - ZABK - ZCBM =
= 135°-45°-45“ = 45°.
Кут між висотами, проведеними з вер­
шини тупого кута, дорівнює 45°. Висо­
ти, проведені з вершини гострого кута,
проведені на продовженні сторін:
АР 1 ВС, A F 1 CD. ZPAF — кут між ви­
сотами, проведеними з вершини гостро­
го кута. ZPB A = 180°- ZABC= 180°-
- 135° = 45°, тоді: ZPAB = 90° - 45° = 45°
(з йАРВ — прямокутного).
Аналогічно ZFAD = 45° (з AAFD — пря­
мокутного). ZPA F= ZPA B + ZBAD +
-t- ZDAF = 45° + 45° -I- 45° = 135°.
80. ABCD — паралелограм; ZA = 60°;
BK LAD-, К — серединаAD.
В С
V1 f " D
У ААВК висота ВК є медіаною, тому
AABD — рівнобедрений; AB = BD;
ZBAD= ZBD A= 60°, тоді ZABD =
= 180°-(60°+ 60°) = 60°.
w
w
w
.4book.org

13. Qf}ge, ЛАВО— рівносторонній. АВ =
= BD. У паралелограмі всі сторо-
яирівні. Р = 4АВ;4АВ = 24;АВ = 24;4 =
Є(ся); BD =AB = 6 см.
82. A B C D — паралелограм; =
ж50 см. В _________ С
А D
BD іАС розбили паралелограм на 4 три­
кутника: ДАОВ; ДВОС; ACOD; AAOD.
tAOB = SCOD; АВОС = ADOA (I ознака).
Тому-РАдос“ ^ов = 5с“ -
р д ^ = ВО+ ОС+ SC: рд^д= В0+ а о +
+AB.BO + OC+ B C -B O -A O -A B = 5cM.
Оскільки ОС = АО, то 50 + ОС + ВС -
~ В О -А О -А В = В С -А В ; В С -А В = Ь.
НехайAB = X ом, тоді ВС = х + Ь (см).
Р- = (AB + ВС)X 2, тобто{х + х + 5)у2 =
« Ю; 4я + 10= 50; 4ж= 40; X = 10;А В = CD =
> 10(cm ); в с = A D = 10+ 5= 15 (см).
83. ABCD — паралелограм. ЛЛГ — бісек­
триса ZA. D P — бісектриса ZD.
В P К С
А D
Р е ВС; К є ВС; ВР = РК = КС.
ВС II AD; А К — січна, ZKAD = ZBKA
(иутрішні різвосторонні), але ZKAD =
■ ZBAK, тому ZBAK = ZBKA.
Звідси: &ABK— рівнобедрений, AB =
•B K .
Нехай BP = X, тоді BK = 2x і AB = 2x;
BC = 3x.
AB-.BC = 2x -.Zx ü 6o AB-.BC = 2 Z.
У паралелограмі, сусідні сторони якого
■ідвосяться як 2 : З, бісектриси кутів,
прилеглих до однієї сторони, ділять
протилежну сторону на З рівних відріз­
ки.
84. ABCD — паралелограм.
В„ К ,, м ,, с
ZA і ZD — кути, прилеглі до однієї сто­
рони паралелограма.
Якщо бісектриси цих кутів ділять сто­
рону ВС на З рівні частини, то AB : ВС =
= 2 :3 (див. № 83).
НехайАВ = 2д:, ВС = Зл:.
Тоді Р = {2 х л -гх )х 2 ; (2х + 3 х )х 2 = 48;
Юх = 48; JC= 4,8; AB = 2 X 4,8 = 9,6 (см);
ВС = Зх 4,8 = 14,4 (см).
CD=AB = 9,6 (см); AD = ВС = 14,4 (см).
85. ABCD — паралелограм.
В К С
A K — бісектриса ZA. D K — бісектриса
ZD. К є ВС. ZB A K = ZK A D , a ZKAD =
= ZBKA (внутрішні різвосторонні при
AD IIВС і січній Aff).
Тоыу ZBAK = ZBKA.
Звідси AABK— рівнобедрений, AB =
= BK. Аналогічно AKCD — ріввобедре-
ний, тому КС = CD.
Оскільки AB = CD, то BK = КС.
Оскільки BK =АВ, то ВС = 2ВК = 2АВ.
Отже, бісектриси кутів паралелограма,
що прилеглі до однієї сторони, перети­
наються в точці, що лежить на проти­
лежній стороні за умови, що одна сто­
рона паралелограма вдвічі більша за
другу.
86. Якщо бісектриси кутів ZA і ZD пе­
ретинаються в т. К іт. К в ВС, то ВС =
= 2АВ (див. № 85).
С
Нехай AB = X, тоді ВС = 2 х.Р = (х + 2х) х
X 2 = 6л:, а за умовою Р = 42 см.
Тому бд: = 42; л: = 42 : 6; X = 7 (см).
AB = CJ3= 7cm;BC=AD = 2 x 7 = 14 (c m ).
89. Такий чотирикутник не є паралелог­
рамом.
Якби сторони були паралельні, то тоді б
чотирикутник був би паралелограмом.
w
w
w
.4book.org

14. у чотирикутнику ABCD: ВС = AD, але
ABCD — не паралелограм.
90. ABCD — не паралелограм, бо ВС =
= AD, але вони не паралельні. Або: ВС =
= AD, алеA B *C D .
91. 1) Не є паралелограмом.
2) Є паралелограмом.
92. ВС Ц А0;БС=А0 = 4см.
ABCD — паралелограм, бо у цього чоти­
рикутника дві протилежні сторони рів­
ні і паралельні.
А D
93і На мал. 57 зображений чотирикут­
ник ABCD не є паралелограм, бо діаго­
налі його перетинаються, але точкою пе­
ретину не діляться навпіл.
На мал. 58 зображений чотирикутник
ABCD — паралелограм, бо його діаго­
налі перетинаються і точкою перетину
діляться навпіл.
94. Мал. 59
ZBDA = Z.CBD (за умовою).
Ці кути є внутрішні різносторонні при
прямих ВС, AD і січній BD. Оскільки
кути рівні, то ВС AD.
ABAC = ZCDA (за умовою), а ці кути —
внутрішні різносторонні при прямих
AB, CD і січній АС. Оскільки кути рів­
ні, тоAB IICD.
У чотирикутнику ABCD: AB ||CD; ВС Ц
IIA D , TOMyABCD — паралелограм.
Мал. 60.
ZBAC= ZDCA; ZBCA= ZDAC; A C —
спільна сторона AABC і ACDA.
Звідси, AABC = ACDA (II ознака рівності
трикутників).
З рівності трикутників маємо: ВС = DA;
AB = CD. Тому ABCD — паралелограм.
95. За умовою M N IIBC,Mä: IIAC.
Отже, у чотирикутнику M NCK про­
тилежні сторони попарно паралельні.
Тому M NCK — паралелограм.
В
N С
96. т. М — довільна точка внутрішньої
області ZABC.
МР BC;MDAB.
BPM D — паралелограм, бо протилежні
сторони попарно паралельні.
протилежні сторони97. l ) K L i M N -
чотирикутника.
ЯкщоЛГІ =M N , ToKLM N необов’язково
паралелограм.
Треба щоб KL IIM N або L M = KN.
2 )K L = M N ;K N = LM .
K L M N — паралелограм, бо протилежні
сторони попарно рівні.
3 )K L = LM ; K LM N не є паралелогра­
мом, бо KL і LM — сусідні сторони чоти­
рикутника, а якщо дві сусідні сторони
чотирикутника рівні, то цей чотири­
кутник не є паралелограмом.
98. Якщ о у чотирикутнику A B C D ;
A B = CD, ВС =AD, тоABCD — паралело­
грам.
1 )Z ß = ZD ; Z A = ZC (як протилежні
кути паралелограма);
2) A B II CD; ВС ||A D (протилежні сторо­
ни паралелограма).
99. Якщо у чотирикутнику M N K P
протилежні сторони попарно рівні, то
M N K P — паралелограм.
1) Z K = 35°, тоді Z M = 35°, бо Z M = ZK
(протилежні сторони паралелограма);
2) M N = K P (протилежні сторони пара­
лелограма).
w
w
w
.4book.org

15. w
Якщо K P = 5 см, то M N = 5 см.
N К
100.
в " с
1)АВ і CD — протилежні сторони чоти­
рикутника ABCD. AB II CD; А В = 3 см;
CD = ЗОмм. Оскільки З см = ЗО мм, то
АВ = CD. Тоді ABCD — паралелограм,
бо протилежні сторони АВ і CD пара­
лельні і рівні.
2) /ЛВС і ZDAB — внутрішні односто­
ронні при прямих AD, ВС і січній АВ.
Оскільки ZABC+ ZDAB= 120°+ 60° =
= 180°, то AD IIВС, а за умовоюАО = ВС.
Отже, AD II ВС і AD = ВС, тому ABCD —
паралелограм.
101. в с
А D
У чотирикутнику ABCD АВ і AD —
суміжні сторони. ZA + ZB = 180° і ZA -і-
■bZD = 180° (за умовою). Якщо Z A + Z B =
= 180°, то ВС IIAD, бо ZA і ZB — внут­
рішні односторонні при прямих ВС,AD і
січній А8. Якщо ZA + ZD = 180°, тоАВ Ц
II CD, бо ZA і ZD — внутрішні односто­
ронні при прямих АВ, CD і січній AD.
АВ IICZ);BC IIAD.
Отже, ABCD — паралелограм.
102. в с
А D
ZA + Z B = 180°, а ZA і ZB — внутрішні
односторонні при прямих ВС, AD і січ­
ній АВ, тому ВС II AD; ZB -нZC = 180°,
тому АВ II CD,оскільки ZB і ZC — внут­
рішні односторонні при прямих АВ, CD
і січній ВС.
У чотирикутнику ABCD АВ ЦCD; ВС Ц
IIAD, томуABCD — паралелограм.
Звідси ВС =AD; АВ = CD.
Тобто протилежні сторони рівні.
103. ZA-t-ZB=180°, тому ВС IIAD, бо
ZA і ZB — внутрішні односторонні при
прямих ВС, AD і січній АВ.
За умовою AD = ВС, тому ABCD — пара­
лелограм.
В , N , С
А ' М ' D
104. ABCD — паралелограм, тому ВС Ц
IIAD. Оскільки BN лежить на ВС, A M —
HSiAD,roBNMD.
BN = -B C ; M D = -A D .
2 2
ОскількиВС =AD, тоBN =M D .B N D M —
паралелограм, бо BN = M D і BN ||MD.
105. Мал. 61
А Є = CF (за умовою); AE || CF, бо ле­
жать на паралельних АВ і CD, оскільки
ABCD паралелограм.
ЗвідсиА£Сі^ — паралелограм, томуС£ |{
II AF, СЕ = AF (як протилежні сторони
паралелограма).
106.
АО 3 см 4.8 см
ОС 3 см 2 дм
ВО 5 см 4.8 лм
OD 5 см 2 дм
Висновок
ABCD —
паралело­
грам
А С В Р -
паралело-
гоам
АО 2,1 см 0,6 дм
ОС 35 см 0.6 дм
ВО 35 см 6 см
OD 2.1 см 6 см
Висновок
A B D C -
паралело-
гоам
DCBA —
паралело­
грам
107. Мал. 62 (у підручнику).
ABCD — паралелограм, тому BD = OD.
ОМ = ON (за умовою). Звідси: M BND —
паралелограм, бо діагоналі його пере­
тинаються і точкою перетину діляться
навпіл.
1 1 Супер ГДЗ, 8кл., кн. 1
w
w
w
.4book.org

16. 108. Мал. 62 (у підручнику).
M BND — паралелограм, тому ВО = OD.
За умовою ОА = ОС. Звідси ABCD — па­
ралелограм, оскільки його діагоналі пе­
ретинаються і точкою перетину ділять­
ся навпіл.
109. BD — медіана ААВС, тому D — се­
рединаЛС.
В
За умовою BD = DE. Отже, D — точка
перетину діагоналей чотирикутника
АВСЕ і серединою діагоналей АС і BE.
ЗвідсиАВС£ — паралелограм.
110.
L0 4 см 0.05 дм
ON 40 мм 0,5 дм
КО 0,3 дм 12 мм
ОМ 0.3 дм 12 мм
Висновок
K L M N — па­
ралелограм
K L M N —
довільний чо­
тирикутник
LO 60 мм 2 см
ON 6 см 2 дм
КО 0,6 дм 2,2 дм
ОМ 0,6 дм 2,2 дм
Висновок
K L M N — па­
ралелограм
K LM N —
довільний 40-
тисикутник
111.у чотирикутнику ABCD: Z A = Z.C;
ZB = ZD.
В С
А D
Оскільки Z A + Z B + Z C + Z D = 360°, то
ZA + ZB = ZC + ZD = 360° : 2 = 180°.
Але ZA і ZB — внутрішні односторон­
ні при прямих ВС, AD і січній AB. Звід­
си ЛСЦ AD.
Аналогічно Aß |{CD.
Тому ABCZ) — паралелограм.
112. 1) Чотирикутник, три кути яко­
го 20°, 60° і 110° не є паралелограмом,
бо протилежні кути паралелограма рів­
ні, сусідні в сумі дають 180°.
З трьох даних кутів ніякі два не е рівни­
ми і ніякі два не дають в сумі 180°.
2) Чотирикутник, у якого кути 60“, 60°,
120° — паралелограм, бо 60° = 60°, 60° -і-
-I-120° = 180°.
3) Чотирикутник, у якого три кути 35°,
145°, 35° — паралелограм, бо 35° = 35°,
35°-ь 145° = 180°.
113. У чотирикутнику ABCD АР — бі­
сектриса ZA; СК — бісектриса ZC; BN —
бісектриса ZB.
В С
А N D
A P 1 B N -.C K 1 B N ;
ZABN = ZCBN = а, тоді ZBCK = 90° - а
(зАВКС).
ZBAP = 90° - а (з ЛАВР).
Звідси ZBCK = ZBAP, оскільки ZC =
= 2ZBCK; ZA = 2ZBAP, то ZC = ZA.
Аналогічно можна довести, що ZB =
=^ZD.
У чотирикутнику ABCD протилежні
кути рівні, томуAJ3CD — паралелограм
(див. № 111).
114. ABCD — паралелограм, томуAB =
CD,ABCD.
В С
А D
Оскільки за умовою Aßj = CD,, то
ABfiD^ — паралелограм, бо Aß, = CD, і
AB, IICD,.
Оскільки AB^CD^ — паралелограм, то
CB,||AD,.
B D fiB j — паралелограм, оскільки ВВ,
IIDD, і ВВ, = DD, (ВВ, =AB - AB,, DD, =
= CD-CD^,AB = CDiAB^ = CD^).
Тоді BD, ||B,D.
Звідси: у чотирикутника BJCD^P про­
тилежні сторони паралельні, тому
B^KD^P — паралелограм.
w
w
w
.4book.org

17. 115. ABCD — паралелограм.
В М С
A M — бісектриса /Л. CN — бісектриса
ZC. ВС IIAD; AM — січна.
Тому ZBM A = /.MAN (внутрішні різно-
сторонні, а /.MAN = ZM C N (як полови­
ни рівних кутів ZA і ZC).
Тому ZB M A = ZM CN, а ZBM A і
ZM C N — відповідні при прямих МА,
CN і січній ВС.
Тому A M II CN, а MC || AN, звідси
AM CN — паралелограм.
116. Мал. 63.
АЕВМ = AKDN (В Е = DK; В М = DN;
ZB = ZD).
3 рівності трикутників: Е М = KN; MC =
= B C -B M .A N = A D -N D .
Оскільки ВС = AD і ВМ = ND, то MC =
=AN, аналогічно CK =AE, ZA = ZC.
Звідси ДМCK = ANAE.
3 рівності трикутників М К = NE.
У чотирикутнику EM K N : E M = KN,
M K = NE, тобто протилежні сторони
рівні.
Тому E M K N — паралелограм.
117. Мал. 64.
ABCD — паралелограм, тому ZA = ZC.
AB = CD (протилежні сторони).
BK = D N — за умовою, тому AB - BK =
= C D -D N абоA K = CN.
AAKM = ACNP (I ознака).
AK = CN,AM = CO (за умовою). ZA^ZC.
3 рівності трикутників: K M = PN.
Аналогічно: АКВР = ANDM.
Зьідси K P = M N .
У чотирикутника M N P K протилежні
сторони рівні.
Тому M N P K — паралелограм.
118. АЕАВ — рівносторонній.
Е С
ZEAB = ZEBA = ZAEB =60°. АВ = АЕ =
= ЕВ. ADCF — рівносторонній, ZCFD =
= ZCDF = ZDCF = 60°.DC = CF = DF.
Оскільки AB = CD (протилежні сторони
паралелограма ABCÖ), то АЄ = CF.
АЕВС = AFDA (І ознака).
ЕВ = DF; ВС= DA; ZEBC= ZFDA
(ZEBC = 360° - ZEBA - ZABC; ZFDA =
= 360° - ZFDC - ZADC; ZFDC = ZEBA;
ZABC = ZADC).
3 рівності цих трикутників: ЕС =AF.
У чотирикутнику AECF протилежні
сторони рівні.
Тому AECF — паралелограм.
119. Мал. 65.
ABCD — паралелограм, томуAB = CD;AB ||
II CD. ABEF — паралелограм, тому AB =
= EF; AB IIEF. Звідси CD ||EF; CD = EF.
Тому DCEF — паралелограм.
Отже, DF = CE і DF ||CE як протилежні
сторони паралелограма.
120. Мал. 66.
ДА8С= ДЛ,В,С;, тому АВ = А,В, і
ZBAC = ZB^^C^, але ZBAC і ZB,A,C, —
відповідні при прямих AB, AjSj і січній
АС. Звідси ABßjAj — паралелограм.
ToMyAAj = Bßj.
Аналогічно SB,С,С — паралелограм.
СС, = ЛВ,. Тому АА, = СС,.
1)В В ,=А4, = Зсм;
2) ВВ, =АА, =АС - А,С = 10 - 6 = 4 см;
3)ВВ, = A4, = (АС, - А ,С ): 2 = (20 - 12):
2 = 4 см.
121. Мал. 67.
ABCD — паралелограм, тому AB = CD.
ZB = ZD; ZBEA = 180° - ZAEC; ZDFC =
= 180°-ZAFC.
Оскільки ZAEC= ZAFC (за умовою),
то ZB EA= ZDFC. ZBAE= 180°- Z B -
- ZBEA; ZDCF = 180° - ZÖ - ZDFC.
Оскільки ZBEA = ZDFC, ZB = ZD , t o
ZBAE = ZDCF. AABE = ACDF (II озна­
ка).
AS = CD; ZABE = ZCDF; ZBAE = ZDCF.
3 рівності трикутників: AE = CF. BE =
= DF.EC = B C -B E .A F = A D -F D .
Оскільки BC=AD (протилежні сторони
паралелограма), BE = FD, то EC = AF.
У чотирикутнику AECF протилежні
сторони рівні (АЕ = CF, EC = AF), тому
AECF — паралелограм.
w
w
w
.4book.org

18. 122.VчотирикутникаAßCü: BA ||AD.
В С
А D
Діагональ AC ділить діагональ BD нав­
піл, тобто ВО = OD. ВС IIAD; BD — січ­
на, тому ZCBO= ZADO як внутрішні
різносторонні кути при паралельних
ВС, AD і січній BD.BO= OD; ZBOC =
= ZDOA (вертикальні). Звідси АВОС =
= ADOA (II ознака).
З рівності трикутників: АО = CO. У чоти­
рикутникаABC/) діагоналі перетинають­
ся і точкою перетинуділяться навпіл.
Отже, ABCZ) — паралелограм.
123. ABCD — паралелограм.
В N С
A M D
О — точка перетину діагоналей. M N
проходить через т. о. ANOC =АМОА ос­
кільки СО =АО; ZMOC = ZM O A (верти­
кальні); ZNCO = ZM AO (внутрішні різ­
носторонні при ВС IIAD і січній AC).
З рівності трикутників NOC і МОА має­
мо: ON - ОМ. Аналогічно можна довести,
що OK = ОРз рівності трикутників ODK і
ОВР. У чотирикутника N K M P діагоналі
M N і РК точкою перетину діляться нав­
піл. Отже, N K M P — паралелофам.
124. ABCD — паралелограм, тому ОА =
= OC;OB = OD.
В С
Оскільки М —
ОМ = і АО; Р -
2
середина ОА, то
середина ОС, тому
ОР = -О С.
2
Оскільки 0 А = ОС, то ОМ = ОР. Ана­
логічно ON = OK (як половини рівних
відрізків OB і OD).
У чотирикутнику M N P K діагоналі точ­
кою перетину діляться навпіл. Отже,
M N K P — паралелограм.
125. Мал. 68.
ABCD — паралелограм, тому ОА= ОС;
OB = OD.
За умовою AAf = КС; BN = DP. Тоді ОА -
~А М = О С -С К а 6 оО М -O K -,O B -B N =
= O D -D P . Вібо ON = OP.
У чотирикутнику M N K P діагоналі точ­
кою перетину діляться навпіл. Отже,
M N K P — паралелограм, тому М Р ЦN K
і М Р - N K (протилежні сторони парале­
лограма).
126. ABC — трикутник. АО — медіана,
тому ВО = ОС.
В D
А С
За побудовою АО = OD. Тому ABCD —
паралелограм, бо діагоналі точкою пе­
ретину діляться навпіл.
Отже, CD = AB і CD IIAB (як протилеж­
ні сторони паралелограма). ZCAB =
= ZCDB (протилежні кути паралелогра-
MaABCD).
Якщо ZCAB = 36°, то ZCDB = 36^
127. У чотирикутникуABCjDдіагональ
АС ділить периметрABCD навпіл і діаго­
наль BD ділить периметр чотирикутни­
каABCD навпіл.
В С
Тобто AB + BC = AD + DC = - P ;
2
AB + AD = BC + CD = - P .
2
Звідси; AB + ВС = AB + AD, тому ВС -
=A D .A B + A D = A D + DC. тому AB = DC.
Тобто у чотирикутника ABCD проти­
лежні сторони рівні.
А отже, ABCD — паралелограм.
w
w
w
.4book.org

19. 128.
ABCD — паралелограм. AB = CD; ВС =
= AD. За умовою A K = CM, звідси KB =
= M D. В Р= DE, звідси CP= EA. ZA =
= ZC, звідси ZK A E = ZM CP. Z B = ZD,
звідси Z K B P = ZM D E. AKBP^ AMDE
(D M = KP; DE = BP; ZE D M = ZKBP).
3 рівності трикутників K P = EM . Ана­
логічно АКАЕ = АМСР, тому КЕ = PM .
У чотирикутникуКРМ Е протилежні сто­
рони рівні, тому КРМ Е — паралелограм.
129. в с
І '- '
Ж'
А D
ABCD — паралелограм. AB ЦCD; АС —
січна, тому ZBAK = ZDCM, за умовою
ZBKA = ZCMD. У ААВК; ZABK = 180° -
- Z B A K - ZBKA. У ACDM: Z C D M -
- 180° - ZDCM - ZCMD.
Оскільки ZB A K = ZDCM і ZBKA =
= ZCM D, то ZA B K = ZCDM. ABAK =
= ADCM, бо AB = CD; ZBAK = ZDCM і
ZABK = ZCDM.
3 рівності трикутників: BK = MD.
Z B K M = 180° - ZBKA; Z D M K = 180°-
ZDM C (суміжні кути).
Оскільки ZBKA = ZDM C (за умовою), то
ZB K M = ZD M K , але ZB K M і ZD M K —
внутрішні різносторонні при прямих
BK, D M і січній AC.
У чотирикутнику KBM D ВК = M D і ß if Ц
IIM D, тому KBM D — паралелограм.
130.
в м с
Точка К — точка внутрішньої облас­
ті кута ABC. З’єднаємо точки В і JC. На
продовженні відрізка ВК відкладемо
K D ^B K .
Через точку D проведемо DP ||ВС; D M ||
II ВА. Тоді B PD M — паралелограм;
BD — діагональ; К — середина діа­
гоналі BD. Р М теж діагональ парале­
лограма B PD M , тому Р М проходить
через г. К і K P = K M . РМ — шукана
пряма.
131. ABCD — паралелограм.
В Р С
А М
ВМ 1 A D ;B K ± CD; D N 1 AB; D P I ВС.
DP = В М (два перпендикуляра між па­
ралельними ВС і AD). CD = AB (проти­
лежні сторони паралелограма). ADPC =
= АВМА (прямокутні трикутники за гі­
потенузою і катетом). Звідси ZPDC =
= ZMBA.
Аналогічно АВКС = ADNA. Звідси
ZCBK = ZADN; ZABC = ZABM + ZM B K
+ ZKBC; ZADC = ZCDP + Z P D N + ZNDA,
оскільки ZABC = ZADC; ZABM = ZDCP
і ZKBC = ZNDA, то ZM B K = ZNDP.
АМВК = APDM. Звідси N P = М К .
АРСК= AMAN. РС= М А (з рівності
APCD і АМАВ); СК = A N (з рівності
АВСК і ADAN). ZC = ZA (протилежні
кути паралелограма ABCD). З рівності
АРСК і AMAN: РК = M N .
Оскільки N P = М К ; РК = M N , то
N P K M — паралелограм.
132.
BD — діагональ. A M ± BD; СР X BD;
А М = СР; ВК LAC; D Z 1 АС; ВК ЦDZ (як
два перпендикуляра до однієї прямої).
BD — січна, тому ZKBO = ZZDO (внут­
рішні різносторонні при паралельних
прямих ВК, DZ і січній BD).
w
w
w
.4book.org

20. ZB K O = ZD ZO = 90°; B K = DZ (за умо­
вою). Звідси АВКО= ADZO. З рівності
трикутників: BO = OD. Аналогічно;
ААМО= АСРО. З рівності цих трикут­
ників АО = CO.
У чотирикутнику ABCD діагоналі
точкою О поділилися навпіл. Отже,
ABCD — паралелограм.
§ 4. Прямокутник
136. ABCD — прямокутник; ВС = 16 ом;
AB = 12 CM.
В 16 CM С
А D
1)AD = ВС; DC= AB (протилежні сто­
рони прямокутника). AD = 16 см; С£) =
= 12 см.
2) BD=AC = 20 C M , діагоналі прямокут­
ника рівні.
3) АО = ОС = ^ АС = 10 см;
ВО = 0D = ^B D = 10 c m ; діагоналі пря
мокутника в точці перетину діляться
навпіл.
137. 1) А О = о с = 7 см ; А С = B D =
= 14 см;
2)AC + BD = 14cM.
В С
138.
А D
Z2 = Z4 = 36° (внутрішні різносторон-
ні кути);
ВС IIAD, АС — січна;
Z l= Z 3 = 90°-36° = 44°.
Відповідь: 4 4 °; 3 6 °; 4 4 °.
139. 1)Р„р = ( а + Ь ) х 2 = (2-і-3)х2 =
= 10(см );
2) = (0,4 -н 0,5 ) X 2 = 1,8 (дм);
3 ) = (10 мм -1-12 мм) X 2 = 44 (м м ).
140. У прямокутника діагоналі рівні,
кути прямі.
141. У прямокутника діагоналі рівні.
1) d ,= d ,= Y = e (CM);
2) d , = d , = | = 3 (C M );
3 ) d , = d , = y = 9 (C M ).
142 Н ехай A B C D — пр ям о­
к утн ик; О — точка перетину
діагоналей прямокутника.
В С
А D
1) AAOD; АВОС; ААОВ; ADOC — рівно-
бедрені; АО = OB; 0В = ОС; ОС = OD;
АО = OD, сторони цих трикутників є по­
ловинами діагоналей, а діагоналі у пря­
мокутника рівні.
2) ААОВ = ACOD; АВОС = АПОА (за трь­
ома сторонами); AB = CD; ВС =AD (про­
тилежні сторони прямокутника); ВО =
= OD; АО = ОС (діагоналі прямокутника
в точці перетину діляться навпіл).
143.
в к с
А D
Z4= Z3= 55° (внутрішні різносторон-
ні). ВС IIAD, А К — січна.
Z1 = 90° - 55° = 35°; Z2 = 180° - 55° = 125°.
Мал. 80
------------ -^Р
Z2 = Z.NOM = ZPO K = 60°;
Z I = 90 - 60° = 30°; Z3 = 90° - 60° = 30°.
w
w
w
.4book.org

21. І Г
Мал. 81
F
6 ^
1
1
1
1
! А В
= 65°: /ІЗ = 90 - 65° = 25°;
= 180° - (25° + 25°) = 180° - 50° = 130°.
144. Мал. 82
A D
a + a + 60° = 90°; 2a = 30°; a = 15°;
AAOD; ZA 0D = 180° - (a + a)= 180°
- 30° = 150°; ZAOB = 180° -150° = 30°.
Відповідь: 30°.
Мал. S3
N P
>
M К
&NPK: a + 2a = 90°; 3a = 90°; a = 30°;
ANOP: NO = OP; АРОК: OP = OK;
г р = г к = 60°; г р о к = бо°.
Відповідь: 60°.
Мал. 84
F R
AEFQ
Z F + Z Q = 90°;
- + - = 90°; a = 90°;
2 2
- = 45°; a = 90°.
2
Відповідь: 90°.
145. За умовою жоден з кутів не є го­
стрим, отже, нехай обидва тупі, тоді /А +
+ ZD > 180°, тому вони прямі. ZA + Z.D =
= 180°; ZA = ZD = ZC = ZB = 90°.
D С
Отже, цей паралелограм — прямокут­
ник.
146. ААВС: ВС — катет, що лежить нав­
проти кута 30°.
D С
1)d = 4cM; ВС = -А С = 2 см;
2)d = 14MM; ßC = | l4 = 7 мм;
3)гі = 0,44дм; ВС = ^ 0,44 = 0,22 дм.
Відповідь: 2 см; 7 см; 0,22 дм.
147.
А D
1) а = 10 см; АЛОВ — рівносторонній.
OB = OA=AB = a;d=AC = 2a;BD = 20cM;
2)а = 0,25 дм; d =АС = 2 х 0,25 = 0,5 дм;
3) а = 7 мм; d =АС = 2 х 7= 14 (мм).
Відповідь: 20 мм; 0,5 дм; 14 мм.
148.
I
га
ь
S
СС
о .
1^
2
S
I
т
>*
Q.
5
с
о
3
сс
о
а 6 см 4 см 10 см 10 см 9 см
Ь 12 см 12 см 5 см 12 см 7 см
Р 36 см 32 см 30 см 44 см 32 см
149.
л 12 см X»
1)АВ = 4см;АО = 4хЗ = 12см;
= (AB-иAD) X2= (4-(■12) X2= 32 (см);
2) AB = 10 см; AD = 10 : 2 = 5 см;
^ д в с с = ( 1 0 + 5 )х2 = 30 ( с м ) ;
3) AB = 12 см; AD = 12-I-4 = 16 см;
^двсо= (12-|-16)х 2 = 56 (см).
ем
w
w
w
.4book.org

22. 150. Дано: ABCD — паралелограм.
D С
А
/Л = 90°; ZA + Z.D= 180°; AB || DC-,
ZD = 90°; Z D = ZB = 90“; ZA = ZC = 90°
(протилежні кути паралелограма рів­
ні). Отже, у даного паралелограма всі
кути прямі, цей паралелограм — пря­
мокутник.
151. Дано: ABCD — паралелограм.
А В
ZA = 90°; ZD -І- ZA = 180°; AB II DC, тоді
ZD = 90°.
CDA = ABDA (за II ознакою). AD —
спільна. DC =АВ; ZD = ZA.
З рівності трикутників маємо; BD =АС,
що й треба було довести.
152. Нехай ZA = ZI> = ZC = 90°.
D
J L
"І Г
В
ZA + = 180°, тому КС IIAB.
ZA + ZB = 180°, тому AD ||BC.
Отже, ADBC — паралелограм, у якого
(ZA = ZC = 90°) всі кути прямі, ABCD —
прямокутник.
153. ZA = Z B ^ Z C = ZD.
в с
А D
ZA = ZC, ZB = Z D => тому цей чотири­
кутник паралелограм.
ZA + Z B = 180°; 2ZA= 180°; ZA = 90°,
отже Z A = Z B = ZC = Z D = 90°, тому
ABCD — прямокутник, що й треба було
довести.
154. ABCD — паралелограм.
D С
А В
ZA + ZC = 180°, але ZA = ZC, тому ZA =
ZC = 90°; ZA + Z D = 180°; Z D = 180° -
- ZA = 180° - 90° = 90°; ZD = ZB = 90°.
У паралелограма всі кути прямі, тому
цей паралелограм є прямокутником.
155. ABCD — паралелограм.
D С
А В
ZA = Z D ;Z A + ZD = 180°; ZA = ZD = 90°;
ZA = ZC = 180°; ZD = ZB = 90°.
Протилежні кути паралелограма рів­
ні 90°. Отже, цей паралелограм є пря­
мокутником.
156. ABCD — паралелограм.
В С
ZOBA = ZOAB. ААОВ — рівнобедрений;
ОБ = ОА, тому АС = BD.
Якщо у паралелограма діагоналі рів­
ні, то він є прямокутником, що й треба
було довести.
157. A B C D — прямокутник, ZDOC =
= 120°; ZCOB = 180° - 120° = 60°.
А В
ACOD. ОВ= O B — рівнобедрений.
ZOCB = ZOBC = 60°; ОС = OB-,
ОС = -А С .
2
АС — діагональ; АС = 20С = 2 ВС, що й
треба було довести.
w
w
w
.4book.org

23. 158. ABCD — прямокутник.
D С
ВС = 2 — рівносторонній,
0С= 0 В = ВС. тому /І0СВ= ZCOB--
/.СВО = 60°, що й треба було довести.
159. ABCD — прямокутник.
D С
А
D K 1 АС; АС — діагональ;
Z A D K :Z K D C = 2 :3 .
1) 2x + Зд: = 90°; 5л = 90°; л: = 18°; ZADK =
= 36°; ZKDC = 54°.
AADK — прямокутний; ZD A K = 90°-
- 36° = 54°; ADKC — прямокутний.
Z^:CD = 90°-54° = 36°;
2)ZA C D = ZBDC= 36°; ZB D K = 54°-
-3 6 °-1 8 °.
Відповідь: 18°.
160. AßCß — чотирикутник. ßO = OB;
AO = OC; ZA = 90°.
D С
Якщо в чотирикутнику діагоналі точ­
кою перетину діляться навпіл, то цей
чотирикутник є паралелограмом.
DC І AB; AD І ВС; Z A +Z D = 180°; ZD=
= 180°- ZA=180°- 90°=90°; ZD+ZC = 180°;
ZC=90°; Z A =ZC = 90°; ZD = Zß = 90°.
Якщо у паралелограма всі кути прямі,
то цей паралелограм — чотирикутник.
161. В il с
A N D
1) AD : DC = 2 : 3; AD = ВС = 2х; AB =
= CD = Зх; X — спільна міра відрізків.
(2х + 3х)х2 = 48; Юх = 48; л = 4,8;
AD = ВС = 9,6 см; АВ = CD = 14,4 см.
2) M N = 10 см; M N =АВ = CD = 10 см;
AB = CD =
Р -2 А В 48-20
= 14 (см).
Відповідь: 10 см; 14 см.
3) ОЛГ= 4см; ВС=AD = 20ЛГ= 2X4= 8(см).
DC =АВ = (48 - 16): 2 = 16 (см).
Відповідь: 8 см і 16 см.
162. М — довільна внутрішня точка
прямокутника.
К
D P (
M
J
"1
N
А F В
1) К М + M N + Р М + M F — сума відста­
ней від довільної точки М прямокутни­
ка до його сторін.
K N + PF = -P ,^ „ = ^ • 1 2 = 6 (C M ).
2) X-iV+ PF = i p ^ ß = i 8,6 = 4,3 (CM).
di A
Відповідь: 6 см; 4,3 см.
163. ABCD — прямокутник; AK — бі­
сектриса ZA.
В З C M JiT 5 C M С
го
го
iC
s
X
I
.5
‘E
о
S
5
Q.
A D
1) m = 3 c m ; n = 5 c m ; Z1 = Z2; AK — бі­
сектриса.
Z2 = Z3, ВС IIAD, AX’ — січна, отже Z1 =
= Z3, тоді AABK — рівнобедрений, AB =
= ВК = m = З c m ;
CSJ
w
w
w
.4book.org

24. AB = CD = 3 c m ; BC =AD = m + л = 8 (см).
'P abcd = ( 3 + 8 ) x 2 = 2 2 ( c m ).
^ABCD= 5+ 5 + 8 + 8 = 26 ( c m ).
2 )m = 0,2дм; л = 3см; P/j,Qp= 14см;
^ABCD~
Відповідь: 1) 26 см або 22 см; 2) 14 або
16 см.
164.
Z I = Z2 = 45°. В М — бісектриса ZB.
ZBM A = 45°, AB =A M , отже, M D = CD.
AMCD — рівнобедрений.
MCD = ZDM C = 45°; ZM CB = 90° - 45° =
= 45°; ZBCM = ZDCM = 45°;
CM — бісектриса ZC, що й треба було
довести.
165. в с
DK — бісектриса кута D.
Z1 = Z2, DC — бісектриса ZD.
Z3 = Z2, DC IIAB, DK — січна.
AADK — рівнобедрений.
Z l= Z3. A D = AK; A K = KB, тому
AD = і AS, що Йтреба було довести.
166.
А D
AK — бісектриса кута BAD.
X)Aß = 15 c m ; Z1 = Z2; Z2 = Z3 => Z I =
= Z3. йЛВК — рівнобедрений.
AB = BK = 15 см; ВС = 2ВК = ЗОсм.
Р ^ сп = (1 5 + 3 0 ) х 2 = 9 0 ( c m ).
^)Pabcd= (3.8 + 7,6) X2 = 22,8 (дм).
Відповідь: 90 см; 22,8 дм.
167. Мал. 86
А а -Ъ
1) Побудуємо прямокутний AABD за гі­
потенузою d і катетом а; 2) CD |{AB; ВС
IIAD. Добудуємо цей трикутник до пря­
мокутника.
168. 1) Побудуємо допоміжний прямо­
кутний трикутник за гіпотенузою d та
кутом а.
2) Побудуємо допоміжний трикутник
за сторонами -d , —d та кутом а між
ними.
169. Р Д ^ „-Р Д ,,„ = 12см ;РД ^„=А0 +
+ DO + O B + AB; = АО + OB + AB;
P A ^ - P A ^ ^ =AD; AD = 12 cm ; AD = BC =
= 12 c m ; JDC = A B = (5 0 ,2 - 24) : 2 =
= 13,1 ( c m ).
D С
V 2
•
І
І
І
І
з Х І АL В
— ^ ( І Відповідь: 12 см; 12 см:
13,1 CM .
170. ABCD — чотирикутник.
13,1см;
А В
AC = ED; АО = ОС; DO = OB.
ADOC = ДВОА; ACOD = AAOD (за дво­
ма сторонами і кутом між ними). З їх
рівності маємо: Z1 = Z2, отже D C =A B
і DC IIAß.
ABCD — паралелограм, у якого діаго­
налі рівні, тому він є прямокутником.
171. НехайAD = ВС, Х)С =AB. А С = ßZ);
AABD - ACBD (за трьома сторонами);
w
w
w
.4book.org

25. г
/ACD = ZCAB (внутрішні різносторонні
кути); DC IIAB; DC=AB;ABCD — пара­
лелограм, у якого діагоналі рівні, отже,
ABCD — прямокутник.
172. в
А " D
Нехай ABCD — чотирикутник; BCAD;
ВС = AD. За ознакою паралелограма
цей чотирикутник є паралелограмом, у
якого діагоналі рівні, отже, цей парале­
лограм є прямокутником.
173. Мал. 88
В М N С
А Ъ D
а) Нехай А В = D C = а; AD = ВС= Ь;
AABN — рівнобедрений; AB = BN = а;
NC= ft- с; M N = B N -N C = a - b + a =
= 2 a -b ;
б) нехай AB= CD= b; BC= AD = a; AB =
BN = b;NC = a -b ;M N = B N -N C = 2b-a;
Мал. 89
В b M y N b С
A a D
B)AB=CD = b;AD = BC = a;B M = NC = b;
AD = 2b абоAD = ft - 2a.
174. AABC — прямокутний; ZBCA =
= 90°; CO — медіана.
Доведемо, що СО = —АВ.
2
С А
Проведемо BD II АС; AD ||ВС; ABCD —
паралелограм. /.С -н /СА= 180°; ZA =
ZC = 90°. ABCD — прямокутник, діаго­
налі прямокутника рівні і в точці пере­
тину діляться навпіл.
ОВ= 0А= OD= ОС; ОС = ^АВ, що й
треба було довести. 2
175. Нехай дано прямокутний ААВС;
г с = 90°; AB = 6 см ;ВМ = МА; N M ЦАС;
М Р IIВС; MNCP — прямокутник; MC —
його діагональ; М — середина гіпотенузи,
M B = М А = MC; М — центр кола описа­
ного навколо прямокутного трикутника,
MB = МА = MC = Зсм (радіуси описаного
кола). В
Відповідь: MC = 3 см.
176.Нехай дано рівнобедрений hABC.
С
AC = ВС. М — точка, яка лежить на ос­
нові рівнобедреного трикутника.
М К X AC, відстань від точки М до сто­
рониАС. М Р 1 ВС, відстань від точки М
до сторони ВС.
СЕ — висота, проведена з вершини до
основи.
M F II ВС; ця пряма відтинає від даного
трикутника рівнобедрений трикутник,
за властивістю висот, проведених до
бічних сторін рівнобедреного трикут­
ника M X -нМР=С£.
177. 1) ДАВС — прямокутний, рівно­
бедрений, отже, ZB = ZC = 45°.
В
w
w
w
.4book.org

26. MBN-, ZB = Z N = 45°: BM = M N ; ANKC;
ZC = Z N = 45°: N K = КС; M N K A — пря­
мокутник. AM =N Ä ’: N = AK.
Периметр прямокутника не залежить
від положення його вершини на гіпоте­
нузі.
2)KC = N K ;A C = A K + K C =bcK ;
P = 2AK + 2NK = 0(,cvi).
Відповідь: 10 см.
184.
А 6 D
Протилежні сторони ВС і AD не дорів­
нюють 6 см.
У ромба всі сторони рівні. ВС= AD =
= 6 см: ZCOD = 90°; СО 1 OD.
185. l)ß C = A ß = 10см; A D = 10 cm:
DC = 10 cm; у ромба всі сторони рівні;
2) АС = 2АО = 16 см; BD = 2ВО = 12 см.
186. Z1 = Z2 = Z3 = 25°.
ДіагональАС є бісектрисою кутів А і С.
187. Діагоналі ромба перпендикуляр­
ні, діагоналі ромба є бісектрисами його
кутів.
188. 1) Сторони квадратаAB = ВС= CD =
=AD = 5cm;
2) діагоналі квадратаАС = BD = 7 см;
3) Z1 = Z4 = Z3 = 45°, Z2 = 90°.
189. р = 4а; 1 )а = 1 2 :4 = 3(см):
2)а = 2,4 :4 = 0,6(дм);
3) а = 280 : 4 = 70 (мм).
190. в
ААОВ = АВОС - ADOC = &AOD (за двома
катетами).
Діагоналі ромба взаємно перпенди­
кулярні і точкою перетину діляться
навпіл.
191.
ДАВС = ДАОС (за трьома рівними сторона­
ми). AB = ВС =AD = DC; AC — спільна.
192.^1 = ^3 = Z4 = 25°; Z2 = 65°; Z5 = 90°.
193. zi = a D С
A В
l)a = 3 6 °; 18° і 72°; 2) a =54°; 27° і 63°
3 )a = 60°; 30° і 60°.
194.
A ' D
Нехай ABCD — ромб, A B = ВС - AD =
= BD. AABD — рівносторонній.
Отже, ZA = ZABD = /ADB= 60°; ZA =
= ZC = 60°; ZB = ZD = 120°.
Відповідь: 60°; 60°; 120°; 120°.
195. Нехай ABCD — ромб.
В с
zc =
А К D
BK XAD; BK — висота ромба.
1)ZABA-= 30°; AABK; ZA = 60°
= ZA = 60°: ZB :=ZD = 120°;
2) ZA B K = 15°; ZA = 75°; ZC= 75°; ZB =
= ZD = 105°;
3 )Z A B K = 65°; Z A = Z C = 25°; Zß =
= Z D = 155°.
Відповідь: 1) 60°; 60°; 120°; 120°; 2) 75°;
Юб”; 75°; 105°; 3) 25°; 155°; 25°; 155°.
w
w
w
.4book.org

27. 196. l ) a + a + 4 0 “ = 1 8 0 °;2 a = 140‘’; a =
= 70°. ZA = ZC = 70°; ZB = Z D = 110°.
В с
D
Мал. 106
a+ 4 a= 9 0 °; 5a = 90°; a = 18°; ZA = ZC =
= 36°; ZB = ZD = 144°.
В С
D
Мал. 107
2a+ a = 180°; 3a = 180°; a = 60°; ZB =
= ZD = 120°; ZA = ZC = 60°.
В с
A D
197. Нехай ABCD — ромб. ZA = 60°;
BD = d.
D С
A В
1)d= 10 c m ; A A B D — рівносторонній;
ZA = ZD = Z S = 60°; A B = B D = A D =
= 10 c m ; = 40 c m ;
2) d = 3,2 дм; P = 4 X 3,2 = 12,8 (дм);
3) d = 45 m m ; P = 4 X45 = 180 (мм).
Відповідь: 40 см; 12,8 дм; 180 мм.
198. НехайАВСЙ — квадрат. ОІГХАВ;
ОК = п. D С
1)/г = 8 см; AD = 2л = 16 см; Р^^ = 64 см;
2) п = 0,3 дм; а = 2п = 0,6 дм; Р^^ = 4а =
= 2,4 дм; 3) а = 21 мм; а = 2л = 42 мм;
Р^, = 4а = 42 X 4 = 168 мм.
Відповідь: 1) 64 см; 2) 2,4 дм; 3) 168 мм.
199. НехайAßCD — квадрат, діагональ
якого AC = d.
D С
ОСРВ — другий квадрат з діагоналлю
ВС, сторона ОС = і AC.
1) d = 6 см; ОС = З см; 2) d = 29 мм; ОС =
= 14,5 мм; 3) d= 1,5 дм; ОС = 0,75 дм.
200.
AABD = ACBD. BC=CD = AD = AB;BD —
спільна; ZABD = ZCBD = ZCDB = ZADB =
= 45°; Zß = ZC = ZD = ZA = 90°.
ABCD — квадрат, що й треба було до­
вести.
20 1. Таблиця 12
Властивість
Парале­
лограм
Прямо­
кутник
1
Протилежні сторони
попарно паралельні
+ +
2
Протилежні сторо­
ни рівні, протилеж­
ні К У Т И рівні
-н . +
3 Усі сторони рівні - -
4 Усі К У Т И П Р Я М І _ +
5
Діагоналі діляться
точкою їх перетину
навпіл
+ +
6 Діагоналі рівні _ +
7
Діагоналі взаємно
перпендикулярні
- -
8
Діагоналі ділять
кути навпіл
- -
w
w
w
.4book.org

28. 1
Продолжение табл. 1.2
Властивість
Протилежні сторони
попарно паралельні
Протилежні сторо­
ни рівні, протилеж-
НІ кути РІВНІ
Усі СТОРОНИрівні
Усі КУТИ ПРЯМІ
Діагоналі діляться
ТОЧКОЮ їх перетину
навпіл______________
Діагоналі рівні
Діагоналі взаємно
перпендикулярні
Діагоналі
КУТИ навпіл
ДІЛЯТЬ
Ромб
Квад-
рат
202. HexaüAßCD — ромб, у якого ZA =
= 90°, тоді ZC = ZA = 90“.
D С
А В
Z D = Z B = 180° - 90° = 90°. У ромба всі
кути прямі, тому ABCD — квадрат, що
й треба було довести.
203. Нехай ABCD — чотирикутник,
AB = BC = CD=AD.
D , С
А ' В
Проведемо діагональ BD. AABD = ACBD
(за трьома сторонами (BD — спільна
сторона)). Тому Z1 =Z2. Отже, DC АВ.
ABCD — паралелограм, у якого всі сто­
рони рівні; ABCD — ромб, що й треба
було довести.
204. Нехай AßCD — паралелограм, діа­
гоналі якого ділять кути навпіл.
D С
А В
AABD = ACBD — рівнобедрені: Z4 = Z5;
Z3 = Z5; DC = ВС; AD = Aß. У парале­
лограма ABCD всі сторони рівні, отже,
ABCD — ромб, що й треба було довести.
205. Нехай ABCÖ — ромб.
D С
А К В
^ABCD~ 36 см; DK і. AB; DK — висота
ромба; а — сторона ромба.
Р = 4а;а = 36:4 = 9(см).
AADK: AD = 9cm ;DK = 4,5 (cm).
d k = a d .
Отже, ZA = 30° (катет, що лежить нав­
проти кута 30°).
ZA = ZC = 30°; ZD = Zß = 150°.
Відповідь: 30°; 30°; 150°; 150°.
206. НехайABCD — ромб. ВМ і ВР — ви­
соти; В М ±A D ;B P1C D . ААВМ = АСВР.
В С
A M D
Z M = Z P = 90°; AB = ВС; ZA = ZC.
3 рівності трикутників В М = BP,
що й треба було довести.
207. Нехай дано ABCD — ромб, D K X
± А В ;А К = ВК.
D С
А К ' В
1)AADB— рівнобедрений; АК = КВ;
D K 1 AB; ZA =60°; ZADC= 120°; ZC =
= ZA = 60°; ZD = Zß = 120°.
2)BD = 20cm;AD = BD;P^^^ = 4AD = 4 x
X 20 = 80 (cm).
Відповідь: 1)60°; 60°; 120°; 120°;
2) 80 CM.
208. НехайАВСІ) — ромб. ZBDA; — кут
між висотою і діагоналлю, проведеними
з однієї вершини.
D С
w
w
w
.4book.org

29. 1 )ZB D K = 35°: ZD B K ^ 55°;
/ABC = 110°; ZADC = ZABC = 110°; ZA =
= /C=70°;
2 )Z B D K = 20°; ZD B K = 70°; ZABC =
= 140°; ZB = Z D = 140°; ZA = ZC = 40°;
3 )Z B D K = 40°; ZDBA= 50°; Z B = ZD =
= 100°; Z A = ZC = 80°.
Відповідь: 1) 70°; 110°; 70°; 110°; 2) 40°;
140°; 40°; 140°; 3) 80°; 100°; 80°; 100°.
209. Нехай дано ромб ABCjD.
В с
А М в
А В = ВС= CD= A D = 4 СМ-, Z D = 120°;
ZB = ZA = ZC = 60°. äABM — прямокут­
ний. ZABM = 30°. A M — катет, що ле­
жить навпроти кута 30°.
А М = ^А В = 2 см.
Аналогічно C N = 2 см; M D -A D - A M =
= 4 - 2 = 2(см). В М = 2у/з.
2) AMBN — рівносторонній.
Z M B N = 120° - ZABM - ZNBC = 120° -
- 30° - 30° = 60°; M B = BN (висоти).
Отже, ZB M N = ZB N M = (120° - 60°): 2 =
= 60°.
210. Нехай ABCD — ромб.
В С
А D
1 )Z l ; Z2 = 2 : 3. ЛАВО — прямокутний,
гВО А = Ж ;
X — спільна міра кутів, тоді Z = 2х;
Z 2 = Зх 2х-¥ 3x= 90°; 5х = 90°; д; =
= 18°. Z A = 4л:= 72°; Z A = ZC; ZB =
= ZD = 6ж = 108°;
2) Z1 ; Z2 = 2 : 7; 2л: -н 7л: = 90°; де= 10°,
ZA = ZC = 40°-,ZB=^ZD = 140°.
3)Z1 : Z 2 = l :2; х + 2х= 90°; Зх= 90°
х = 30°; ZA + ZC = 60°; ZB = Z D ^ 120°.
Відповідь: 1) 72°; 108°; 72°; 108°; 2)40
140°; 40°; 140°; 3) 60°; 120°; 60°; 120°.
211. Нехай ABCD — ромб; ВАГ — його
висота.
В С
8х
AB = BC = CD = AD = — = 2х.
4
&АВК — прямокутний. ВК = ^АВ;
ZA = ZC = SQ°;ZB = Z D = 150°.
Відповідь: 30°; 150°; 30°; 150°.
212.
1) Нехай у рівносторонній ЛАВС вписа­
но ромбAEFK. ZA — спільний.
Р^лвс= 24 см;AB = ВС =АС = 8 (см).
2) AKFC — рівносторонній. FK = КС;
А К = - 8 = 4 см;
2
^х.с«= 4х4 = 16(см).
3)ВЯ = Л £ = 4 см; Ай:=А:С = 4 см; BF =
= FC = 4cM.
213.1) Побудуємодопоміжний прямокут-
S
§
о
З
2
а.
t l
О
ний трикутник за діагоналями І і
л
у
1
2
2) Побудуємо допоміжний трикутник
за сторонами d; а; а.
113
П
п
w
w
w
.4book.org

30. 3) Побудуємо допоміжний рівнобедре-
ний трикутник за бічними сторонами а
та кутом а між ними.
214. Нехай A N — бісектриса прямого
кута А ААВС; N M і N K — перпендику­
ляри до катетів.
AAMN — прямокутний рівнобедрений;
Z l = Z2 = 450;AM = MiV.
Отже, A M N K — квадрат, що й треба
було довести.
215.
1) Нехай у рівнобедрений прямокут­
ний трикутник ABC вписано квадрат
A M N K .A B =A C = 8 см; ZB = ZC = 45°;
ABMN — рівнобедрений прямокутний
трикутник.
B M = M N ; AKNC — прямокутний. N K =
= КС-, Р^^^=А В -І-АС= 8 -І-8 = 16 см.
2 )Л „„.- = 29-і-29 = 58 м м ;
= 0,82 дм.
216. Нехай дано ABCD — ромб, діаго­
налі якого рівні, АС = BD.
BD X АС, ААВО — прямокутний, АО -
= OB, Z1 = Z2 = 45°; ZA = ZB = 90°, отже,
даний ромб е квадратом, тому що в ньо­
го всі кути прямі.
217.
наль -
Нехай ABCD — квадрат, діаго-
-B D . B M = DN.
В С
AAND = ACND = ААМВ = ACMВ .
1 )B M = N D ;AB = BC = CD=AD;
2)Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = 45°.
З рівності трикутників маємо: A M =
= MC = CN =AN. M N IA C .
Отже, AM CN — ромб, що й треба було
довести.
218. 1)Ні; 2)так;3)ні.
219. Побудуємо допоміжний рівно­
бедрений прямокутний трикутник за
катетом.
2) Побудуємо допоміжний рівнобед­
рений прямокутний трикутник за ка-
220. Нехай ABCD — ромб, A M А. ВС;
АР ± DC-, A M і АР — висоти, АС — діа­
гональ. в
М
ААСМ = ААСР. АС — спільна; А М = АР,
отже, ZMAC = ZPAC, що й треба було
довести.
w
w
w
.4book.org

31. г
221. Нехай ABCD — ромб.
В
A M X ВС; АР 1 DC; ZM AP= 30°; ZM AP=
=/ABC=30°; ZABC=ZADC =30°. ZA+Zß =
= 180°; ZBAD = ZBCD = 180°- 30°= 150°.
Відповідь: 30°; 30°; 150°; 150°.
222. nexa&ABCD — ромб. M ,N ,P , К —
середини сторін ромба.
В N : С
А ' Р D
Проведемо діагоналі АС і BD. M N — се­
редня лінія ААВС. M N II АС; РК — се­
редня лінія ДАОС, Р К IIАС => M N ЦРК.
Аналогічно М Р ЦNK . Отже, M N K P —
паралелограм, що й треба було довести.
223. Нехай дано ромб ABCD. Із точки
перетину діагоналей ромба проведено
перпендикуляри до його сторін.
D N С
А М В
ON 1 DC; OP 1 ВС; ОМ 1 AB; OK XAD.
Точки К, О, Р лежать на одній прямій; О,
N ,M — також належать одній прямій.
K P 1 ВС; M N 1 DC; K P і M N — висоти
ромба ABCD.
K P - N M ; K P і N M — діагоналі чотири­
кутника K N PM , отже, чотирикутник
K N M P є прямокутником.
224. Нехай ABCD — прямокутник.
М , N , Р, К — середини сторін прямо­
кутника. В І N І С
Проведемо діагоналі АС і BD; АС = BD.
ААВС; M N — середня лінія; M N ЦАС;
-середня лінія;M N = -A C ;A A D C ;K P
^ 1
Ä-P||AC; К Р = ^АС.
Отже, M N IINP; M N = KP.
Аналогічно М К ЦNP; М К = NP. Якщо
АС = BD, тоді M N = К Р = М К = NP.
Тому M N P K — ромб, що й треба було
довести.
225. Нехай ABCD — ромб. Від двох
протилежних вершин ромба на його сто­
ронах відкладено рівні відрізки A M =
= A P ;N C = CK.
В N С
A P D
B D iA C — діагоналі ромба; /.BOD = 9 0 ° ;
N K IIBD, тому N K A.AC; N M X BD; Z N =
= Z K = Z P = Z M = 9 0 ° . M N K P — прямо­
кутник.
226. ABCZ) — чотирикутник. BZ) і AC —
бісектриси кутів, B D iA C — діагоналі,
B D =A C . D С
A В
Якщо в чотирикутнику діагоналі рів­
ні, то він є прямокутником, а якщо діа­
гоналі прямокутника є бісектрисами
кутів, то він є квадратом.
227. Нехай ASCD — квадрат.
= а -І-d, де а — сторо-
длоо
~ ^K.JVBCD= 20. Р ^ о
на; d — діагональ.
4^«oz.= 4a + 4d;P„, = 4a;
Аа + Ы -А а = 20; 4d = 20;d = 5.
Відповідь: d -Ь .
w
w
w
.4book.org

32. 228. НехайАВСО — прямокутник. ßÄ^,
AN, CK, DN — бісектриси кутів; бісект­
риси двох пар сусідніх кутів прямокутни­
ка перетинаються під прямим кутом.
ACPD — рівнобедрений прямокутник.
ZC = /.D = 45°. гС РВ = 90°; /.NPK = 90°.
M N P K - квадрат, N P = РК-, M N = М К,
що й треба було довести.
229. Побудувати квадрат:
а) за сумою діагоналі і сторони.
+а ' d '
Побудуємо допоміжний прямокутний
трикутник за катетом S = a + d i прилег­
лим кутом 2 2 , 5 ° .
236. Мал. 124
XÄSM
2 2
Мал. 125
Л а ' fc
х = 4 см.
Мал. 126
А а Ь
x = S см.
239. Мал. 128. д: = 4 см.
Мал. 129.д: = 12см.
240. DE II ВС; E F IIAB
2 ) E F = 7 c m ; B D = 7 c m .
241.
A4, =А Л =А Л ; Л-Ві И А И А
1) = 6 см; Aß, = 6 см;
2)ß,ß^ = 5cM;Aß3 = 15cM;
3)AB3 = 12cM;ß^ß3 = 4cM.
242.
243. ЛАВС; AB = 12 см; в с =18 см.
В
А Al
1) по 4 см і по 6 см;
2) 6 см і 12 см; 4 см і 8 см.
w
w
w
.4book.org

33. 244. AA^=A^A, =A^,;A,B^±l;B^^l.
Х/;ВзАз± / ;тодіЛ.В,||ВЛІІ-ВА-
Отже, за теоремою Фалеса АВ^ = =
= Bjßj, що й треба було довести.
245. ДАвс
в
А Р с
1) M N , NP, M P його середні лінії; АС -
= 8 см; ВС = 5 см; AB = 7 см; M N = 4 см;
AfP = 2,5 ом; = 3,5 см;
2) 15мм; 20мм; 25мм; 3) 4,5 см; 5см; 7см.
246. ДАВС. — середні лінії
ДАВС. С
1)а = 8 см; 6= 10 см; с= 12 см; M N =
= 6 см; М Р = 4 см; PN = 5 см;
2) а = 0,5 см; &= 12 см; с = 1,3 см; M N =
= 0,25 см; М Р = б см; P N = 6,5 см.
247. Нехай ААВС — рівносторонній.
АВ = ВС = А С =а; M N = а; N P = a;
^ 4І
М Р - - а , отже, M N = N P = M P.
2
В рівнобедреному трикутнику дві се­
редні лінії рівні між собою.
в
А Р с
248.1) = 12 см; а = 12 : З= 4 (см).
Усі середні лінії по 2 см.
2)Р^ = 24 дм;а = 24 :3 = 8 ( д м ).
Усі середні лінії по 4 дм.
3) Р^ = 48 см; а = 48 : З= 16 (мм).
Усі середні лінії по 8 мм.
249. Нехай ААВС — рівносторонній.
M N — середня лінія.
В
А С
а)АС= 2M N = 2х 4= 8(см); Р ^ = Зх
X8 = 24 (см);
б)АС = 2M N = 2х 0,8= 1,6 (см); Р ^ с =
= 1,6х 3 = 4,8 (дм);
в) АС = 2MN = 2 X 100 = 200 (см); Р ^ ^ =
= З X 200 = 600 (мм).
Відповідь: а) 25 см; б) 4,8 дм; в) 600 мм.
250. Нехай дано ДАВС; MiV, РЛ^.МР—
середні лінії.
В
А Р С
M N = З CM-, N P = 5 c m ; M P = 6 см.
1)AB = 2NP = 2 x 5 = 10(cm); ВС = 2МР =
= 2х 6= 12 (см); АС= 2ЛГЛГ= 2х 3 =
= 6 (см); РД^^ = 10 + 12 + 6 = 28 (см);
2)АВ = 2х 7= 14 (см); ВС= 2х 9 =
= 18 (см); АС = 2х 12= 24 (см); P ^ ^ =
= 14 + 18 + 24 = 56 (см);
3)А В = 2х 8= 16(см); ВС= 2х 10 =
= 20 (см); АС = 2 X 12= 24 (см); Р ^ =
= 16 + 20 + 24 = 60 (см).
Відповідь: 1) 28 см; 2) 56 см; 3) 60 см.
251. Нехай дано: ДАВС. ДМЛ^Р — три­
кутник, утворений середніми лініями.
С
= 2х1)Р
X 18 = 36(см);
2,4 дм; Р А ^ = 2х 2,4 =
= 4,8(дм);
300 мм; Р ^ ^ = 2х 300 =
= 600 (мм).
Відповідь: 1) 36 см; 2) 4,8 дм; 3) 600 мм.
w
w
w
.4book.org

34. 252. ABCD — паралелограм; BD іAC —
діагоналі.
С
М К ^
А 1Г^ В
1 )M N = 5 см; М К = 11см; AADC:
M N — середня лінія; А С = 2M N =
= 10 см; AABD: М К — середня лінія;
BD = 2М К = 22 см;
2 )M N = 0,6 дм; АС= 1,2 дм;
0,9 дм; BD = 1,8 дм;
3 )M N = 100 мм; АС= 200 мм;
М К = 14 см; BD = 28 см.
253. 1) Рівносторонній трикутник;
2) рівнобедрений трикутник.
254.
А
1 ) А С : С В = 2 : 3 ;
2) A M : M B = 3 :4 ;
3 )А К :К В = 2 :5 .
255. 1)АБ^ - ßjß, = 9 c m ; ABj = 9 c m ;
2)AB^ - = 8 см; = 12 см;
3 ) - B j ß j = 1 0 cm ; A B ^ = 2 0 cm .
256. Нехай дано паралелограм ABCX).
С
/ЛОВ; за теоремою Фалеса А М = M D,
отже, DK = KP.
ZCBD; за теоремою Фалеса BN = NC,
тоді BP = PK.
Отже, DK = K P = PB, що Й треба було
довести.
257. Нехай ААВС — рівнобедрений.
С
1)АС= ВС, M N = т; M N — середня
лінія трикутника, Р — периметр.
M N = 5 cm;AB = 2 M N = 1 0 cm;AC = BC =
= (4 0 -1 0 ): 2 = 15см.
Відповідь: 15 см; 15 см; 10 см.
1) m = 2,5 см; AB = 2т = 5 см; АС = ВС =
= (2 5 -5 ): 2 = 10(см).
Відповідь: 5 см; 10 см; 10 см.
258.Нехай О — середина відрізкаAB.
А
Р L
BL 1 N M ; M L ЦKP. M L = N B = К Р =
= 4 C M .
AABL: OP — середня лінія. OP ||AL.
ßO= OA, за теоремою Фалеса В Р = PL.
ОР = І а і , = І х ( 8 + 4) = 6 ( c m );
ОК = О Р -К Р = 6 -4 = 2см.
Відповідь: 2 см.
259. Нехай дано ДАВС. А В :В С :А С =
= 3 :4 :5 .
1)РД^^= 60 см; HiMNP — трикутник,
утворений середніми лініями даного
ААВС.
АВ = Зх; ВС= 4х; АС= 5х; РА^^ = 12х;
^^мир- 12лс= 60; х = Ь ; А В = 15см;
ВС = 20 см; АС = 25 см;
МІУ = | а С = 12,5 см;
Wi> = -B C = 10 см;
2
М Р = -А В = 7,5 см.
2
Відповідь: 7,5 см; 12,5 см; 10 см.
2) Я = 4,8 дм = 48 см; 12л: = 48; ж= 4 см;
AB = 12 см; ВС = 16 см; АС = 20 см;
w
w
w
.4book.org

35. г
M N = -A C = 10 см;
N P = ^BC = 8 см; M P = ^A B = 6 см.
Відповідь: 6 см; 8 см; 10 см.
260. Нехай дано AABC, сторони AABC
A B : ВС ■,AC= 1 :8 : 9.
В
А P С
^M N P — трикутник, утворений серед­
німи лініями.
1) = 48 ом; РА^^ = 2 Р Д ^ = 96 см;
AB = 7х; ВС = 8jc; АС = 9х; 7х + 8х + 9х =
= 96; 24х= 96; 4; AB = 28 см; ВС =
= 32 см;ЛС = 36см;
2)Р= 4,8 дм; АВ = 1,4 дм; ВС = 1,6 дм;
ЛС= 1,8 дм.
261. Нехай дано ДАВС; AMNP — три­
кутник, утворений середніми лініями.
В
Р Л ^ = А В + ВС + АС.
M N = -A C ; М Р = -В С ; N P = -A B .
2 2 2
Р ш . . = ^ + ВС + ^АС =
= і(А В + ВС+ АС) = |р^е-
Отже, РД ^,= 2Р, що й треба було
довести.
262. Нехай дано чотирикутникЛВСІ).
АС і BD — діагоналі.
В
1)АС = т =4 см; ВХ) = л = 6 см; M N PK —
чотирикутник; М , N, Р, К — середини
сторін чотирикутникаABCD.
ДАВС; M N — середня лінія ДАВС;
M N = -A C = -m = 2 см;
2 2
ДАОС; KP — середня лінія ДАОС;
КР = -А С = ^т=^2 см;
2 2
ABDC; N P = -B D = - n = --6 = 3 см;
2 2 2
AABD-, M K = -B D = - n = - 6 = 3 см;
2 2 2
Р ^ „ = 2 + 3-(-2-ьЗ = 10(см).
2) m = 24 см; л = 25 см; Р^,^р^=12+12 +
-н12,5-н12,5 = 49 (см).
Відповідь: І) 10 см; 2) 49 см.
263. Нехай ABCD — чотирикутник,
АС і BD — діагоналі; АС + BD = S.
Ж
М, N, Р, к — середини сторін даного
чотирикутника.
Р.МУРК= M N + N P + KP + K M .
AABC; M N — середня лінія,
M N = і AC; AADC — середня лінія;
K P = -AC
AABDfM K — середня лінія,
M K = -B D ;
2
ABDC; N P — середня лінія,
N P = -B D .
2
P „ ,,^ = iß D + iß D + iA C + |AC =
= BD + AC = S.
1) S = 25 cm; P m u p k - ^ ^
2) S = 3,5 дм; = 3,5 дм.
Відповідь: 1) 25 см; 2), 3,5 дм.
S
сс
а
го
I
т
ё :
5
‘с
о
3
о.
I—
ш
со
w
w
w
.4book.org

36. 264. НехайABCD — квадрат. AC — діа­
гональ; AC =d.
M N K P — чотирикутник, вершини яко­
го є серединами сторін квадрата.
M N = PK = -A C ; N K = M P = -B D ;
2 2
AC = BD = d ;P „,,^ = 2d.
1)Р = 16см; 2) Р = 2,6 дм.
265. 1) Нехай ABCD — прямокутник;
М, N, Р, К — середини його сторін.
D М С
hADC-, M N AC-, M N = -A C ; AABC;
2
KPAC-, K P = -A C (властивість серед­
ньої лінії трик^ника). отже, M N ||KP;
M N = KP. Аналогічно N P ||M K ; N P =
= M K . Якщо BD = AC, TO M N = N P =
= PK = M K .
Отже, M N P K — ромб, що й треба було
довести.
2) Нехай ABCD — ромб. М , N, Р, К —
середини сторін ромба.
В
K P = M N = -А С ; PN = K M = -BD-,
2 2
K P IIAC; M N IIAC; KP ||M N ; PN ||BD;
K M IIBD; K M + PN; K M = PN; BD ±AC;
PN X M N ; K P X K M .
Отже, K PN M — прямокутник, що й
треба було довести.
3)ABCD — квадрат. М, N, Р, К — сере­
дини сторін.
PKBD; PK = ^BD;
M N = PK;PMAC; Р М = ^АС;
ІСЛГЦАС: K N = ^AC;
K N = PM ; AC= BD. Отже, P M = M N =
= N K = PK. P M N K - ромб. APDM =
= ANCM. ZP M D = ZN M C = 45°; Z P M N =
= 90°, отже, ромб PM N K — квадрат.
266. Нехай М, N, P — середини сторін
шуканого трикутника.
Проведемо прямі, що проходять че­
рез дані точки паралельно середнім
лініям трикутника. ААБС — шуканий
трикутник-.
267. M N AB;BN = NK , за теоремою
Фалеса K M =АМ .
269. Нехай дано ДАВС. AM , ВАГ, CN —
медіани трикутника ABC.
О — точка перетину медіан трикутника.
w
w
w
.4book.org