O documento discute progressões aritméticas, definindo-as como sequências em que a diferença entre os termos é constante. Fornece exemplos de progressões de primeira, segunda e terceira ordem e explica como calcular o termo geral e termos específicos de uma sequência usando sistemas de equações.

1. Questões de Seqüências – Professor Joselias
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Questões de Seqüências
Professor Joselias – joselias@uol.com.br - www.concurseiros.org
Sejam a1, a2, a3,....., an uma seqüência de números reais.
Dizemos que a1, a2, a3,....., an é uma progressão aritmética(P.A.) de ordem r se a r-ésima
diferença é constante.
Exemplo:
a) 2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois
.....
3 3 3 3 3 3 ......... r = 1
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois
......
3, 5, 7, 9, 11, .........
......
2, 2, 2, 2, 2,...... r = 2
Proposição:
Se um seqüência é uma progressão aritmética de ordem r então o termo geral é de grau r em
n.
Exemplo:
a) Qual o termo geral da seqüência 2, 5, 8, 11, 14, 17,...., e qual o 15ª termo?
Solução:
2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois
.....
3 3 3 3 3 3 ......... r = 1
Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).
Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:
n=1 A + B = 2 (equação 1)
n=2 2A+ B = 5 (equação 2)
Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 3.
Substituindo A = 3 na equação 1 temos B = -1
Logo o termo geral é an = 3n -1
O 15ª termos será a15 = 3x15 -1 = 45-1 = 44.
Exemplo:
b) Qual o termo geral da seqüência 1, 4, 9, 16, 25, 36,......, e qual o 15ª termo?
Solução:
1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois
......
3, 5, 7, 9, 11, .........
......
2, 2, 2, 2, 2,...... r = 2
Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).
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2. Questões de Seqüências – Professor Joselias
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Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:
n=1 A+B+C=1 (equação 1)
n=2 4A + 2B + C = 4 (equação 2)
n=3 9A + 3B + C = 9 (equação 3)
Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:
3A + B = 3 (equação 4)
8A + 2B = 8 4A + B = 4 (equação 5)
Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos:
A=1
Substituindo A = 1 na equação 4 temos B = 0.
Substituindo A = 1 e B = 0 na equação 1 temos C = 0.
Logo o termo geral é:
an = An2 + Bn + C
an = 1n2 + 0n + 0
an = n2
O 15ª termos será a15 = 152 = 225.
EXEMPLO:
Solução:
4, 6, 8, 10, 12, 14,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois
.....
2 2 2 2 2 2 ......... r = 1
Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).
Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:
n=1 A + B = 4 (equação 1)
n=2 2A+ B = 6 (equação 2)
Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2.
Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 2
Logo o termo geral é an = 2n +2
O 16ª termos será a16 = 2x16+2 = 32 +2 = 34
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EXEMPLO
a)
Solução:
4, 12, 24, 40, 60, 84 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois
......
8 12, 16, 20, 24, .........
......
4, 4, 4, 4, 4,...... r = 2
Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).
Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:
n=1 A+B+C=4 (equação 1)
n=2 4A + 2B + C = 12 (equação 2)
n=3 9A + 3B + C = 24 (equação 3)
Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:
3A + B = 8 (equação 4)
8A + 2B = 20 4A + B = 10 (equação 5)
Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos:
A=2
Substituindo A = 2 na equação 4 temos B = 2.
Substituindo A = 2 e B = 2 na equação 1 temos C = 0.
Logo o termo geral é:
an = An2 + Bn + C
an = 2n2 + 2n + 0
an = 2n2 + 2n
O 10ª termos será a10 = 2x102 + 2x10 = 200 + 20 = 220
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b) Os quadrados formam a seqüência 1, 5, 14, 30, 55, 36, 81 ....
1 5 14 30 ........
1, 5, 14, 30, 55, 91 .. . é uma P.A. de 3ª ordem pois
......
4 9, 16, 25, 36, .........
......
5, 7, 9, 11, 13,......
......
2, 2, 2, 2, 2,...... r = 3
Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3 + Bn2 + Cn + D (3ª grau em n).
Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:
n=1 A + B + C +D = 1 (equação 1)
n=2 8A + 4B + 2C +D = 5 (equação 2)
n=3 27A + 9B + 3C +D= 14 (equação 3)
n=4 64A + 16B + 4C +D= 30 (equação 4)
Fazendo cada equação menos a anterior temos:
7A + 3B + C = 4 (equação 5)
19A + 5B + C = 9 (equação 6)
37A + 7B + C = 16 (equação 7)
Subtraindo a equação 5 das equações 6 e 7 temos:
12A + 2B = 5 (equação 8)
30A + 4B = 12 (equação 9)
Resolvendo o sistema em A e B temos:
A = 1/3 e B = ½
Substituindo A = 1/3 e B = ½ na equação 5 temos C = 1/6.
Substituindo A = 1/3, B = ½ e C = 1/6 na equação 1 temos D = 0.
Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3 + Bn2 + Cn + D e portanto o termo geral
n3 n 2 n
an = + +
3 2 6
será:
2n3 + 3n 2 + n
an =
6
2.10 + 3.102 + 10 2000 + 300 + 10 2310
3
Logo a10 = = = = 385
6 6 6
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5. Questões de Seqüências – Professor Joselias
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EXEMPLO
Solução:
2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois
......
5, 8, 11, 14, 17, .........
......
3, 3, 3, 3, 3,...... r = 2
Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).
Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:
n=1 A+B+C=2 (equação 1)
n=2 4A + 2B + C = 7 (equação 2)
n=3 9A + 3B + C = 15 (equação 3)
Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:
3A + B = 5 (equação 4)
8A + 2B = 13 (equação 5)
Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos:
A = 3/2
Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2.
Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0.
Logo o termo geral é:
an = An2 + Bn + C
3n 2 n
an = +
2 2
3n + n
2
an =
2
3x302 + 30 3 x900 + 30 2730
a30 = = = = 1365
2 2 2
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EXEMPLO
Solução:
5, 9, 13, 17, 21, 25,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois
.....
4 4 4 4 4 ......... r = 1
Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).
Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:
n=1 A + B = 5 (equação 1)
n=2 2A+ B = 9 (equação 2)
Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 4.
Substituindo A = 4 na equação 1 temos B = 1
Logo o termo geral é an = 4n +3
O 25ª termos será a25 = 4x25+1 = 100 +1 = 101.
EXEMPLO
Solução:
2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois
......
5, 8, 11, 14, 17, .........
......
3, 3, 3, 3, 3,...... r = 2
Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).
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7. Questões de Seqüências – Professor Joselias
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Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:
n=1 A+B+C=2 (equação 1)
n=2 4A + 2B + C = 7 (equação 2)
n=3 9A + 3B + C = 15 (equação 3)
Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:
3A + B = 5 (equação 4)
8A + 2B = 13 (equação 5)
Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos:
A = 3/2
Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2.
Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0.
Logo o termo geral é:
an = An2 + Bn + C
3n 2 n
an = +
2 2
3n + n
2
an =
2
3x 402 + 40 3 x1600 + 40 4840
a40 = = = = 2420
2 2 2
(FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão
de figuras compostas por triângulos:
Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta
de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é
(A) 45 (B) 49 (C) 51 (D) 57 (E) 61
Solução:
3, 5, 7, 9, 11, 13,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois
.....
2 2 2 2 2 ......... r = 1
Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).
Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:
n=1 A + B = 3 (equação 1)
n=2 2A+ B = 5 (equação 2)
Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2.
Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 1
Logo o termo geral é an = 2n +1
O 25ª termos será a25 = 2x25+1 = 50 +1 = 51.
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