Colloque de tebessa 1

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Colloque de tebessa 1

  1. 1. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionG´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass etapplicationDJEDDI KamelSous la direction de Professeur:KADA AllabColloque National sur les Sciences Math´ematiquesUniversit´e de Tebessa17-18 Septembre 2012DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  2. 2. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionPlan de travailDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  3. 3. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionPlan de travail1 IntroductionDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  4. 4. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionPlan de travail1 Introduction2 Chapitre 1: G´en´eralit´esDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  5. 5. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionPlan de travail1 Introduction2 Chapitre 1: G´en´eralit´esTh´eor`eme classique de WeierstrassOp´erateur de Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomesOp´erateur int´egral Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomes Hilbert-SchmidtDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  6. 6. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionPlan de travail1 Introduction2 Chapitre 1: G´en´eralit´esTh´eor`eme classique de WeierstrassOp´erateur de Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomesOp´erateur int´egral Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomes Hilbert-Schmidt3 Chapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  7. 7. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionPlan de travail1 Introduction2 Chapitre 1: G´en´eralit´esTh´eor`eme classique de WeierstrassOp´erateur de Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomesOp´erateur int´egral Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomes Hilbert-Schmidt3 Chapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassTh´eor`eme de Weierstrass dans espace de HilbertTh´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  8. 8. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionPlan de travail1 Introduction2 Chapitre 1: G´en´eralit´esTh´eor`eme classique de WeierstrassOp´erateur de Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomesOp´erateur int´egral Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomes Hilbert-Schmidt3 Chapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassTh´eor`eme de Weierstrass dans espace de HilbertTh´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L24 Chapitre 3: ApplicationDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  9. 9. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionPlan de travail1 Introduction2 Chapitre 1: G´en´eralit´esTh´eor`eme classique de WeierstrassOp´erateur de Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomesOp´erateur int´egral Hilbert-SchmidtOp´erateurs polynˆomes Hilbert-Schmidt3 Chapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassTh´eor`eme de Weierstrass dans espace de HilbertTh´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L24 Chapitre 3: Application5 ConclusionDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  10. 10. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionIntroductionD’un point de vue physique un syst`eme peut grossi`erement ˆetre consid´er´ecomme un m´ecanisme faisant correspondre `a une action (on dira uneentr´ee ) une r´eaction ( une sortie ). D’un point de vue math´ematique, unsyst`eme peut ˆetre repr´esent´e par un op´erateur, celui-ci faisantcorrespondre `a une fonction ( la fonction entr´ee), une autre fonction ( lafonction sortie ).DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  11. 11. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionIntroductionD’un point de vue physique un syst`eme peut grossi`erement ˆetre consid´er´ecomme un m´ecanisme faisant correspondre `a une action (on dira uneentr´ee ) une r´eaction ( une sortie ). D’un point de vue math´ematique, unsyst`eme peut ˆetre repr´esent´e par un op´erateur, celui-ci faisantcorrespondre `a une fonction ( la fonction entr´ee), une autre fonction ( lafonction sortie ).La connaissance d’un syst`eme revient `a celle des lois qui r´egissent soncomportement. L’´etude du comportement `a partir des lois ´el´ementairesest th´eoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible sile syst`eme est complexe, si les ph´enom`enes pr´esents ne sont pas, ou sontmal connus etc...DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  12. 12. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionIntroductionOn cherche alors une approximation du comportement du syst`eme(G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass), c’est-a-dire uneapproximation de l’op´erateur qui le repr´esente, `a partir de certainesentr´ees et des sorties correspondantes.DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  13. 13. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 1: G´en´eralit´esTh´eor`eme classique de WeierstrassTh´eor`emeToute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e I de R , `a valeursr´eelles, peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur I `a ε pr`es, pour tout ε > 0, parune fonction polynomiale.DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  14. 14. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 1: G´en´eralit´esTh´eor`eme classique de WeierstrassTh´eor`emeToute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e I de R , `a valeursr´eelles, peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur I `a ε pr`es, pour tout ε > 0, parune fonction polynomiale.En d’autres termes:DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  15. 15. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 1: G´en´eralit´esTh´eor`eme classique de WeierstrassTh´eor`emeToute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e I de R , `a valeursr´eelles, peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur I `a ε pr`es, pour tout ε > 0, parune fonction polynomiale.En d’autres termes:Th´eor`emeLe sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est dense parrapport `a C (I, R) dans E = B∞ (I, R)DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  16. 16. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 1: G´en´eralit´esOp´erateur de Hilbert-SchmidtD´efinitionSoient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un op´erateur A de H1 dans H2est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la repr´esentation :Af =∞n=1λn f, en hno`u (en) et (hn) sont des ensembles orthonorm´es dans H1 etH2 respectivement. f ∈ H1λn > 0 et tel que la s´erie ∞1 λ2n converge.DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  17. 17. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 1: G´en´eralit´esOp´erateurs polynˆomesD´efinitionSoient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P(x) deX dans Y d´efinie pour tous les x est un op´erateur polynˆome de degr´e m si :P(x1 + αx2) =mn=0Pn(x1, x2)αn∀x1, x2 ∈ X, α complexePn(x1, x2) ´etant ind´ependants de α.DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  18. 18. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 1: G´en´eralit´esOp´erateur int´egral Hilbert-SchmidtD´efinitionSoit T un intervalle r´eel, k ∈ L2Tn+1un op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt, A : L2(Tn) → L2(T) , s’ecrit :(Ax) (t) =T nk (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ TnDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  19. 19. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 1: G´en´eralit´esOp´erateurs polynˆomes Hilbert-SchmidtD´efinitionUn op´erateur polynˆome Hilbert-Schmidt de degr´e N est une combinaisonlin´eaire d’op´erateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’´ecrira :(Hx) (t) =Nn=0 T nkn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsnDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  20. 20. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassTh´eor`eme de Weierstrass dans espace deHilbertTh´eor`emeSoit H un espace de Hilbert s´eparable, K une partie compacte de H etC (K, H) l’espace vectoriel norm´e des applications continues de K dans H.Alors la famille des op´erateurs polynˆomes d´efinies et continus dans le compactK est dense dans C (K, H) .DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  21. 21. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassTh´eor`eme de Weierstrass dans espace deHilbertEn d’autres termes:Th´eor`emeSi A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe un op´erateurpolynˆome P(ε)N tel queA − P(ε)N = supx∈KAx − P(ε)N x < εP(ε)N = L0 + L1x + ... + LN xNL0 = application constanteLn = application n−lin´eaire Hn→ H, Lnxn= Ln (x, ..., x) .DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  22. 22. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionG´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassTh´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2Soit T un intervalle r´eel, t ∈ T, X un compact de L2(T) et C[X, L2(T)]l’espace vectoriel norm´e des applications continues de X dans L2(T)(muni de la norme des sup).Notons n l’ensemble des polynˆomes Hilbert-Schmidt de degr´e ≤ n,d´efinis sur X :H ∈ n ⇔ (Hx) (t) =nj=0 T jkj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj.o`u x ∈ X. En supposant les kj sym´etriques par rapport `a s1, ..., sj .Pard´efinition des op´erateurs Hilbert-Schmidt n ⊂ C[X, L2(T)].DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  23. 23. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionTh´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2Th´eor`emeSoit k ⊂ C[X, L2(T)] relativement compact (k compact)Alors ∀ε > 0, ∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynˆomeHilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisant la relationF − H C[X,L2(T )] = supx∈XFx − Hx L2(T ) < εDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  24. 24. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionTh´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2Th´eor`emeSoit k ⊂ C[X, L2(T)] relativement compact (k compact)Alors ∀ε > 0, ∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynˆomeHilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisant la relationF − H C[X,L2(T )] = supx∈XFx − Hx L2(T ) < εPropositionSoit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2(T) → R. Alors ilexiste une suite d’´el´ements de , c’est-`a-dire des fonctionnellesHilbert-Schmidt, qui converge uniform´ement vers F.DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  25. 25. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionTh´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2Preuve- est manifestement une alg`ebre.- s´epare les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel queTk1(s)x1(s)ds =Tk1(s)x2(s)ds- toute fonctionnelle appartenant `a est ´evidement continue.D’apr`es le th´eor`eme de Stone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entierN(ε) = N tel que pour toute fonctionnelle F continue sur X on dit|F(x) − k(x)| = F(x) −nj=0 T jkj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj < ε,∀x ∈ X.Aussi, la classe des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait densedans c [X, R] .DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  26. 26. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionTh´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2Le passage `a un op´erateur dans L2(T) utilisera le fait qui k(x) est pr´ecompact et peut ˆetre recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules dediam`etre k.Ou simulera aussi un op´erateur A `a une famille de fonctionnelles Atd´efinies parAt(x) = (Ax)(t), x ∈ L2(T), t ∈ T.DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  27. 27. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionChapitre 3: ApplicationOn va d´ecrire la d´etermination d’un syst`eme non lin´eaire enl’approximant par un op´erateur Hilbert-Schmidt d’ordre 2.Calcul formel d’identificationLe syst`eme est approxim´e par un polynˆome Hilbert-Schmidt d’ordre 2.{Φi (t)} ´etant une base de L2(T), la sortie du syst`eme y(t)correspondant `a l’entr´ee x (z) est donn´ee par :y(t) =Tk1 (t − z) x (z) dz +T 2k2(t − z1, t − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2aveck1 (t) =Ni=1αiΦi(t)k2 (t1, t2) =Ni,j=1βijΦi (t1) Φj (t2)DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  28. 28. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationavec les donn´eesentr´ees mesur´ees: vecteur x (tk) , k = 1, ..., psorties mesur´ees: vecteur y (tk), k = 1, ..., pProbl`emeTrouver les N coefficients αi et les N2coefficients βij.DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  29. 29. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationCalculs:y(tk) = y1(tk) + y2(tk)avecy1(tk) =Tk1 (tk − z) x (z) dzy2(tk) =T 2k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  30. 30. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationExpression de y1(tk) :y1(tk) =Ni=1 TΦi (tk − z) x (z) dzOn applique la m´ethode des trap`ezes pour calculerTΦi (tk − z) x (z) dzpour cela, on divise l’intervalle [0, T] en D sous intervalles d’amplitudeTD = h cette int´egrale devient :y1(tk) =Ni=1hαiDl=1Φi (tk − zl) x (zl)avec zl ∈ [(l − 1) h, lh]DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  31. 31. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationExpression de y2(tk) :y2(tk) =Ni,j=1βij(TΦi (tk − z1) x (z1) dz1)(TΦj (tk − z2) x (z2) dz2)En appliquant la m´ethode des trap`ezes on obtient :TΦi (tk − z1) x (z1) dz1 = hDl=1Φi (tk − zl) x (zl)TΦj (tk − z2) x (z2) dz2 = hDl=1Φj (tk − zl) x (zl)DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  32. 32. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationdoncy2(tk) =Ni,j=1h2βij (Dl=1Φi (tk − zl) x (z1)).(Dl=1Φj (tk − zl) x (zl))DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  33. 33. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationExpression de y(tk) :y(tk) = y1(tk) + y2(tk)alorsy(tk) = hNi=1αiDl=1Φi (tk − zl) x (zl)+2h2Ni=j=1βij (Dl=1Φi (tk − zl) x (zl)).(Dl=1Φj (tk − zl) x (zl))+h2Ni=1βiiDl=1Φi (tk − zl) x (zl)2DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  34. 34. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationEn appliquant la m´ethode de Moindres carr´es :y et y ´etant respectivement les sorties calcul´ee et mesur´ee :Sp = (y (tp) − y (tp))S =Pp=1(y (tp) − y (tp))2=Pp=1(Sp)2On a un syst`eme de N + N + N2−N2 ´equations.On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1(tn2− zn3) x (zn2)DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  35. 35. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplication∂Sp∂αi= hDl=1F (i, p, l)∂Sp∂βii= h2Dl=1F (i, p, l)2∂Sp∂βij= 2h2Dl=1F (i, p, l) .Dl=1F (j, p, l)Sp = hNi=1αiDl=1F (i, p, l) + h2Ni=1βiiDl=1F (i, p, l)2+2h2N1βijDl=1F (i, p, l) .Dl=1F (i, p, l)− y (tp)DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  36. 36. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationFormation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2−N2αi = V (i) avec i = 1, ..., Nβii = V (N + i) avec i = 1, ..., Nβij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i − 1) N −i2On pose G (i, j) =Dl=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl) x (zl)DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  37. 37. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationdonc :Sp = hNi=1αiG (i, p) + h2Ni=1βii (G (i, p))2+2h2N−1i=1j>iβijG (i, p) G (j, p) − y (tp)12∂S∂αi=Pp=1Sp∂Sp∂αi= 012∂S∂βii=Pp=1Sp∂Sp∂βii= 012∂S∂βij=Pp=1Sp∂Sp∂βij= 0DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  38. 38. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationavec∂Sp∂αi= hG (i, p)∂Sp∂βii= h2[G (i, p)]2∂Sp∂βij= 2h2G (i, p) G (j, p)Pour compl´eter les algorithmes, on d´etermin´e les coefficients de lamatrice des moindres carr´es, on droit distinguer, pour l’applicationinformatique, les diff´erents cas :DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  39. 39. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionApplicationPar exemplecas 1: r ≤ Ns ≤ NB (r, s) =Pp=1{hG (r, p) hG (s, p)}H (r) =Pp=1{hG (r, p) y (tp)}cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s − N = iB (r, s) =Pp=1hG (r, p) h2[G (s, p)]2DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  40. 40. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionConclusionConclusionDans ce travail relatif `a la recherche du mod`ele, ´etudie les propri´et´es desop´erateurs polynˆomes et sp´eciallement ceux du type Hilbert Schmidt.Elle ´etude leur utilisation pour approximer des op´erateurs non lin´eaire.On montrera tout op´erateur non lin´eaire d´efini et continu sur un compactX de L2(T) (T intervalle r´eel) peut ˆetre repr´esent´e par un polynˆomeHilbert Schmidt est (donc par des int´egrales `a noyaux) ; autrement ditl’ensemble des polynˆomes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2(T)].Si au lieu de L2(T), l’op´erateur est d´efini sur un Hilbert s´eparable, onverra qu’il peut ˆetre repr´esent´e par un op´erateur polynˆome.DJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
  41. 41. Plan de travailIntroductionChapitre 1: G´en´eralit´esChapitre 2: G´en´eralisation du th´eor`eme de WeierstrassChapitre 3: ApplicationConclusionDJEDDI Kamel (Universit´e de Oum El Bouaghi) G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et applicationMercipourvotreattention

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