1. GEOMETRÍA

2. PUNTO Es el primer objeto geométrico y origen de todos los demás. El Punto se representa por un pequeño círculo. No tiene dimensiones. Un punto sólo tiene posición en el espacio Es la unidad indivisible de la geometría. No tiene dimensión (largo, alto, ancho) Se nombran por una letra mayúscula.

3. LÍNEA Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. Línea recta Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.

4. Línea curva Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada.

5. Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.

6. RECTAS PARALELAS Rectas paralelas son las que no se cortan. No tienen puntos en común. RECTAS PERPENDICULARES Si al cortarse dos rectas forman cuatro ángulos iguales se dice que estas dos rectas son perpendiculares . Se llama ángulo recto a cualquiera de los ángulos con que se cortan.

7. ACTIVIDAD Trazar 5 ejemplos de líneas rectas paralelas. Trazar 5 ejemplos de rectas perpendiculares.

8. PERPENDICULAR POR UN PUNTO DE LA RECTA Sea P un punto de la recta r. 1.-Se traza una circunferencia cualquiera c, centrada en P. La circunferencia c corta en A y en B a r. 2.-Con centro en A y en B se trazan dos circunferencias iguales que se corten en M y N. La recta que pasa por M y N es perpendicular a la recta r.

9. PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTERIOR El proceso es muy similar al anterior. Sea P un punto que no está en la recta r. Basta con hacer una circunferencia centrada en P que corte a la recta r en dos puntos, A y B. Se hacen circunferencias centradas en A y B de igual radio y que se corten. La recta que pasa por P y el punto de corte anterior es perpendicular a r. trazar 5 ejemplos más.

10. ACTIVIDAD Trazar 5 ejemplos de líneas perpendiculares por un punto de la recta. Trazar 5 ejemplos de perpendiculares por un punto exterior a la recta

11. ANGULOS Es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice.

12. Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma: a) Una letra mayúscula en el vértice. b) Una letra griega o un símbolo en la abertura. c) Tres letras mayúscula. < abc

13. MEDIDA DE ÁNGULOS. Para medir un ángulo, se coloca el centro del transportador sobre el vértice del ángulo, y uno de los lados sobre la línea del cero. Observa que tiene dos graduaciones en orden inverso; esto es para facilitar la medida en cualquier posición del ángulo.

14. SISTEMA SEXAGESIMAL En el sistema sexagesimal, los ángulos se miden en grados (º), minutos (') y segundos(''). Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

15. TIPOS DE ÁNGULOS Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, en este caso se considera un ángulo positivo.

16. Tipo de ángulo Cóncavo 0° < < 180°

17. Agudo 0° < < 90°

18. Recto = 90°

19. Obtuso 90° < < 180°

20. Extendido o llano = 180°

21. Convexo o entrante 180° < < 360°

22. Completo = 360°

23. PAREJA DE ÁNGULOS Ángulos adyacentes Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.

24. Ángulos consecutivos Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. <BAC es adyacente con <DAC

25. Ángulos complementarios Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°. El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

26. Ángulos suplementarios Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°. El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

27. Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

28. Ángulos opuestos por el vértice Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. y dichos ángulos son iguales. Son ángulos opuestos por el vértice 1 = 3 2 = 4 6 = 8 5= 7

29. Ángulos correspondientes entre paralelas 1 = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8

30. Ángulos alternos externos y ángulos alternos internos entre paralelas. 1 = 7 2 = 8 Y 3 = 5 4 = 6

31. Son suplementarios 1 6 2 5 3 8 4 7 Ángulos contrarios o conjugados. Ángulos colaterales. 1 8 2 7 3 6 4 5

32. EJERCICIOS

33. 1.- Encuentra las medidas de todos los ángulos formados por las tres rectas A = B = C= D= E= F= G= a 38.6° b c d e f g

34. 2.- Calcula los ángulos interiores del siguiente paralelogramo: m 55.8° A = B = C= o n

35. 3.- Determina el valor de los ángulos a (2x – 5) b c d f g e x = A = B= C= D= E= F= G=

36. TRIANGULOS

37. Un triángulo es un polígono de tres lados. Un triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.

38. Triángulo equilátero Tres lados iguales. Triángulo isósceles. Dos lados iguales. Triángulo escaleno Tres lados desiguales

39. Ángulos del triángulo En un triángulo existen dos tipos de ángulos: Los ángulos interiores lo forman dos lados. Los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación.

40. Clasificación de triángulos según sus ángulos Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior recto. El lado mayor del triángulo se llama hipotenusa. Los lados menores del triángulo son los catetos. Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso.

41. ACTIVIDAD En hojas de colores, trazar y recortar triángulos con las siguiente medidas. Verificar si es posible la construcción , de no ser así, encontrar una regla para saber cuando si o cuando no, es posible la construcción de la figura.

42. 1) triángulo ABC AB = 3 cm. BC = 5 cm. AC = 5 cm. 2) triángulo PQR. PQ = 7 cm. QR = 6 cm. RP = 5 cm. 3) triángulo BCD. BC = 6 cm. 4) triángulo OPQ. PQ = 8 cm. QO = 4 cm. OP = 6 cm. 6) Triángulo DEF. DE = 8 cm. EF = 4 cm. FD = 5 cm 5) Triángulo DEF. DE = 7 cm. EF = 10 cm. FD = 5 cm

43. 9) Triángulo MNO. MN = 8 cm NO = 8 cm OM = 6 cm. 7) triángulo XYZ. XY = 8 cm. YZ = 4 cm ZX = 5 cm. 8) Triángulo HIJ. HI = 7 cm. I J= 2 cm JH = 5 cm. 12) triángulo MNO. OM = 7 CM. O = 58° M = 75° 10) triángulo MNO. OM = 6 cm. NO = 2 cm MN = 2 cm 11) triángulo PQR. PQ = 7 cm QR = 6 cm RP = 5 cm 13) triángulo XYZ. XY = 8 cm. Y = 90° YZ = 5 cm. 14) triángulo MNO. OM = 8 CM. O = 30° M = 75° 15) Triángulo HIJ. HI = 7 cm. I = 100° IJ = 5 cm.

44. Cuando hayas terminado de recortar los triángulo, los pegarás en forma collage, en hoja de color. La hoja deberá tener margen, como encabezado tus datos personales y lo entregas para su revisión.

45. Propiedades de los triángulos 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. a < b + c a > b - c 2. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

46. 3. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales

47. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. A + B + C = 180º

48. ACTIVIDAD

49. Traza un triangulo cualquiera como el de la figura. Haz dobleces siguiendo la línea punteada Dobla las esquinas del triángulo por el dobles marcado

50. ¿Coinciden los tres vértices? ¿Sucederá lo mismo en cualquier triángulo? ¿Cuál será la suma de los ángulos que tienen vértice en el punto donde concurren los vértices?

51. Ahora dibuja un triángulo, recorta dos de sus ángulos y colócalos de cada lado del ángulo que no se recortó. ¿Qué ángulo se forma? Traza y recorta tres triángulos iguales y ensamblarlos como un rompecabezas. De acuerdo con lo anterior ¿Cuánto debe medir la suma de los tres triángulo interiores de un triángulo?

52. A´ B´ c b a B´ + c + A´ = 180° a = B´ por ser ángulos alternos internos b = A´ por ser ángulos alternos internos c = c por ser el mismo ángulo -> a + b + c = 180°

53. En el ∆ABC el <A = 60°, <B = 45°, ¿Cuál es el valor del <C? 2. En el ∆PQR, <P = x, <Q = 2x, <R = 3x, ¿Cuál es el valor de x, del <P,<Q,<R? 3. En el ∆DEF, <D = 2x+10°, <E = 2x - 50°, <F = x + 40°, calcular los valores de los ángulos D,E yF.

54. 4. En un triangulo rectángulo un ángulo mide 30°, ¿Cuál es el valor del otro ángulo agudo? 5. En un triangulo isósceles el ángulo desigual mide 40° ¿Cuál es el valor de los ángulos iguales?

55. M 40° x 100° L 6. Si L  M, encuentra la medida del ángulo marcado con x.

57. 5. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él. α = B + C

58. B D A C A + B + C = 180° por ser ángulos interiores de un triángulo C + D = 180° por se ángulos suplementarios Entonces: A + B + C = C + D A + B + C – C = D -> D = A + B

61. 6. Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º. Encontrar la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero. (cuadrado, rectángulo, rombo romboide, trapecio) Encontrar la suma de los ángulos interiores de un pentágono.

62. Elementos notables de un triángulo

63. Altura es, cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o, a su prolongación). El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas. Ortocentro

64. Ubicar el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos Triángulo 1

65. Ubicar el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos Triángulo 2

66. Ubicar el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos Triángulo 3

67. Baricentro El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. BG = 2GA Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

68. Ubicar el baricentro en las siguientes figuras. Figura 1 Figura 2 Figura 3

69. Circuncentro El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices. Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

70. Ubicar el circuncentro en las siguientes figuras. Figura 1 Figura 2 Figura 3

71. Incentro El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices. Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

72. Ubicar el incentro en las siguientes figuras. Figura 1 Figura 2 Figura 3

73. Recta de Euler El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

74. FIN