1) O documento discute como resolver frações onde o grau do numerador é menor que o grau do denominador, transformando-as em uma soma de frações parciais. 2) Quando o denominador tem raízes complexas repetidas, as frações parciais devem incluir termos com todas as potências possíveis das raízes no denominador. 3) Três exemplos ilustram como calcular as integrais de frações com denominadores que contém raízes complexas repetidas.

1. Profª Débora Bastos

2. 2º Caso) Se o grau do numerador g(x) é
menor que o grau do denominador h(x) ,
g x)
(
Então transformamos a fração numa soma de frações:
h x)
(
d) As raízes do denominador são complexas e algumas repetidas.
Semelhante ao processo usado com raízes reais repetidas, quando
temos raízes complexas repetidas no denominador, temos que admitir
a possibilidade de termos a expressão quadrática que contém as raízes
complexas com todas as potências possíveis nos denominadores das
frações parciais, ou seja, se h(x) = f(x)(x2+px+q)n, com p2 < 4q, as
frações parciais relativas à (x2+px+q)n serão:
P1x Q1 P2x Q2 Pnx Qn
n n 1
...
(x² px q) (x² px q) x² px q

3. Exemplos:
3x4 4x3 16x 2 20x 9
1 dx
(x 2 x2
)( 3)2
2
R tA ln(x 2) ln(x 3) K
x 3
(x² 1)
dx 1 1 x 1
2 R ta arctg k
(x 2 2x 3)2
x 2
2x 3 2 2
(2x5 x4 4x3 2x2 3x 1)dx
3
(x2 2)3
1
R ta ln(x2 1) arctgx k
2 2
4x
( 2)