10. El profesor se sentó en su silla a leer el periódico, confiaba en que tendría horas hasta que los niños sumaran todos los números. Sin embargo, el pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050. ¿Cómo lo había hecho?
11. Gauss tenía que sumar lo siguiente: 1+ 2+ 3 + 4+ 5 + 6 + 7 + 8... + 95+ 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir: 1+100= 1012 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97= 101 5 + 96= 101 ... 46+ 55= 101 47+ 54= 101 48 + 53= 10149 + 52= 10150+ 51= 101 50 veces 101, es decir 50x101= 5050
12. De donde se deduce la fórmula de la sumatoria de los n primeros números. 𝑖=1𝑛 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+𝑛=𝑛𝑛+12 Conociendo esta fórmula podremos resolver el problema planteado a Gauss, que fue de sumar los 100 primero números. 𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=100100+12 𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=50(101) 𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=5050
13.
14.
15. P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del número de sumandos por la constante. 𝑖=𝑎𝑛 𝑘=[𝑛−𝑎+1].𝑘 Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión: 𝑖=5454=45−5+1.4=164
16. P3. La sumatoria en el que el término general es una suma algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias independientes. 𝑖=𝑎𝑛 (𝑘𝑖2+𝑘´𝑖)=𝑖=𝑎𝑛 𝑘𝑖2+𝑖=𝑎𝑛 𝑘´𝑖 Donde: k y k´ son constantes. Ejemplo: 𝑖=𝑎𝑛 (2𝑖2+3𝑖)=𝑖=𝑎𝑛 2𝑖2+𝑖=𝑎𝑛 3𝑖
17. P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede descomponerse de ésta manera: 𝑖=𝑎𝑛 𝑡𝑖=𝑖=1𝑛 𝑡𝑖−𝑖=1𝑎−1 𝑡𝑖 Donde: a≠𝟏 Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión: 𝑖=511𝑖=𝑖=111𝑖−𝑖=14𝑖
32. 7. Se tiene: 𝑴𝑨𝑹=1+2+3+…+ 43 1 +2 +3 +…+ 𝑹𝑴 Encontrar el valor de: Resolución: A:Encontremos el valor de 𝑅𝑀 1 +2 +3 +…+ 𝑹𝑴 B: Hallando 𝑀𝐴𝑅=1+2+3+…+ 43 1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 𝑀𝐴𝑅=43(43+1)2 2n-1=69 n=35 𝑀𝐴𝑅=946 Aplicando S.N Números impares Por Tanto: M =9 A=4 R=6 1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 = 352 1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 = 𝟏𝟐𝟐𝟓
33. 8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7 pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros más de lo que subieron en la estación anterior. Si al llegar a su paradero final se contaron con 520 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el ómnibus a recoger pasajeros? Resolución: Inicio: 1° 2° 3° … n° Final 7 9 11 13 __ 520 Total de pasajeros: 7 +9+11+13+…+n=520 𝑖=7𝑛2𝑛−1=520 𝑖=1𝑛2𝑛−1− 𝑖=162𝑛−1=520 𝑛2+ 62 = 520 𝑛= 22 𝑷𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒊𝒂 𝟕 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒋𝒆𝒓𝒐𝒔, 𝒆𝒍 𝒐𝒎𝒏𝒊𝒃𝒖𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝟐𝟏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
34. 9. Un obrero ha ahorrado este mes S/. 178 soles y tiene con esto S/. 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12 más que el mes anterior.¿ Cuánto ahorro el primer mes? Resolución: 1° 2° 3° … n° Mes Mes Mes 1° Mes actual pasado antepasado de ahorro 178 + 166 + 154 + … +(190-12n) = 1410 𝑖=1𝑛190−12𝑖=1410 190𝑛−6𝑛2−6𝑛 = 520 6𝑛2−184 – 520 = 0 𝑖=1𝑛190− 12𝑖=1𝑛𝑖=1410 3𝑛2−92 - 260 = 0 (3n+8)(n-15) = 0 𝑛= 15 190𝑛−12 𝑛(𝑛+1)2= 520 𝑬𝒍 𝟏° 𝒎𝒆𝒔 𝒂𝒉𝒐𝒓𝒓𝒐:𝟏𝟗𝟎−𝟏𝟐𝟏𝟓=𝟏𝟎
35. 10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado? Resolución: 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° …. 12° Fósil FósilFósilFósilFósilFósilFósilFósilFósil x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32 x + 64 x + 128x +…+ = 12285 x( 20+ 21+ 22+ 23 + 24 + 25 + 26 + 27+ 28 + 29 + 210 +211) = 12285 𝑥+ 𝑥𝑖=1112𝑖=12285 x+𝑥[212−22−1]= 12285 4095𝑥=12285 𝑥=3 Por 𝐞𝐥 𝟖° 𝒇ó𝒔𝒊𝒍 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓𝒐𝒏:𝟏𝟐𝟖𝟑=𝟑𝟖𝟒
![CONTENIDO ,[object Object]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)