1. GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA
MAG. DORIS ELIANA GUTIÉRREZ PACHECO
EL ORIGAMI COMO RECURSO DIDACTICO ARTÍSTICO PARA LA ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA
RESUMEN:
El presente proyecto nos demuestra la relación estrecha que existe entre las áreas de Arte y Matemática, ya que
para obtener, analizar y graficar figuras geométricas, así como sus principales teoremas, es indispensable contar
con capacidades y habilidades manuales que son desarrolladas en el área de arte. Es así que el Origami es utilizado
como recurso didáctico artístico para la enseñanza de la geometría constructiva en los primeros años de educación
secundaria. Es un trabajo teórico práctico donde el origami como arte japonés se conecta con la matemática, en
este caso con la geometría. Se presentan sus beneficios y cualidades para la enseñanza, las habilidades que
desarrolla su utilización y los contenidos que se pueden trabajar con el.
Esta opción se trabaja en base a talleres de geometría constructiva para aprender geometría doblando papel como
aplicación al concepto de "aprender jugando" y de la eurística.
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2. INDICE
1. Origen y tipos de Origami.
2. El Origami en la educación matemática :
Beneficios y cualidades
Habilidades del comportamiento
Aprendizaje en grupo
Desarrollo cognitivo
3. Contenidos curriculares que se desarrollan utilizando origami
Enlace con la educación matemática.
4. Axiomas del origami.
5. Muestra de diferentes trabajos hechos con origami elaborado por los alumnos.
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3. El trabajo colaborativo, participativo y heurístico hoy en día es muy beneficioso, ya que apertura el campo de
acción y fortalece las capacidades, creativas, comunicativas, críticas, toma de decisiones y resolución de
problemas de los participantes.
Los estudiantes descubrirán en forma directa y comprobarán los teoremas básicos de la geometría plana y del
espacio en base a actividades lúdicas basadas en el doblado del papel: Papiroflexia. Además los estudiantes
mediante las actividades vivenciales observaran, analizaran y obtendrán conclusiones básicas para el estudio
de la geometría de forma constructiva, teniendo en cuenta sus propias potencialidades, inteligencias y estilos
de aprendizaje.
Además en todo el proceso se establecerán diversas estrategias de enseñanza aprendizaje basadas en sus
propias habilidades, potencialidades e inteligencias al igual que su propia estilo de aprendizaje.
I.
MARCO TEÓRICO
EL ORIGAMI COMO RECURSO DIDACTICO ARTÍSTICO PARA LA ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA
El Origami es el arte japonés de doblado de
papel, conocido también como papeloflexía.
Literalmente se traduce así:
ORI (doblado)
GAMI ( papel)
Es un arte preciso, de hacer coincidir bordes y
realizar dobleces para crear figuras de todo
tipo desde las más simples hasta las más
complejas e imaginables.
A. ORIGEN Y TIPOS DE ORIGAMI
El origami es una disciplina que tiene muchas consideraciones, algunos la definen como un arte educativo en
el cual las personas desarrollan su expresión artística, este arte se vuelve creativo, luego pasa a ser un
pasatiempo y en los últimos años esta tomando vuelo desde el punto de vista matemático y científico. En sí,
origami es una palabra de origen japonés que significa doblar papel y tomando este significado se creó la
palabra de origen europeo: papiroflexia, con la cual se define este arte en España.
El origami tiene varias facetas, se pueden considerar los plegados y el desarrollo del papel por separado, estos
tuvieron un inicio por aparte pero luego se fusionaron en lo que conocemos ahora. Siempre se ha pensado que
el origami es un juego en donde se hacen figuras sencillas y relacionadas con los seres vivos, esto fue en sus
comienzos, pero el origami llama a figuras de dimensiones inimaginables desde elefantes de 2.70 m de altura
hasta pájaros hechos de cuadrados cuyo lado tenía 4 milésimas de cm. Hay figuras que toman muchas horas (y
días) de trabajo.
Siguiendo con algo de historia, el papel se desarrolló en China hacia el año 105 d.c. por Tsai Lun, luego en el
siglo VI fue llevado al Japón, Marco Polo en el siglo XIII lo llevó a Europa y los árabes lo introdujeron en
España, la cual trajo el papel a nuestro continente americano.
Si queremos hablar de una clasificación del origami podemos considerar varios aspectos: la finalidad, el tipo
de papel utilizado y la cantidad de piezas utilizadas. A continuación se presentan tres clasificaciones que se
proponen de acuerdo a cada uno de los aspectos mencionados.
De acuerdo a la finalidad:
Artístico: construcción de figuras de la naturaleza o para ornamento.
Educativo: construcción de figuras para el estudio de propiedades geométricas más que nada.
De acuerdo a la forma del papel:
A papel completo: trozo de papel inicial en forma cuadrangular, rectangular o triangular.
Tiras: trozo inicial de papel en forma de tiras largas.
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4. De acuerdo a la cantidad de trozos:
Tradicional: un solo trozo de papel inicial (u ocasionalmente dos o tres a lo mucho.
Modular: varios trozos de papel inicial que se pliegan para formar unidades (módulos), generalmente
igualen, que se ensamblan para formar una figura compleja. Es conocido en Japón como "yunnito" .
B. EL ORIGAMI EN LA EDUCACIÓN MATEMATICA
ALGUNOS BENEFICIOS Y CUALIDADES
El origami puede ser una gran ayuda en la educación, es por ello que aquí se incluye algunos beneficios y
grandes cualidades.
Da al profesor de matemática una herramienta pedagógica que le permita desarrollar diferentes
contenidos no solo conceptuales , sino también procedimentales , también desarrolla habilidades
motoras finas y gruesas que a su vez permitirá al alumno desarrollar otros aspectos, como lateralidad,
percepción espacial y la psicomotricidad.
Desarrollar la destreza manual y la exactitud en el desarrollo del trabajo , exactitud y precisión manual.
Desarrolla la interdisciplina de la matemática con otras ciencias como las artes por ejemplo.
Motiva al estudiante a ser creativo ya que puede desarrollar sus propios modelos e investigar la
conexión que tiene con la geometría no sólo plana sino tambien espacial.
El origami no es solamente divertido sino que es un método valioso en el desarrollo de habilidades o destrezas
básicas como:
HABILIDADES DE COMPORTAMIENTO
El origami es un ejemplo de “Aprendizaje esquemático “ a través de la repetición de acciones. Para lograr el
éxito, el alumno debe observar cuidadosamente y escuchar atentamente las instrucciones específicas que
luego llevará a la práctica. Este es un ejemplo en el cual los logros del alumno dependen más de la actividad
en sí que del profesor. Para muchos estudiantes el origami requiere de un nivel de paciencia que brindará
orgullo con el resultado, la habilidad de enfocar la energía y un incremento en la auto-estima.
APRENDIZAJE EN GRUPO
El origami es muy adecuado para trabajar en salón con 20 o más alumnos. En un ambiente de diversas edades,
el doblado de papel tiende a eliminar las diferencias de edad. Muchos maestros han observado que los
alumnos que no se destacan en otras actividades, son generalmente los más rápidos en aprender origami y
ayudar a sus compañeros.
DESARROLLO COGNITIVO
A través del doblado, los alumnos utilizan sus manos para seguir un conjunto específico de pasos en
secuencia, produciendo un resultado visible que es al mismo tiempo llamativo y satisfactorio. Los pasos se
deben llevar a cabo en cierto orden para lograr el resultado exitoso: una importante lección no sólo en
matemática sino para la vida. Piaget sostenía que “ la actividad motora en la forma de movimientos
coordinados es vital en el desarrollo del pensamiento intuitivo y en la representación mental del espacio”.
En este trabajo señalaremos tres aspectos fundamentales en los cuales la matemática aflora en la papiroflexia:
1) Papiroflexia modular:representación de poliedros y figuras geométricas;
2) Axiomas de constructibilidad teoría de puntos constructibles con Origami,
paralela a la existente con regla y compás;
3) Diseño de figuras: métodos matemáticos para la creación papirofléctica.
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5. C. CONTENIDOS CURRICULARES TRABAJADOS CON ORIGAMI
ENLACE CON LA MATEMÁTICA
Transformar un pedazo plano de papel en una figura bi-dimensional o tri-dimensional, es un ejercicio único
en la comprensión espacial. El origami es también importante en la enseñanza de la simetría, pues muchas
veces doblar, lo que se hace en un lado, se hace igual al otro lado. Esto es, por lo tanto, una regla fundamental
del Álgebra que se muestra fuera del marco formal de una lección de Matemática.
Dentro del campo de la geometría, el origami fomenta el uso y comprensión de conceptos geométricos, tales
como diagonal, mediana, vértice, bisectriz etc. Además, el doblado de papel, también permite a los alumnos
crear y manipular figuras geométricas como cuadrados, rectángulos y triángulos y visualizar cuerpos
geométricos.
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Y SU ESTUDIO
METODOLOGÍA
1.- Formamos grupos de 4 miembros.
2.- Cada alumno del grupo realiza las actividades señaladas siguiendo las indicaciones.
3.- Comparan las figuras resultantes
4.-. Uno de los triángulos será coloreado, y el otro, recortado
5.- Pegan sus resultados (las piezas de papel con las dobleces marcadas ) en un papel en su folder respectivo.
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6. 1. CONSTRUCCIÓN DE UNA LÍNEA RECTA
Aprendizaje Esperado:
Demuestra que “ Por dos puntos puede trazarse una y sólo una línea recta”
2. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO DOBLANDO PAPEL
Aprendizaje Esperado:
Obtiene un triángulo equilátero e identifica sus características principales.
Actividad:
a. Doblando, traza la paralela media en el sentido largo del rectángulo.
b. Con un doblez que pase por B lleva A sobre la paralela media.
D
C
c. Sin desdoblar la figura anterior, con un nuevo doblez, prolonga el lado más corto
del triángulo.
¿Dónde ha ido a parar el punto D?
d. ¿Qué ángulo forma BA´ con EF ? ¿Por qué?. ¿Qué es BA´ en el triángulo EBF.
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7. 3. COMPROBACIÓN DOBLANDO PAPEL DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN
TRIÁNGULO. ÁREA DEL TRIÁNGULO.
Aprendizaje Esperado:
Comprueba la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es 180º.
Actividad:
a) Recorta un triángulo cualquiera. Apóyalo sobre el lado más largo. Doblando traza una altura sobre
ese lado.
B
h
b
A
T
C
b) Doblando lleva B sobre T.
M
A
N
T-B
C
c) Lleva también A y C sobre T .
M
N
T-B-A-C
d) Los tres ángulos dibujados forman un ángulo …………., es decir suman ………
Pero esos ángulos son los ángulos del triángulo de partida. Los ángulos de un
triángulo suman
………….
e) El área del triángulo es el …………. de la del rectángulo
El segmento MN mide la ……….. de la base BC.
La altura del rectángulo final es la ……….. de la altura del triángulo ABC.
b h
es decir simplificando un dos:
2 2
base x altura
Área del triángulo =
2
Luego el área del triángulo es 2
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8. 4. TRAZADO DEL INCENTRO DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LA DISTANCIA DEL
INCENTRO A LOS LADOS.
Aprendizaje Esperado:
Determina las características y medidas del incentro como línea notable de un triángulo.
Actividad:
a) Recorta un triángulo cualquiera.
b) Traza doblando sus bisectrices (une de dos en dos los lados que forman los distintos ángulos).
Observa que las tres líneas se cortan en un punto (tiene que salir bastante bien ya que el trazado de
bisectrices doblando es fácil). Marca por las dos caras del papel ese punto y nómbralo con la letra I.
I recibe el nombre de incentro del triángulo.
c) Ahora vamos a trazar segmentos perpendiculares desde I a los lados. Hacemos resbalar un lado
sobre él mismo doblando el papel, aplastando sin marcar hasta que vemos aparecer en el doblez el
punto I. Sin perder la guía del lado marcamos el doblez desde I hasta el lado. Repetimos la
operación en los otros lados.
d)
¡Ahora un doblez hábil!. Doblando los segmentos IA, IB e IC en forma de colina (hacia fuera) y
los segmentos IJ, IK e IL en forma de valle (hacia dentro), conseguimos juntar estos tres
últimos segmentos, lo que prueba que son iguales.
r
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9. 5. TRAZADO DEL CIRCUNCENTRO DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LA DISTANCIA A
LOS VÉRTICES.
Aprendizaje Esperado:
Determina las características y medidas del circuncentro como línea notable de un triángulo.
Actividad:
a) Recorta un triángulo acutángulo escaleno y traza sus mediatrices doblando papel (haz coincidir de
dos en dos sus vértices). Comprueba que las tres se cortan en un punto que notaremos con la letra F
y que llamamos circuncentro.
b)
Con un lápiz traza los segmentos AF, BF y CF.
c)
Doblando en forma de valle por FM, FN y FP y en forma de colina por AF, BF y FC
obtendrás una estrella de tres punta que es posible cerrar juntando los tres brazos, comprobando
que los segmentos AF, BF Y CF son iguales. Por ello F es el centro de una circunferencia que pasa
por ………………………………………, la circunferencia circunscrita al triángulo.
(*) Para conseguir un plegado sin problemas de entre los triángulos FAB, FBC y FCA el de mayor
ángulo en F debe ser el que se cierre abarcando a los otros dos.
d)
La figura plegada nos muestra los ángulos M, N y P que son ………. Por tanto miran al lado
común bajo un ángulo de …….. y así M, N y P en esa figura plegada están en una
circunferencia de centro …………………… y radio ………………….
El plegado nos advierte también de la igualdad de ángulos tanto en F como en los vértices. Localiza
esos ángulos iguales en el triángulo ABC.
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10. 6. POLÍGONOS REGULARES: OCTÁGONO- HEXÁGONO
Aprendizaje Esperado:
Obtiene polígonos regulares como el octágono en base a un cuadrado por el método de duplicación de
lados.
Actividad:
Duplicación del número de lados de un polígono regular
Veamos como obtener mediante plegado un octógono regular a partir de un cuadrado.
Partimos de un cuadrado que podemos haber obtenido a partir de una hoja rectangular:
Doblando trazamos los ejes de simetría del cuadrado. Una vez hecho esto, doblamos haciendo coincidir
dos ejes consecutivos:
Sin desdoblar la figura, doblamos las cuatro puntas no solapadas y desdoblamos habiendo obtenido un
octógono regular:
Aprendizaje Esperado:
Obtiene polígonos regulares como el hexágono en base a un triángulo equilátero por el método de
duplicación de lados.
Actividad:
El hexágono regular a partir de un triángulo equilátero se puede hallar siguiendo el método anterior de
duplicación, o más rápidamente localizando su centro (¿cómo?) y después doblando las puntas hacia él:
La figura resultante está formada por un hexágono regular y tres triángulos equiláteros de igual lado que
el hexágono. Si cuatro de vosotros juntáis cuatro piezas de éstas, podréis formar el tetraedro truncado,
poliedro formado por cuatro hexágonos regulares y cuatro triángulos equiláteros pudiendo usar el
exceso de triángulos para unir con pegamento las piezas.
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11. 7. CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO INSCRITO
Aprendizaje Esperado:
Construye y reconoce al triángulo equilátero inscrito en una circunferencia.
Actividad:
1
2
4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3
5
6
Cortar un círculo de papel (recomendamos unos 9 cm. de diámetro) (1).
Pliéguenlo y marquen lo en forma "simétrica", refleja, perfecta.
Ahora, hagan un segundo doblez "simétrico" con lo obtenido (2).
Con los cuatro puntos (V, W, X e Y) y el centro marcados, sobrepongamos V con O. Obtenemos
Ay B.
Usando A sobrepongamos O con el arco de circunferencia y obtengamos C.
Unamos con un doblez A y C. Tenemos el triángulo ABC:
8. CONSTRUCCIÓN DE UN EXÁGONO REGULAR
Aprendizaje Esperado:
Construya y reconozca al hexágono regular inscrito en una circunferencia.
Actividad:
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 4
a)
b)
Fig.3
Fig. 5
Cortar un círculo de papel (recomendamos unos 9 cm. de diámetro) (1).
Pliéguenlo y marquen lo en forma "simétrica", refleja, perfecta.
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12. c)
d)
e)
f)
Ahora, hagan un segundo doblez "simétrico" con lo obtenido (2), tal y como lo hicimos con el
cuadrado.
Con los cuatro puntos (A, W, D e Y) y el centro marcados, sobrepongamos A con O. Obtenemos B
y F. (3)
Luego, usando D, lo sobreponemos a O, y marcamos el doblez, con los extremos C y E (4) .
Tenemos los puntos A , B, C, D, E y F, que son los vértices. Si unimos los puntos por doblez (no
sobreponer) obtenemos el hexágono regular. También podemos unir con un lapicero o plumón, o si
lo deseas, recortarlo.
Aprendizaje Esperado:
Identifique las diagonales del hexágono y sus propiedades a través de una orientación dirigida y
comparta sus experiencias con sus compañeros.
Actividad:
1
a)
b)
c)
d)
2
3
Hacemos un exágono, según la actividad 1.(1)
Partiendo del vértice A, trazamos las diagonales consecutivas AE, EC y AC (2)
Partiendo ahora del vértice D, trazamos las diagonales consecutivas DF, FB y BD (exceptuando la
consabida AD). (3). Lo podemos hacer con dobleces, con regla y plumón, color o lapicero, o
recortándolo con tijeras
Hemos obtenido un exágono estrellado formado por las diagonales (una Estrella de David). Nótese
que cada serie forma un triángulo, opuesto (girado) al otro.
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13. 9. CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO-OCTÓGONO
Aprendizaje Esperado:
Construya un cuadrado inscrito a una circunferencia.
Actividad:
1
2
3
4
CONSTRUCCIÓN DE UN OCTÓGONO
Aprendizaje Esperado:
Construye un octógono regular por el método de duplicación
Actividad:
1
2
6.a)
b)
c)
d)
3
7.-
4
5
8.-
Partimos de nuestro cuadrado, ABCD, según la Sesión 1. (Figura 1). Ahora, sobreponemos A con
D, y B con C (Figura 2).
Sin desdoblar, hacemos coincidir simétricamente el punto donde concurren D y A, y el punto B con
C.(figura 3). Al desdoblar observamos la figura 4. Allí se observan también los puntos nuevos
EFGH.
Basta unir consecutivamente los puntos en la circunferencia (A- E- B- F-C-G- D- H) para
determinar nuestro octágono (Figura 5). Podemos unirlos con una doblez (sin sobreponerlos) o con
lápiz y regla. También podemos colorearlo y remarcar sus diagonales (Figura 6).
Si unimos con regla y lápiz los 2 cuadrados formados, ABCD y EFGH, (Figura 7) y coloreamos el
área, obtenemos un octágono estrellado (Fig 8).
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14. 10. CONSTRUYENDO UN TETRAEDRO REGULAR
Aprendizaje Esperado:
Construya un tetraedro e identifique sus partes a través de una orientación dirigida y comparta sus
experiencias con sus compañeros.
Actividad:
F. 1
F. 2
F. 3
F. 4
a) Partiendo del triángulo, construido a su vez con dobleces, unamos ahora, cada uno de los 3 vértices,
por ejemplo, empezando con A, con el punto medio del lado opuesto. Formamos un nuevo
triángulo, más pequeño, como vemos en la Figura 3
b) Ahora, tratemos de unir estos 4 triángulos por sus lados de la forma mas exacta, y lo mas
herméticamente que sea posible (con los menores vacíos entre ellos). De hecho, varios lados están
ya unidos entre sí en forma exacta y hermética (los del triángulo pequeño del centro), pero faltan
los lados "externos".
c) La única forma de unir los 4 triángulos por los lados es saltando del plano ....Unamos, por ejemplo,
el vértice A con el B ...¡Esto no se puede hacer en el plano!. Salta del plano en que está el triángulo
base Ahora, unamos también el vértice C. La única forma de hacerlo es esta ....(Figura 4).
d) ¿Que hemos obtenido?. ¡Un tetraedro!. Un sólido, POLIEDRO REGULAR (cuyas caras son
también polígonos regulares), formado de 4 caras triangulares.
e) COMENTARIO: El tetraedro forma la estructura más sólida que se pueda construir, es el más
estable de los poliedros o sólidos regulares, y lo vamos a ver innumerables veces en la Naturaleza,
en la Arquitectura, etc. Además, el Tetraedro se inscribe perfectamente en la Esfera
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15. 11. TEOREMA DE PITÁGORAS
Aprendizaje Esperado:
Construya un tetraedro e identifique sus partes a través de una orientación dirigida y comparta sus
experiencias con sus compañeros.
Actividad:
a) Comenzamos tomando un cuadrado de papel y eligiendo un punto A cualquiera del lado superior.
b) Doblamos por las líneas de puntos y vamos marcando los lugares en los que cae el punto A
Obtendremos algo así:
c) Doblamos por las lıneas azules y tenemos el siguiente dibujo:
d) Demuestra el Teorema de Pitágoras calculando de dos formas distintas el área del cuadrado ABCD
A
a2
A
4
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b.c
2
b c
2
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16. 12. CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA
Aprendizaje Esperado:
Construya una parábola e identifique sus características a través de una orientación dirigida y
comparta sus experiencias con sus compañeros.
Actividad:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Se elige en el papel un punto F que será de foco de una parábola.
Elegimos un borde del pael que será la directriz de la parábola.
Se toman un punto en un borde de papel.
Lo llevamos hasta el punto F, produciéndose un doblez.
Repetimos este paso con cuantos puntos que queramos.
Reconocemos los puntos de la parábola y sus características.
13. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS EN EL ESPACIO MEDIANTE EL ORIGAMI
Los estudiantes investigaran sobre como realizar diferentes modelos tridimensionales, para lugo
presentarlos bajo un informe y exponerlos.
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