O documento resume conceitos fundamentais sobre wavelets, incluindo: (1) O que é uma wavelet e suas propriedades; (2) Como funciona a transformada wavelet contínua; (3) Como medir a coerência wavelet entre duas séries temporais para identificar em que frequências elas estão relacionadas. O documento fornece exemplos ilustrativos para cada tópico e lista referências bibliográficas no final.

1. Wavelet - Transformada e Coerˆencia
Dr. Eduardo S. Pereira.
25 de setembro de 2013

2. Sum´ario
1 Wavelet - Ondeleta
2 Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Exemplo
3 Coerˆencia Wavelet
Exemplo
4 Bibliografia

3. Wavelet - Ondeleta
Wavelet
A Wavelet, ou ondeleta em portuguˆes, ´e
uma func¸ ˜ao com m´edia zero e que ´e
definida em frequˆencia e tempo. Pode se
caracterizar a ondeleta pelo modo como ela
se localiza no espac¸o de tempo e de
frequˆencia.
Aqui vale ressaltar que de acordo com o
princ´ıpio de incerteza de Heisenberg que
sempre existir´a uma incerteza intr´ınseca em
o qu˜ao pequeno pode ser a banda de
tempo e frequˆencia.

4. Wavelet - Ondeleta
Wavelet
A Wavelet, ou ondeleta em portuguˆes, ´e
uma func¸ ˜ao com m´edia zero e que ´e
definida em frequˆencia e tempo. Pode se
caracterizar a ondeleta pelo modo como ela
se localiza no espac¸o de tempo e de
frequˆencia.
Aqui vale ressaltar que de acordo com o
princ´ıpio de incerteza de Heisenberg que
sempre existir´a uma incerteza intr´ınseca em
o qu˜ao pequeno pode ser a banda de
tempo e frequˆencia.

5. Wavelet - Ondeleta
Wavelet
Uma ondeleta particular ´e a de
Morlet, a qual ´e definida como:
ψ0(η) = π−1/4
eiω0η
e−1
2 η2
(1)
sendo ω0 a frequˆencia adimensional
e η o tempo adimensional.

6. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
A ideia da transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta (Continuous
Wavelet Transform - CWT) est´a em aplicar a ondeleta como um
filtro passa bandas numa s´erie temporal. A ondeleta sofre
estreitamento no tempo variando sua escala (s), tal que η = s.t,
sendo que sua normalizac¸ ˜ao tem unidade de energia.

7. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
A CWT de uma func¸ ˜ao f ´e definida pela transformac¸ ˜ao integral:
Ψ(a,b) =
∞
−∞
f(u)ψ∗
a,b(u)du, (2)
para a > 0.

8. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Sendo:
ψ∗
a,b(u) =
1
a
ψ
u−b
a
(3)
Representa uma fam´ılia de func¸ ˜oes wavelets, chamada de
wavelet m˜ae. O parˆametro a refere-se a escala, b ´e a translac¸ ˜ao
ou parˆametro de localizac¸ ˜ao da wavelet m˜ae e ψ∗
a,b(u) ´e o
complexo conjugado de ψa,b(u).

9. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Sendo:
ψ∗
a,b(u) =
1
a
ψ
u−b
a
(3)
Representa uma fam´ılia de func¸ ˜oes wavelets, chamada de
wavelet m˜ae. O parˆametro a refere-se a escala, b ´e a translac¸ ˜ao
ou parˆametro de localizac¸ ˜ao da wavelet m˜ae e ψ∗
a,b(u) ´e o
complexo conjugado de ψa,b(u).

10. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Observe que o parˆametro de translac¸ ˜ao est´a estritamente
relacionado com o tempo, desde que ele indica onde a wavelet
m˜ae est´a localizada. A translac¸ ˜ao da wavelet m˜ae pode ser
pensada como transladada desde t=0.
J´a o parˆametro de escala ´e o inverso da frequˆencia.

11. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Observe que o parˆametro de translac¸ ˜ao est´a estritamente
relacionado com o tempo, desde que ele indica onde a wavelet
m˜ae est´a localizada. A translac¸ ˜ao da wavelet m˜ae pode ser
pensada como transladada desde t=0.
J´a o parˆametro de escala ´e o inverso da frequˆencia.

12. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Exemplo
Exemplo
Exemplo de sinal
composto por quatro
frequˆencias: 30 Hz, 20
Hz, 10 Hz e 5 Hz.
FONTE: http:
//users.rowan.edu/
˜polikar/WAVELETS/
WTpart3.html

13. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Exemplo
Exemplo
Transformada Wavelet
do Sinal. Wavelet M˜ae:
Morlet.

14. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Exemplo
Exemplo
Transformada Wavelet
do Sinal. Wavelet M˜ae:
Morlet.

15. Transformac¸ ˜ao cont´ınua de ondeleta
Exemplo
Exemplo
Transformada Wavelet
do Sinal. Wavelet M˜ae:
Morlet.

16. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
O objetivo da coerˆencia wavelet ´e o de identificar em que banda
de frequˆencia e em que intervalo de tempo duas s´eries
temporais est˜ao relacionadas.
Para esse tipo de an´alise ´e preciso realizar uma suavizac¸ ˜ao do
espectro cruzado antes de calcular a coerˆencia, pois de outra
forma o resultado sempre ser´a igual a 1. [3]

17. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
O objetivo da coerˆencia wavelet ´e o de identificar em que banda
de frequˆencia e em que intervalo de tempo duas s´eries
temporais est˜ao relacionadas.
Para esse tipo de an´alise ´e preciso realizar uma suavizac¸ ˜ao do
espectro cruzado antes de calcular a coerˆencia, pois de outra
forma o resultado sempre ser´a igual a 1. [3]

18. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
Dada duas s´eries X e Y, com as tranformadas wavelets WX
n (s) e
WY
n (s), sendo n o ´ındice de tempo e s a escala, o espectro
cruzado wavelet ´e dado por:
WXY
n (s) = Wx
n (s)WY∗
n (s) (4)
sendo que o simbolo ∗ denota o complexo conjugado.

19. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
Dada duas s´eries X e Y, com as tranformadas wavelets WX
n (s) e
WY
n (s), sendo n o ´ındice de tempo e s a escala, o espectro
cruzado wavelet ´e dado por:
WXY
n (s) = Wx
n (s)WY∗
n (s) (4)
sendo que o simbolo ∗ denota o complexo conjugado.

20. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
A coerˆencia wavelet quadrada ´e definida como o valor absoluto
quadrado o espectro cruzado de wavelets, normalizado pelos
espectros de potˆencia suavizados das wavelets [3]:
R2
n(s) =
|S(s−1WXY
n (s))|2
S(|s−1WX
n (s)|2)S(|s−1WY
n (s)|2)
(5)
sendo que S(W) denota suavizac¸ ˜ao no tempo e na escala. O
fator s−1 ´e usado para converter o espectro em densidade de
energia.

21. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
A coerˆencia wavelet quadrada ´e definida como o valor absoluto
quadrado o espectro cruzado de wavelets, normalizado pelos
espectros de potˆencia suavizados das wavelets [3]:
R2
n(s) =
|S(s−1WXY
n (s))|2
S(|s−1WX
n (s)|2)S(|s−1WY
n (s)|2)
(5)
sendo que S(W) denota suavizac¸ ˜ao no tempo e na escala. O
fator s−1 ´e usado para converter o espectro em densidade de
energia.

22. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
A func¸ ˜ao de suavizac¸ ˜ao vai depender da escala usada e da
wavelet m˜ae considerada [3].
A func¸ ˜ao de suavizac¸ ˜ao ´e definida como [5]:
S(W) = Sscale(Stime(W(s,t))) (6)
sendo que Sscale denota suavizac¸ ˜ao ao logo do eixo da escala e
Stime no do tempo.

23. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
A func¸ ˜ao de suavizac¸ ˜ao vai depender da escala usada e da
wavelet m˜ae considerada [3].
A func¸ ˜ao de suavizac¸ ˜ao ´e definida como [5]:
S(W) = Sscale(Stime(W(s,t))) (6)
sendo que Sscale denota suavizac¸ ˜ao ao logo do eixo da escala e
Stime no do tempo.

24. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
Para o caso da Wavelet de Morlet, tem-se [5]:
Stime(W)|s = W(t,s)c1e−t2/2s2
|s (7)
Sscale(W)|t = W(t,s)c2
Π(0.6s) |t (8)
sendo que c1 e c2 constantes de normalizac¸ ˜ao e Π ´e a func¸ ˜ao
retˆangulo. O fator 0.6 ´e empiricamente determidado pelo
comprimento de decorrelac¸ ˜ao de escala para a wavelet de
Morelet [3].

25. Coerˆencia Wavelet
Coerˆencia Wavelet
Para o caso da Wavelet de Morlet, tem-se [5]:
Stime(W)|s = W(t,s)c1e−t2/2s2
|s (7)
Sscale(W)|t = W(t,s)c2
Π(0.6s) |t (8)
sendo que c1 e c2 constantes de normalizac¸ ˜ao e Π ´e a func¸ ˜ao
retˆangulo. O fator 0.6 ´e empiricamente determidado pelo
comprimento de decorrelac¸ ˜ao de escala para a wavelet de
Morelet [3].

26. Coerˆencia Wavelet
Exemplo
Exemplo
Sinais Aleat´orios Coerˆencia Wavelet

27. Bibliografia
Bibliografia
[1] Mallat, Stephane G. (1999). A wavelet tour of signal processing
[2] Addison, Paul S. The illustrated wavelet transform handbook
[3] Torrence, Christopher and Compo, Gilbert P. (1998). A Practical
Guide to Wavelet Analysis
[4] Grinsted, A., Moore, J.C., Jevrejeva, S., 2004, Nonlin. Processes
Geophys., 11, 561?566, doi:10.5194/npg-11-561-2004
[5] Jevrejeva, S., Moore, J.C., Grinsted, A., 2003, J. Geophys. Res.,
108(D21), 4677, doi:10.1029/2003JD003417
[6] Torrence, C., Webster, P. ,1999, J.Clim., 12, 2679?2690

28. Bibliografia
FIM
Muito Obrigado