Teoria das Eleições

1 Teoria matem´tica das elei¸oes
a c˜
1.1 Sistemas maiorit´rios
a
Nos sistemas maiorit´rios o candidato mais votado ganha tudo e os outros
a
candidatos nõ ganham nada.
a
Os sistemas maiorit´rios mais utilizados sõ:
a a

• o sistema maiorit´rio de uma volta (ou sistema maiorit´rio simples);
a a

• o sistema maiorit´rio de duas voltas;
a

• o sistema maiorit´rio de duas ou mais voltas.
a

No sistema maiorit´rio de uma volta ganha o candidato mais votado, inde-
a
pendentemente de ter uma maioria absoluta ou uma maioria relativa.
No sistema maiorit´rio de duas voltas ganha o candidato que obtiver maioria
a
absoluta na primeira volta, caso contr´rio serõ admitidos a segunda volta
a a `
os dois candidatos mais votados e ganhar´ o que obtiver mais votos.
a

Observa¸õ 1 Diz-se que um candidato obteve maioria absoluta numa vota¸õ
ca ca
se obteve mais de 50% dos votos validamente expressos. Caso contr´rio, a
a
maioria ser´ apenas relativa. Votos validamente expressos sõ todos os votos
a a
nulos e os votos em branco.

O sistema maiorit´rio de duas ou mais voltas ´ uma variante do sistema
a e
maiorit´rio de duas voltas em que sõ admitidos na segunda vota¸õ nõ
a a ca a
apenas os dois candidatos mais votados, mas todos aqueles que atinjam uma
determinada percentagem de votos, repetindo-se o processo at´ se obter o
e
vencedor com maioria absoluta. O sistema maiorit´rio de duas voltas ´ usado
a e
em Portugal para a elei¸õ do Presidente da Rep´ blica.
ca u

Exemplo 1.1 Ap´s o 25 de Abril de 1974, quais foram os presidentes da
o
Rep´blica eleitos em Portugal?
u
Resolu¸õ:
ca
Depois do 25 de Abril de 1974, foram presidentes da Rep´blica, eleitos por
u
sufr´gio universal:
a
Ramalho Eanes (2 mandatos), M´rio Soares(2 mandatos), Jorge Sampaio(2
a
mandatos), Cavaco Silva (iniciou o 1o mandato em 2006).

Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto
a 1

1.2 Sistemas de elei¸õ de representa¸õ proporcional
ca ca
Estes sistemas pretendem assegurar a representa¸õ das diferentes correntes
ca
de opiniõ de modo que estas correspondam ao seu peso na sociedade, ga-
a
rantido a expressõ de minorias a partir de determinada representatividade,
a
ou seja, sõ sistemas usados para distribuir ”proporcionalmente”um certo
a
n´ mero de mandatos por diversas listas.
u
Os mais conhecidos sõ os m´todos de:
a e
e
Hondt, Saint-Lagu¨, Hamilton, Jefferson, Adams, Webster e Hill- Hunting-
ton.

1.3 M´todo de Hondt
e
(Usado em Portugal nas elei¸˜es nacionais e regionais, elei¸oes aut´rquicas e
co c˜ a
para o Parlamento Europeu.)
Algoritmo
1o passo - considere-se p o n´ mero de pessoas a eleger;
u
2o passo - Apuram-se os votos obtidos por cada lista;
3o passo - Dividem-se os votos de cada lista sucessivamente por 1, 2, 3, . . . , p;
4o passo - Ordenam-se os quocientes obtidos por ordem decrescente;
5o passo - Escolhem-se as pessoas seleccionando os p maiores quocientes;
6o Passo - Em caso de empate para a escolha do(s) ultimo(s), escolhe-se
´
o(s) que tiver(em) menor n´ mero de votos.
u

Observa¸õ 2 Entre as caracter´sticas do m´todo de Hondt importa assina-
ca ı e
lar o encorajamento a forma¸õ de coliga¸˜es, uma vez que o agrupamento
` ca co
de partidos leva a conseguir um n´mero maior de mandatos do que se con-
u
corressem sozinhos.

Exemplo 1.2 (Elei¸õ de 10 representantes ( M´todo de Hondt)) Uma
ca e
associa¸õ elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano concorre-
ca
ram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279 votos.
e
Usando o m´todo de Hondt, como se distribuem os 10 representantes pelas
e
trˆs listas?
e
Resolu¸õ:
ca
Constroi-se uma tabela com os quocientes resultantes da divisõ do n´mero
a u
de votos pelos valores 1, 2, . . . , 10.

a 2

A B C
1 465,0 265,0 279,0
2 232,5 132,5 139,5
3 155,0 88,3 93,0
4 116,3 66,3 69,8
5 93,0 53,0 55,8
6 77,5 44,2 46,5
7 66,4 37,9 39,9
8 58,1 33,1 34,9
9 51,7 29,4 31,0
10 46,5 26,5 27,9
Escolhem-se os 10 maiores quocientes, assinalados a cor diferente na tabela
Resposta:Os representantes seriam cinco da lista A, dois da lista B e trˆs da
e
lista C.

1.3.1 e
M´todo de Saint-Lagu¨
e
Este m´todo ´ semelhante ao m´todo de Hondt, diferindo apenas nos diviso-
e e e
res. Enquanto no m´todo de Hondt se divide por 1, 2, 3, 4, . . . (sucessõ dos
e a
n´ meros naturais), no m´todo de Saint- Lagu¨ divide-se por 1, 3, 5, 7, . . . (
u e e
sucessõ dos n´ meros ´
a u ımpares).
Algoritmo
1o passo - considere-se p o n´ mero de pessoas a eleger;
u
2o passo - Apuram-se os votos obtidos por cada lista;
3o passo - Dividem-se os votos de cada lista sucessivamente por 1, 3, 5, . . . , 2p−
1 (sucessõ dos n´ meros ´
a u ımpares);
o
4 passo - Ordenam-se os quocientes obtidos por ordem decrescente;
5o passo - Escolhem-se as pessoas seleccionando os p maiores quocientes;
6o Passo - Em caso de empate para a escolha do(s) ultimo(s), escolhe-se
´
o(s) que tiver(em) menor n´ mero de votos.
u

Observa¸õ 3 Ao contr´rio do m´todo de Hondt, o m´todo de Saint-Lagu¨
ca a e e e
favorece os partidos mais pequenos, pois ao aumentar o valor do divisor faz
com que os quocientes sejam mais pequenos e, assim, d´ oportunidade a que
a
alguns dos partidos menos votados consigam eleger um mandato.

Exemplo 1.3 (Elei¸õ de 10 representantes ( M´todo de Saint-Lagu¨))
ca e e
Uma associa¸õ elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano con-
ca
correram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279
e

a 3

e
votos. Usando o m´todo de Saint-Lagu¨, como se distribuem os 10 represen-
e
tantes pelas trˆs listas?
e
Resolu¸õ:
ca
Constroi-se uma tabela com os quocientes resultantes da divisõ do n´mero
a u
de votos pelos valores 1, 3, 5, . . . , 19.

A B C
1 465,0 265,0 279,0
3 155,0 88,3 93,0
5 93,0 53,0 55,8
7 66,4 37,9 39,9
9 51,7 29,4 31,0
11 42,3 24,1 25,4
13 35,8 20,4 21,5
15 31,0 17,7 18,6
17 27,4 15,6 16,4
19 24,5 13,9 14,7
Observa¸õ: Os 10 maiores quocientes estõ assinalados na tabela.
ca a
Resposta: Os representantes eleitos seriam quatro da lista A, trˆs da lista B
e
e trˆs da lista C.
e

1.3.2 Divisor standard. Quota standard. M´todo Hamilton
e
Nos m´todos que vamos estudar a seguir surgem os conceitos de divisor
e
standard ou divisor padrõ e quota.
a
N´mero total de eleitores
u
Divisor standard =
N´mero de lugares a distribuir
u
N´mero de eleitores do c´rculo ou partido A
u ı
Quota do c´rculo ou partido A =
ı
Divisor standard
A quota pode ser m´xima ( quota arredondada por excesso) ou m´
a ınima (
quota arredondada por defeito). Um m´todo de divisõ proporcional a que
e a
cada c´
ırculo ou partido faz corresponder sempre um n´ mero de lugares igual
u
a
` quota m´xima ou a quota m´
a ` ınima diz-se que est´ de acordo com a regra
a
da quota. Se pelo contr´rio, a um c´
a ırculo ou partido for dado um n´ mero de
u
lugares diferente da quota m´xima ou m´
a ınima, diz-se que o m´todo viola a
e
regra da quota.
M´todo de Hamilton
e
Algoritmo
1o passo: Calcula-se o divisor standard, que ´ igual ao quociente entre o
e

a 4

n´ mero de eleitores e o n´ mero de lugares a distribuir.
u u
2o passo: Calcula-se a quota standard de cada c´ ırculo eleitoral, ou seja, o
quociente das vota¸˜es obtidas por c´
co ırculo pelo divisor standard.
o
3 passo: Atribui-se a cada c´ ırculo um n´ mero de lugares igual ` quota
u a
m´ınima (correspondente ` parte inteira da quota).
a
4o passo: Atribuem-se os lugares que sobram aos c´ ırculos com quota com
maior parte decimal.

Exemplo 1.4 Uma associa¸ao elege, a cada dois anos, 10 representantes.
c˜
Neste ano concorreram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente
e
465, 265 e 279 votos. Usando o m´todo de Hamilton, como se distribuem os
e
10 representantes pelas trˆs listas?
e
Resolu¸õ:
ca
Calcula-se o total de votos v´lidos e divide-se pelo n´mero de representantes
a u
1009
a eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 10 = 100, 9(465+265+279 =
1009).
Dividem-se as vota¸˜es obtidas ppor cada lista pelo divisor standard para ob-
co
ter a quota de cada lista.
Atribui-se a cada lista um n´mero de mandatos igual a parte inteira do valor
u `
obtido anteriormente e ficam conhecidos oito representantes.
Atribuem-se s ultimos lugares as listas B e C que tˆm maior parte decimal.
´ ` e

Lista Votos Quota standard Mandatos(parte inteira) Mandatos (parte decimal) Total
A 465 4,609(465:100,9) 4 0 4
B 265 2,626 (265:100,9) 2 1 3
C 279 2,765 (279:100,9) 2 1 3
Total 1009 - 8 2 10

Resposta: Os representantes seriam quatro para a lista A, trˆs para a lista B
e
e trˆs para a lista C.
e

1.3.3 M´todo de Jefferson
e
O m´todo de Jefferson ´ semelhante ao m´todo de Hamilton, divergindo
e e e
apenas na forma como se distribui ps lugares em falta.
M´todo de Jefferson
e
Algoritmo
1o passo: Calcular o divisor standard.
2o passo:Calcular a quota standard de cada c´ırculo eleitoral e atribuir a cada
c´
ırculo a quota m´
ınima ( parte inteira de quota standard)

a 5

3o passo: Se a soma das quotas m´ ınimas for igual ao n´mero de lugares a
u
eleger, a elei¸õ est´ conclu´
ca a ıda; caso contr´rio, procura-se, por tentativa e
a
erro, um divisor modificado, de modo que a soma das partes inteiras das
quotas modificadas seja igual ao n´ mero de lugares a serem distribu´
u ıdos.
Como se procura o divisor modificado?
O divisor modificado ´ sempre menor que o divisor standard. Com uma
e
folha de c´lculo ´ facil de calcular o divisor modificado. Por tentativa e erro
a e
tamb´m facilmente se encontra o divisor modificado, podendo ser mais ou
e
menos moroso este processo.

Exemplo 1.5 ma associa¸õ elege, a cada dois anos, 10 representantes.
ca
e
465, 265 e 279 votos. Usando o m´todo de Jefferson, como se distribuem os
e
10 representantes pelas trˆs listas?
e
Resolu¸õ:
ca
a u
10
1009).
Dividem-se as vota¸˜es obtidas por cada lista pelo divisor standard.
co
Atribui-se a cada lista um n´mero de mandatos igual a parte inteira do valor
u `
obtido.
Lista N´mero de votos Quota standard Quota m´
u ınima
A 465 4,609 4
B 265 2,626 2
C 279 2,765 2
Total 1009 - 8
Como a soma das quotas mńimas ´ 8 e nõ 10 como pretendido, passamos
ı e a
ao passo seguinte:
Procurar um divisor modificado de modo que a soma das quotas mńimas ı
modificadas seja 10.
Tentemos o divisor modificado 90.
u ınima
A 465 5,167 5
B 265 2,944 2
C 279 3,100 3
Total 1009 - 10
Atribui-se a cada lista o n´mero de representantes igual a quota m´
u ` ınima mo-
dificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das trˆs listas.
e
Resposta: Os representantes seriam cinco para a lista A, dois para a lista B
e

a 6

1.3.4 M´todo de Adams
e
Este m´todo ´ idˆntico ao m´todo de Jefferson, excepto no c´lculo da quota
e e e e a
modificada. O divisor standard dever´ ser modificado de modo que o n´ mero
a u
de lugares a atribuir coincida com a soma das quotas m´ximas, ou seja, as
a
quotas modificadas arredondadas por excesso para o n´ mero inteiro mais
u
pr´ximo. Com uma nova folha de c´lculo, calculamos facilmente o divisor
o a
modificado. Caso nõ tenhamos acesso a folha de c´lculo, podemos, por ten-
a ` a
tativa e erro, diminuir a quota para encontrarmos um divisor que satisfa¸a o
c
nosso problema.
Nota: O divisor modificado ´ sempre maior que o divisor standard.
e
M´todo de Adams
e
Algoritmo
2o passo: Calcular a quota standard de cada c´ ırculo eleitoral e atribuir a
cada c´ırculo a quota m´xima.
a
3o passo: Se a soma das quotas m´ximas for igual ao n´mero de lugares, a
a u
elei¸õ est´ conclu´
ca a ıda; caso contr´rio, procura-se, por tentativa e erro, um
a
divisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas por
excesso ( para o n´ mero inteiro mais pr´ximo) somem o n´ mero exacto de
u o u
lugares a serem distribu´ıdos.

Exemplo 1.6 Uma associa¸ao elege, a cada dois anos, 10 representantes.
c˜
e
465, 265 e 279 votos. Usando o m´todo de Adams, como se distribuem os 10
e
representantes pelas trˆs listas?
e
Resolu¸õ:
ca
a u
1009
1009).
co
Atribui-se a cada lista um n´mero de mandatos igual a quota arredondada
u `
por excesso para o n´mero inteiro mais pr´ximo.
u o
u ınima
A 465 4,609 5
B 265 2,626 3
C 279 2,765 3
Total 1009 - 11
Como a soma das quotas m´ximas ´ 11 e nõ 10 como pretendido, passamos
a e a
ao passo seguinte:
Procurar um divisor modificado de modo que a soma das quotas mńimas ı

a 7

modificadas seja 10.
u ınima
A 465 3,875 4
B 265 2,208 3
C 279 2,325 3
Total 1009 - 10
Atribui-se a cada lista o n´mero de representantes igual a quota m´xima
u ` a
modificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das trˆs listas.
e
e
e

1.3.5 M´todo de Webster
e
O m´todo de Webster ´ idˆntico ao m´todo de Adams,mas as quotas modifi-
e e e e
cadas sõ arredondadas pela regra dos arrendondamentos para o inteiro mais
a
pr´ximo. Neste m´todo pode demorar-se mais tempo a encontrar a quota
o e
modificada, visto que o divisor modificado pode ser maior ou menor que o
divisor standard.
M´todo de Webster
e
Algoritmo
2o passo: Calcular a quota standard de cada c´ ırculo eleitoral e atribuir a
cada c´ırculo a quota arredondada pela regra dos arredondamentos.
o
3 passo: Se a soma das quotas atribu´ ıdas for igual ao n´ mero de mandatos,
u
a elei¸õ est´ conclu´
ca a ıda; caso contr´rio, procura-se, por tentativa e erro, um
a
divisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas pela
regra dos arredondamentos somem o n´ mero de lugares a serem distribu´
u ıdos.

Exemplo 1.7 (Elei¸õ de 10 representantes (m´todo de Webster))
ca e
ca
e
votos. Usando o m´todo de Webster, como se distribuem os 10 representan-
e
tes pelas trˆs listas?
e
Resolu¸õ:
ca
a u
10
1009).
co
u `

a 8

pela regra dos arredondamentos para o n´mero inteiro mais pr´ximo.
u o
u ınima
A 465 4,609 5
B 265 2,626 3
C 279 2,765 3
Total 1009 - 11
Como a soma das quotas arredondadas ´ 11 e nõ 10 como pretendido, ne-
e a
cessitamos de procurar o divisor modificado
u ınima
A 465 4,387 4
B 265 2,5 3
C 279 2,632 3
Total 1009 - 10
Atribui-se a cada lista o n´mero de representantes igual a quota arredondada
u `
e
e
e

1.3.6 M´todo de Hill- Huntington
e
` e
E idˆntico ao m´todo de Webster, embora as quotas modificadas sejam ar-
e
redondadas de modo diferente. Neste m´todo a quota ´ arredondada se-
e e
gundo a regra de Hill- Huntington, ou seja, se a quota ´ um n´ mero in-
e u
teiro, atribui-se ao interveniente essa quota. Caso contr´rio, determina-se
a
H = L × (L + 1), sendo L a parte inteira da quota standard.
Por exemplo:

• Quota standard= 12, 0196; L = 12 e L + 1 = 13
√
H = 12 × 13 = 12, 489...

• Quota standard= 3, 7963; L = 3 e L + 1 = 4
√
H = 3 × 4 = 3, 464...

M´todo de Hill- Huntington
e
Algoritmo
1o passo:Calcula-se o divisor standard.
2o passo: Calcula-se quota standard a distribuir e cada interveniente.
3o passo: Aplica-se a regra de Hill- Huntington:

a) Se a quota ´ um n´ mero inteiro, atribui-se ao interveniente essa quota.
e u

a 9

b) Se a quota ´ um n´ mero nõ inteiro, calcula-se H = L × (L + 1), sendo
e u a
L o maior inteiro contido na quota, ou seja, a quota m´
ınima.

c) Se H ´ menor que a quota, atribuir-se a quota m´xima; se H ´ maior que
e a e
a quota, atribui-se a quota m´
ınima.

c) Se o divisor standard nõ permitir atribuir o n´ mero de mandatos pre-
a u
vistos pelo processo, determina-se, por tentativa e erro, um divisor
modificado at´ que seja poss´ atribuir o n´ mero exacto de manda-
e ıvel u
tos.

Exemplo 1.8 (Elei¸õ de 10 representantes (m´todo de Hill- Huntington))
ca e
ca
e
votos. Usando o m´todo de Hill- Huntington, como se distribuem os 10 re-
e
presentantes pelas trˆs listas?
e
Resolu¸ao:
c˜
a u
10
1009).
co
u `
pela regra de Hill- Huntington.
Lista N´mero de votos Quota standard H = L × (L + 1) Quota arredondada
u
A 465 4,609 4,472 5
B 265 2,626 2,449 3
C 279 2,765 2,449 3
Total 1009 - - 11
Como a soma das quotas arredondadas ´ 11 e nõ 10 como pretendido, ne-
e a
cessitamos de procurar o divisor modificado.
Lista N´mero de votos Quota standard H = L × (L + 1) Quota arredondada
u
A 465 4,609 4,472 5
B 265 2,626 2,449 3
C 279 2,765 2,449 3
Total 1009 - - 11
Atribui-se a cada lista o n´mero de representantes igual a quota arredondada
u `
e
Resposta: Os representantessriam quatro para a lista A, trˆs para a lista B
e
e

a 10

1.3.7 Paradoxos do m´todo de Hamilton
e
O m´todo de Hamilton era usado na Cˆmara dos Representantes nos EUA,
e a
em 1882, quando apareceu uma situa¸õ curiosa. Para modificar o n´ mero
ca u
de mandatos da Cˆmara tendo em vista futuras elei¸˜es, fez-se um estudo,
a co
simulando diferentes valores para o n´ mero de membros desde 270 a 350
u
membros. Nesse estudo, observou-se que o estado de Alabama tinha direito a
8 representantes se o n´ mero de membros da Cˆmara fosse 299, mas diminu´
u a ıa
para 7 representantes se o n´ mero de membros da Cˆmara fosse 300. O
u a
Congresso decidiu, entõ, que a Cˆmara devia ter 325 membros, j´ que com
a a a
este valor parecia nõ haver problemas. Esta situa¸õ denomina-se Paradoxo
a ca
de Alabama e ´ comum dizer-se que o m´todo de Hamilton nõ ´ mon´tono,
e e a e o
uma vez que se se aumentar o n´ mero de mandatos a repartir, mantendo o
u
mesmo n´ mero de elementos na popula¸õ, supreendentemente, pode haver
u ca
estados que vejam diminu´ o seu n´ mero de representantes.
ıdo u
Paradoxo de Alabama
Um incremento no n´ mero total de lugares a serem distribu´
u ıdos obriga a que
um estado perca um lugar.
Explica¸õ deste paradoxo:
ca
• aumentando o n´ mero de lugares a ser partilhado, a quota da cada
u
Estado sobe;
• pode mudar a parte decimal de cada uma;
• os lugares extra a serem ganhos irõ ser distribu´
a ıdos consoante as novas
casas decimais
Exemplo 1.9 (Paradoxo de Alabama) Consideremos um conselho com
trˆs freguesias: A, B e C. A popula¸õ ´ de 2000 habitantes e h´ 20 lugares
e ca e a
2000
para distribuir. Divisor standard= 20 = 100.
Freguesias Popula¸õ Quota Standard Quota m´
ca ınima Mandatos
A 240 2,4 2 2+1=3
B 930 9,3 9 9
C 830 8,3 8 8
Total 2000 19 20
Nas elei¸˜es seguintes foram atribu´dos 21 mandatos. Divisor standard=
co ı
2000
20
= 95, 24(2c.d.)
Freguesias Popula¸õ Quota Quota m´
ca ınima Mandatos
A 240 2,520 2 2
B 930 9,765 9 9 + 1 = 10
C 830 8,715 8 8+1=9
Total 2000 19 21

a 11

Verifica-se que com o aumento de mandatos diminui o n´mero de mandatos
u
da freguesia A.

Embora fosse o Paradoxo de Alabama a descredibilizar o m´todo de Hamil-
e
ton, mais tarde outros paradoxos viriam a ser descobertos: O paradoxo da
Popula¸õ e o Paradoxo do Novo Estado.
ca
Paradoxo da Popula¸õ ca
Um aumento da popula¸õ num Estado obriga-o a perder um lugar.
ca
Este paradoxo foi descoberto em 1900, quando se mostrou que um Estado
podia perder um lugar na Cˆmara dos Representantes devido a um aumento
a
da sua popula¸õ.
ca

Exemplo 1.10 Considere a seguinte situa¸õ:
ca
H´ 2000 habitantes e 20 lugares para atribuir a 4 freguesias: A, B, C e D.
a
Divisor standard= 2000 = 100
20

Freguesias Popula¸õ Quota
ca Quota m´ınima Parte decimal Lugares extra Divisõ final
a
A 110 1,1 1 0,1 1
B 340 3,4 3 0,4 3
C 300 3,0 3 0,0 3
D 1250 12,5 12 0,5 1 13
Total 2000 19 1 20

Alguns anos mais tarde a popula¸õ aumentou de 2000 para 2008 habitantes.
ca
2008
Divisor standard= 20 = 100, 4

Freguesias Popula¸õ Quota Quota m´
ca ınima Parte decimal Lugares extra Divisõ final
a
A 110 1,096 1 0,096 0 1
B 348 3,466 3 0,466 1 4
C 299 2,978 2 0,978 1 3
D 1251 12,460 12 0,460 0 12
Total 2008 18 2 20

Como podemos verificar, a freguesia D aumentou a sua popula¸ao e diminui
c˜
a sua quota de 13 para 12.

Paradoxo do Novo Estado
Quando um novo Estado, com direito a um determinado n´ mero de lugares
u
na Cˆmara dos Representantes (baseado na popula¸õ), adere ao Congresso,
a ca
depois de recalculada a distribui¸õ, o n´ mero de lugares por Estado pode
ca u
ser recalculado.

a 12

O Paradoxo do Novo Estado foi descoberto em 1907, quando Oklahoma se
tornou um Estado. Com a entrada de um novo Estado, era esperado manter
o n´ mero de lugares ocupados pelos outros estados. No entanto, a partilha
u
foi recalculada, Maine ganhou um lugar e Nova Iorque perdeu um lugar. Para
melhor entendermos o Paradoxo do Novo Estado, consideremos o exemplo
que se segue.

Exemplo 1.11 (Distribui¸õ de computadores) Num determinado agru-
ca
pamento de escolas, existem 10 computadores para serem distribu´
ıdos por
duas escolas, A e B, com, respectivamente, 148 e 856 alunos, usando o
m´todo de Hamilton.
e
Alunos:1004
Divisor standard= 1004 = 100, 4
10
Escola Alunos Quota Standard Quota m´ ınima Parte decimal Distribui¸ao final
c˜
A 148 1,474 1 0,442 1
B 856 8,526 8 0,526 8+1=9
Total 1004 9 10
Suponhamos que nesse mesmo agrupamento de escolas abre uma nova Escola
C, com 330 alunos com direito a 3 computadores.
Recalculando a partilha:
Alunos:1334
Divisor Standard= 1334 = 102, 62
13
Escola Alunos Quota standard Quota m´ ınima Parte decimal Distribui¸ao final
c˜
A 148 1,442 1 0,442 1+1=2
B 856 8,341 8 0,341 8
C 330 3,216 3 0,216 3
Total 1334 12 13
Verificamos que a escola B perde um computador para a escola A.

1.4 Sistemas eleitorais posicionais ou preferenciais
1.4.1 M´todo de Borda
e
Nos sistemas eleitorais posicionais ou prefeenciais cada eleitor pode votar
em mais do que um elemento de acordo com as suas preferˆncias. No final
e
resulta um e um s´ vencedor.
o
M´todo de Borda
e
Algoritmo
1o passo: Considere-se p o n´ mero de pessoas que podem ser eleitas.
u
o
2 passo: Cada eleitor vota em todos os candidatos, atribuindo pontos a
cada um conforme a sua ordem de preferˆncia, p − 1 pontos para a segunda
e

a 13

preferˆncia e assim sucessivamente, at´ que atribui um ponto ` ultima pre-
e e a´
ferˆncia.
e
3o passo: Os candidatos sõ ordenados pela soma dos pontos obtidos e
a
ganha quem obtiver mais pontos.

Exemplo 1.12 (Elei¸õ do presidente) A associa¸õ NANA resolveu fa-
ca ca
zer elei¸oes para eleger o novo presidente. Concorreu o Sr. Ribeiro, o Sr.
c˜
Silva e o Sr. Teixeira. Os boletins de voto foram elaborados e votaram 53
membros com as seguintes ordens de preferˆncia:
e

Associa¸õ NANA
ca Associa¸õ NANA
ca Associa¸õ NANA
ca
Ribeiro 1 Ribeiro 3 Ribeiro 3
Silva 2 Silva 2 Silva 1
Teixeira 3 Teixeira 1 Teixeira 2
Vote por ordem de preferˆncia
e Vote por ordem de preferˆncia
e Vote por ordem de preferˆncia
e
20 boletins 16 boletins 17 boletins

Usando o sistema maiorit´rio simples, quem foi o vencedor?
a

Usando o m´todo de Borda, quem foi o vencedor?
e

Resolu¸õ:
ca

Pelo sistema maiorit´rio simples, o Sr. Ribeiro ganhou as elei¸˜es visto
a co
que foi votado em primeiro lugar por 20 membros, enquanto que o Sr.
Teixeira foi por 16 e o Sr. Silva por 17.

Vamos atribuir 3 pontos por cada primeira preferˆncia obtida, 2 pontos por
e
cada segunda preferˆncia e 1 ponto por cada terceira preferˆncia. Te-
e e
mos: Sr Ribeiro 20 × 3 + 16 × 1 + 17 × 1 = 93
Sr Silva 20 × 2 + 16 × 2 + 17 × 3 = 123
Sr Teixeira 20 × 1 + 16 × 3 + 17 × 2 = 102
Resposta: A preferˆncia foi claramente para o Sr. Silva e, curiosa-
e
mente, o Sr. Ribeiro ficou em ultimo lugar.
´

1.4.2 M´todo de Condorcet ou de elei¸õ por confronto directo
e ca
O m´todo de Condorcet ´ um sistema eleitoral posicional. Cada eleitor pode
e e
votar em mais do que um candidato de acordo com a sua preferˆncia. No
e
final pode nõ existir um vencedor, pois pode haver empate.
a
M´todo de Condorcet
e

a 14

Algoritmo
1o passo: Considere-se p o n´ mero de pessoas que podem ser eleitas.
u
o
2 passo: Cada eleitor vota em todos os candidatos, atribuindo pontos a
cada um conforme a sua ordem de preferˆncia, ou seja, p pontos para primeira
e
preferˆncia, p − 1 pontos para a segunda preferˆncia e assim sucessivamente,
e e
at´ que atribui um ponto ` ultima prferˆcia.
e a` e
3o passo: Os candidatos sõ comparados dois a dois e o vencedor ´ aquele
a e
que venceu mais confrontos directos.

Nota 1 D´-se o nome de vencedor ou perdedor de Condorcet a quem ganha
a
ou perde todos os confrontos directos.

Exemplo 1.13 (Elei¸õ da nova associa¸õ (M´todo de Condorcet))
ca ca e
A Escola Secund´ria do Rio Tejo resolveu fazer elei¸oes para eleger a nova
a c˜
associa¸õ de estudantes. Concorreram quatro listas: A, B, C e D. Votaram
ca
450 alunos com as seguintes ordens de preferˆncia:
e

A A B C D

B D C A B

C C A D A

D B D B C

80votos 30votos 40votos 130votos 170votos
Usando o m´todo de Condorcet, qual ´ a lista vencedora?
e e
Resolu¸õ:
ca

• Para eleger o vencedor pelo m´todo de Condorcet devem-se considerar
e
os resultados dos seguintes confrontos: A vs. B; A vs. C; A vs. D; B
vs. D; e C vs. D. (Nota: vs.=versus)

• Entõ temos:
a
A vs. B: A = 80 + 30 + 130 = 240 e B = 40 + 170 = 210, A ganha a B
A vs. C: A = 80 + 30 + 170 = 280 e B = 40 + 130 = 170, A ganha a C
A vs. D: A = 80 + 30 + 40 + 130 = 280 e D = 170, A ganha a D
B vs. C: B = 80 + 40 + 170 = 290 e C = 30 + 130 = 160, B ganha a C
B vs. D: B = 80 + 40 = 120 e D = 30 + 130 + 170, D ganha a B

a 15

C vs D: C = 80 + 40 + 130 = 250 e D = 30 + 170 = 200, C ganha a D
Reposta: A lista vencedora ´ a A.
e

Nota 2 A vota¸õ no m´todo de Condorcet ´ idˆntica ` do m´todo de Borda,
ca e e e a e
mudando no entanto a contagem de votos. Nessa contagem, os candidatos
sõ comparados dois a dois e o vencedor ´ escolhido como o que venceu mais
a e
confrontos.

1.4.3 M´todo de elimina¸õ de run-off dos dois candidatos mais
e ca
votados
O m´todo de elimina¸õ de run-off aponta duas modalidades, m´todo de run-
e ca e
off dos dois candidatos ou o m´todo de run-off sequencial. Em qualquer dos
e
m´todos cada eleitor pode votar em mais do que um candidato, de acordo
e
com as suas preferˆncias. No final existe um vencedor ou uma lista de ven-
e
cedores.
M´todo de run-off dos dois candidatos mais votados
e
Algoritmo
1o passo: Ganha o candidato com a maioria absoluta na primeira pre-
ferˆncia; caso contr´rio, eliminam-se os candidatos, com excep¸õ dos dois
e a ca
mais votados na primeira preferˆncia.
e
2o passo: De seguida, nos boletins dos que votaram nos candidatos que
foram eliminados procuram-se as segundas preferˆncias e os votos dos candi-
e
datos que restaram.
3o passo: O vencedor ´ o que obtiver mais votos.
e

Exemplo 1.14 (Elei¸õ da nova associa¸õ (M´todo de elimina¸õ de run-off))
ca ca e ca
A Escola Secund´ria do Rio Tejo resolveu fazer elei¸˜es para eleger a nova
a co
associa¸õ de estudantes. Concorreram quatro listas: A, B, C e D. Votaram
ca
450 alunos com as seguintes ordens de preferˆncia:
e

A A B C D

B D C A B

C C A D A

D B D B C

80votos 30votos 40votos 130votos 170votos
Usando o m´todo de run-off, qual ´ alista vencedora?
e e

a 16

Resolu¸õ
ca

• Nenhuma lista obteve maioria absoluta, na primeira sequˆncia.
e

• Para eleger o vencedor pelo m´todo de run-off temos de escolher os dois
e
candidatos mais votados na primeira preferˆncia, neste caso as listas C
e
(130 votos) e D (170 votos), e eliminamos os candidatos menos votados
na primeira preferˆncia, as listas (110 votos) e B (40 votos).
e

Vamos ver as segundas preferˆncias nos boletins dos que votaram nas listas
e
eliminadas.

• No primeiro caso, os 80 votos da lista A võ para a lista B, mas como
a
esta lista j´ tinha sido eliminada estes mesmos votos revertem para a
a
lista C.

• No segundo caso, os votos da lista A passam para a lista D.

• No terceiro e ultimo caso, os 40 votos dalista B passam para a lista C.
´

• Assim, a lista C fica com 130 + 40 + 80 = 250 votos e a lista D fica
com 170 + 30 = 200 votos.

Resposta: A lista vencedora ´ a C.
e

1.4.4 M´todo de run-off sequencial
e
1o passo: Cada eleitor vota num candidato, mas ordena os restantes por
ordem decrescente de preferˆncia no mesmo boletim de voto.
e
o
2 passo: Se um candidato obt´m a maioria absoluta com as primeiras pre-
e
ferˆncias ´ eleito.
e e
3o passo: Se nenhum candidato obt´m a maioria absoluta, elimina-se o can-
e
didato menos votado.
4o passo: Nos boletins dos que votaram no candidato menos votado ( o
eliminado) procuram-se as segunda preferˆncia.
e
o
5 passo: Faz-se a contagem de votos dessa segunda preferˆncia.
e
6o passo: Juntam-se os votos da segunda preferˆncia aos votos que os can-
e
didatos nõ eliminados j´ tinham.
a a
o
7 passo: O processo repete-se at´ se encontrar um candidato com maioria
e
absoluta.

a 17

Exemplo 1.15 (Elei¸˜es na Escola) Na Escola Secund´ria de Guimar˜es
co a a
foi aberto um concurso para eleger o aluno que melhor representou a escola
em 2008-2009. Foram seleccionados quatro alunos para a final´ssima que se-
ı
ria decidida atrav´s da vota¸ao dos professores e funcion´rios da escola no
e c˜ a
diada gala de finalistas.
Os resultados obtidos foram os seguintes:

A B D C

B C A D

C D B B

D A C A

33votos 45votos 70votos 85votos
Usando o m´todo de run-off, qual ´ o aluno escolhido?
e e
Resolu¸õ:
ca
Nenhum aluno obteve maioria absoluta nas primeiras preferˆncias, ou seja,
e
mais de 116 votos. O aluno com menos votos nas primeiras preferˆncias,
e
ou seja, mais de 116 votos. O aluno com menos votos nas primeiras pre-
ferˆncias ´ o A, logo ´ eliminado. Obtem-se a seguinte tabela:
e e e
1.o B B D C
2.o C C B D
o
3. D D C B
N.o de votos 33 45 70 85
Nenhum dos candidatos obteve maioria absoluta nas primeiras preferˆncias.
e
Elimina-se o aluno D, o menos votado. Obtem-se a seguinte tabela:
1.o B B B C
o
2. C C C B
N.o de votos 33 45 70 85
Reposta:O aluno B foi o escolhido.

1.5 Teorema de Arrow. Considera¸˜es gerais
co
Dos v´rios m´todos de contangem analisados interessa saber qual o mais
a e
justo e que deveria, portanto, ser usado. Kenneth Arrow, matem´tico e eco-
a
nomista, recebeu o Pr´mio Nobel da Economia em 1972 devido ao trabalho
e
de investiga¸õ que fez sobre a procura de um sistema de vota¸õ perfeito.
ca ca
Arrow enumero as seguintes propriedades para uma elei¸õ justa:
ca

a 18

• Nõ-ditadura: a preferˆncia de um eleitor nõ se pode sobrepor `
a e a a
preferˆncia da sociedade.
e

• Soberania individual: cada eleitor pode ordenar livremente os can-
didatos, desde que o fa¸a transitivamente.
c

• Unanimidade: se todos os eleitores preferem candidato A ao candi-
dato B, o candidato A vence o candidato B.

• Crit´rio da independˆncia das alternativas irrelevantes: o re-
e e
sultado da hierarquiza¸õ colectiva de dois candidatos depende apenas
ca
dos candidatos em questõ. Ou seja, se a sociedade prefere o candidato
a
A ao B e o candidato B ao C, entõ tem de preferir o candidato A ao C,
a
independentemente de o candidato B retirar ou nõ a sua candidatura.
a

• Classifica¸õ unica de grupo: o m´todo de produzir a classifica¸õ
ca ´ e ca
de grupo deve originar um unico resultado, sempre que ´ aplicado ao
´ e
mesmo conjunto de preferˆncias. A classifica¸õ de grupo deve ser
e ca
transitiva.

Arrow demonstrou que o unico sistema eleitoral livre de paradoxos ´ a dita-
´ e
dura.

Teorema 1.1 (Teorema da impossibilidade de Arrow) Para elei¸˜es en- co
volvendo mais do que dois candidatos ´ matem´ticamente imposs´ encon-
e a ıvel
trar um m´todo democr´tico e justo para determinar o vencedor.
e a

Donald Saari, matem´tico na Northwest University, demonstrou que as hip´teses
a o
do teorema de Arrow permitem que os eleitores sejam irracionais, da´ os para-
ı
doxos. Ora, adoptando uma hip´tese semelhante a de Arrow mas que exclua
o `
` partida esta possibilidade, o resultado demonstrado por Saari ´ novamente
a e
supreendente: o unico processo democr´tico que assegura uma elei¸ao justa
´ a c˜
e sem paradoxos ´ a velha contagem de Borda!
e
Mas a questõ que se poder´ colocar ´ a da existˆncia ou nõ de um sistema
a a e e a
inequivocamente justo em todas as circunstˆncias, incluindo os trˆs parado-
a e
xos que afectam o m´todo de Hamilton. E, para esta questõ, infelizmente,
e a
nõ ´ poss´ encontrar uma resposta positiva como foi demonstrado atrav´s
a e ıvel e
do teorema que os matem´ticos Balinski e H. P. Young a semelhan¸a do Te-
a ` c
orema da Impossibilidade de Arrow, desenvolveram. No essencial,perante a
impossibilidade de estabelecer regras de contagem e distribui¸õ de mandatos
ca
de uma forma matem´ticamente exacta, a procura de solu¸˜es mais equita-
a co
tivas nesta mat´ria ter´ d passar tamb´m por decis˜es de carćter pol´
e a e o a ıtico e
de debate entre os diferentes protagonistas do sistema democr´tico.
a

a 19

Exerc´
ıcios resolvidos

1. Elei¸õ para o delegado de turma
ca
Na elei¸õ para o delegado de turma do 10o E foram obtidos os seguin-
ca
tes resultados:
Nomes No de votos
Adriana 4
Hugo 5
Ana Miguel 10
Leandro 1
Nulos 2
Brancos 4
Total 26

1.1 Qual a percentagem de votos de cada aluno? Apresente o reultado
aproximado `s unidades.
a
1.2 Quem ganha pelo sistema maiorit´rio de uma volta?
a
1.3 Quantos votos o delegado de turma teria de obter para ganhar a
`
primeira volta no sistema maiorit´rio de duas voltas
a

2. Um voto faz a diferen¸a (m´todo de Hondt)
c e
Um clube de futebol regional realizou elei¸˜es para eleger os seus 8 re-
co
presentantes que sõ apurados segundo o m´todo de Hondt. Apresentam-
a e
se quatro listas de candidatos e os votos v´lidos foram os seguintes:
a
Lista A 2412 votos
Lista B 1809 votos
Lista C 1205 votos
Lista D 906 votos

2.1 Quantos representantes elegeu cada lista? (Apresente os quocien-
tes arredondados as dćimas.)
` e
2.2 A lista C exigiu uma recontagem dos votos tendo chegado ` con-a
clusõ que de facto tinha um voto a mais que os inicialmente
a
atribu´ıdos, ou seja, ficou com 1206 votos e as restantes listas com
o mesmo n´ mero de votos. Este facto alterou alguma coisa na
u
escolha dos representantes.

3. M´todos diferentes de elei¸õ conduzem aos mesmos resultados?
e ca
o
Os alunos do 9 ano võ organizar uma festa de finalistas na escola. Na
a

a 20

assembleia de alunos foram a vota¸õ trˆs propostas para o estilo de
ca e
m´ sica a ser mais utilizado na festa: m´ sica popular(P); m´sica rock
u u u
(R) e m´ sica hip hop (H). Os resultados foram os seguintes:
u

4. Uma escola recebeu 124 calculadoras gr´ficas para serem usadas pelos
a
seus alunos: 148 do secund´rio e 856 do 3o ciclo.
a

4.1 Usando o m´todo de Jefferson, indique como ser´ feita a distri-
e a
bui¸õ.
ca
4.2 Como na escola existem cursos de Educa¸õ/Forma¸õ (com 154
ca ca
alunos), o Conselho Executivo achou que estes tamb´m deveriam
e
poder utilizar as m´quinas e pediu para recalcularem a partilha,
a
usando o mesmo m´todo. Como ficou a nova distribui¸õ? Co-
e ca
mente os resultados.
4.3 O conselho Pedag´gico da escola considerou que os alunos dos cur-
o
sos de Educa¸õ/Forma¸õ deveriam estar junto dos do ensino
ca ca
b´sico e pediu novamente para ser calculada a distribui¸õ pelo
a ca
mesmo m´todo. Comente os resultados.
e

Exerc´
ıcios Propostos

1. Elei¸õ do baston´rio
ca a
Leia com aten¸õ o seguinte texto, parte de uma not´ do Jornal de
ca ıcia
Not´ıcias do dia 5 de Dezembro de 2004, onde se relata a elei¸õ do
ca
baston´rio (isto ´, o presidente) da Ordem dos Advogados ( associa¸õ
a e ca
de advogados portugueses):
Rog´rio Alves conquista Ordem dos Advogados
e
O novo baston´rio da Ordem dos Advogados chama-se Rog´rio Al-
a e
ves, tem 43 anos (...). Eleito com 5849 votos, teve uma vantagem de
apenas 919 votos sobre Antńio Marinho, (...).Antńio Marinho (...)
o o
ficou em segundo lugar, com 4930 votos (...). Joõ Correia, que era
a
vice-presidente do Conselho Geral cessante, ficou em terceiro lugar,
recolhendo o apoio de 4574 eleitores.

1.1 Qual parece ser o m´todo eleitoral usado para eleger o baston´rio
e a
da Ordem dos Advogados? (nõ precisa de indicar o nome do
a
m´todo, basta que explique qual foi o m´todo usado.)
e e
1.2 Indique uma vantagem e um inconveniente da aplica¸õ desse m´todo.
ca e

a 21

1.3 Fa¸a uma pequena composi¸õ em que sugira uma melhoria do
c ca
m´todo usado na elei¸õ do baston´rio da Ordem dos Advogados
e ca a
portuguesa.

2. No concelho do Montijo
Na tabela seguinte estõ os resultados obtidos no concelho do Montijo
a
nas elei¸˜es aut´rquicas de 2005, relativamente ` elei¸õ para a Camara
co a a ca
Municipal.

Cˆmara Municipal
a
Partidos Votos %
PS 6984 42,15
PPD/PSD 4266 25,75
PCP-PEV 3295 19,89
BE 707 4,27
CDS-PP 249 1,50
PCTP/MRPP 175 1,06
Inscritos 35201 100
Votantes 16569 47,07
Brancos 618 3,73
Nulos 275 1,66

2.1 Qual foi o partido que elegeu o presidente da Camˆra?
a
2.2 Sabendo que a Cˆmara deste concelho ´ composta pelo presidente
a e
e seis vereadores, determine a composi¸õ ”partid´ria”da Cˆmara
ca a a
Municipal aplicando o m´todo de Hondt. Apresente os quocientes
e
arredondados `s unidades.
a
2.3 Por que ´ importante conhecer a priori o n´ mero de votos ne-
e u
cess´rios para conseguir um mandato? Comente e dˆ exemplos
a e
concretos.

3. Partilha dos computadores
O agrupamento de escolas do Areias recebeu 75 computadores port´teis
a
para distribuir pelas suas oito escolas. O n´mero de alunos por escola
u
´ o seguinte:
e

Escola A B C D E F G H
o
N de alunos 124 345 987 765 454 65 222 897

a 22

Determine como ser´ feita a distribui¸õ utilizando o m´todo de Hondt,
a ca e
apresentando os quocientes com aproxima¸õ `s unidades.
ca a

4. A distribui¸õ dos pr´mios
ca e
As professoras do cantinho da Matem´tica tˆm 22 livros de sudoku para
a e
oferecer aos quatros melhores alunos que participaram no campeonato
anual realizado na escola. As pontua¸˜es obtidas pelos alunos sõ as
co a
seguintes:

Aluno A B C D
o
N de pontos 400 225 200 63

4.1 Fa¸a a distribui¸õ dos livros, utilizando o m´todo de Hamilton,
c ca e
utilize os valores aproximados `s mil´simas.
a e
4.2 Antes de fazer comunica¸õ dos resultados, o j´ ri verificou que as
ca u
pontua¸˜es nõ estavam correctas. Portanto, repetiu o processo
co a
com as seguintes altera¸˜es:
co

Aluno A B C D
No de pontos 400 235 200 71

Fa¸a de novo a distribui¸õ e comente os resultados, utilize os valores
c ca
aproximados as mil´simas.
` e

5. Elei¸˜es para a Assembleia da Associa¸ao
co c˜
A tabela seguinte mostra os resultados das elei¸˜es para Assembleia da
co
Associa¸õ ”Um animal ´ um amigo”. Concorreram quatro listas, mas
ca e
as listas A e B formaram uma coliga¸õ. A Assembleia da Associa¸õ
ca ca
tem 6 membros.

Listas Votos
A/B 346
C 217
D 166
Total 729

Sempre que necess´rio utilize os valores aproximados `s dćimas.
a a e

a 23

5.1 Determine a composi¸ao da Assembleia utilizando m´todo de Ha-
c˜ e
milton.
5.2 Determine a composi¸õ da Assembleia utilizando o m´todo de
ca e
Hondt. Compare os resultados com os da al´
ınea anterior.
5.3 Quantos votos mais seriam necess´rios para a coliga¸õ A/B obter
a ca
maioria absoluta?
5.4 Uma sondagem ”` boca das urnas”dava uma percentagem de in-
a
ten¸õ de voto a lista A de 40%. Se tivesse concorrido sozinha
ca `
quantos membros elegeria? Utilize os dois m´todos. Compare os
e
resultados entre m´todos com e sem liga¸õ.
e ca

6. Comer fruta faz bem
Considere a seguinte tabela de preferˆncias, relativamente as escolhas
e `
de 13 crian¸as, sobre a fruta para comer ao lanche: pˆra(P); banana
c e
(B) e morango (M).

6.1 Determine a escolha vencedora pelo m´todo de Borda.
e
6.2 Existe vencedor de Condorcet?
6.3 Como a Adriana faz anos, a educadora tornou representativas as
suas preferˆncias: 1a M, 2a B e 3a P. E justo este m´todo?
e ´ e
6.4 Suponha que nesse dia nõ conseguiram comprar morangos. Qual
a
ser´ a escolha?
a
6.5 As al´
ıneas anteriores violaram alguma das condi¸˜es de Arrow?
co

7. No clube deportivo dos Peixes
Considere os resultados obtidos nas elei¸˜es para a Direçõ do Clube
co ca
Desportivo dos Peixes. Võ ser distribu´
a ıdos 8 mandatos.

Listas Votos
A 99
B 889
C 654
D 417
Total 2059

7.1 Determine a distribui¸õ dos mandatos atrav´s do m´todo de HOndt
ca e e
e de Saint-Lague. Apresente os quocientes arredondados `s uni-
a
dades.

a 24

7.2 Valer´ a pena a lista D fazer uma coliga¸õ com a lista A? Co-
a ca
mente os efeitos desta coliga¸õ nos resultados gerais, em fun¸õ
ca ca
do m´todo utilizado. Apresente os quocientes arredondados `s
e a
unidades.
7.3 Se o n´ mero de mandatos aumentasse para 12, como ficaria a dis-
u
tribui¸õ? Utilize os dois m´todos. Comente os resultados ob-
ca e
tidos, fazendo referˆncia ` influˆncia do n´ mero de mandatos a
e a e u
atribuir. Apresente os quocientes arredondados `s unidades.
a

8. Elei¸õ e Sintra
ca
Nas elei¸˜es autarquicas de 2005 foram obtidos os seguintes resultados
co
eleitorais para a Cˆmara Municipal de Sintra:
a
Cˆmara Municipal de Sintra
a
Partidos Votos Vereadores
PPD/PSD+ 59307 6
PS 42195 4
PCP-PEV 16858 1
BE 8909 0
PCTP-MRPP 1405 0
PH 707 0
O m´todo utilizado para determinar o n´ mero de vereadores para a
e u
nova Cˆmara Municipal foi o de Hondt, de acordo com a Lei portu-
a
guesa.
Nalguns pa´ aplica-se o m´todo de Saint-Lague que apenas difere do
ıses e
m´todo de Hondt pelo facto de se usarem 1,3,5,7,9,11,... como divisores
e
em vez de 1,2,3,4,5,6.

8.1 Aplique o m´todo de Saint-Lague aos resultados eleitorais.
e
8.2 O resultado em termos de vereadores foi o mesmo? Comente.

9. Elei¸˜es nos A¸ores
co c
O quadro apresentado a seguir diz respeito `s elei¸˜es Regionais dos
a co
A¸ores, em 2004.
c

a 25

A¸ores
c
Popula¸õ residente (Censos 2001):238767
ca
Total de eleitores inscritos:187765
Deputados: 52
C´
ırculos:9
Partidos concorrentes: PS, PSD/CDS, CDU, BE, PPM, MPT e PDA
Eleitores Deputados
Corvo 350 2
Faial 11451 4
Flores 3211 3
Graciosa 3817 3
Pico 11820 4
Santa Maria 4508 3
S. Jorge 7967 4
S. Miguel 99854 19
Terceira 44787 10
De acordo com a Constitui¸õ da Rep´ blica, nas Regi˜es Autonomas
ca u o
da Madeira e dos A¸ores, as respectivas assembleias sõ compostas por
c a
deputados eleitos por sufr´gio universal, de acordo com o princ´
a ıpio da
representa¸õ proporcional e por c´
ca ırculos eleitorais.
A conversõ dos votos em mandatos, segundo o artigo 16o da Lei eleito-
a
ral, faz-se utilizando o m´todo de representa¸õ proporcional de Hondt.
e ca
De acordo com as al´ ıneas b) e c) do referido artigo:
o n´ mero de votos apurados por cada lista ´ dividido, sucessivamente,
u e
por 1,2,3,4,5, etc., sendo os quocientes alinhados pela ordem decres-
cente da sua grandeza numa s´rie de tantos termos quantos os manda-
e
tos atribu´ ıdos ao c´ ırculo eleitoral respectivo; os mandatos pertencem
a
`s listas a que correspondem os termos da s´rie estabelecida pela regra
e
anterior, recebendo cada um das listas tantos mandatos quantos os seus
termos na s´rie .
e
Na tabela da p´gina seguinte estõ registados os resultados obtidos
a a
pelos diferentes partidos nos diferentes c´ ırculos eleitorais, nas Elei¸˜es
co
Regionais dos A¸ores, em 2004.
c

a 26

Santa Sõ
a Terceira Graciosa Sõ Pico Faial Flores Corvo
a Total
Maria Miguel Jorge
PS 1445 32583 14856 1363 2249 3679 2758 1067 133 60133
PSD/CDS 537 18191 9315 1146 2571 3411 2785 829 97 38882
CDU 83 844 240 25 89 135 1194 357 1 2968
BE - 599 301 - 61 - 58 - - 1019
PPM - 132 100 - 0 0 0 0 30 276
MPT - 369 - - - - - - - 369
PDA - 248 - - - - - - - 248

Nestas elei¸˜es, o n´ mero total de votos brancos e nulos foi de 1672.
co u

9.1 Explique a razõ da diferen¸a entre a popula¸ao residente (Censos
a c c˜
2001) e o total de eleitores inscritos.
9.2 Calcule a percentagem da absten¸õ nestas elei¸˜es. Apresente o
ca co
resultado `s unidades.
a
9.3 Determine o n´ mero de deputados eleitos por cada partido, no
u
c´
ırculo da Terceira. Nos c´lculos interm´dios, apresente os valores
a e
arredondados `s unidades.
a
9.4 A CDU nõ elegeu qualquer deputado nestas elei¸˜es.
a co
Se, em vez de nove c´
ırculos eleitorais, houvesse apenas um (jun¸õca
dos nove), de acordo com o m´todo de Hondt, a CDU teria eleito
e
um deputado para a Assembleia Regional dos A¸ores. c
Partindo deste facto, elabore uma pequena composi¸õ onde refira
ca
situa¸˜es em que poderia ser vantajosa, ou nõ, para os partidos
co a
com poucos votos, a existˆncia de um c´
e ırculo eleitoral unico.
´

10. Em S. Juliõ da Moita
a
No dia 16 de Dezembro de 2001, realizaram-se elei¸˜es aut´rquicas em
co a
Portugal. Na freguesia de Sõ Juliõ da Moita concorreram quatro
a a
for¸as pol´
c ıticas as elei¸˜es para a Assembleia de Freguesia. Estavam
` co
em disputa 13 mandatos.
A distribui¸õ dos votos pelas quatros for¸as pol´
ca c ıticas, nessas elei¸˜es
co
de 2001, est´ representada no seguinte gr´fico circular:
a a

a 27

Houve ainda 207 votos e 46 votos nulos.
Em 2005, realizaram-se novamente elei¸˜es para a mesma Assembleia
co
de Freguesia . As for¸as pol´
c ıticas concorrentes foram as mesmas qua-
tro. Os resultados estõ representados no seguinte gr´fico de barras:
a a

10.1 Elabore um gr´fico da barras semelhante ao apresentado, mas
a
relativo as elei¸˜es de 2001 para a mesma Assembleia de Freguesia.
` co
Apresente os c´lculos efectuados aproximados as dćimas.
a ` e
10.2 Apesar de se votar apenas para eleger os membros da Assembleia
de Freguesia, ´ a partir dessa vota¸õ que ´ eleito o presidente da
e ca e
Junta de Freguesia, ou seja, o cabe¸a d lista da for¸a pol´
c c ıtica mais
votada. Sabendo que o presidente da Junta de Freguesia, eleito
e 2001, se recandidatou ao cargo em 2005 pelo mesmo partido,
verifique ustificando, se ele foi, ou nõ, reeleito.
a
10.3 Sabendo que o m´todo utilizado para fazer a distribui¸õ de
e ca
madatos nas elei¸˜es para Assembleia de Freguesia ´ o m´todo
co e e
de Hondt, determine o n´ mero de mandatos obtidos por cada
u

a 28

for¸a pol´
c ıtica em 2001. Apresente os quocientes aproximados as
`
dćimas.
e
10.4 Supondo que em 2001 as for¸as pol´
c ıticas B e D tinham concorrido
coligadas, admita que o n´ mero de votos da coliga¸õ B/D ´ igual
u ca e
a
` soma do n´ mero de votos de cada for¸a pol´
u c ıtica e que os votos
nas outras for¸as pol´
c ıticas mantinham-se inalterados; comente os
resultados obtidos.
O coment´rio deve focar os seguintes pontos:
a
• c´lculo do n´ mero de mandatos que seriam obtidos pelas
a u
trˆs for¸as pol´
e c ıticas ( apresente os quocientes aproximados
a e
`s dćimas);
• uma referˆncia a uma eventual altera¸õ na presidˆncia da
e ca e
Junta de Freguesia;
• conclusõ sobre se houve ou nõ, para as for¸as pol´
a a c ıticas B e
D, vantagem em concorrerem coligadas.

11. Vantagens/ Desvantagens

11.1 Indique uma vantagem do M´todo de Borda em rela¸õ aos m´todos
e ca e
plurais ( um homem, um voto).
11.2 Indique as vantagens e desvantagens dos sistemas maiorit´rios.
a
12. Em 25 de Novembro de 2007, ocorreram as elei¸˜es para a Assembleia
co
de Freguesia de Monte da Azinha. Para o preenchimento dos nove
lugares da referida Assembleia, concorreram cinco partidos, em listas
separadas. Cada lugar corresponde a um mandato. Ap´s o apuramento
o
geral, os resultados foram os seguintes.
Partido N´ mero de votos
u
A 454
B 438
C 49
D 463
E 29
O Antńio ´ um habitante dessa freguesia. Ele afirma que, no apura-
o e
mento dos lugares a atribuir a cada partido, o resultado da distribui¸õ
ca
dos nove lugares pelas listas concorrentes ´ o mesmo, quer se aplique o
e
m´todo de Hondt, quer se aplique o m´todo de Hamilton.
e e
Mostre que o Antńio tem razõ.
o a
Na sua resposta deve:

a 29

• apresentar a distribui¸õ dos 9 lugares aplicando o m´todo de
ca e
Hondt;
• apresentar a distribui¸õ dos 9 lugares aplicando o m´todo de
ca e
Hamilton;
• apresentar a conclusõ.
a

13. A associa¸õ de estudantes da Escola Secund´ria de Monte da Azinha
ca a
decidiu aplicar o m´todo de Contagem de Borda, para escolher o repre-
e
sentante dos alunos da escola num for´ m internacional sobre a ciˆncia.
u e
Concorreram quatro candidatos: a Ana, a Inˆs, o Nuno e o Pedro.
e
Segundo o m´todo da Contagem de Borda, o apuramento do vencedor
e
faz-se de acordo com os seguintes crit´rios e etapas:
e

• para que um voto possa ser considerado v´lido, cada eleitor vota
a
em todos os candidatos, ordenando-os de acordo com as suas pre-
ferˆncias;
e
• na ordena¸õ final dos concorrentes, cada primeira preferˆncia re-
ca e
cebe tantos pontos quantos os candidatos em vota¸õ;
ca
• cada segunda preferˆncia recebe menos um ponto do que a pri-
e
meira, e assim sucessivamente, recebendo a ultima preferˆncia um
´ e
ponto;
• o vencedor ´ o concorrente com maior n´ mero de pontos.
e u

Foram apurados noventa e cinco votos v´lidos. Os resultados obtidos
a
sõ os seguintes.
a
25 votos 40 votos 15 votos 10 votos 5 votos
1a prefereˆncia
e Nuno Pedro Nuno Pedro Pedro
a
2 preferˆncia
e Ana Inˆs
e Inˆs
e Nuno Nuno
a
3 preferˆncia
e Inˆs
e Nuno Ana Ana Inˆs
e
a
4 preferˆncia
e Pedro Ana Pedro Inˆs
e Ana
Determine a pontua¸õ final de cada candidato e indique o vencedor.
ca

14. O clube desportivo O Duelo oferece aos seus sćios cinco modalida-
o
des desportivas: Basquetebol, Futebol, Tńis, Golfe e Rˆbegui. Cada
e a
candidato a praticante pode escolher, de entre as cinco, a modalidade
que pretende praticar, mas s´ pode inscrever-se numa delas. No qua-
o
dro seguinte, est´ registado o n´ mero total de praticantes inscritos,
a u
distribu´
ıdos por cada uma dessas modalidades desportivas.
A direçõ deste clube ´ composta por doze elementos. Para garantir
ca e
a representatividade dos praticantes das diversas modalidades, os doze

a 30

lugares da direçõ devem ser atribu´
ca ıdos segundo o crit´rio de distri-
e
bui¸õ proporcional ao n´mero de praticantes de cada modalidade. A
ca u
distribui¸õ dos doze lugares da direçõ pelos representantes das dife-
ca ca
rentes modalidades vai ser feita pelo m´todo de Hondt.
e
Verifique se, para garantir, na direçõ, representatividade baseada na
ca
distribui¸õ de lugares proporcional ao n´ mero de praticantes das di-
ca u
versas modalidades, existe alguma vantagem ou desvantagem em se
agruparem duas delas, Golfe e Tńis.
e
Modalidade desportiva Total
Basquetebol Futebol Tńis Golfe Rˆguebi
e a
No praticantes 186 218 91 45 191 731
Na sua resposta deve:

• calcular o n´ mero de lugares atribu´
u ıdos aos representantes de cada
modalidade, antes de se agruparem Golfe e Tńis;e
• calcular o n´ mero de lugares atribu´
u ıdos aos representantes de cada
modalidade, depois de se agruparem Golfe e Tńis;e
• Concluir da existˆncia de vantagem ou de desvantagem do agrupa-
e
mento proposto para assegurar, na direçõ, a representatividade
ca
dos praticantes.

15. Os alunos do 12o ano da Escola Bom Estudante pretendem organi-
zar uma viagem de finalistas a uma cidade espanhola. Os delegados
das oito turmas reuniram-se para escolher essa cidade. Como nõ con-
a
seguiram consenso, decidiram que seriam todos os alunos do 12o ano a
eleger o destino da viagem, sendo Granada, Madrid, Sevilha e Vigo as
cidades colocadas ` vota¸õ.
a ca
Cada aluno, no seu boletim de voto, ordena as quatro cidades, de acordo
com a ordem das suas preferˆncias, sendo o seu voto atribu´ a cidade
e ıdo `
colocada em primeira preferˆncia.
e
Na tabela (quadro de preferˆncias) que se segue, estõ registadas as
e a
sequˆncias das preferˆncias obtidas na vota¸õ e o n´ mero correspon-
e e ca u
dente de boletins.
Preferˆncias
e Votos
a
1 Madrid Vigo Sevilha Granada Madrid Granada
2a Sevilha Sevilha Granada Madrid Vigo Sevilha
a
3 Granada Granada Vigo Vigo Sevilha Madrid
a
4 Vigo Madrid Madrid Sevilha Granada Vigo
Total de votos 50 60 40 14 30 22
O m´todo escolhido para apurar a cidade a eleger como destino da via-
e

a 31

gem de finalistas foi o m´todo preferencial, de acordo com os seguintes
e
crit´rios e etapas:
e

• contabiliza-se o n´ mero de votos obtidos, na primeira preferˆncia,
u e
por cada cidade;
• caso uma cidade obtenha a maioria absoluta de votos na primeira
preferˆncia, ela ´ eleita vencedora e o processo termina;
e e
• caso contr´rio, elimina-se da elei¸ao a cidade que obteve o me-
a c˜
nor n´ mero de votos, na primeira preferˆncia, e o quadro de pre-
u e
ferˆncias ´ reestruturado, passando a incluir menos uma cidade(
e e
consequentemente, tamb´m menos uma preferˆncia);
e e
• a este novo quadro de preferˆncias, aplicam-se novamente todos
e
os procedimentos anteriores, pela ordem enunciada;
• o processo repete-se at´ uma das cidades obter maioria absoluta
e
de votos, na primeira preferˆncia
e

Tendo em conta os resultados da vota¸õ expressos na tabela:
ca

a) Calcule o n´ mero de votos que cada uma das cidades obteve na
u
primeira preferˆncia.
e
b) Indique o n´ mero m´
u ınimo de votos que uma cidade deveria ter ob-
tido, na primeira preferˆncia, para ser eleita vencedora na primeira
e
contagem.
c) Determine, segundo o m´todo descrito, qual ´ a cidade onde se vai
e e
realizar a viagem de finalistas.
Na sua resposta deve incluir, obrigatoriamente, o n´ mero de votos
u
obtidos, na primeira preferˆncia, por cidade, em cada uma das
e
contagens que efectuar para determinar a cidade a visitar.
d) Determine quantos alunos frequentam o 12o ano de escolaridade na
Escola Bom Estudante , sabendo que 4% dos alunos do 12o ano
nõ votaram.
a

a 32

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