4. เสนตรง 1
บทที่ 1
เสนตรง (Straight Line)
โปรเจกชัน (Projections)
นิยาม 1.1 ให P เปนจุด และ L เปนเสนตรงบนระนาบ โปรเจกชันของจุด P บนเสนตรง L
ซึ่งเขียนสัญลักษณแทนวา P’ คือจุดตัดของเสนตรง L กับเสนตรงทีลากจากจุด P ไป
่
ตั้งฉากกับเสนตรง L
P
L
P'
รูปที่ 1.1
ถาจุด P อยูบนเสนตรง L โปรเจกชันของจุด P บนเสนตรง L คือจุด P’
ตัวอยาง 1.1
(2,3)
(-3,-1)
รูปที่ 1.2
โปรเจกชันของจุด (2,3) บนแกน x คือ (2,0)
โปรเจกชันของจุด (2,3) บนแกน y คือ (0,3)
โปรเจกชันของจุด (-3,-1) บนแกน x คือ (-3,0)
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
5. 2 เสนตรง
โปรเจกชันของจุด (-3,-1) บนแกน y คือ (0,-1)
โปรเจกชันของจุด (x,y) บนแกน x คือ (x,0)
โปรเจกชันของจุด (x,y) บนแกน y คือ (0,y)
นิยาม 1.2 ให P1P2 เปนสวนของเสนตรง และ L เปนเสนตรงบนระนาบ โปรเจกชันของสวน
ของเสนตรง P1P2 บนเสนตรง L คือสวนของเสนตรง P’1P’2 โดยที่ P’1 และ P’2
เปนโปรเจกชันของ P1 และ P2 บนเสนตรงตามลําดับ
P2
P1 L
P'2
P'1
รูปที่ 1.3
ระยะระหวางจุดสองจุด
ให P1 และ P2 เปนจุดบนเสนจํานวนจริง ที่มีพิกัดเปน x1 และ x2 ตามลําดับ
ระยะระหวางจุด P1 และ P2 ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณวา |P1P2| จะเทากับคาสัมบูรณของ
x1 – x2 นั่นคือ |P1P2| = |x1 –x2|
ให P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เปนจุดบนระนาบ เราจะพิจารณาระยะระหวาง P1
และ P2 ดังนี้
y
y P 1 (x1 ,y 1 )
P' 1
o
P 1 (x1 ,y 1 ) P 2 (x2 ,y 2 ) x
P' 2
P 2 (x2 ,y 2 )
o
P'1 P'2 x
รูปที่ 1.4 รูปที่ 1.5
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
6. เสนตรง 3
1. ถา P1P2 ขนานกับแกน x แลว y1 = y2 โปรเจกชันของ P1 และ P2 บน
แกน x คือ P’1(x1,0) และ P’2(x2,0) ตามลําดับ จากรูปที่ 1.4 จะเห็นวา P1P2 และ
P’1P’2 เปนดานตรงขามของสี่เหลี่ยมมุมฉาก เพราะฉะนัน |P1P2| = |P’1P’2| = |x1 – x2|
้
2. ในทํานองเดียวกัน ถา P1P2 ขนานกับแกน y แลว x1 = x2 โปรเจกชันของ
P1 และ P2 บนแกน y คือ P’1(0,y1) และ P’2(0,y2) ตามลําดับ จากรูปที่ 1.5 จะเห็นวา
|P1P2| = |P’1P’2| = |y1 – y2|
3. ถา P1P2 ไมขนานกับแกน x และไมขนานกับแกน y
y
P 1 (x1 ,y 1 ) Q(x2 ,y 1 )
o
x
P 2 (x2 ,y 2 )
รูปที่ 1.6
ลากเสน P1Q และ P2Q ใหขนานกับแกน x และแกน y ตามลําดับ ตัดกันที่จุด Q
ดังนั้น Q จะมีพิกดเปน (x2,y1) และ P1QP2 เปนสามเหลี่ยมที่มีมม P1QP2 เปนมุมฉาก
ั ุ
จากทฤษฎีบทพิธากอรัส (Pythagorean Theorem) จะไดวา | P1 P2 | = | P1 Q |2 + | P2 Q |2
= | x1 − x 2 |2 + | y1 − y 2 |2
= (x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2
ขอสังเกต ในกรณีที่ P1P2 ขนานกับแกน x หรือแกน y สูตรขางบนนี้ก็เปนจริง
ทั้งนี้เพราะวา a 2 = |a|
ทฤษฎีบท 1.1 ถา P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เปนจุดบนระนาบ ระยะระหวางจุด P1 และ
P2 คือ
|P1P2| = (x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
9. 6 เสนตรง
การแบงสวนของเสนตรง
นิยาม 1.3 ให P เปนจุดแบงสวนของเสนตรง AB ถา P อยูภายในสวนของเสนตรง AB
เราจะเรียก P วาจุดแบงภายใน AB ถา P อยูภายนอกสวนของเสนตรง AB เราจะเรียก
P วา จุดแบงภายนอก AB
นิยาม 1.4 ให A และ B เปนจุดบนเสนจํานวนจริงที่มีพิกัดเปน x1 และ x2 ตามลําดับ
ระยะทางที่มีทิศทาง (directed distance) จาก A ไปยัง B ซึ่งเขียนแทนดวย AB
มีคาเทากับ x2 – x1
นั่นคือ AB = x2 – x1 และ BA = x1 – x2 = -( x2 – x1) = - AB
ในทํานองเดียวกัน ถา A และ B เปนจุดบนระนาบ และถา AB เปนระยะทางที่มี
ทิศทางเปนบวกจาก A ไปยัง B แลว BA จะเปนระยะทางที่มีทศทางเปนลบ
ิ
นั่นคือ AB = - BA
ถา P เปนจุดแบงภายใน AB จะไดวา AP/PB > 0
ถา P เปนจุดแบงภายนอก AB จะไดวา AP/PB < 0
ให A(x1,y1) และ B(x2,y2) เปนจุดบนระนาบ และให P(x,y) เปนจุดแบงสวนของเสนตรง
AB ออกเปนสัดสวนดังนี้
AP/PB = r ( r เรียกวาอัตราสวนของการแบง)
r > 0 เมื่อ P เปนจุดแบงภายใน (รูปที่ 1.7)
r < 0 เมื่อ P เปนจุดแบงภายนอก (รูปที่ 1.8)
B T P
y y
P B
T
A S C A C
0 x 0 x
รูปที่ 1.7 รูปที่ 1.8
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
10. เสนตรง 7
ลากเสน AC และ BC ขนานกับแกน x และแกน y ตามลําดับตัดกันที่จด C
ุ
ลาก PS และ PT ไปตั้งฉากกับ AC และ BC (หรือสวนตอ)ที่ S และ T ตามลําดับ
ในสามเหลี่ยมคลาย ASP และ PTB จะไดวา
r = AP
= AS
PB PT
เพราะวา AS = x – x1 และ PT = x2 – x เพราะฉะนั้น
r = x −−xx หรือ x = x11+ rx 2
x 1
+r
2
ในทํานองเดียวกันจากสามเหลียมคลาย ASP และ PTB จะไดวา
่
r= AP
= SP
PB TB
เพราะวา SP = y – y1 และ TB = y2 – y เพราะฉะนัน
้
r = y −−yy หรือ y = y11+ ry 2
y 1
+r
2
x 1 + rx 2
นั่นคือ ( 1+ r
, y11+ ry 2 ) เปนจุดที่แบง AB ออกเปนอัตราสวน r
+r
ถา P เปนจุดกึ่งกลางของ AB แลว r = 1
เพราะฉะนั้น ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) จะเปนจุดกึ่งกลางของ AB
2 2
ตัวอยาง 1.5 จงหาพิกัดของจุด P ที่แบง สวนของเสนตรงจากจุด A(-1,-3)
ไปยังจุด B(2,6) ออกเปน ก. อัตราสวน AP
= -5
2
ข. สองสวนเทา ๆ กัน
PB
5
(−1) + (− )2
x 1 + rx 2
ก. x= 1+ r
= 5
2 =4
1 + (− )
2
5
(−3) + (− )6
y1 + ry 2
y= 1+ r
= 5
2 = 12
1 + (− )
2
พิกัดของจุด P คือ (4,12)
ข. ถา P เปนจุดกึ่งกลางของ AB
x = x1 + x 2 = −12+ 2 = 1
2 2
y1 + y 2 −3 + 6
y= 2
= 2
= 3
2
เพราะฉะนั้น จุดกึ่งกลางของ AB คือ ( 1 , 3 )
2 2
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
11. 8 เสนตรง
แบบฝกหัด 1.2
ขอ 1. ถึง ขอ 5. จงหาจุด P ที่แบงสวนของเสนตรงจากจุด A ไปยังจุด B
ออกเปนสัดสวน AP
= r ตามที่กําหนดให และจงหาจุด Q ที่เปนจุดกึ่งกลางของสวน
PB
ของเสนตรง AB ตอไปนี้
1. A(1,-4), B(6,2), r = - 1
2
2. A(-4,3), B(1,-2), r = - 8
3
3. A(-5,2), B(1,4), r = - 5
3
4. A(7,1), B(-3,6), r = 2
3
5. A(4,-3), B(1,4), r = 2
6. ถา (9,2) เปนจุดแบงสวนของเสนตรงจากจุด A(6,8) ถึงจุด B(x,y)
ออกเปนสัดสวน AP
= 3
7
จงหาพิกัดของจุด B
PB
7. จงหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของดานทั้งสามของสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมเปน
(-2,1), (5,2) และ (2,-3)
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
12. เสนตรง 9
ความชันของเสนตรง (Slope of a Line)
นิยาม 1.5 มุมเอียง (inclination) ของเสนตรง L ที่ไมขนานกับแกน x คือมุมบวก (วัดทวน
เข็มนาฬิกา) ที่เล็กที่สุดที่วดจากแกน x ทางดานบวกไปยังเสนตรง L ถา L ขนานกับ
ั
แกน x ใหมมเอียงของเสนตรง L เทากับ 0 มุมเอียง α จะมีคาสอดคลองกับ
ุ
0 ≤ α < 180
y L y
L
α
α
0 x 0 x
รูปที่ 1.9 รูปที่ 1.10
นิยาม 1.6 ความชัน (slope) ของเสนตรง L ซึ่งเขียนสัญลักษณแทนวา m
นิยามดังนี้ m = tan α เมื่อ α เปนมุมเอียงของเสนตรง L และ α ≠ 90
ขอสังเกต 1. ความชันไมนิยามเมื่อ α = 90 นั่นคือ เสนตรงที่ขนานกับแกน y
จะไมกลาวถึงความชัน (ไมนิยาม)
2. ความชันของเสนตรงที่ขนานกับแกน x มีคาเทากับ 0
ทฤษฎีบท 1.2 ถา L เปนเสนตรงที่ผานจุด A(x1,y1) และ B(x2,y2) โดยที่
x1 ≠ x2 แลว ความชันของ L = m = x1 − x 2y y
− 1 2
พิสจน ให α เปนมุมเอียงของเสนตรง L
ู
กรณีที่ 1 ถา α = 0 แลว เสนตรง L ขนานกับแกน x ทําให y1 = y2
m = tan 0 = 0 = x − x = x1 − x 2
0 y y
−
1 2 1 2
กรณีที่ 2 ถา 0 < α < 90
ถา y2 > y1 แลว x2 > x1 ดังรูปที่ 1.11
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
13. 10 เสนตรง
y y A(x1 ,y 1 )
B(x2 ,y 2 )
L
0 α 0 α
x x
A(x1 ,y 1 ) C(x2 ,y 1 ) B(x2 ,y 2 ) C(x1 ,y 2 )
รูปที่ 1.11 รูปที่ 1.12
− ( y1 − y 2 ) y1 − y 2
m = tan α = | BC |
| AC |
= − (x1 − x 2 )
= x1 − x 2
ถา y1 > y2 แลว x1 > x2 ดังรูปที่ 1.12
m = tan α = || AC || = x1 − x 2
BC
y y
− 1 2
กรณีที่ 3 ถา 90 < α < 180
ถา y1 > y2 แลว x2 > x1 ดังรูปที่ 1.13
A(x1 ,y 1 ) B (x2 ,y 2 )
y y
α α
0 β 0 β
x x
C(x1 ,y 2 ) B(x2 ,y 2 ) C(x2 ,y 1 ) A(x1 ,y 1 )
รูปที่ 1.13 รูปที่ 1.14
m = tan α = tan (π - β) = - tan β = - || AC ||
BC
= - x1 − y 2 =
y
−x
y1 − y 2
x1 − x 2
2 1
ถา y2 > y1 แลว x1 > x2 ดังรูปที่ 1.14
m = tan α = tan (π - β) = - tan β = - || AC ||
BC
= - x1 − y 2 =
y
−x
y1 − y 2
x1 − x 2
2 1
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
14. เสนตรง 11
ตัวอยาง 1.6 จงหาความชันและมุมเอียงของสวนของเสนตรงที่ผานจุด (4,3) และ (2,1)
วิธทํา จาก ทฤษฎีบท 1.2 ให (x1,y1) = (4,3) ; (x2,y2) = (2,1)
ี
3−
ความชัน = m = 4 − 1 = 1
2
เพราะวา tan α = m = 1 เพราะฉะนั้น α = 45
ถาตองการลากเสนตรงผานจุด (x0,y0) และมีความชัน m = a/b
นอกจากวิธีการคํานวณหาจุดอีกจุดหนึ่งบนเสนตรงเสนนี้แลว
เราอาจจะลากเสนตรงนี้ไดเลยโดยพิจารณาจากความชัน ดังนี้
1. ถา m = 0 เสนตรงนั้นขนานกับแกน x
2. ถา m > 0 แลว (a > 0 และ b > 0) หรือ (a < 0 และ b < 0)
3. ถา m < 0 แลว (a > 0 และ b < 0) หรือ (a < 0 และ b > 0)
สําหรับกรณีที่ 2 และ 3 เราสามารถลากเสนตรงที่ตองการไดดังนี้
จากจุด (x0,y0) ลากเสนขนานกับแกน x ไปทางขวา (ถา b > 0 ) หรือทางซาย
(ถา b < 0) |b| หนวยถึงจุด M จากจุด M ลากเสนขนานกับแกน y ขึ้นดานบน (ถา a > 0)
หรือลงดานลาง (ถา a < 0) |a| หนวยถึงจุด N เสนตรงที่ผานจุด (x0,y0) และ N จะ
เปนเสนตรงทีตองการ
่
ตัวอยาง 1.6 จงลากเสนตรงที่ผานจุด (3,4) และมีความชัน 1/2
วิธีทาที่ 1 ให (x,y) เปนจุดอีกจุดหนึงบนเสนตรงเสนนี้
ํ ่
จาก ทฤษฎีบท 1.2 m = x1 − x 2
y y
−
1 2
y−4
1
2
= x −3
จากสมการจะเห็นวาคา (x,y) ที่สอดคลองกับสมการมีมากมาย ถาให y = 2
แทนคาในสมการ จะไดคา x = -1 เพราะฉะนัน (-1,2) จะเปนอีกจุดหนึ่งบนเสนตรงนี้
้
ลากเสนตรงผาน (-1,2) และ (3,4) จะไดเสนตรงตามตองการ
วิธทําที่ 2 จากจุด (3,4) ลากเสนตรงขนานกับแกน x ไปทางขวา 2 หนวย ถึงจุด M
ี
จากจุด M ลากเสนตรงขนานกับแกน y ขึ้นไปทางดานบน 1 หนวยถึงจุด N ลากเสน
ตรงผานจุด (3,4) และ N จะไดเสนตรงตามตองการ
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
20. เสนตรง 17
สมการของเสนตรง (Equation of a Straight Line)
1. สมการของเสนตรงที่ขนานกับแกน x หรือ แกน y
ให L เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน x จะเห็นไดวาจุดตาง ๆ ที่อยูบนเสนตรง L
จะมีพกัดที่ 2 เทากันหมด ถาพิกัดที่ 2 เปน b จะไดวา “จุด (x,y) ที่เปนจุดบนเสนตรง
ิ
L ก็ตอเมื่อ y = b”
เสนตรง L จะเปนกราฟของความสัมพันธ r ที่นิยามวา r = {(x,y) | y = b}
หรือเสนตรงที่มีสมการเปน y = b
ในทํานองเดียวกัน ถา L เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน y จะเห็นวาจุดตาง ๆ
ที่อยูบนเสนตรง L จะมีพกัดที่ 1 เทากันหมด ถาพิกัดที่ 1 เปน a จะไดวา “จุด (x,y)
ิ
ที่เปนจุบนเสนตรง L ก็ตอเมื่อ x = a ”
เพราะฉะนันเสนตรง L จะเปนกราฟของความสัมพันธ r ที่นิยามวา r = {(x,y) |
้
x = a} หรือเสนตรงที่มีสมการเปน x = a
สมการของเสนตรงแบบจุดและความชัน (The Point-Slope Equation)
ถาให L เปนเสนตรงที่ผานจุด (x1,y1) และมีความชัน = m
ให (x,y) เปนจุดใด ๆ บนเสนตรง L จากนิยามความชันไดวา
ความชันของ L = x − x1 แตกําหนดใหความชันของ L เทากับ m
y y
− 1
y − y1
ดังนั้น m= x − x1
นั่นคือ y – y1 = m(x – x1) เปนสมการเสนตรงที่ผานจุด (x1,y1)
และมีความชันเทากับ m
ทฤษฎีบท 1.4 จะมีเพียงเสนตรงเดียวเทานั้นที่มีความชัน m และผานจุด (x1,y1)
และจะมีสมการเปน y – y1 = m(x – x1)
ตัวอยาง 1.10 จงหาสมการเสนตรงที่ผานจุด (-2,3) และมีความชันเทากับ -4/5
วิธทํา
ี y – y1 = m(x – x1)
สมการเสนตรงเสนนี้ คือ
y – 3 = (x + 2)
5y – 15 = -4x – 8
4x + 5y – 7 = 0
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
21. 18 เสนตรง
สมการของเสนตรงแบบจุดสองจุด (The Two-Point Equation)
ถาให L เปนเสนตรงที่ผานจุด P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) ถา x1 ≠ x2
เพราะฉะนั้นความชันของ P1P2 เทากับ x1 − x 2 ซึ่งจะเทากับความชันของเสนตรง L
y y
− 1 2
แทนคาในสมการเสนตรงแบบจุดและความชัน จะได
y – y1 = x1 − x 2 (x – x1)
y y
− 1 2
ถา x1 = x2 แลว เสนตรง L จะขนานกับแกน y เสนตรง L จะมีสมการเปน x = x1
ทฤษฎีบท 1.5 ถา L เปนเสนตรงที่ผานจุด (x1,y1) และ (x2,y2) ที่ x1 ≠ x2 แลว
L จะมีสมการเปน y – y1 = x1 − x 2 (x – x1)
y y
− 1 2
ตัวอยาง 1.11 จงหาสมการเสนตรงที่ผานจุด (4,1) และ (-2,2)
วิธีทํา y – y1 = x1 − x 2 (x - x1)
y y
−
1 2
เพราะฉะนั้น สมการเสนตรงที่ตองการ คือ
y – 1 = 1 − 2 (x -4) , x + 6y – 10 = 0
4+2
สมการของเสนตรงแบบความชันและจุดตัดแกน (The Slope-Intercept Equation)
นิยาม 1.9 จุดตัดแกน x (x-intercept) ของกราฟ คือ พิกัดที่ 1 ของจุดที่กราฟนันตัดกับแกน x
้
จุดตัดแกน y (y-intercept) ของ กราฟ คือ พิกัดที่ 2 ของจุดที่กราฟนั้นตัดกับแกน y
วิธการหาจุดตัดแกน x ทําไดโดยการให y = 0 ในสมการแลวแกสมการหาคา x
ี
ทํานองเดียวกัน การหาจุดตัดแกน y ทําไดโดยการให x = 0 ในสมการแลว
แกสมการหาคา y
เชน สมการ 2x + 7y – 6 = 0 ให y = 0 เพราะฉะนัน x = 3
้
นั่นคือ จุดตัดแกน x ของกราฟ คือ 3
สมมุติให L เปนเสนตรงที่มีความชันเทากับ m และมีจุดตัดแกน y เทากับ b
จากรูป 1.20 แสดงวา L จะตองผานจุด (0,b) แทนคาความชันเทากับ m และ (x1,y1) =
(0,b) ในสมการจะได y – b = m(x – 0) นั่นคือ y = mx + b
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
22. เสนตรง 19
y
(0,b)
b
slope = m
x
รูปที่ 1.20
ทฤษฎีบท 1.6 สมการของเสนตรงที่มีความชัน m และจุดตัดแกน y เปน b คือ y = mx + b
ถาเสนตรง L ผานจุดกําเนิด นั่นคือมีจุดตัดแกน y ที่ 0 (เพราะวา b = 0)
เพราะฉะนั้นสมการเสนตรงที่ผานจุดกําเนิดที่ไมใชแกน y คือ y = mx
ตัวอยาง 1.12 จงหาสมการเสนตรงที่มีความชันเทากับ -3/4 และมีจดตัดแกน y เทากับ 2
ุ
วิธีทํา y = mx + b
แทนคา ความชัน และจุดตัดแกน y จะได
y = -3/4 x + 2
4y = -3x + 8
3x + 4y -8 = 0 จะเปนสมการเสนตรงที่ตองการ
สมการของเสนตรงแบบจุดตัดแกน (The Intercept Equation)
ให L เปนเสนตรงที่มีจุดตัดแกน x เทากับ a และจุดตัดแกน y เทากับ b ;
a ≠ 0 และ b ≠ 0 แสดงวา L
เปนเสนตรงทีผานจุด (a,0) และ (0,b)
่
ความชันของเสนตรง L คือ m = 0 − b = - b
a−0 a
สมการของเสนตรง L คือ
y = - b x+b
a
ay = - bx + ab
x y
+
a b
= 1
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
23. 20 เสนตรง
ทฤษฎีบท 1.7 สมการของเสนตรงที่มี จุดตัดแกน x และจุดตัดแกน y เทากับ a และ b
ตามลําดับ คือ x y
+
a b
= 1 เมื่อ a ≠ 0, b ≠ 0
ตัวอยาง 1.13 จงหาสมการเสนตรงที่มีจุดตัดแกน x เทากับ 2 และจุดตัดแกน y เทากับ 3
วิธีทา
ํ
x y
+
a b
=1
x y
+
2 3
=1
3x + 2y – 6 = 0 เปนสมการที่ตองการ
นิยาม 1.10 สมการเชิงเสน (Linear Equation) คือสมการที่อยูในรูป
Ax + By + C = 0
เมื่อ A, B และ C เปนจํานวนจริง ที่ A และ B จะเทากับ 0 พรอมกันทั้งสองตัวไมได
ทฤษฎีบท 1.8 โลกัสของสมการเชิงเสนคือเสนตรง
พิสูจน จากสมการเชิงเสน Ax + By + C = 0
ถา B = 0 แลว A ≠ 0 หารทั้งสองขางของสมการดวย A สมการจะเปน x = - C
A
ซึ่งเปนสมการเสนตรงที่ขนานกับแกน y
ถา B ≠ 0 แลว หารทั้งสองขางของสมการดวย B สมการจะเปน
y = - Ax - C
B B
ซึ่งเปนสมการเสนตรงแบบความชันและจุดตัดแกน เมื่อ
A C
m=- และ b = -
B B
ตัวอยาง 1.14 จงหาความชัน จุดตัดแกน x จุดตัดแกน y ของสมการเสนตรง x + 2y = 1
วิธีทํา จัดสมการเสนตรงที่กําหนดให ใหอยูในรูปมาตรฐานของสมการเชิงเสน จะได
x + 2y – 1 = 0
A = 1, B = 2 แ ละ C = -1
นั่นคือ m = - 1 2
และ b = 1 2
หาจุดตัดแกน x โดยการแทนคา y = 0 จะได x = 1
เพราะฉะนั้น ความชันเทากับ - 1 , จุดตัดแกน x เทากับ 1, จุดตัดแกน y เทากับ
2
1
2
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
25. 22 เสนตรง
และผานจุด (7,-3)
29. จงหาสมการเสนตรงที่ผานจุด (7,0) และตั้งฉากกับเสนตรงที่ผานจุด (-5,3) และ (8,-1)
30. จงหาคา k ของสมการเสนตรงตอไปนี้ เมื่อสอดคลองกับเงื่อนไขที่กาหนดให
ํ
30.1 3kx + 5y + k – 2 = 0 เมื่อผานจุด (2,-3)
30.2 4x – ky – 7 = 0 เมื่อมีความชันเทากับ 2
30.3 kx – y = 3k - 6 เมื่อมีจุดตัดแกน x เทากับ 5
31. จงแสดงใหเห็นวา ถาเสนตรง Ax + By + C = 0 และ A’x + B’y + C’ = 0
ขนานกันจะไดวา A' = B' และ ถาตั้งฉากกันจะไดวา AA’ + BB’ = 0
A B
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
26. เสนตรง 23
สมการของเสนตรงแบบนอรมัล (Normal Equation of a Straight Line)
นิยาม 1.11 เสนนอรมัล (normal line) ของเสนตรง L คือเสนตรงที่ผานจุดกําเนิดและตั้งฉาก
กับ L
นิยาม 1.12 สวนตัดของนอรมัล (normal intercept) ของเสนตรง L หมายถึง สวนของเสนนอรมัล
จากจุดกําเนิดถึงเสนตรง L
ให p เปนความยาวของสวนตัดของนอรมัล และเรากําหนดเครื่องหมายของ p
ดังนี้ p ≥ 0 เมื่อ จุดตัดของเสนนอรมัลกับเสนตรง L อยูบนแกน x หรือ เหนือแกน x
P < 0 เมื่อ จุดตัอของเสนนอรมัลกับเสนตรง L อยูใตแกน x
y
L
θ
C ( x1 ,y 1 ) x
p
p
L
θ
x y
รูปที่ 1.21 p ≥ 0 รูปที่ 1.22 p < 0
ให L เปนเสนตรงบนระนาบ N เปนเสนนอรมัลตัดกับ L ที่ C(x1,y1)
ความยาวของสวนตัด OC = p
ให เปนมุมเอียงของเสนนอรมัล θ จะมีคาสอดคลองกับอสมการ
θ
0 ≤ θ < 180
ถากําหนดความยาวของสวนตัดของนอรมัล p และมุมเอียง θ ของเสนตรง L
มาให เราสามารถลากเสนตรง L ได และสามารถเขียนสมการของเสนตรง L ในแบบนอรมัล
ไดดังนี้
x1 = p cos θ , y1 = p sin θ
ความชัน L= - 1 = - 1
=- cos θ
tan θ sin θ
ความชันของ N
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
27. 24 เสนตรง
จากสมการเสนตรงแบบจุดและความชัน เราสามารถเขียนสมการเสนตรง L ดังนี้
y – y1 = m(x – x1)
θ
y – p sin θ = - cos θ (x – p cos θ)
sin
หรือ x cos θ + y sin θ - p = 0
นิยาม 1.13 เราจะเรียกสมการของเสนตรงที่เขียนอยูในรูปตอไปนี้วา “สมการของเสนตรงแบบ
นอรมัล”
x cos θ + y sin θ - p = 0
เมื่อ p เปนความยาวของสวนตัดของนอรมัลของเสนตรง และ θ เปนมุมเอียงของ
เสนนอรมัลของเสนตรง
ทฤษฎีบท 1.9 ให Ax + By + C = 0 เปนสมการรูปทั่วไปของเสนตรง L
ถาเราหารตลอดสมการรูปทั่วไปดวย h = ± A 2 + B2 โดยเลือกเครื่องหมายของ h
เหมือนกับเครื่องหมายของ B ในกรณีที่ B ≠ 0 หรือเลือกเครื่องหมายของ h เหมือนกับ
เครื่องหมายของ A ในกรณีที่ B = 0 แลวผลลัพธที่ไดจะเปนสมการของ L แบบนอรมล ั
พิสูจน กรณีท่ี 1 ถา A ≠ 0 และ B ≠ 0 แลว ความชันของเสนตรง L คือ - A B
เพราะฉะนันความชันของเสนนอรมลของ L คือ
้ ั B
A
นั่นคือ tan θ = B
A
sin θ = B
h
cos θ = A
h
เพราะวา 0o < θ < 180o เพราะฉะนั้น sin θ > 0
ดังนั้น เครื่องหมายของ h จะตองเหมือนกับเครื่องหมายของ B
เพราะวา h ≠ 0 เอา h หารตลอดสมการรูปทั่วไปจะได
x cos θ + y sin θ – p = 0 เมื่อ p = - C
h
กรณีที่ 2 ถา A = 0 แลว B ≠ 0 และสมการรูปทั่วไปของ L จะเปน
By + C = 0
C
หรือ y=-
B
นั่นคือเสนตรง L ขนานกับแกน x เพราะฉะนั้นเสนนอรมัลของเสนตรง L จะตั้งฉากกับ
แกน x จะไดวา θ = 90o และ cos θ = 0, sin θ = 1
h = ± A 2 + B2 = ± B2 = ± B
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
28. เสนตรง 25
ถาเลือกเครื่องหมายของ h เหมือนกับเครื่องหมายของ B เพราะฉะนั้น h = B
เอา h หารทั้งสองขางของสมการรูปทั่วไปจะได
B
h
y+ C = 0
h
y+ C
B
=0
x cos θ + y sin θ – p = 0 เมื่อ p =- C
h
=- C
B
กรณีที่ 3 ถา B = 0 แลว A ≠ 0 และสมการรูปทั่วไปของ L จะเปน
Ax + C = 0
หรือ x= - A C
นั่นคือ เสนตรง L ตั้งฉากกับแกน x เพราะฉะนั้นเสนนอรมัลของเสนตรง L จะขนาน
กับแกน x จะไดวา θ = 0 และ cos θ = 1, sin θ = 0
h = ± A 2 + B2 = ± A 2 = ± A
ถาเลือกเครื่องหมายของ h เหมือนกับเครื่องหมายของ A เพราะฉะนั้น h = A
เอา h หารทั้งสองขางของสมการรูปทั่วไปจะได
A
h
x+ C = 0
h
x+ C
h
=0
x cos θ + y sin θ – p = 0 เมื่อ p=- C
h
= - C
A
ตัวอยาง 1.15 จงหาสมการเสนตรง L เมื่อ p = 1 และ θ = 45
วิธีทา
ํ x cos θ + y sin θ – p = 0
แทนคา p และ θ จะได x cos 45 + y sin 45 – 1 = 0
x
+ y -1 = 0
2 2
หรือ x+y- 2 =0
ตัวอยาง 1.16 จงแปลงสมการ 3 x + y + 10 = 0 ใหอยูในรูปแบบนอรมัล และหาคา p
และ θ
วิธีทํา จากสมการ A = 3 , B = 1
h = 3 +1 = 2 (เพราะวา เครืองหมาย B เปนบวก)
่
จาก ทฤษฎีบท 1.9 สมการแบบนอรมัลของเสนตรงเสนนี้ คือ
2
3
x+ 1
2
y+5 =0
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
30. เสนตรง 27
ระยะระหวางจุดและเสนตรง (Distance Between a Point and a Line)
ให L เปนเสนตรงบนระนาบ และ P(x1,y1) เปนจุดที่อยูหางจาก L เทากับ d
ให L1 เปนเสนตรงที่ขนานกับ L และผานจุด P(x1,y1)
y ถาสมการของ L แบบนอรมัลเปน
x cos θ + y sin θ – p = 0
d
P(x1 ,y 1 ) และถา P(x1,y1) และจุดกําเนิดอยูคนละขาง
ของเสนตรง L แลว สมการของ L1 แบบ
p
นอรมัลจะเปน
x cos θ + y sin θ – (p + d) = 0
L L1 x
รูปที่ 1.23
เนื่องจาก P(x1,y1) อยูบนเสนตรง L1 พิกัดของจุด P ยอมสอดคลองกับสมการของ L1
นั่นคือ x1 cos θ + y1 sin θ – (p + d) = 0
หรือ d = x1 cos θ + y1 sin θ – p
ถา P(x1,y1) และจุดกําเนินอยูขางเดียวกันของเสนตรง L แลว สมการของ L1
แบบนอรมลจะเปน
ั
x cos θ + y sin θ – (p + d) = 0
และเพราะวาจุด P สอดคลองกับสมการของ L1 ดังนั้น
x1cos θ + y1sin θ - (p – d) = 0
d = -(x1cos θ + y1sin θ - p)
d = |x1cos θ + y1sin θ - p|
นั่นคือ ถา Ax + By + C = 0 เปนสมการรูปทั่วไปของเสนตรง L
ระยะจากจุด P(x1,y1) ถึงเสนตรง L คือ
d = | Ax1 +2By1 + C |
A +B 2
ทฤษฎีบท 1.10 ระยะระหวางจุด P(x1,y1) และเสนตรง L ที่มีสมการเปน Ax + By + C = 0
มีคาเทากับ d = | Ax1 +2By1 + C |
A +B
2
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
