1) O documento descreve as principais unidades de medida utilizadas em topografia, incluindo unidades lineares, angulares, de área e volume. 2) São apresentadas as conversões entre diferentes unidades de medida do sistema métrico decimal e imperial. 3) São explicadas fórmulas para cálculo de áreas de figuras planas e exercícios sobre conversão entre unidades.

1. Unidades de Medida

2. Unidades de Medida Em Topografia, são medidas duas espécies de grandezas: as lineares para comprimento, largura e altura e as angulares para indicação de direção, mas, na verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas: as de superfície para áreas e as de volume para terraplenagem, concretagem, etc. O sistema de unidades utilizado no Brasil é o Métrico Decimal , porém, em função dos equipamentos e da bibliografia utilizada, na sua grande maioria importada, algumas unidades relacionadas abaixo apresentarão seus valores correspondentes no sistema Americano, ou seja, em Pés/Polegadas. A seguir encontram-se as unidades mais comumente utilizadas para expressar cada uma das grandezas mencionadas.

3. Unidades de Medida Linear µ m(E-06 ou 10 -6 ), mm(E-03 ou 10 -3 ), cm(E-02 ou 10 -2 ), dm(E-01 ou 10 -1 ), m e Km(E+03 ou 10 +3 )‏ polegada = 2,75 cm = 0,0275 m polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m pé = 30,48cm = 0,3048 m jarda = 91,44cm = 0,9144m milha brasileira = 2200 m milha terrestre/inglesa = 1609,31 m Unidades de Medida

4. Unidades de Medida Angular Para as medidas angulares têm-se a seguintes unidades: Graus Sexagesimal 0 - 360º (359) e 0 – 59' e 0 – 59,99” 243º 27' 34,79” onde se lê 243 graus, 27 minutos e 34,79 segundos Unidades de Medida

5. Unidades de Medida Angular Para as medidas angulares têm-se a seguintes unidades: Graus Decimal 0 - 359,999999º 243º 27' 34,79” = 243,45966388888888888888888888889º ou 243,459664º onde se lê 243,459664 graus decimal Unidades de Medida

6. Unidades de Medida Angular Para as medidas angulares têm-se a seguintes unidades: Grados 0 - 400g 243º 27' 34,79” = 243,459664º = 270,510738g onde se lê 270,510738 grados Unidades de Medida

7. Unidades de Medida Angular Para as medidas angulares têm-se a seguintes unidades: Radianos 0 - 2 ¶ 243º 27' 34,79” = 243,459664º = 270,510738g = 4,249173 Rad onde se lê 4,249173 Radianos Unidades de Medida

8. Unidades de Medida Angular Para as medidas angulares têm-se a seguinte relação: 360º = 400g = 2 ¶ onde º – GRAUS g – GRADUS RADIANOS onde ¶ = 3,141592. Atenção: As unidades angulares devem ser trabalhadas sempre com seis (6) casas decimais. As demais unidades, com duas (2) casas decimais. Unidades de Medida

9. Unidades de Medida de Superfície Áreas cm²(E-04), m² e Km²(E+06)‏ are = 100 m² acre = 4.046,86 m² hectare (ha) = 10.000 m² alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m² alqueire mineiro (geométrico) = 4,84 ha = 48.400 m2 Unidades de Medida

10. Unidades de Medida de Superfície Fórmulas para cálculo de área: Retângulo Unidades de Medida b h C L ou A = b x h H V

11. Unidades de Medida de Superfície Fórmulas para cálculo de área: Triângulo Unidades de Medida b h ou b h h 2 A = b x b x h 2 A =

12. Unidades de Medida de Superfície Fórmulas para cálculo de área: Trapézio Unidades de Medida b h 2 ou h 1 x h 1 2 A = b x h 2 A = b x h 1 b h m

13. Unidades de Medida de Superfície Fórmulas para cálculo de área: Circunferência Unidades de Medida A = ¶ x r² r

14. Unidades de Medida de Volume m³ 1 litro = 10cm x 10cm x 10cm = 1dm x 1dm x 1dm = 1dm³ ou 1 litro = 0,001 m³ Unidades de Medida

15. Arredondamento Se o digito a ser arredondado estiver entre 0 e 4, desprezar os dígitos restantes. Se o digito a ser arredondado estiver entre 5 e 9, somar 1 na casa do dígito logo a esquerda. Exemplos: 3,152946 arredondando para 5 casas decimais o 6º digito é 6, portanto o valor fica 3,15295 arredondando para 4 casas decimais o 5º digito é 4, portanto o valor fica 3,1529 arredondando para 3 casas decimais o 4º digito é 9, portanto o valor fica 3,153 arredondando para 2 casas decimais o 3º digito é 2, portanto o valor fica 3,15 arredondando para 1 casas decimais o 2º digito é 5, portanto o valor fica 3,2 arredondando para 0 casas decimais o 1º digito é 1, portanto o valor fica 3 Unidades de Medida

17. a)Conversão entre Unidades Lineares 1.Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 1.290,9078 polegadas inglesa. Qual seria o valor desta mesma medida em quilômetros? Sendo: 1 polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m 1.290,9078 polegadas inglesa = X 1X = 0,0254 x 1290,9078 X = 32,7890581 m Sendo: 1 m = 0,001 km 32,7890581 m = Y Y = 32,7890581 x 0,001 = 0,0327890581 arredondando na 2 casa 0,03 km Unidades de Medida Exercícios

18. a)Conversão entre Unidades Lineares 2.O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste mesmo lado em polegadas inglesas? Sendo: 1 polegada inglesa = 0,0254 m X polegadas inglesa = 26,50 m 0,0254X = 1 x 26,50 X = 26,50 = 1043,30709 polegadas inglesas 0,0254 Unidades de Medida Exercícios

19. a)Conversão entre Unidades Lineares 3.Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras. Sendo: 1 milha brasileira = 2200 m 74,9 milhas brasileiras = X m 1X = 2200 x 74,9 = 164780 m 1 milha inglesa = 1609,31 m Y milha inglesa = 164780 m Y = 164780 = 102,391708 ou 102,39 milhas inglesas 1609,31 Unidades de Medida Exercícios

20. b)Conversão entre Unidades de Superfície 1.Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a 1224,567 m². 2.Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678 m². 3.Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires paulista. Unidades de Medida

21. b)Conversão entre Unidades de Superfície 1.Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a 1224,567 m². Unidades de Medida

22. b)Conversão entre Unidades de Superfície 2.Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678 metros quadrados. Unidades de Medida

23. b)Conversão entre Unidades de Superfície 3.Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires paulista. Unidades de Medida

26. c)Conversão entre Unidades Angulares 2.Determine o valor em grados centesimais (centésimos e milésimos de grado) e em radianos para o ângulo de 157º 17' 30,65". Unidades de Medida

27. c)Conversão entre Unidades Angulares 3.Para um ângulo de 1,145678 radianos, determine qual seria o valor correspondente em graus sexagesimais. Unidades de Medida

28. c)Conversão entre Unidades Angulares 4.Para um ângulo de 203,456789 grados decimais, determine qual seria o valor correspondente em graus decimais. Unidades de Medida

29. d)Conversão entre Unidades de Volume 1.Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m³. 2.Determine o valor em m³, para um volume de 15.362,56 litros. Unidades de Medida

30. d)Conversão entre Unidades de Volume 1.Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m³. Unidades de Medida

31. d)Conversão entre Unidades de Volume 2.Determine o valor em m³, para um volume de 15.362,56 litros. Unidades de Medida

32. Exercícios Propostos 1.Dado o ângulo de 1,573498 radianos, determine o valor correspondente em grados decimais. 2.Sabendo-se que um alqueire geométrico eqüivale a um terreno de 220mx220m; que um acre eqüivale a 4046,86m²; e que uma porção da superfície do terreno medida possui 3,8 alqueires geométrico de área, determine a área desta mesma porção, em acres. 3.Dado o ângulo de 120º 35' 48”, determine o valor correspondente em grados centesimais. Unidades de Medida

33. Exercícios Propostos 1.Dado o ângulo de 1,573498 radianos, determine o valor correspondente em grados decimais. Unidades de Medida

34. Exercícios Propostos 2.Sabendo-se que um alqueire geométrico eqüivale a um terreno de 220mx220m; que um acre eqüivale a 4046,86m²; e que uma porção da superfície do terreno medida possui 3,8 alqueires geométrico de área, determine a área desta mesma porção, em acres. Unidades de Medida

35. Exercícios Propostos 3.Dado o ângulo de 120º 35' 48”, determine o valor correspondente em grados centesimais. Unidades de Medida

36. Lei do Senos

37. Lei do Senos É a relação do seno do ângulo interno com o seu lado oposto num triângulo. Unidades de Medida b c a ou sen   sen  = sen  a b c a = b = c sen  sen  sen    

38. Lei do Cosseno

39. Lei do Cossenos A lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo, seu ângulo oposto e os lados que definem este ângulo através da trigonometria. Este teorema é atribuído ao matemático persa Ghiyath al-Kashi. Unidades de Medida b c a a² = b² + c² – 2 b c cos  b² = a² + c² – 2 a c cos  c² = a² + b² – 2 a b cos    

40. Atenção: As somatória dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Unidades de Medida