1. Materia: Ecuaciones Diferenciales Maestro :MARTINEZ PADILLA CESAR OCTAVIO Alumno: VILLALOBOS BARRAGAN JOSE ANTONIO Registro del alumno: 9310398 Bernoulli, Daniel(1700 - 1782).

2. Biografía a de Bernoulli, Daniel Científico holandés que descubrió los principios básicos del comportamiento de los fluidos. Era hijo de Jean Bernoulli y sobrino de Jacques Bernoulli, dos investigadores que hicieron aportaciones importantes al primitivo desarrollo del cálculo.

3. Biografía a de Bernoulli, Daniel Desde muy pronto manifestó su interés por las matemáticas. Aunque consiguió un título médico en 1721, fue profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en 1725. Posteriormente dio clases de filosofía experimental, anatomía y botánica en las universidades de Groningen y Basilea, en Suiza. Bernoulli promovió en Europa la aceptación de la nueva física del científico inglés Isaac Newton. Estudió el flujo de los fluidos y formuló el teorema según el cual la presión ejercida por un fluido es inversamente proporcional a su velocidad de flujo. Utilizó conceptos atomísticos para intentar desarrollar la primera teoría cinética de los gases, explicando su comportamiento bajo condiciones de presión y temperatura cambiantes en términos de probabilidad. Sin embargo, este trabajo no tuvo gran repercusión en su época. Bernoulli murió el 17 de marzo de 1782 en Basilea.

4. Ecuación de Bernoulli Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli. La ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución . .

5. Demostración de La ecuación de Bernoulli Al dividir la ecuación por , resulta: Usando la regla de la cadena, calculemos a partir de la sustitución =

6. Sustituyendo en la ecuación esta se transforma en la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.

7. Ejemplo Resuelva la ecuación Solución Ésta es una ecuación de Bernoulli con , y

8. Para resolver Para resolverla primero dividamos por Quedaría : Ahora efectuemos la transformación Puesto que la ecuación se transforma en:

9. *para resolver Simplificando obtenemos la ecuación lineal Cuya solución es y al sustituir se obtiene la solución de la ecuación original

10. Observación en esta solución no está incluida la solución que se perdió durante el proceso de dividir por Es decir, se trata de una solución singular. Ejemplo: Compruebe que la ecuación diferencial se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer

11. Solución Como Sustituyendo obtenemos La cual es una ecuación de Bernoulli.

12. Referencias *Libro ecuaciones diferenciales por: Isabel Carmona Jover editorial : pearson *http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferenciales/edo-geo/edo-cap2-geo/node11.html *http://www.fisicanet.com.ar/biografias/cientificos/b/bernoulli.php