Campo electrico teoria y problemas

Interacción electromagnética 3
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
6. CAMPO ELÉCTRICO.
Desarrollamos la unidad de acuerdo con el siguiente hilo conductor:
1. ¿Cómo se explican las fuerzas electrostáticas?
1.1. ¿Cuál es la causa de los fenómenos de electrización? La carga eléctrica.
1.2. ¿Cómo se explica la interacción entre cargas eléctricas puntuales en reposo? Ley de Coulomb.
2. ¿Cómo describir el campo eléctrico?
2.1. Perspectiva dinámica: fuerza e intensidad de campo.
2.2. Enfoque energético: energía potencial y potencial.
2.3. Relaciones fuerza-energía potencial e intensidad de campo-potencial.
3. ¿Cómo calcular el campo eléctrico en los casos de distribuciones continuas de carga? Ley de Gauss.
3.1. ¿Qué movimiento experimentan las partículas cargadas en el seno de un campo eléctrico uniforme?
4. ¿Cómo se comportan los materiales bajo la acción de un campo eléctrico?
APÉNDICES: A.1. Experimento de la gota de aceite de Millikan. A.2. Aplicaciones de la electrostática.
1. ¿CÓMO SE EXPLICAN LAS FUERZAS ELECTROSTÁTICAS?
1.1. ¿CUÁL ES LA CAUSA DE LOS FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN? LA CARGA ELÉCTRICA.
Desde la antigüedad se conoce la propiedad que tienen algunos materiales de atraer objetos ligeros, como
plumas o virutas de madera, después de ser frotados rápidamente. Este fenómeno se conoce como electrización y su
estudio científico llevaría al descubrimiento de la carga eléctrica y a sentar las bases de lo que se entiende por
electricidad estática o electrostática.
La carga eléctrica es, junto a la masa, una propiedad fundamental de la materia, que tiene su origen en la
estructura atómica, descubierta a finales del siglo XIX y principios del XX1
. La corteza o envoltura externa del
átomo está formada por electrones, partículas con carga eléctrica negativa, mientras que el núcleo del átomo está
formado por protones, partículas con carga eléctrica positiva del mismo valor absoluto que la carga del electrón, y
neutrones, partículas sin carga eléctrica. Electrones, protones y neutrones tienen masa, aunque la masa de protones y
neutrones es unas 1860 veces mayor a la masa de los electrones.
En condiciones normales, los cuerpos u objetos son neutros porque tienen el mismo número de protones y
electrones, lo que explica que los fenómenos eléctricos pasaran desapercibidos durante mucho tiempo. Sin embargo,
en ciertas situaciones, como en los fenómenos de electrización (cuadro 1), algunos átomos se desprenden fácilmente
de sus electrones más externos adquiriendo los cuerpos carga eléctrica neta. El objeto que pierde electrones quedará
con una carga neta positiva; el objeto que los gana quedará con una carga neta negativa; pero en el proceso la carga
eléctrica total permanece constante (principio de conservación de la carga), ya que las cargas eléctricas no pueden
ser creadas ni destruidas2
.
En 1909, Robert Millikan (1868-1953) confirmó que la carga eléctrica siempre se presenta en paquetes
discretos (se dice que está cuantizada), es decir, se presenta como un múltiplo entero del valor absoluto de la carga
del electrón ( enq · ), conocida por ello como unidad fundamental de carga3
. Sería natural, por tanto, utilizar el
valor de e como unidad para medir la carga eléctrica de un cuerpo; sin embargo, su uso sería bastante incómodo
debido a su pequeño valor. En el Sistema Internacional la unidad de carga es el culombio (C), que representa la
cantidad de carga eléctrica que fluye a través de la sección de un conductor durante un segundo cuando la corriente
es de un amperio. Para que te hagas una idea de lo grande que es la carga de un culombio, piensa que la unidad
fundamental de carga equivale a 1,60·10-19
C, es decir, un culombio representa la carga de 6,25·1018
electrones
( e/1 ); por ejemplo, serían los electrones transferidos entre una nube y tierra a través del rayo de una tormenta. En
1 El electrón lo descubrió el inglés Joseph Thomson en 1897, el protón lo identificó el neocelandés Emest Rutherford en 1914 y el neutrón lo
reconoció el inglés James Chadwick en 1932.
2 La carga eléctrica se conserva en todos los procesos físicos observados, incluso aquellos que implican creación o desintegración de partículas. Así,
en ciertos procesos radiactivos, el neutrón se desintegra dando lugar a un protón, un electrón y otra partícula neutra, el neutrino, conservándose la
carga eléctrica. El principio de conservación de la carga es tan importante como el principio de conservación del momento lineal o el de
conservación de la masa-energía.
3 Millikan determinó la carga del electrón mediante el experimento de la gota de aceite que se describe en el apéndice 1 de esta unidad. Hoy sabemos
que dentro del núcleo atómico existen partículas elementales, los quarks, con cargas inferiores a la unidad fundamental, 3e o 32 e , pero no existen
libres sino que se combinan tres quarks para dar protones y neutrones.

los fenómenos familiares de electricidad estática, la carga neta puesta en juego es del orden de micro o
nanoculombios (1 μC=10-6
C; 1 nC=10-9
C), lo que muestra que sólo una pequeña fracción de la carga total
disponible se transfiere en las electrizaciones.
Cuadro 1. Las formas conocidas de electrizar objetos.
Electrización por frotamiento.
Al frotar una varilla de vidrio con un paño de seda, se intercambia la energía
necesaria para que pase una pequeña fracción de electrones desde el vidrio a la seda.
En el proceso, el vidrio se carga positivamente y la seda lo hace negativamente.
De igual forma, si se frota una varilla de plástico (de ámbar o de caucho) con
un paño de lana, pasan electrones desde el paño a la varilla. El plástico se carga negativamente y la lana positivamente.
Aunque ambas varillas pueden atraer objetos ligeros, como hilos o trocitos de papel, la carga eléctrica adquirida por
frotamiento es de distinto tipo. Así, puede observarse que dos varillas de vidrio electrizadas se repelen entre sí, al igual que las
dos varillas de plástico. Sin embargo, la varilla de plástico es capaz de atraer a la de vidrio y viceversa.
Hay materiales que apenas se electrizan por frotamiento (por ejemplo, una varilla metálica) y otros que rápidamente se
electrizan (por ejemplo, una varilla de vidrio o de plástico). Este diferente comportamiento de los materiales se explica en base a
la existencia o no de cargas eléctricas libres en su estructura, y permite clasificar a los materiales como conductores o como
aislantes (o dieléctricos). Los materiales conductores (metales, grafito, disoluciones iónicas,...) no se electrizan por frotamiento
al distribuirse rápidamente la carga eléctrica por toda la superficie del objeto (poseen cargas con libertad de movimiento para
distribuir esa carga eléctrica). Los materiales aislantes (vidrio, plástico, lana, seda, papel, madera,...) se electrizan fácilmente por
frotamiento pues la carga eléctrica permanece confinada en la zona de frotamiento (no disponen de cargas con libertad de
movimiento para distribuir esa carga eléctrica).
Entre los buenos conductores y los dieléctricos existe una gran variedad de situaciones intermedias. De entre ellas
destaca la de los materiales semiconductores (silicio, germanio, selenio) por su importancia en la fabricación de dispositivos
electrónicos que son la base de la actual revolución tecnológica (transistores, circuitos integrados, diodos emisores de luz,...). En
condiciones ordinarias se comportan como malos conductores, pero mediante pequeños cambios en su composición o
sometiéndolos a condiciones especiales (elevada temperatura, intensa iluminación,...) podemos lograr que se conviertan en
conductores.
Electrización por contacto.
Al acercar un objeto cargado a otro descargado (ya sea conductor o aislante), el objeto descargado se polariza, de modo
que cargas de distinto signo quedan enfrentadas en los dos objetos e inicialmente ambos se atraen. Si el objeto descargado es
conductor, la polarización supone una redistribución de las cargas dentro de éste; si es aislante, la polarización supone una
reorientación de los dipolos permanentes o inducidos, sin desplazamiento neto (se aclaran estos aspectos en el apartado 4 de
esta misma unidad).
Al entrar en contacto los objetos, pasa carga eléctrica del objeto cargado al
descargado y acaban repeliéndose. El objeto descargado se electriza con carga del mismo
signo que el objeto cargado. Si el objeto descargado es conductor, la carga se redistribuye
por toda la superficie; si es aislante, la carga queda confinada en la zona de contacto.
Por contacto, un material conductor cargado se descarga rápidamente,
independientemente de la zona de contacto. Sin embargo, un material aislante cargado sólo
se descarga por contacto si éste tiene lugar en la zona donde se encuentra confinada la carga, la zona de frotamiento.
Electrización por inducción (a distancia o por influencia) en materiales conductores.
Al acercar una varilla cargada a un objeto conductor se produce una redistribución superficial de electrones de forma que
cargas de distinto signo quedan enfrentadas en la varilla y en el conductor.
Si a continuación se conecta a tierra el conductor por la zona opuesta a la
varilla, manteniendo la presencia de la varilla sin llegar al contacto, esa zona
comienza a neutralizarse. Si se interrumpe la conexión a tierra antes de retirar la
varilla, el conductor queda ahora cargado, con carga eléctrica opuesta a la de la
varilla.
Por inducción sólo se electrizan las sustancias conductoras, pues sólo ellas poseen cargas con libertad para desplazarse
de un lugar a otro.
A.1. Resuelve las siguientes actividades:
A.1.1. Frota con vigor un peine con tu cabello o un bolígrafo de plástico con un jersey de lana y acércalos a un pequeño y uniforme chorro de
agua. ¿Qué ocurre? ¿Cómo lo explicas?
A.1.2. Investiga por qué algunos camiones que transportan productos inflamables arrastran una cadena metálica.
A.1.3. Explica por qué un cuerpo cargado se descarga espontáneamente en el aire.
A.1.4. Desde una barra de cobre de 10 cm3 de volumen se transfiere una carga de 1 μC a otro cuerpo. Sabiendo que cada cm3 de cobre
contiene del orden de 1023 electrones libres, ¿cuál es la fracción de carga transferida en relación a la carga total disponible? Dato: e =
1,60·10-19 C.
1.2. ¿CÓMO SE EXPLICA LA INTERACCIÓN ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS PUNTUALES EN
REPOSO? LEY DE COULOMB.

Los hechos experimentales acumulados llevaron en 1785 al francés Charles A. de Coulomb (1736-1806) a
enunciar la ley que lleva su nombre y que describe la interacción entre cargas eléctricas puntuales4
estáticas de
forma análoga a como la ley de la gravitación universal describe la interacción entre masas:
La interacción electrostática entre dos partículas consideradas
puntuales cargadas eléctricamente (q1 y q2) es directamente proporcional
al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa (r), y depende de la naturaleza del medio que les
rodea.
Las fuerzas electrostáticas que actúan sobre cada una de las
partículas cargadas, 12F

y 21F

, forman un par de fuerzas de acción y
reacción, por lo que su dirección es la de la recta que une sus centros
y su sentido es de atracción si las cargas tienen distinto signo y de repulsión si las cargas tienen el mismo signo
(figura 1).
Escalarmente: 2
21·
·
r
qq
KF  . Vectorialmente: ru
r
qq
KF

·
·
· 2
21
 , donde:
- rrur

 es un vector unitario dirigido según la recta que une las cargas y de sentido de la
carga que ejerce la fuerza hacia la carga que experimenta dicha fuerza.
- K es la constante eléctrica (determinada por Coulomb
utilizando la balanza de torsión5
, figura 2), una constante
dependiente del medio en el que se sitúan las cargas. Con
frecuencia, la constante K se define en función de otra
constante , denominada permitividad o constante
dieléctrica del medio (cuadro 2). El valor más elevado de K
corresponde al vacío, Ko= 9·109
Nm2
C-2
; su menor valor en
cualquier otro medio indica que el medio material
disminuye la interacción eléctrica entre cargas.
La fuerza electrostática o eléctrica, al igual que la
gravitatoria, es una fuerza a distancia central y, como
veremos, conservativa. En ambas, el módulo de la fuerza es directamente proporcional al
producto de las propiedades que las crean, masa o carga eléctrica, e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que las separa. Sin embargo, existen diferencias fundamentales entre ambas
interacciones:
- la fuerza gravitatoria es siempre atractiva mientras que la electrostática puede ser atractiva o repulsiva, según el
signo de las cargas que interactúan;
- la fuerza gravitatoria no depende del medio (el valor de G es universal), mientras que la eléctrica sí (el valor de K
depende del medio en que se sitúen las cargas);
- para valores equivalentes de la propiedad que crea la fuerza (masa o carga), la intensidad de la fuerza gravitatoria
es mucho menor que la intensidad de la fuerza electrostática (basta comparar los valores de G y K en unidades
SI).
En una distribución de cargas eléctricas también se cumple el principio de
superposición, por lo que la fuerza resultante que actúa sobre cada carga es igual a la suma
vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella: i0r
n
1i
2
i0
io
n
1i
i0 u
r
.qq
KFF

  

(figura 3).
Recuerda la nota importante dada en la página 7 del bloque dedicado a la "Interacción gravitatoria"
de cara a componer magnitudes vectoriales en los problemas planteados.
4 En el estudio del comportamiento eléctrico de la materia, encontramos en muchas ocasiones cuerpos cargados cuyas dimensiones son despreciables
frente a las distancias a las que se manifiestan los efectos de las cargas. Se habla entonces de cargas puntuales. Un conjunto de cargas puntuales
constituye una distribución discreta de cargas.
Sin embargo, al analizar fenómenos físicos que se manifiestan cerca de un cuerpo cargado hay que tener en cuenta la forma en que se distri-buye la
carga en el seno del cuerpo. Se considera entonces una distribución continua de carga, caracterizada por la densidad de carga (lineal, Lq , para
cuerpos de forma unidimensional; superficial, Sq , para los bidimensionales; o cúbica, Vq , para los tridimensionales).
5 La balanza de torsión es un dispositivo que ya se describió en la página 12 del bloque dedicado a la “"Interacción gravitatoria". Fue después de que
Coulomb publicara su trabajo cuando a Cavendish se le ocurrió emplear la balanza de torsión para determinar el valor de la constante de la gravitación
universal G. Así, el empeño por utilizar la teoría de la gravitación de Newton como modelo para estudiar la interacción eléctrica, condujo a mejorar la
propia teoría de la gravitación.
Figura 2
Cuadro 2. Valores de ε y K para
distintos medios a 20°C (unidades SI).
Medio
ε
( C2
N-1
m-2
) 4
1
K
( Nm2
C-2
)
Vacío 8,854·10-12
9·109
Aire 8,859·10-12
≈9·109
Poliestireno 2,267·10-11
3,5·109
Papel 3,276·10-11
≈2,4·109
Vidrio pirex 4,958·10-11
1,6·109
Porcelana 6,198·10-11
≈1,3·109
Agua 7,083·10-10
1,1·108
Figura 3

En las actividades que se planteen, si no se especifica otro medio, se entiende que las cargas eléctricas se encuentran en
el vacío o en el aire, donde K=9.
109
Nm2
C2
. Si lo precisas, recuerda además que G=6,67·10-11
Nm2
kg-2
.
A.2.1. Deseamos comparar las intensidades relativas de las fuerzas gravitatorias y eléctricas entre partículas elementales con carga, como
dos protones, dos electrones o un protón y un electrón. Sabiendo que el electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados, en
promedio, una distancia aproximada de 5,29·10-11 m, calcula la relación que existe entre los valores de la fuerza eléctrica y la fuerza
gravitatoria ejercida entre estas dos partículas en el vacío. Datos: mp= 1,67·10-27 kg; me= 9,11·10-31 kg; e = 1,60·10-19 C.
A.2.2. Se tienen dos cuerpos cargados, con cargas q1 y q2, separados una distancia r. Debido a que se encuentran en el aire, los cuerpos se
van descargando lentamente. Supóngase que sus cargas se han reducido a la tercera parte de sus valores iniciales. ¿A qué distancia
deberán colocarse los cuerpos para que la fuerza eléctrica entre ellos no varíe?
A.2.3. Dos cargas (q1 y q2) separadas una distancia r, se atraen con una fuerza F. ¿Cuál es la fuerza F´ entre ellas si la separación entre ellas
se triplica?
A.2.4. Los átomos de una molécula poseen cargas e , e2 y e , y están dispuestos en los puntos (0, 0´1), (0, 0) y (0´1, 0) de un sistema
cartesiano (distancias en nm). Determina la fuerza eléctrica: a) sobre el átomo con carga positiva; b) sobre el átomo con carga negativa
situado en el eje X.
A.2.5. Dos pequeñas bolas, de 10 g de masa cada una, están suspendidas del mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud cada uno.
Si al colgar las bolitas con la misma carga eléctrica, los hilos se separan formando un ángulo de 10°, determina el valor de la carga y la
tensión de los hilos.
2. ¿CÓMO DESCRIBIR EL CAMPO ELÉCTRICO?
Al igual que ocurre en la interacción gravitatoria, se introduce el concepto de campo eléctrico para explicar
la interacción a distancia entre las cargas eléctricas.
Se considera que una carga eléctrica Q modifica de algún modo el espacio. A este espacio perturbado por la
carga se llama campo eléctrico, y se considera que actúa sobre cualquier otra carga q ejerciendo la fuerza
electrostática sobre ella, según establece la ley de Coulomb: ru
r
qq
KF

·
·
· 2
21
 .
2.1. PERSPECTIVA DINÁMICA: FUERZA E INTENSIDAD DE CAMPO.
La fuerza electrostática no sirve para caracterizar el campo,
pues su valor en un punto depende de la carga q colocada en el
mismo. Se define por ello el vector intensidad de campo eléctrico
(o simplemente, campo eléctrico):
La intensidad de campo eléctrico creado por una carga
eléctrica Q en un punto representa la fuerza que actuaría sobre la
unidad de carga positiva colocada en dicho punto.
Matemáticamente:
r2
u.
r
Q
K·
q
F
E



 (unidad SI: N/C o V/m).
De este modo, cada punto del espacio queda caracterizado
por un valor de E

, independiente de la carga q que se coloque en el
punto, dependiente sólo de factores propios del campo (la carga Q
que lo crea y la distancia r al punto considerado). Al
colocar en los alrededores de Q una carga q, la fuerza
eléctrica que aparece sobre ella es EqF

· .
Dado el carácter vectorial del campo, se cumple el
principio de superposición: el campo eléctrico creado en
un punto por varias cargas eléctricas es la composición
vectorial de los campos individuales generados en ese
punto por cada una de ellas, es decir, 

n
1i
iEE

.
La dirección y sentido del vector E

, como ya comentamos al hablar del campo gravitatorio, se representa
mediante líneas de campo. Estas líneas van de la carga positiva (fuentes o manantiales) a la negativa (sumideros) y
no se pueden cortar (ello supondría tener dos valores distintos del campo en un mismo punto) (figura 4). La densidad
de
El sentido de E

depende del signo de la
carga Q que crea el
campo. E

se aleja de la
carga positiva y va hacia
la carga negativa.
Figura 4

líneas de campo en una zona del espacio es proporcional a la intensidad del
campo allí. El cuadro 3 muestra las intensidades de algunos campos eléctricos
cotidianos.
A.3.1. Dos cargas eléctricas puntuales positivas, de 3 C y 5 C, se encuentran separadas una
distancia de 1 cm. Determina los valores de: a) la fuerza con que se repelen; b) el campo
eléctrico creado por la primera carga en el punto donde se encuentra la segunda.
A.3.2. Tenemos una carga de 0,1 nC situada en el punto i

2,0 m y otra de igual magnitud, pero
negativa, situada en el punto i

2,0 m. Determina el campo eléctrico producido por ambas en el
punto j

2,0 m. Si en dicho punto se coloca una carga de - 0,2 nC, ¿qué fuerza eléctrica ejercen
las otras dos cargas sobre ella?
A.3.3. Determina el campo eléctrico creado en el vértice V del cuadrado de la figura adjunta. Datos: q1=q2=q3=q= 0,03 C,
r= 3 m.
A.3.4. Dos cargas puntuales, una de -4 nC y la otra de 25 nC, están separadas una distancia de d m. Determina el punto o puntos donde se
anula el campo eléctrico.
A.3.5. En las proximidades de la superficie terrestre se aplica un campo eléctrico uniforme. Se observa que al soltar una partícula de 10 g
cargada con 50 C permanece en reposo. a) Determina razonadamente las características del campo eléctrico (módulo, dirección y sentido).
b) Explica qué ocurriría si la carga fuera de 100 C. c) Explica qué ocurriría si la carga fuera de - 50 C.
A.3.6. Aplicamos un campo eléctrico uniforme de 500 N/C a una disolución iónica de cloruro sódico. Sabiendo que la masa atómica relativa
del sodio es 23 u y que la del cloro es 35,5 u, determina la relación existente entre las aceleraciones adquiridas por los iones Na+ y Cl- en
presencia del campo.
2.2. ENFOQUE ENERGÉTICO: ENERGÍA POTENCIAL Y POTENCIAL.
Al igual que la interacción gravitatoria, la fuerza electrostática es una fuerza central conservativa. Ello
implica que para el campo eléctrico puede definirse una magnitud escalar que sólo depende de la posición, llamada
energía potencial eléctrica, tal que el trabajo realizado por la fuerza electrostática para trasladar una carga eléctrica
q de un punto A a otro B del campo creado por otra carga Q (figura 5) es igual a la diferencia de valores que toma
dicha función escalar entre dichos puntos (ley de la energía potencial): WAB = - ΔEp = - (EpB - EpA ) = - EpB + EpA
Como el trabajo realizado por la fuerza electrostática es independiente del
camino seguido; consideramos, por comodidad, la trayectoria A-P-B, con lo que:
WAB=WAP+WPB=WAP=  rdF
P
A

 dr
r
Qq
K
P
A
2







P
Ar
Qq
K
AB r
Qq
K
r
Qq
K  , donde se tiene
en cuenta los ángulos entre los vectores fuerza y desplazamiento en cada tramo (180º en
el tramo A→ P y 90º en el tramo P→ B) y que rP es igual a rB. Se deduce que:
pApB
AB
EE
r
Qq
K
r
Qq
K  , luego:
La energía potencial eléctrica de una carga q colocada a una distancia r de la carga Q creadora del
campo eléctrico es igual a:
r
Qq
KEp  (unidad SI: Julios (J) 6
).
Observa que la energía potencial eléctrica en el infinito es
igual a cero. Esto significa que las cargas infinitamente alejadas no
interaccionan entre sí, están desligadas, constituyen un sistema
libre; en cualquier otra situación, las cargas constituyen un sistema
ligado y la energía potencial asociada a ellas puede ser positiva (si
las cargas son del mismo signo) o negativa (si las cargas son de
signo contrario) (figura 6).
Durante una transformación espontánea, por ejemplo,
acercar cargas de signo opuesto o separar cargas del mismo signo,
la fuerza electrostática realiza un trabajo de signo positivo y
disminuye la energía potencial asociada al sistema de cargas: WAB > 0 J  rB <rA  EpB <EpA  ΔEp < 0 J. Por el
contrario, en un proceso no espontáneo, como al separar dos cargas de signo opuesto o acercar cargas del mismo
6 En fenómenos a escala atómica el julio (J) es una unidad de energía muy grande. Por ello, se suele utilizar otra, llamada electronvoltio (eV), que se
define como la energía que adquiere un electrón cuando se le somete a una diferencia de potencial de un voltio. Su equivalencia con el julio es: I eV
= 1,60·10-19 J.
Cuadro 3. Valor de algunos campos
eléctricos en la naturaleza (N/C o V/m)
Cables eléctricos domésticos
Ondas de la radio
10-2
10-1
Tubo de luz fluorescente 10
Partes bajas de la atmósfera 102
Peine de plástico cargado
En la luz solar
103
Bajo una nube tormentosa, con rayos 104
Acelerador de electrones de un TV
Cilindro cargado de una
fotocopiadora
105
Tubo de rayos X 106
El electrón de un átomo de
hidrógeno
1011
La superficie de un núcleo de uranio 6·1021
Figura 5
Figura 6

signo, la fuerza electrostática realiza un trabajo de signo negativo y aumenta la energía potencial asociada al sistema
de cargas: WAB < 0 J  rB >rA  EpB >EpA  ΔEp > 0 J.
Para un sistema de más de dos partículas cargadas, la energía potencial eléctrica del sistema es la suma de
las energías potenciales de todos los pares distintos de cargas que se pueden formar. Así, por ejemplo, para un
sistema de tres cargas eléctricas: Ep = Ep12 + Ep13+ Ep23.
A.4.1. Dos cargas de 3 C y - 6 C están situadas a una distancia de 2 m. Calcula la variación de energía potencial y el trabajo realizado
para separarlas hasta una distancia de 5 m. Interpreta el signo del resultado obtenido.
A.4.2. Tres electrones se encuentran en reposo a una distancia recíproca de 3·10-11 m formando un triángulo equilátero. Calcula la energía
electrostática del conjunto de las tres partículas y razona el significado físico del resultado obtenido.
La energía potencial, por la misma razón que la fuerza, no sirve para caracterizar el campo, por lo que se
define el potencial eléctrico:
El potencial eléctrico a una distancia r de la carga Q creadora del campo representa la energía potencial
eléctrica de la unidad de carga positiva colocada a dicha distancia:
r
Q
K
q
E
V
p
· (unidad SI: voltio (V = J/C)7
).
Como Ep = q·V y WAB = - ΔEp = q·(-V) = - q·(VB -VA ) = q·(VA -VB ), el potencial eléctrico en un punto del
campo representa el trabajo que realiza la fuerza electrostática para trasladar la unidad de carga positiva desde ese
punto hasta el infinito. El potencial es positivo o negativo según sea positiva o negativa la carga que crea el campo.
En muchos ámbitos cotidianos (circuitos de corriente eléctrica continua y alterna, condensadores, etc.) se
realizan medidas de diferencias de potencial eléctrico (ddp) o voltajes entre dos puntos, ΔV, mediante dispositivos
llamados voltímetros. En estas medidas se asigna el valor cero al potencial eléctrico de la Tierra; se dice que un
conductor unido a tierra presenta un potencial eléctrico nulo8
.
Si en una región del espacio hay un sistema de varias cargas eléctricas, el potencial eléctrico en un punto es
igual a la suma algebraica de los potenciales creados por cada una de las cargas en ese punto: 

n
1i
ViV .
Para representar el campo eléctrico, al igual que ocurría en el campo
gravitatorio, utilizamos líneas de campo o de fuerza y superficies equipotenciales.
Recuerda que las superficies equipotenciales son perpendiculares en todo punto a las
líneas de campo, las cuales señalan en la dirección en que disminuye el potencial
eléctrico (figura 7), algo que se deduce de la relación matemática entre campo y
potencial (ver apartado siguiente). Puedes deducir que las cargas positivas se trasladan
espontáneamente hacia potenciales decrecientes (en el sentido del campo) y las cargas
negativas hacia potenciales crecientes (en sentido contrario al campo).
2.3. RELACIONES FUERZA-ENERGÍA POTENCIAL E INTENSIDAD DE
CAMPO-POTENCIAL.
Análogamente a como ocurría en el campo gravitatorio, las expresiones
matemáticas que relacionan potencial y campo (o energía potencial y fuerza) son:
rFWE
B
A
BAp

 
; o también: rFEp

 ; F
r
E
-
p 
 

 ; rFEp

  ·
 



 
B
A
B
A
BAp
rEr
q
F
q
W
q
E
V


·· ; o también: rdEV

 ; E
r
V
-

 

 ; rEV

  ·
De estas relaciones se deduce que:
- El vector E

(y por tanto, las líneas de campo que lo representan, aquí equivalentes a las líneas de fuerza) tiene el
sentido de los potenciales decrecientes y siempre es perpendicular a las superficies equipotenciales (se
demuestra fácilmente al trasladar una carga un espacio infinitesimal, r

 , por una superficie equipotencial,
0V  ; entonces 0 rE-

, lo que implica que E

y r

 son perpendiculares, luego E

es normal a las
superficies de nivel) (figura 7).
- Las superficies equipotenciales no se pueden cortar; si lo hicieran, en el punto de corte habría dos vectores E

,
cada uno perpendicular a cada una de las superficies, lo que va en contra de la definición de campo.
7 En un punto de un campo eléctrico existe el potencial de un voltio cuando una carga de un culombio situada en dicho punto posee la energía
potencial de un julio.
8 Este criterio es similar al de la elección de la energía potencial gravitatoria como cero en la superficie terrestre.
Figura 7

A.5.1. Dos cargas de igual magnitud (5 nC) se encuentran sobre el eje X, una en el origen y la otra en x= 8 cm. Determina el campo y el
potencial eléctrico en x=4 cm suponiendo: a) las dos cargas positivas; b) las dos cargas negativas; c) la primera positiva y negativa la
segunda.
A.5.2. Dos cargas eléctricas de valores q C y 4q C están separadas una distancia d m. Halla los puntos en los que se anula el campo o en los
que se anula el potencial, según: a) las cargas sean del mismo signo; b) las cargas sean de signo contrario.
A.5.3. Una carga positiva de 6 C se encuentra en el origen de coordenadas. Calcula: a) El potencial eléctrico a una distancia de 4 m. b) La
energía potencial de una carga de 2 C situada a 4 m. c) El trabajo que hay que hacer para traer la carga positiva de 2 C desde el infinito
hasta esa posición.
A.5.4. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas de 2 y -2 C separadas una distancia de 5 m.
1º Calcula el campo y el potencial resultante: a) en A, punto de la mediatriz del segmento que las une, situado en el cuadrante positivo,
distante 5 m de cada carga; b) en B, punto situado a 2,5 m de cada carga; c) en C, punto situado a 2,5 m de la carga positiva y a 7,5 m
de la negativa.
2º Determina el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una carga de -4 C desde: a) el punto A al punto B; b) el punto A al
punto C. (Interpreta el signo del trabajo obtenido).
A.5.5. En el centro de un rectángulo, de lados 3 y 4 m, se coloca una carga de 100 C. Calcula: a) La diferencia de potencial entre dos de los
vértices del rectángulo. b) El trabajo que se realizará para trasladar entre ambos vértices una carga de 1 C. c) Si se coloca en uno de los
vértices del rectángulo una carga igual a la situada en su centro, ¿cuánto vale la energía potencial del sistema?
A.5.6. En los vértices del triángulo equilátero adjunto se sitúan las cargas indicadas. Calcula: a) La intensidad de campo y el
potencial en el baricentro del triángulo. b) La energía potencial eléctrica que adquiere una carga de 10 C al situarse en el
baricentro. c) El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar la carga de 10 C desde el infinito hasta el
baricentro.
A.5.7. En cada uno de los vértices de la base de un triángulo equilátero de 3 m de lado, hay una carga de 10 C. Calcula el campo eléctrico y
el potencial creado en el tercer vértice.
A.5.8. Justifica el que las líneas de campo sean perpendiculares a las superficies equipotenciales y el que dentro de un campo eléctrico los
electrones se trasladan de forma espontánea hacia potenciales crecientes y los protones lo hacen hacia potenciales decrecientes.
A.5.9. ¿Cómo varían con la distancia el potencial eléctrico, el campo eléctrico y la fuerza eléctrica (sobre una carga q´) debidos a una
partícula con carga q? Dibuja su evolución sobre una misma gráfica.
A.5.10. El campo eléctrico es nulo en una región del espacio. ¿También debe ser nulo el potencial eléctrico?
A.5.11. El potencial eléctrico en un punto del eje X es V(x) = x2-3x (unidades SI). Calcula el potencial y el campo eléctrico en x= 4 m.
A.5.12. Sea un campo eléctrico uniforme dado por i500E

 N/C. ¿Cómo serán las superficies equipotenciales de dicho campo? ¿Qué
trabajo hay que realizar para trasladar una carga de 2 C desde el punto P (2, 3, 0) m hasta el punto Q (6, 5, 0) m? ¿Qué distancia hay entre
las superficies equipotenciales V1 = 10 V y V2 = 20 V?
A.5.13. En una región del espacio actúa un campo eléctrico uniforme, de forma que al trasladar una carga de 4 C desde el punto A (x, 0)
hasta el punto B (x+0´2, 0), la fuerza eléctrica realiza un trabajo de – 2·10-3 J. Si al punto A se le asigna un potencial eléctrico de 20 V, calcula
el potencial del punto B y la componente del campo eléctrico en la dirección del eje X.
A.5.14. En la figura se representan superficies equipotenciales correspondientes a una región del espacio en la que existe
un campo eléctrico uniforme. Determina: a) El vector campo eléctrico y dibuja las líneas de campo eléctrico. b) La
diferencia de potencial entre los puntos A y B. c) El trabajo que se realiza al trasladar un electrón desde el punto A hasta
el punto B. (Justifica el signo obtenido).
A.5.15. Dos cargas puntuales de -50 nC están fijas en los puntos P (0, 0) mm y Q (5, 0) mm. Halla: a) El campo eléctrico en el punto R (10, 0)
mm. b) La velocidad con que llega al punto S (8, 0) mm una partícula, de 5 mg de masa y 8 nC, que se abandona libremente desde R.
3. ¿CÓMO CALCULAR EL CAMPO ELÉCTRICO EN LOS CASOS DE DISTRIBUCIONES
CONTINUAS DE CARGA? LEY DE GAUSS.
Hasta ahora hemos calculado campos vectoriales creados por distribuciones discretas de carga (o de masa)
aplicando el principio de superposición. Pero, ¿cómo calcular el campo creado por distribuciones continuas de estas
magnitudes?; por ejemplo, ¿cómo calcular el campo eléctrico creado por una nube cargada? Estos problemas pueden
abordarse haciendo uso de la ley de Gauss, pero, para llegar a ella, debemos introducir primero el concepto de flujo,
una magnitud matemática con la que medir el número neto de líneas de campo que atraviesan una superficie.

Cuando una superficie plana de área S (representada por el vector S

, perpendicular al plano de dicha
superficie) es atravesada por un campo uniforme E

(figura 8.a), consideramos que el número neto de líneas de
campo que atraviesan la superficie viene dada por el flujo eléctrico Φ, definido como el producto escalar:
E·S·cosS·E 

. En general (figura 8.b), debemos recurrir al cálculo integral para determinar el flujo:  
S
SE

· .
Si la superficie es cerrada se indica así:
 
S
SE

· . Por convenio, el vector S

 siempre
está dirigido hacia el exterior de la superficie
cerrada; por tanto, el flujo Φ siempre será
positivo cuando las líneas de campo salgan de la
superficie cerrada, y será negativo cuando entren
en ella. La unidad de flujo eléctrico en el SI es
Nm2
C-1
o V·m.
A.6.1. Justifica matemática y conceptualmente cuando es
nulo el flujo del campo a través de una superficie y cuando es máximo.
A.6.2. El campo eléctrico kjE

 N/C atraviesa la superficie determinada por los puntos O (0,0,0), A (1,0,0), B (1,4,0) y C (0,4,0). Calcula
el flujo del campo a través de la superficie.
A.6.3. ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una esfera de 1 m de radio y que porta en su interior una carga de 1 C? ¿Cómo sería el campo
eléctrico y el flujo eléctrico a través de una esfera que porta la misma carga pero que tiene un radio de 0,5 m?
A.6.4. Si el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es nulo, también lo es el campo eléctrico dentro de la superficie. ¿Es correcta
esta afirmación? Razona tu respuesta.
Una vez definido el flujo eléctrico, la ley de Gauss se puede expresar de la siguiente manera:
El flujo eléctrico que atraviesa una
superficie cerrada es directamente
proporcional a la carga neta
contenida en dicha superficie, e
inversamente proporcional a la
permitividad dieléctrica del medio.
Matemáticamente:

eriorQint

Si tenemos una superficie cerrada S1, más o menos
irregular, que engloba a la carga Q, el flujo eléctrico que
la atraviesa coincide con el que atravesaría cual-quier
otra superficie cerrada que englobe a la misma carga,
por ejemplo, la superficie esférica S de radio r, escogida
por conveniencia para el cálculo del flujo
(frecuentemente conocida como superficie gaussiana):


Q
KQr
r
Q
KSESE
S
  44··· 2
2

De la expresión obtenida para la ley de Gauss se deduce que el flujo eléctrico es una magnitud escalar cuyo
signo coincide con el signo de la carga y es independiente del radio de la esfera gaussiana considerada (aún más, es
independiente de la forma que tenga la superficie cerrada).
La ley de Gauss nos permite determinar el campo eléctrico creado por distribuciones continuas de carga con
una geometría sencilla, como esferas, planos e hilos cargados (cuadro 4)9
. El método consiste en rodear el cuerpo
cuyo campo queremos hallar con una superficie gaussiana que cumpla dos condiciones: que el campo sea normal a
dicha superficie, y que el área de la superficie sea conocida.
Cuadro 4. Campo y potencial eléctrico creados por distribuciones continuas de carga con simetría simple.
Campo y potencial eléctrico creados por una esfera aislante uniformemente cargada.
Supongamos una esfera aislante de radio R que se encuentra uniformemente cargada, con
una densidad cúbica de carga ρ. La carga total de la esfera es: ·Vq 
Las cargas eléctricas se reparten por todo el volumen de la esfera aislante, de tal forma que
hay campo eléctrico en el exterior y en el interior de dicha esfera.
- Campo y potencial eléctrico en el exterior:
Tomamos como superficie gaussiana una esfera de radio r ≥ R y aplicamos la definición de
flujo y la ley de Gauss:

 intq
E·S·cosS·E 

; en nuestro caso:


q
·rE·4 2
 , luego:
22
4
1
r
q
K
r
q
E(r) 

, el campo en el exterior varía con el inverso del cuadrado de la distancia
al centro de la esfera aislante cargada. Observar que el resultado es equivalente al de una carga
puntual localizada en el centro de la esfera.
Gráficas E-r y V-r para una
esfera aislante uniformemente
cargada.
9 Hacemos uso de la relación entre el campo y el potencial, descrita en el apartado 2.3. de esta unidad, para calcular el potencial eléctrico para estas
distribuciones continuas de carga.
a. El número neto de líneas de campo que atraviesa
la superficie S

, de área S, es el mismo que el que
atraviesa la superficie ´S

, de área S´. El flujo
eléctrico es el mismo a través de ambas superficies:
E·SS·ES


 ; E·SE·S´·cos´S·ES
 


´
b. Cuando el campo de fuerzas
E

no sea uniforme o la
superficie S

no sea plana
debemos recurrir al cálculo
integral.
Figura 8

En base a la relación general: rEV

  · ; en nuestro caso:
r
q
K
r
r
qKV(r)
Rr


 


2
· , el
potencial en el exterior varía con el inverso de la distancia al centro de la esfera aislante
cargada, resultado idéntico al de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.
- Campo y potencial eléctrico en el interior:
Tomamos como superficie gaussiana una esfera de radio r < R y aplicamos la definición de
flujo y la ley de Gauss, obteniendo:



3
3
4
· r
·rE·4 2
 ;  rE(r) ·
3

r
R
q
K ·3
, el campo en el
interior varía linealmente con la distancia al centro.
La expresión para el potencial eléctrico en el interior debe ser acorde con el resultado
R
q
KV(R)  . Así, evaluamos la diferencia de potencial entre un punto situado a la distancia R y
un punto del interior de la esfera aislante: 








Rr
R
Rr
R
r
R
qK
rr
R
qK
RVrV
2
·
·
·
)()(
2
33
R
q
K
R
rq
K
2
1
·2
·
3
2
 ; 
R
q
K
R
rq
KV(r)
2
3
·2
·
3
2






 2
2
3·
·2 R
r
R
q
K , lo que nos lleva a que en el centro de la
esfera el potencial es
R
q
KV(0)
·2
3

Las líneas de campo son
perpendiculares a la superficie de la
esfera. Se dirigen hacia fuera de la
esfera si la carga que contiene es
positiva y hacia dentro de ella si la
carga es negativa.
Las superficies equipotenciales
son esferas concéntricas a la
superficie de la esfera dada.
Campo y potencial eléctrico creados por una corteza esférica uniformemente cargada.
Supongamos ahora una corteza esférica de radio R y grosor
despreciable que se encuentra uniformemente cargada, con una
densidad superficial de carga σ. La carga total es: ·Sq 
- Campo y potencial eléctrico en el exterior evolucionan de forma
idéntica al de la esfera sólida descrita anteriormente, aunque ahora
resulta conveniente expresarlos en función de σ (lo entenderemos al
hablar del comportamiento de los conductores):
2
2
2
2
2
1·4·
4
1
4
1
r
R
r
R
r
q
E(r)




r
R
r
q
V(r)
1·
4
1 2




- Campo y potencial eléctrico en el interior:
El campo es nulo en el interior ya que la carga neta es cero, con lo
Gráficas E-r y V-r para una
corteza esférica aislante
uniformemente cargada.
que el potencial debe ser constante (en base a la relación general: rEV

  · ) y de valor acorde con
el resultado en la superficie de la corteza esférica.
Situación análoga a la
descrita para la esfera ais-
lante uniformemente carga-
da, pero aquí el campo es
nulo en el interior y, por
tanto, el potencial es cons-
tante.
Campo y potencial eléctrico creados por un plano infinito uniformemente cargado.
Consideramos un plano de dimensiones infinitas cargado
uniformemente con una densidad superficial de carga σ.
Para hallar el valor del campo en un punto situado a una cierta
distancia r, tomamos como superficie gaussiana un cilindro de altura
arbitraria y sección transversal de área S, con su eje perpendicular al plano
y cortándolo simétricamente.
La carga en el interior del cilindro es: ·Sq  . Solamente hay flujo a
través de las bases del cilindro. Por tanto, aplicando la definición de flujo
y la ley de Gauss:

 S
E·2S·
·
 ;


·2
E(r) ; el campo es constante.
Las líneas de campo son
perpendiculares al plano,
paralelas entre sí y unifor-
memente espaciadas. Se di-
rigen hacia fuera del plano si
la carga que contiene es
positiva y hacia dentro del
mismo si la carga es negativa.
Las superficies equipo-
tenciales son paralelas al
plano y uniformemente es-
paciadas.
Para calcular el potencial eléctrico a una distancia r del plano
evaluamos la diferencia de potencial V(r)-V(0), donde V(0) es el potencial
en el plano: rrVrV
r
·
·2·2
)0()(
0




 
; rVV(r) ·
·2
)0(


 , lo que nos
lleva a que el potencial disminuye linealmente con la distancia desde el
plano, donde tendrá el valor máximo.
Gráficas E-r y V-r para un plano infinito aislante
uniformemente cargado.
Campo y potencial eléctrico creados por dos planos paralelos, uniforme y opuestamente cargados.
Tenemos ahora dos planos paralelos separados una distancia d, con igual densidad de carga
pero de diferente signo (+σ y –σ).
La superposición de campos en la región comprendida entre los planos da lugar a un campo
total doble al creado por un solo plano (


E(r) ), dirigido desde el plano positivo hacia el
negativo, mientras que en la región exterior a los planos ambos campos se neutralizan y no
Las líneas de campo son rectas

habrá campo neto.
El potencial eléctrico a una distancia r<d del plano cargado positivamente es:
rVV(r) ·)0(


 
, lo que nos lleva a que el potencial disminuye linealmente con la distancia
desde el plano positivo al negativo. La diferencia de potencial entre los planos es:
dV-(R)V- ·)0(



paralelas entre sí y perpendicu-
lares a los planos, uniformemente
espaciadas. Se dirigen del plano
positivo al negativo.
son paralelas al plano y uniforme-
mente espaciadas.
El condensador o capacitor plano es un dispositivo común en los circuitos electrónicos que se
fundamenta en lo anterior y que sirve para almacenar energía eléctrica, utilizada para hacer funcionar
lámparas de destello en cámaras de fotos o teclados de ordenador, para sintonizar la frecuencia de
aparatos de radio y TV, como filtros en suministro de energía eléctrica, para eliminar chispas en los
sistemas de encendido de automóviles, en desfibriladores, etc.
El condensador consta de dos placas metálicas paralelas separadas por una fina lámina de material
aislante (papel, por ejemplo); este emparedado o sándwich se arrolla, para ahorrar espacio, y se mete en un cilindro.
Cuando las placas metálicas se conectan a un dispositivo de carga o acumulador, por ejemplo, una batería, entre las placas
se establece una diferencia de potencial eléctrico idéntico al del acumulador. Cuanto mayor sea el voltaje establecido entre las
placas y más próximas se encuentren éstas, mayor será la carga eléctrica almacenada en el condensador.
A esta propiedad de almacenamiento de carga se le denomina capacidad o capacitancia (
V
q
C

 ); es la razón entre el
valor de la carga en cualquiera de los conductores y el valor de la diferencia de potencial entre ellos; por definición, un valor
positivo cuya unidad en el SI es el faradio (F=C/V)10
.
Para un condensador plano:
d
S
d
S
V
q
C
·
·
· 




 . Su capacidad aumenta al aumentar la superficie de las placas y/o al
disminuir su separación y/o al colocar entre las placas un aislante de mayor constante dieléctrica.
Campo y potencial eléctrico creado por un hilo infinito uniformemente cargado.
Consideramos un hilo de longitud infinita cargado
uniformemente con una densidad lineal de carga λ.
Para hallar el valor del campo en un punto situado
a una cierta distancia r, tomamos como superficie
gaussiana un cilindro centrado en el hilo, de altura h y
radio r para las bases. Gráficas E-r y V-r para un hilo infinito
uniformemente cargado.
La carga en el interior del cilindro es: ·hq  . Solamente hay flujo a través de la superficie
lateral del cilindro. Por tanto, aplicando la definición de flujo y la ley de Gauss:



h
·r·h·E·2
·
 ;
r
K
r
E(r)
1
··2
1
·
2



 ; el campo varía con el inverso de la distancia al hilo.
En base a la relación general: rEV

  · ; en nuestro caso: 

 


1,0
1
··2
rr
r
r
r
KV(r) 
rK ·ln·2  ; el potencial disminuye al aumentar la distancia al hilo cargado, teniendo un
valor nulo a un metro de distancia del hilo.
Las líneas de campo son rectas
perpendiculares al hilo en todos los
puntos y presentan simetría radial. Se
dirigen hacia fuera del hilo si la
carga que contiene es positiva y
hacia dentro si la carga es negativa.
son superficies cilíndricas
concéntricas en torno al hilo, tanto
más alejadas cuanto menor sea el
potencial.
A.7.1. Una superficie gaussiana esférica rodea una carga puntual Q. ¿Qué sucede con el flujo total a través de la superficie si: a) la carga se
triplica; b) se introduce otra carga –Q; c) el radio de la esfera se duplica; d) la superficie esférica se cambia a un cubo; e) la carga Q se coloca
en otra posición dentro de la superficie?
A.7.2. Dos placas metálicas horizontales y paralelas están separadas 2 cm. La diferencia de potencial entre ellas es de 120 V. Calcula: a) La
magnitud del campo eléctrico entre las placas. b) La magnitud de la fuerza que actúa sobre un electrón. c) La energía que gana un electrón,
inicialmente equidistante de las placas, tras recorrer 1 mm en una dirección que forma un ángulo de 30º con la dirección del campo eléctrico.
A.7.3. De un péndulo de un metro de longitud pende una partícula de masa 20 g y carga desconocida. Para averiguar el valor de la carga se
coloca el péndulo en las proximidades de una placa plana, de gran superficie, con una densidad de carga superficial de 1 C/m2; se observa
entonces que la partícula se aleja de la placa, quedando el hilo del péndulo formando un ángulo de 45º con la vertical. ¿Cuánto vale la carga
de la partícula?
A.7.4. Un anillo de radio R tiene una carga +Q distribuida uniformemente. Si λ es la densidad de carga lineal, determina una expresión para el
campo creado a lo largo del eje del anillo a una distancia x del centro. Analiza el resultado para los casos en que x=0 y x>>>R.
A.7.5. ¿Qué es un condensador plano? ¿Qué utilidad tiene este dispositivo? ¿Qué es la capacidad de un condensador y de qué factores
depende la capacidad de un condensador plano?
10 En la práctica, el faradio es una unidad de capacidad muy grande. Los dispositivos comunes tienen capacitancias que varían de los micro (10-6 F) a
los picofaradios (10-12 F).

3.1. ¿QUÉ MOVIMIENTO EXPERIMENTAN LAS PARTÍCULAS CARGADAS EN EL SENO DE UN CAMPO
ELÉCTRICO UNIFORME?
Si se conoce el campo eléctrico E

que actúa en un punto del espacio, independientemente de cómo haya
sido creado, se puede determinar la fuerza eléctrica que actúa sobre una partícula de masa m y carga q colocada en
dicho punto: EqF

· . El vector F

tiene la misma dirección que E

; ahora bien, el sentido de F

coincide con el de
E

si la carga tiene signo positivo y es contrario al de E

si la carga es negativa.
Si el campo eléctrico E

es uniforme (como el creado por un condensador plano), la fuerza eléctrica F

es
constante y la partícula está sometida a una aceleración que viene determinada por la segunda ley de newton:
m
Eq
m
F
a

 ·
 . Observa que, a diferencia de g

, E

no
representa la aceleración que experimenta una partícula cargada
en un punto del campo; la aceleración que adquiere una partícula
cargada depende no sólo del campo eléctrico que actúa sobre
ella sino también de su carga eléctrica y de su masa.
La trayectoria que siga la partícula dependerá de la
dirección y sentido de su velocidad inicial (figura 9).
A.8.1. Dado un campo eléctrico uniforme de intensidad j
4
10·5 N/C. Calcula: a) La fuerza ejercida por este campo sobre un electrón. ¿Cómo
podemos considerar el peso del electrón en relación a la fuerza eléctrica? b) El tiempo que transcurre para que el electrón recorra 2 cm
dentro del campo y la rapidez que alcanza al cabo de ese tiempo, suponiendo que parte del reposo. Dato: me= 9,11·10-31 kg.
A.8.2. Un electrón se proyecta en un campo eléctrico uniforme iE
 3
10 N/C con una velocidad inicial io
 6
10·2 m/s. ¿Qué distancia
recorrerá el electrón antes de detenerse? Dato: me = 9,11·10-31 kg.
A.8.3. Un electrón se proyecta en un campo eléctrico uniforme  jE
 3
10·2 N/C con una velocidad inicial io
 6
10 m/s. Deduce la
ecuación de la trayectoria que describe el electrón. ¿Cuánto se habrá desviado tras recorrer 1 cm en la dirección del eje X? ¿Qué distancia
habrá recorrido tras desviarse 1 cm en la dirección del eje Y? Dato: me = 9,11·10-31 kg.
4. ¿CÓMO SE COMPORTAN LOS MATERIALES BAJO LA ACCIÓN DE UN CAMPO
ELÉCTRICO?
Los materiales conductores y aislantes se comportan de manera diferente bajo la acción de un campo
eléctrico.
4.1. COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES CONDUCTORES.
Un material conductor (metal, grafito, disolución iónica,...) tiene cargas libres
(electrones, iones) que se mueven en presencia de un campo eléctrico externo. La
corriente inducida por el campo externo lleva a las cargas libres hasta la superficie,
separándose hasta alcanzar una situación de equilibrio electrostático en la que no hay
movimiento neto de cargas (figura 10). El tiempo que tarda un buen conductor en
alcanzar esta situación de equilibrio es del orden de 10-16
s, lo que para la mayor parte de los propósitos puede
considerarse instantáneo.
La separación de las cargas libres en la superficie del conductor es tal que se induce un campo eléctrico
superficial que compensa y anula el campo eléctrico externo. Este hecho explica la electrización por inducción en
los metales y la separación de los iones de una disolución por acción de un campo (al introducir dos electrodos de
distinto signo en el seno de la disolución).
En el interior de un conductor en equilibrio electrostático el campo eléctrico
es nulo (no hay carga eléctrica neta) y, por consiguiente, el potencial eléctrico es
constante.
Este hecho tiene su aplicación en el apantallamiento, protección o blindaje
eléctrico. No se puede apantallar la gravedad, porque la gravedad sólo atrae, pero es
muy sencillo protegerse de campos eléctricos externos; basta rodear lo que queremos
blindar con una superficie o rejilla conductora, pues en el interior el campo es nulo
(efecto conocido como jaula de Faraday, figura 11). Esta capacidad de los conductores
de bloquear los campos eléctricos externos se utiliza para proteger aparatos delicados
de posibles efectos electrostáticos (por ejemplo, los discos duros de los ordenadores) o
blindar ciertos cables contra la actividad eléctrica externa (por ejemplo, los cables
Una partícula cargada que penetra
en la dirección del campo describe
una trayectoria rectilínea. Si penetra
perpendicularmente al campo sigue
una trayectoria parabólica.
Figura 9
Figura 10
Comprueba el efecto de jaula de
Faraday colocando un transistor
dentro de una rejilla metálica o dentro
de una caja de papel envuelta de
papel de aluminio.
Figura 11

coaxiales de TV, los conocidos cables de antena); también justifica que debamos colocar antenas receptoras en el
exterior de los edificios o coches (la estructura metálica de los mismos provoca la atenuación de los campos
eléctricos externos asociados a las ondas electromagnéticas).
Si un conductor tiene carga eléctrica neta, dicha carga se repartirá por su superficie debido a la repulsión
mutua entre cargas del mismo signo, hasta alcanzar el equilibrio electrostático. En el interior del conductor
equilibrado el campo eléctrico siempre será nulo, pero superficialmente habrá un campo eléctrico directamente
proporcional a la densidad superficial de carga y siempre dirigido perpendicularmente a la superficie en cada punto
(si existiera una componente del vector campo en línea con la superficie, las cargas libres tendrían un movimiento
neto en esa dirección, lo que iría en contra de la condición de equilibrio impuesta) (figura 12). El hecho de que no
haya campo a lo largo de la superficie del conductor, sea cual sea su forma, equivale a decir que no hay variaciones
de potencial de un punto a otro de la superficie, o sea, la superficie de un conductor en equilibrio es una superficie
equipotencial; aún más, el potencial eléctrico es constante en todos lados en el interior de un conductor e igual a su
valor en la superficie. Esto nos lleva a que la densidad de carga superficial, y por tanto el campo, es mayor en los
puntos en los que el radio de curvatura de la superficie es más pequeño, alcanzando valores muy elevados en puntos
afilados. Esto da lugar al conocido efecto de las puntas; en ellas, la concentración de cargas puede llegar a ser tan
grande que su repulsión mutua las hace saltar del conductor, ionizando las moléculas de los gases componentes del
aire y haciéndolas ponerse en movimiento (se origina así el llamado viento eléctrico, causa del giro de los
“molinetes eléctricos”). Este efecto se encuentra también en la base del funcionamiento de los pararrayos colocados
en edificios altos (ver apéndice 2).
Un conductor esférico con
carga neta se comporta de forma
idéntica que una corteza esférica
uniformemente cargada (caso
descrito en la pág. 11 de esta
unidad): el campo superficial vale

 y el potencial constante en el
interior y en la superficie del
conductor vale

 R· .
Para un conductor de forma
irregular, el potencial en el
interior y en cualquier punto de
su superficie sigue siendo
constante. Así, en nuestro caso,

 AA
A
R
V
·
 y

 BB
B
R
V
·

deben ser iguales, lo que lleva a
que BA   (ya que BA RR  ) y,
en consecuencia, BA EE  .
Figura 12
4.2. COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES AISLANTES.
Un material dieléctrico o aislante (vidrio, plástico, lana, seda, papel, madera,...) posee cargas eléctricas
ligadas a su estructura y no permite su desplazamiento por el interior, es decir, no conducen la corriente eléctrica.
Un campo eléctrico externo polariza en mayor o menor medida los átomos o moléculas que forman el aislante,
ocasionando un campo neto en el interior del dieléctrico menor que el campo externo (figura 13). No obstante, esta
polarización inducida del dieléctrico no lleva asociada una electrización por inducción de forma análoga a como
ocurre en los conductores; las cargas eléctricas no pueden abandonar el aislante al estar ligadas a su estructura.
Material dieléctrico con sustancias polares.
(a) En ausencia de campo externo, los dipolos
permanentes están orientados al azar
debido a la agitación térmica.
(b) En presencia de campo externo, los dipolos
permanentes se orientan en línea con el
campo.
Material dieléctrico con sustancias no
polares.
(a) En ausencia de campo externo, los posibles
dipolos inducidos se compensan.
(b) En presencia de campo externo, se produce un
pequeño desplazamiento de las cargas, lo que
induce dipolos que se orientan en línea con el
campo.
El campo externo ocasiona la aparición de cargas
inducidas en las paredes exteriores del dieléctrico,
cargas que crean un campo eléctrico interno que
se opone al campo exterior, aunque no llega a
compensarlo. El campo en el interior del
dieléctrico es menor que el campo externo.
Figura 13
A.9.1. ¿Cuándo decimos que un conductor está en equilibrio electrostático? ¿Cómo es el campo y el potencial eléctrico en el interior de un
conductor en equilibrio electrostático? ¿Cómo se reparte la carga en el conductor?
A.9.2. Dibuja una gráfica que muestre como evoluciona el valor del campo y el potencial con la distancia al centro de una esfera maciza en
equilibrio electrostático: a) en el caso de que la esfera sea conductora; b) en el caso de que la esfera sea aislante y la carga esté
uniformemente repartida.
A.9.3. ¿Cómo se comporta un aislante en el interior de un campo eléctrico uniforme? ¿Por qué el campo eléctrico en el interior del dieléctrico
es menor que en el exterior?

A.10. Para concluir el tema, resuelve las siguientes actividades:
A.10.1. Señala analogías y diferencias entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico.
A.10.2. Disponemos de un tubo hueco muy largo en una región del espacio donde no existen influencias externas de campos gravitatorios o
eléctricos. Una esfera metálica uniformemente cargada se encuentra fija en uno de los extremos del tubo. Introducimos otra esfera idéntica
por el otro extremo del tubo; en ausencia de rozamientos, se observa que la esfera permanece en equilibrio independientemente de su
posición en el tubo. Deduce la relación q/m de las esferas.
A.10.3. Dos pequeñas bolas, de 1 g de masa cada una, están suspendidas del mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud cada uno.
Si al colgar las bolitas con la misma carga eléctrica, los hilos se separan formando cada uno un ángulo de 30° con la vertical, determina el
valor de la carga y la tensión de los hilos.
A.10.4. Se construye un péndulo con una esfera metálica, de masa 10 mg, colgada de un hilo de material aislante y masa despreciable de 1
m de longitud, y se desea estudiar su comportamiento en el seno de un campo eléctrico. Para ello, se carga la esfera con 10 C y se la hace
oscilar en un campo eléctrico de valor 5,8 V·m-1, dirigido verticalmente hacia arriba. Calcula el período del péndulo. ¿Qué ocurriría si el campo
estuviese dirigido hacia abajo?
A.10.5. Supón que junto a la superficie de la Tierra existe, además de su propio campo gravitatorio, un campo eléctrico uniforme dirigido en
vertical y hacia arriba E= 104 N/C. En esta región soltamos una partícula de 10 g de masa, con velocidad inicial nula. a) ¿Cuál debe ser su
carga para que permanezca en reposo? b) Si la carga de la partícula es el doble de la que acabas de calcular, realizará un movimiento
ascendente. ¿Por qué? ¿Cuál será su velocidad tras ascender 2 m respecto al punto inicial?
A.10.6. Dos cargas iguales, Q, están separadas por una distancia 2a m. Por el punto medio del segmento que las une, se traza una recta
perpendicular en la que se coloca una carga q a una distancia r del segmento anterior. Determina el valor de r para que el módulo de la fuerza
que actúa sobre la carga q sea máximo.
A.9.7. Una partícula cargada se desplaza en la dirección del campo eléctrico de forma que su energía potencial aumenta. ¿Qué signo tiene la
carga? Razona tu respuesta.
A.10.8. Dos cargas puntuales de -2 C están situadas en los puntos A (-4, 0) y B (4, 0). Calcula: a) La fuerza sobre una carga de 1 C,
situada en el punto P (0, 3). b) La velocidad que tendrá la carga de 1 C al pasar por el punto O (0, 0), si su masa es de 1 g.
A.10.9. Una carga de 1 nC está fija en el origen de coordenadas de un sistema cartesiano. Otra de -20 nC está fija en el eje Y, a 3 m del
origen. Calcula: a) El potencial electrostático en el punto P (4, 0) m. b) El campo eléctrico en P. c) El trabajo realizado para llevar una carga de
1 C desde P hasta Q (4,3) m. (Interpreta el signo del resultado obtenido).
A.10.10. En el origen de coordenadas se encuentra una carga de 1 C y en el punto (3, 0) m otra de - 5 C. ¿Hay algún punto en el que se
anule el campo eléctrico? Si lo hay, ¿cuánto vale el potencial eléctrico en dicho punto?, ¿qué trabajo se realiza al transportar una carga de -
2 C desde dicho punto hasta el punto (0, 4) m? (interpreta el signo del resultado obtenido).
A.10.11. En los vértices del triángulo equilátero adjunto se sitúan las cargas indicadas. Calcula: a) El valor de la intensidad
de campo y el potencial eléctrico en el centro de cada uno de los lados del triángulo. b) La energía potencial eléctrica que
adquiere una carga de 5 C al situarse en el centro de uno de los lados. c) El trabajo realizado para llevar la carga de 5 C
entre puntos medios de lados contiguos.
A.10.12. Si el potencial eléctrico es constante en una región o dentro de un conductor, ¿cómo es el campo eléctrico en esa zona?
Y si el campo eléctrico es uniforme en una región (o sea, constante en módulo, dirección y sentido), ¿cuánto vale la diferencia de
potencial entre dos puntos del campo, en función del valor de dicho campo? Razona el significado físico del resultado obtenido.
A.10.13. Una gran placa metálica plana cargada uniformemente con una densidad de carga superficial de 0,1 nC·m-2 se encuentra situada
horizontalmente sobre el suelo. Desde una altura de 1 m se deja caer una partícula de 1 g de masa y una carga de 10-3 C. Calcula el tiempo
que tarda en caer y la rapidez con la que llega al suelo.
A.10.14. Un electrón con energía cinética inicial 100 eV penetra en el campo eléctrico uniforme de un condensador plano de 1 cm de ancho.
Se observa que el electrón atraviesa dicha región sin desviarse de su trayectoria rectilínea inicial, pero su velocidad a la salida es la mitad de
la inicial. Calcula: a) La velocidad inicial del electrón. b) El módulo y la orientación del campo eléctrico dentro de esa región. c) La diferencia
de potencial entre las placas del condensador. Dato: me = 9,11·10-31 kg.
A.10.15. Se libera desde el reposo un protón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 7·104 V/m dirigido a lo largo del eje X en sentido
positivo. El protón se desplaza una distancia de 0,2 m en la dirección del campo. Calcula: a) La diferencia de potencial que ha experimentado
el protón en el desplazamiento indicado. b) La variación de energía potencial. c) La velocidad del protón al final de los 0,2 m recorridos. Dato:
mp = 1,67·10-27 kg.
A.10.16. Entre las placas de un condensador plano, separadas 1 cm, se crea un campo eléctrico uniforme iE

200 N/C. Un protón se deja
en libertad en la primera placa, partiendo del reposo. Calcula: a) La diferencia de potencial entre las placas del condensador. b) La variación
de energía potencial que experimenta el protón en su recorrido entre las placas. c) La energía cinética del protón al llegar a la 2ª placa.
A.10.17. En una región del espacio ( 10  x , 10  y ) actúa un campo eléctrico, de forma que el potencial solamente
varía a lo largo del eje X tal y como muestra la figura adjunta. Determina el campo eléctrico en dicha región. ¿Qué trabajo se
realiza al trasladar un protón desde el punto A (0´1, 0´3) al punto B (0´5, 0´8) y posteriormente hasta el punto C (0´5, 1).
A.10.18. Entre las placas de un condensador plano (de 3 cm de longitud y separadas 5 mm) se crea un campo eléctrico
uniforme jE
 3
10 N/C. Un electrón penetra equidistante de las placas con una velocidad inicial io
 6
10·5 m/s. Halla: a) La ecuación de
la trayectoria que describe el electrón. b) La desviación vertical experimentada por el electrón al salir de las placas. c) El ángulo de
desviación. d) El punto en el que incidirá sobre una pantalla paralela al campo a 20 cm del extremo de las placas. Dato: me = 9,11·10-31 kg.

A.10.19. Bajo la acción de un campo eléctrico uniforme iE

200 N/C se deja en libertad, partiendo del reposo, una partícula de 0,12 g de
masa y 3 C de carga. Calcula, teniendo en cuenta los efectos gravitatorios: a) La ecuación de la trayectoria descrita por la partícula. b) El
desplazamiento vertical experimentado por la partícula tras recorrer 4 m en la horizontal. c) La energía cinética de la partícula tras el recorrido
anterior. d) La variación de energía potencial en el mismo recorrido. e) La diferencia de potencial eléctrico entre la posición inicial y final en
estudio.
A.10.20. Dos esferas conductoras de radios 90 y 45 cm, cargadas de modo que sus superficies presentan un potencial electrostático,
respecto al infinito, de 10 y 20 V, respectivamente, tienen sus centros separados 10 m. Halla: a) El valor de la fuerza que ejercen entre sí
ambas esferas. b) El campo eléctrico en el punto medio de la recta que une sus centros. c) Si ambas esferas se unen mediante un hilo
conductor, ¿qué carga quedará en cada esfera?
A. Final. Realiza un resumen de las ideas más importantes aprendidas en esta unidad, así como un cuadro con las ecuaciones
y fórmulas que has manejado a lo largo de la misma.
APÉNDICES:
A.1. EXPERIMENTO DE LA GOTA DE ACEITE DE MILLIKAN.
Robert Millikan desarrolló de 1.909 a 1.913 un brillante conjunto de
experimentos en los cuales midió e, la carga elemental de un electrón y demostró la
naturaleza cuantizada de esa carga. Por este trabajo fue honrado con el Premio Nobel
de Física de 1.923.
El aparato utilizado por Millikan (figura A.1) incluye dos placas metálicas
paralelas. Gotas de aceite cargadas que salen de un atomizador pasan a través de un
pequeño agujero en la placa superior. Un haz luminoso dirigido horizontalmente (no
dibujado en el gráfico) se utiliza para iluminar las gotas de aceite, las cuales se
observan mediante un telescopio cuyo eje está en ángulo recto con el haz de luz; de esta manera se
puede determinar la velocidad de caída de las gotas individuales.
Supongamos que se observa una gota de masa m y carga eléctrica negativa q. Si no hay campo
eléctrico entre las placas, sobre la gota actúa la fuerza de la gravedad gm

, hacia abajo, y la fuerza de
arrastre viscosa, DF

, hacia arriba, proporcional a la velocidad de la gota. Cuando la gota alcanza su
rapidez final constante v

, las dos fuerzas se equilibran entre sí: DFgm

 (figura A.2). Si creamos un
campo eléctrico E

entre las placas, dirigido hacia abajo y con la intensidad adecuada, podemos hacer
que la gota ascienda con una nueva velocidad ´v

constante. Cuando esto ocurra debe cumplirse que:
EqFgm D

 ´
(al desplazarse hacia arriba, la fuerza de arrastre viscosa se dirige hacia abajo).
Podemos observar durante horas como una gota baja y sube alternativa y lentamente entre las placas (basta con desactivar y
activar el campo mediante la batería). Si hacemos que la gota baje y suba con la misma rapidez constante, resulta que:
mgFF DD  ´
; luego podemos determinar el valor de la carga: qEmg 2 ; Emgq 2 . Tras miles de mediciones, Millikan y sus
colaboradores encontraron, con una precisión del 1%, que todas las gotas tenían una carga igual a un múltiplo entero de la carga
elemental e, siendo e=-1,60·10-19 C; es decir, la carga está cuantizada.
A.2. APLICACIONES DE LA ELECTROSTÁTICA.
Entre las principales aplicaciones de la electrostática podemos mencionar el pararrayos, el generador de Van de Graff, los
filtros o precipitadores electrostáticos de partículas sólidas en suspensión, las fotocopiadoras, las impresoras de chorro de tinta, los
tubos de rayos catódicos de TV, los aceleradores lineales de partículas, etc.
 El pararrayos tradicional se basa en el sistema concebido por Benjamin Franklin en 1.752.
Consiste en un conductor metálico que une una torre o la parte más alta de un edificio a tierra.
Cuando las nubes, cargadas negativamente, pasan por la zona, la punta del pararrayos atrae a
electrones del aire, evitando que se acumule una gran carga positiva por inducción. No obstante,
si por alguna razón no escapa carga suficiente del aire al cable metálico y se forma el rayo, éste
será atraído al pararrayos, al poseer una elevada concentración de carga positiva por el efecto de
las puntas, y llegará directamente al suelo sin dañar el edificio. El objeto principal del pararrayos
es evitar incendios causados por rayos.
 El generador de Van der Graff (figura A.4) permite producir altos voltajes, utilizados luego para
acelerar partículas cargadas. Consta de una esfera metálica grande y hueca sostenida por un
soporte aislante cilíndrico. Una banda de caucho, impulsada por un motor y dentro del soporte
pasa por un conjunto de agujas metálicas, parecido a un peine, que se mantienen a un potencial
positivo grande en relación con la tierra (unos 104 V). La carga positiva sobre la banda móvil se
transfiere a la esfera metálica hueca por medio de las puntas metálicas colectoras. Como el campo eléctrico dentro del conductor es
cero, la carga positiva pasa a la superficie externa de la esfera conductora, con lo que el interior de la esfera puede recibir más carga a
medida que la sube la banda. El proceso es continuo y la carga se acumula hasta que el potencial positivo en la esfera es mucho mayor
que el de la fuente de voltaje en la parte inferior (del orden de millones de voltios).
Figura A.1.
Figura A.2.
Figura A.4.

 Por las chimeneas de las plantas siderúrgicas y químicas así como en las plantas cementeras o en las centrales
térmicas salen continuamente grandes cantidades de compuestos gaseosos contaminantes y pequeñas partículas
sólidas, que son las cenizas más volátiles producidas durante la combustión. El filtro o precipitador
electrostático (figura A.5), un tubo metálico colocado en las chimeneas, se utiliza para recoger las partículas
sólidas en suspensión. La pared exterior del tubo está conectada a tierra, mientras que un alambre conductor
central se mantiene a una tensión negativa muy grande; esto ocasiona en el interior del tubo continuas descargas
eléctricas que ionizan las partículas que hay en el humo cargándolas con un exceso de electrones; las partículas
cargadas son aceleradas hacia la pared metálica exterior, contra la que acaban chocando y cayendo hacia la tolva
inferior, de donde se extraen y eliminan. Estas cenizas pueden emplearse en la fabricación de cemento y otros
materiales de construcción. Además de servir para evitar la contaminación, los precipitadores electrostáticos se
emplean para otras muchas aplicaciones (recuperación de las sales de plata de las películas y del papel
fotográfico, ahumado rápido de los alimentos,...).
 El funcionamiento de las fotocopiadoras e impresoras láser se basa en las propiedades semiconductoras del
selenio (proceso conocido como xerografía) (figura A.6).
Cuando éste se ilumina conduce la electricidad, pero en la
oscuridad se comporta como un aislante. En el interior de la
fotocopiadora se encuentra un tambor de aluminio
recubierto por una capa de óxido de aluminio y por otra capa más externa de
selenio, la cual se carga positivamente antes de comenzar a realizar la fotocopia. A
continuación se ilumina el documento que se quiere copiar y su imagen se
proyecta sobre el tambor. Las zonas iluminadas del tambor se descargarán y las
oscuras permanecerán con carga positiva debido a las propiedades del selenio. De
esta forma se produce sobre el tambor una imagen latente del documento a copiar
formada por cargas positivas. Si se deposita sobre el tambor un polvo negro, el
toner, cargado negativamente con anterioridad, será atraído a las zonas de carga
positiva del tambor y repelido de las restantes. De esta manera se tendrá sobre el tambor una imagen latente formada por toner. Al
colocar sobre el tambor una hoja de papel cargada positivamente, el toner será transferido desde el tambor y formará la imagen sobre
el papel. Un breve calentamiento del papel funde el toner y lo pega al papel produciendo una fotocopia lista para su utilización.
 Las impresoras de chorro de tinta utilizan un oscilador ultrasónico que convierte el chorro de tinta en un haz de gotas. El
ordenador regula la carga positiva de un cilindro por el cual pasan las gotas. Cada una de ellas adquirirá una carga diferente de
acuerdo con las instrucciones del ordenador sobre la carga del cilindro. A continuación, las gotas cargadas atraviesan unas placas
deflectoras sobre las que existe una diferencia de potencial constante, con lo que cada gota será desviada verticalmente de forma
diferente según la carga que adquirió en el cilindro y lanzada hacia una hoja de papel. De esta manera se pueden formar los diferentes
caracteres.
 El tubo de rayos catódicos (CRT, de Cathode Ray Tube, sus siglas en inglés, figura A.7) permitió al inglés J.J. Thomson descubrir el
electrón en 1.897. El tubo de rayos catódicos de un TV, monitor u osciloscopio convencional
consiste en un tubo en cuyo interior se ha practicado un alto vacío y en uno de cuyos extremos
hay un filamento C que al calentarse emite electrones. Dicho filamento (cátodo), está conectado
a un potencial negativo con respecto a la rejilla A (ánodo), lo que crea un campo eléctrico
dirigido de A a C que acelera los electrones hacia A. El haz de electrones atraviesa el ánodo
perforado A y, mediante la aplicación de campos eléctricos (o magnéticos) variables,
perpendiculares entre sí y perpendiculares al eje del tubo, se controla su movimiento y
su impacto sobre una pantalla fosforescente P, una pantalla recubierta de un material
que emite luz visible cuando se bombardea con electrones. Este aparato es útil para
visualizar señales eléctricas periódicas, muchas veces obtenidas de la transformación de
señales acústicas y ópticas.
Para su aplicación en pantallas de TV y en monitores de ordenador, el viejo CRT ha
sido superado por las actuales pantallas planas de plasma y LCD:
- Una pantalla de plasma (figura A.8) posee muchos elementos comunes con una TV
convencional. En estas pantallas se iluminan pequeñas áreas fosforescentes para crear la
imagen. Cada punto en la pantalla, o píxel, lo integran tres luces o celdas: roja, verde y
azul. Al igual que en CRT, las plasmas varían las intensidades de luz en cada punto para
generar una buena gama de colores. Pero… ¿por qué se les llama “plasma”? Cada
elemento fosforescente en la pantalla posee un componente básico: un celda con gases
nobles (xenón y el neón) que al pasar la corriente eléctrica se ioniza (estado de plasma),
iluminándose (lo mismo que sucede dentro de un tubo fluorescente). Cada pantalla de
plasma posee miles de pequeñas celdas. Por la combinación de intensidades de luz en
cada celda de las tres que componen cada píxel, es factible generar una amplia gama de
colores.
- Una pantalla LCD (de Liquid Crystal Display, pantalla de cristal líquido, figura A.9)
utilizan una solución de moléculas de cristal líquido contenida entre dos placas
transparentes que, a través de un arreglo de transistores delgados (el famoso TFT, Thin
Film Transistor), uno por cada color de cada píxel, reciben voltaje y son polarizadas.
Cuando la corriente eléctrica pasa a través de las moléculas de cristal, éstas cambian su
forma y filtran la luz para formar la imagen. Como estos cristales realmente no emiten luz, sino que simplemente permiten que pase a
través de ellos o no, estas pantallas no producen ninguna radiación. Además de su reducido tamaño, su principal ventaja frente a las
Figura A.5.
Figura A.6.
Figura A.7.
Figura A.8.
Figura A.9.

pantallas CRT o de plasma es el ahorro de energía y su vida útil es más larga.
 Los aceleradores lineales de partículas (LINAC, linear accelerator) se fundamentan en el tubo de rayos catódicos descrito
anteriormente y tienen una aplicación fundamental en el campo de la Física nuclear. Los LINAC proporcionan a la partícula cargada
pequeños incrementos de energía cinética cuando pasa a través de una secuencia de campos eléctricos alternos. En 1.928 se construyó
el primer acelerador lineal, que aceleraba iones de potasio hasta una energía de 50.000 eV. El acelerador lineal de la universidad de
Stanford es el más largo entre los aceleradores de electrones; mide 3,2 km de longitud y proporciona una energía de 50 GeV (5·1010
eV).
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los autores. Te facilitarán el estudio y la comprensión de los conocimientos tratados en esta unidad.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PLANTEADAS EN LA UNIDAD.
A.1.1. Se desvía ligeramente el chorro de agua. Se produce una electrización por inducción.
A.1.2. El objetivo es neutralizar la electrización del camión por frotamiento con el aire.
A.1.3. Porque en el aire siempre existe un número pequeño de iones positivos y negativos. Cuando se coloca en el aire un cuerpo cargado, éste
atrae a los iones del aire circundante que posean carga opuesta a la suya, tomando de ellos o cediéndoles electrones (según sean dichos iones
negativos o positivos), con lo que se neutraliza su carga.
A.1.4. 12
10·25,6 

total
atransferid
q
q
. Observa como la carga transferida representa una fracción mínima del total.
A.2.1. Fe= 2,27·1039
·Fg A.2.2. 3´ rr  A.2.3. 9´ FF 
A.2.4. a) Fuerzas en valor absoluto (aplicando ley de Coulomb): N
r
ee
KFF 8
221 10·61,4
2·
· 
 . Fuerzas como
vectores: NjF
 8
1 10·61,4 
 ; NiF
 8
2 10·61,4 
 ; NjiFFF )(10·61,4 8
21

 
(F = 6,52·10-8
N,
º45
x
y
OX
F
F
arctg
b) Fuerzas en valor absoluto: N
r
ee
KF 8
21 10·15,1
2
·
· 
 ; N
r
ee
KF 8
22 10·61,4
·2
· 
 . Fuerzas como vectores:
   NjiNjseniF

 
·10·13,8)º45()º45cos(·10·15,1 88
1
; NiF
 8
2 10·61,4 
 ;
NjiFFF
 88
21 10·13,810·80,3 
 (F = 3,88·10-8
N, º192
x
y
OX
F
F
arctg ). En módulo, la fuerza neta o resultante también se puede
calcular directamente mediante el teorema del
coseno: la expresión: ),cos(2 2121
2
2
2
1 FFFFFFF

 .
A.2.5. Como se observa en la figura adjunta, debe cumplirse: NTPFe 0

. Luego: senTTF xe · ;
·cosTTP y  ; tg
P
Fe
 ; tg
rgm
qK
2
2
··
· ;
K
tgrgm
q
··· 2
 ; en nuestro caso:
  CC
tgsen
q 17,010·70,1
10·9
º5·º5·2·81,9·10 7
9
22
 

. Por tanto:
cos
·gm
T  ;
 NjseniTT

)º90()º90cos(   ; en nuestro caso: NT 2
2
10·85,9
º5cos
81,9·10 

 ;
NjiT
 23
10·81,910·58,8 
 ( º95OX ).
A.3.1. a) Aplicando la ley de Coulomb:
 
N
r
qq
KFF 1350
10
10·5·10·3
·10·9
·
· 22
66
9
2
21
1221 



; b)
 
CN
r
q
K
q
F
E /10·70,2
10
10·3
·10·9· 8
22
6
9
2
1
2
21
21 




A.3.2. Campos en valor absoluto: CN
r
q
KEE /25,11
08,0
10
·10·9·
10
9
221 

. Campos como vectores: CNjiE /)(95,71

 ;
CNjiE /)(95,72

 ; CNiEEE /91,1521

 (E = 15,91 N/C, º180OX ).
NiiEqF
 910
10·18,3)91,15)·(10·2(· 
 (F = 3,18·10-9
N, º0OX ).
A.3.3. Campos en valor absoluto: CN
r
q
KEE /30
3
10·3
·10·9· 2
8
9
231 

; CN
r
q
KE /15
3·2
10·3
·10·9
2
· 2
8
9
22 

.
Campos como vectores: CNiE /301

 ; CNjiE /)(2·5,72

 ; CNjE /303

 ;
CNjiEEEE /)·(61,40321

 (E = 57,43 N/C, º45OX ).
A.3.4. El campo se anula a 2d/3 m a la izquierda de la carga negativa y en la línea que une a ésta con la otra carga,
situada a la derecha.
A.3.5. a) CNjE /962.1

 (E = 1.962 N/C, º90OX ; es decir, en sentido opuesto a g
 ); b) La partícula se aleja de la Tierra aceleradamente:
2
/81,9 smja

 ; c) La partícula se acerca a la Tierra aceleradamente: 2
/62,19´ smja


a)
b)

A.3.6. Teniendo en cuenta que
m
Eq
m
F
a

 ·
 ; se llega a que:
Na
Cl
Cl
Na
m
m
a
a





, o sea:   ClNa
aa

·54,1
A.4.1. J
rr
KQqE
AB
p
2
10·86,4
11
· 






 ; JEW pBA
2
10·86,4 
  . El trabajo es negativo porque el proceso de separar las cargas que
tienden a atraerse no es espontáneo; se realiza en contra de las fuerzas del campo por algún agente externo.
A.4.2. eVJEEEEE ppppp 14410·3,23 17
12231312   (La pE del conjunto de los tres electrones representa el trabajo a realizar por las
fuerzas del campo para llevar los electrones desde la posición que ocupan hasta el hipotético infinito; este trabajo de las fuerzas del campo es
positivo dado que se trata de una transformación espontánea, separar cargas del mismo signo).
A.5.1. a) 0 N/C; 2.250 V; b) 0 N/C; - 2.250 V; c) i

250.56 N/C; 0 V.
A.5.2. a) Campo nulo a d/3 m del lado interno de q, en la línea que contiene a q y 4q; el potencial no puede ser nulo; b) Campo nulo a d m del
lado exterior de q, en la línea que contiene a q y 4q; el potencial nulo a d/5 m del lado interno de q, en la línea que contiene a q y 4q.
A.5.3. a) 13.500 V; b) 2,7·10-2
J; c) - 2,7·10-2
J (el trabajo a realizar va en contra de las fuerzas del campo, pues el proceso de acercar cargas
del mismo signo no es espontáneo)
A.5.4. 1°) a) i

720 V/m; 0 V; b) i

760.5 V/m; 0 V; c) i

560.2 V/m; 4.800 V; 2°) a) 0 J (desplazamiento dentro de una superficie
equipotencial); b) 1,92·
10-2
J (el trabajo a realizar va a favor del campo; las cargas negativas se mueven espontáneamente hacia potenciales
crecientes).
A.5.5. a) 0 V (forman parte de una superficie equipotencial de 2,5 m de radio); b) 0 J; c) 36 J.
A.5.6. a) 0E

N/C ; 4,68.
104
V; b) 0,468 J; c) - 0,468 J (proceso no espontáneo).
A.5.7. CNjE /10·73,1 4

 ; V=6·104
V
A.5.8. Se justifica de la relación entre campo y potencial: rdEV

 (se demuestra fácilmente al trasladar una carga un espacio
infinitesimal, r

 , por una superficie equipotencial, 0V  ; entonces 0 rE-

, lo que implica que E

y r

 son perpendiculares, luego E

es normal a las superficies de nivel).
La relación entre campo y potencial también nos dice que el vector campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes. Como las líneas
de campo señalan el sentido en que se desplazan las cargas positivas, queda claro que los protones (cargas positivas) se desplazarán en el
sentido de los potenciales decrecientes (sentido del campo) y los electrones (cargas negativas) en el sentido opuesto.
A.5.9. Su evolución viene dada por las funciones: V=Kq/r; E=Kq/r2
y F=q´·E=Kqq´/r2
, cuya
representación gráfica se muestra en la figura adjunta.
A.5.10. No, en una región donde el campo es nulo, el potencial debe ser constante y, por
tanto, no necesariamente cero.
A.5.11. V(4)= 4 V;   CNiix
r
V
-E /532







A.5.12. Superficies contenidas en el plano YZ, uniformemente espaciadas; 4·10-3
J (proceso
espontáneo); están separadas 0,02 m.
A.5.13. VB = 520 V. V/mi2.500E

 (el campo tiene el sentido del potencial decreciente).
A.5.14. a) N/Ci200

; b) - 40 V; c) - 6,4·10-18
J (proceso no espontáneo).
A.5.15. a)
 
CNiiEEE BAR /10·25,2
5
1
10
1
10
10·5
·10·9 7
2223
8
9



















(E = 2,25·107
N/C, º180OX ). b) Aplicando el PCE en
ausencia de fuerzas disipativas: JE 0 ; pc EE  ; )·(mv
2
1 2
Rs VVq  ;
m
VVq Rs )·(2
v

 ; en nuestro caso: 15,1 m/s
A.6.1. Se justifica en base a la definición de flujo como producto escalar: E·S·cosS·E 

A.6.2. VmkkjS·E 44)·( 

; o bien: VmE·S·cos 4º45·cos4·2  
A.6.3. Por la definición de flujo eléctrico:




q
r
r
q
E·S·cosS·E  2
2
4·
4
1
; o atendiendo a la ley de Gauss:

q
 . Se observa que
el flujo no depende del radio de la esfera considerada; en ambos casos:
Vm5
9
6
10·13,1
10·9·41
10



. El campo eléctrico si depende de la
distancia:
2
·
r
q
KE  ; a mitad de distancia el campo se cuadriplica; su valor en nuestro caso:
 
CNE /10·6,3
5,0
10
·10·9 4
2
6
9


, siempre dirigido
perpendicularmente a la superficie de la esfera y hacia fuera, al portar carga positiva.
A.6.4. No. El flujo a través de una superficie cerrada es nulo si no hay carga neta en su interior, pero también es nulo si entra por la superficie
el mismo flujo que sale. En este último caso hay un campo eléctrico entrante y otro saliente dentro de la superficie cerrada.
A.7.1. a) El flujo a través de la superficie se triplica, ya que el flujo es directamente proporcional a la cantidad de carga dentro de la superficie.
b) El flujo total o neto es nulo, porque el número de líneas de campo que entran y salen a través de la superficie esférica es el mismo. c) El
flujo no cambia porque todas las líneas de campo eléctrico que salen de la carga pasan a través de la esfera, sin importar su radio. d) El flujo no
cambia cuando lo hace la forma de la superficie gaussiana, porque todas las líneas de campo eléctrico que salen de la carga pasan a través de la
superficie, sin importar la forma de la misma. E) El flujo no cambia cuando la carga se mueve a otra posición dentro de la superficie, porque
todas las líneas de campo eléctrico que salen de la carga siguen pasando a través de la superficie.
A.7.2. a) CN
x
V
-E /000.6
10·2
120
2



 
. b) NEqF 16319
10·60,910·6·10·60,1· 
 . c) Dado que el campo eléctrico es
conservativo, la energía del electrón se conserva, ni gana ni pierde.
A.7.3. Debe cumplirse: NTPFe 0

. Luego: C
tggm
E
tggm
q 6
10·44,3
····2·· 




A.7.4. Dado que el anillo es circular y que la carga se encuentra repartida de forma homogénea, la simetría del caso (ver figura) nos indica que
el campo neto en el punto P tiene la dirección del eje X, pues las componentes en Y se cancelan. Por la misma razón cabe esperar que el
campo en el centro del anillo (x=0) sea nulo.
Como se observa en la figura:
r
x
r
Q
KEEx 2
·cos

  . Dado que: 22
xRr  y LQ  · ; resulta:
  2/322
··
xR
xL
KEx



 .
Para calcular el campo total debido al anillo, sumaremos (integraremos) todas las contribuciones de los elementos Q a todo lo largo
del anillo:
 



 
R
xR
xL
KE
 2
0 2/322
··
   

R
L
xR
x
K
 2
02/322
·
·
 
R
xR
x
K 

2·
·
2/322

. Como:
R
Q


2
 , resulta:
  2/322
·
xR
xQ
KE


Si x=0 es evidente que E=0 N/C. Si x>>>R, podemos despreciar el factor R frente a x en el denominador, con lo que la expresión
del campo es análoga a la que crea una carga puntual.
A.7.5. (Ver apuntes).
A.8.1. a) NjjEqF
 15419
10·810·5)·10·60,1(· 
 ; NjjgmP
 3031
10·94,8)81,9·(10·11,9· 
 (despreciable frente a
la fuerza eléctrica). b) La fuerza constante producirá un MRUA en sentido contrario al campo: 215
31
15
/10·78,8
10·11,9
10·8
smj
j
m
F
a





 

;
aplicando las ecuaciones del MRUA, resulta: 22
2
1
10·2 at ; nsst 13,210·13,2
10·78,8
10·4 9
15
2
 

;
smat /10·87,110·13,2·10·78,8v 7915
 
A.8.2. La fuerza constante producirá un MRUR en el sentido del campo: 214
31
319
/10·76,1
10·11,9
10)·10·60,1(·
smi
i
m
Eq
m
F
a





 

;
aplicando las ecuaciones del MRUA, resulta: at ovv , t·10·76,110·20 146
 ; st 8146
10·14,110·76,110·2 
 ; 2
o
2
1
·vs att  ;
cmms 14,110·14,1)10·14,1)(10·76,1(
2
1
10·14,1·10·2 2281486
 
A.8.3. 2
·63,175 xy  ; cmj

76,1 ; cmi

75,0
A.9.1. hasta A.9.3. (Ver apuntes).
A.10.1. Es importante que tengas clara esta cuestión.
Analogías:
- Ambos son campos centrales, ya que su dirección es la de la línea que une un punto con el lugar donde se encuentra la carga o la masa que crea el campo.
- Ambos son campos conservativos, porque la fuerza central solamente depende de la distancia, y no del camino seguido. Por tanto llevan asociados a cada
punto una función escalar, el potencial.
- Los campos creados en un punto por una carga puntual o una masa disminuyen con el cuadrado de la distancia de la carga o la masa al punto considerado, lo
que va a permitir describirlos de la misma forma, obteniendo teoremas aplicables a ambos.
- Las fuerzas gravitatorias y eléctricas tienen siempre la dirección del vector intensidad de campo. Ambos se representan gráficamente con líneas de campo o de
fuerza abiertas y con las superficies equipotenciales perpendiculares a aquellas.
Diferencias:
- El campo gravitatorio es universal: existe para todos los cuerpos, al estar asociado a la masa. El campo eléctrico sólo existe cuando los cuerpos tienen carga
eléctrica neta.
- El campo gravitatorio es siempre atractivo; las líneas de campo siempre se dirigen hacia la masa que crea el campo. El campo eléctrico puede ser atractivo o
repulsivo, dependiendo del signo de las cargas que interaccionen; por convenio, las líneas de campo salen de las cargas positivas y se dirigen hacia las cargas
negativas.
- El campo gravitatorio es independiente del medio que le rodea, al ser la constante de gravitación G universal. El campo eléctrico depende del medio que le
rodea, al depender el valor de la constante eléctrica K de dicho medio (su mayor valor es en el vacío; la presencia de cualquier medio material debilita la
interacción eléctrica -efecto de apantallamiento). Esto hace que sea imposible aislarse de un campo gravitatorio, pero sí sea posible aislarse de un campo
eléctrico (jaula de Faraday).
- El campo gravitatorio es muy débil comparado con el campo eléctrico, lo que se deriva del valor de la constante eléctrica K, unas 1020
veces mayor que la
constante gravitatoria G. Como consecuencia, en el estudio de los fenómenos eléctricos, los efectos gravitatorios son despreciables.
- El campo gravitatorio no se modifica si la masa que lo crea está en movimiento. Sin embargo, una carga en movimiento crea un campo magnético además del
eléctrico, como veremos en la siguiente unidad.
A.10.2. kgC
K
G
m
q
/10·61,8 11

A.10.3. (Ver A.2.5.) Debe cumplirse: NTPFe 0

. Luego: 
K
tgrgm
q
··· 2
CC
tg
79,010·93,7
10·9
º30·1·81,9·10 7
9
23
 

;

cos
·gm
T N2
3
10·13,1
º30cos
81,9·10 

 ;   jseniTT

)º90()º90cos(  Nji
 33
10·81,910·67,5 
 ( º120OX ).
A.10.4. La atracción sobre la esfera es menor, luego el período es mayor (3,138 s). La atracción sobre la esfera es mayor, luego el período es
menor (0,256 s).
A.10.5. a) 9,81 C . b) Porque hay una aceleración resultante vertical y hacia arriba de 9,81 m/s2
; 6,26 m/s.
A.10.6. ma 22
A.10.7. Negativo. Se justifica de la relación entre campo y potencial: rdEV

 . El vector campo tiene el sentido de los potenciales
decrecientes, sentido que sigue espontáneamente una carga positiva disminuyendo su energía potencial. Por tanto, si al moverse en la dirección
del campo la energía potencial de la partícula aumenta (proceso no espontáneo), la carga debe ser negativa.
A.10.8. a) Nj
4
10·64,8 
 (8,64·
10-4
N, º270OX ). b) 1,90 m/s.
A.10.9. a) -33,8 V. b) CNji /32,420,5

 (6,76 N/C, º28,140OX ). c) 9,45 J (proceso espontáneo).

A.10.10. A 2,43 m de la carga positiva, en línea con las cargas y en la parte externa del segmento que las une; - 4.583,6 V; 4,3·10-3
J (proceso
espontáneo).
A.10.11. a) 13.333 N/C; 154.641 V. b) 0,77 J . c) Nulo, pues forman parte de la misma superficie equipotencial.
A.10.12. Dada la relación entre el campo y el potencial:
r
V
-E 



 , se deduce que si el potencial eléctrico es constante, el campo es nulo.
Dada la relación: rdEV

 , se deduce que si el campo es constante, la diferencia de potencial entre dos puntos del campo es
directamente proporcional al valor del campo y a la distancia que separa los puntos, medida en la dirección de la línea de campo. Esta
diferencia de potencial será negativa si el movimiento tiene lugar en el sentido que marcan las líneas de campo, y positiva en caso
contrario.
A.10.13. 0,7 s; 2,9 m/s.
A.10.14. a) 5,93·106
m/s. b) 7.500 N/C, en la dirección y sentido en que se mueve el electrón cada vez más lento. c) –75 V (en el sentido del
campo, los potenciales son decrecientes).
A.10.15. a) -1,4·104
V. b) -2,24·10-15
J. c) smi /10·64,1 6

A.10.16. a) – 2 V. b) –3,2·10-19
J. c) 3,2·10-19
J.
A.10.17. CNi /20

; 1,28·1018
J (proceso espontáneo).
A.10.18. a) y = -3,51x2
. b) cmj

32,0 . c) º9,11
x
y
OX
v
v
arctg . d) cmj

53,4
A.10.19. a) y = -1,962x. b) mj

848,7 . c) 1,16·10-2
J. d) Aplicando el PCE en ausencia de fuerzas disipativas: JE 0 ;
JEE cp
2
10·16,1 
 . e) ViixEV 800)4)·(200( 

(al movernos a favor del campo disminuye el potencial).
A.10.20. a) Dado que q1 y q2 son iguales y de valor 1 nC, el valor de la fuerza es 9·10-11
N. b) Nulo, por simetría. c) Dado que deben igualarse
los potenciales, pasará carga la segunda esfera a la primera, quedando así: nCq1
3
4
´ , nCq´2
3
2
´
A. Final. Trabajo personal.

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