BAB 4 LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI Penerbit Erlangga Bab 4 membahas konsep limit dan turunan fungsi secara intuitif dan formal. Limit fungsi dijelaskan sebagai pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai. Turunan fungsi didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi. Berbagai rumus dan aturan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dipaparkan beserta penerapannya untuk menentukan kecepatan dan percepatan

1. BAB 4
LIMIT DAN TURUNAN
FUNGSI
Penerbit Erlangga

2. KOMPETENSIDASAR
 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu
titik dan di tak hingga.
 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung
bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam
perhitungan turunan fungsi.
 Menggunakan turunan untuk menentukan
karakteristik suatu fungsi dan memecahkan
masalah.
 Menyelesaikan model matematika dari masalah
yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan
penafsirannya.

3. A. LIMIT FUNGSI
1. Pendekatan Limit
Jika x adalah variabel pada himpunan bilangan asli { x x <
4} maka kita daapt dengan mudah menyebut anggota
terbesar himpunan tersebut, yaitu 3.
Jika x adalah variabel bilangan real, maka akan sulit bagi
kita untuk menentukan dan memastikan bilangan real
sebelum bilangan 4, bisa saja bilangan tersebut adalah
3,9999 atau 3,99999 dan seterusnya.
Untuk itu, kita dapat menyebutkannya dalam bentuk fungsi
limit.
Kunjungilah situs http://www.mathnstuff.com/math/spoken/here/2class/420/limit.htm#thelimit. Berbagai limit beserta grafiknya pada situs
ini dapat membantu untuk lebih memahami konsep limit.

4. 2. Pengertian Limit Fungsi
Perhatikan fungsi f(x) = 2x + 1, dengan x elemen R. Kita
akan menentukan f(x) dengan x bergerak mendekati 3.
Hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini:
x .... 2,98 2,99 3 3,01 3,02 ....
f(x) = 2x +1 .... 6,96 6,98 ... 7,02 7,04 ....
untuk x mendekati 3 dari arah kanan dan arah kiri, ternyata
nilai f(x) semakin mendekati 7.
Dalam kondisi limit, ditulis sebagai berikut:
Limit kanan = Limit kiri
=
=

5. Secara formal, limit didefinisikan sebagai:
, jika untuk sembarang bilangan kecil ε,
terdapat bilangan positif β sedemikian sehingga untuk yang
memenuhi berlaku .
Kunjungilah situs http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/limcondirectory/LimitConstant.html. Banyak soal-soal
tentang limit menuju suatu konstanta yang tersedia di situs ini. Tidak hanya itu, kamu juga dapat mengklik solusi dari soal-soal yang ada.

6. 3. Limit Fungsi Aljabar
Limit fungsi berbentuk
Jika variabel x mendekati c dengan c elemen R, maka cara
penyelesaiannya:
a. Langsung disubstitusikan, asalkan hasilnya bukan
bilangan tak tentu.
b. Jika telah disubstitusikan menghasilkan bilangan tak
tentu, maka langkah selanjutnya adalah difaktorkan,
disederhanakan kemudian disubstitusikan

7. CONTOH
1. Hitunglah:
a.
b.
Jawab:
a.
b.

8. 2. Hitunglah:
Jawab:

9. Limit fungsi berbentuk
Untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar yang variabelnya
mendekati , maka caranya adalah pembilang dan
penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi.

10. Untuk , nilai limit dapat ditentukan dengan cara:
a. Jika pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x), maka
b. Jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x), maka
c. Jika pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x), maka
d. Untuk berbentuk , kalikan f(x)-g(x)
dengan sekawannya, yaitu f(x) + g(x)

11. CONTOH
Hitunglah:
a.
b.

12. Jawab:
a. Pembilang dan penyebut dibagi x
b.

13. 4. Teorema Limit
4.1. Teorema Limit Utama
Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k suatu konstanta,
serta f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c,
maka:
T-1
T-2
T-3
T-4

14. T-5
T-6
T-7 , dengan
T-8
T-9
dengan , jika n genap, atau jika
n ganjil.

15. CONTOH
Hitunglah nilai limit di bawah ini:
a.
b.
c.

16. Jawab:
a.
b.
c.

17. Teorema Limit tak Hingga
Andaikan n adalah bilangan positif, k adalah suatu
konstanta, dan f serta g adalah fungsi-fungsi yang memiliki
limit di c, maka:
1
2
3
4
5
Kunjungilah situs http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/grenx/grenx.html#fehler. Klik “What is a fault? A tale that makes you
smile”. Lihat apa yang salah dari proses pelimitan itu dan jangan sampai kamu menjawab soal serupa dengan jawaban seperti itu.

18. 6
7
8
9
dengan , jika n genap, atau
jika n ganjil.
10
11

19. 5. Limit Fungsi Trigonometri
Jika Variabelnya Mendekati Sudut Tertentu
 Jika variabelnya mendekati sudut tertentu misalkan x →  cara
penyelesaiannya langsung disubstitusikan
Apabila hasilnya bilangan tak tentu, maka harus disederhanakan,
difaktorkan, kemudian disubstitusikan.
Jika Variabelnya Mendekati Nol
 Jika variabel mendekati nol, misalkan x → 0, limit fungsi
trigonometri diubah ke dalam bentuk umum sebagai berikut.
1. 3.
2. 4.

20. Beberapa identitas fungsi trigonometri yang mendukung
penyelesaian soal-soal limit adalah:
1.
2.
3.
4.

21. CONTOH
Hitunglah:
a.
b.
Jawab:
a.
b.

22. B. TURUNAN FUNGSI
1. Pengertian Turunan Fungsi
Jika suatu fungsi dinyatakan dengan y=f(x), maka laju
perubahan nilai fungsi dinyatakan dengan:
Laju perubahan nilai fungsi ini disebut fungsi turunan yang
dilambangkan f’(x) (dibaca f aksen x). Jadi,

23. Untuk a < x < b memiliki nilai maka dikatakan bahwa fungsi
f(x) mempunyai turunan dalam interval a < x < b.
Proses mencari f’(x) dari f(x) disebut penurunan atau
pendiferensialan.
Notasi lain untuk turunan fungsi adalah y’, , .

24. CONTOH
Carilah turunan fungsi f yang dinyatakan dengan
f(x) = 2x + 3 pada x = 5.
Jawab:
f(x) = 2x + 3
f(5) = 2(5) + 3 = 13
f(5+h) = 2 (5 + h) + 3 = 10 + 2h +3
f’ (x) =
f’ (5) =

25. 2. Rumus Turunan Fungsi
Turunan Fungsi Aljabar
Turunan Fungsi Khusus





26. Aturan Rantai
Jika f(x) = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi dari x yang
mempunyai turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka:

27. CONTOH
Carilah turunan dari:
a.
b.
Jawab
a. Misalkan u(x) = x3 + 4, sehingga u’(x) = 3x2 , diperoleh:
b.

28. 3. Turunan Hasil Operasi Fungsi




29. CONTOH
Tentukan turunan dari:
Jawab:
Misalkan:
Maka,

30. 4. Turunan Fungsi Trigonometri




31. CONTOH
Selesaikan turunan dari fungsi trigonometri berikut ini:
a. y = x2 sin x
b. y = sin 5x + cos 6x – sin 3x
Jawab:
a. Misalkan u = x2 → u’ = 2x
v = sin x → v’ = cos x
maka, y’ = u’v + uv’
= (2x)(sin x) + (x2)(cos x)
= 2x sin x + x2 cos x
b. y = sin 5x + cos 6x ― sin 3x
y’ = (5) cos 5x + (6)(-sin 6x) ― (3)(cos 3x)
y’ = 5 cos 5x ― 6 sin 6x ― 3 cos 3x

32. C. TAFSIRAN GEOMETRI DARI TURUNAN
1. Gradien Garis Singgung
<insert gambar 4.2, hal 158>
Apakah arti turunan f’(x) secara geometris?
Perhatikan grafik y = f(x). Titik P(x,f(x)) dan Q(x+h, f(x+h))
yang terletak di grafik y = f(x) membentuk gradien tali busur
PQ yang dinyatakan sebagai:

33. Jika h mendekati nol maka titik Q mendekati titik P sehingga
tali busur PQ menjadi gradien garis singgung di titik (x, f(x))
pada titik y = f(x). Dengan demikian gradien garis singgung
di titik P adalah sebagai berikut:
Dengan kata lain, gradien garis singgung di titik (x,y) pada
grafik y = f(x) dapat dinotasikan sebagai m, yaitu:

34. 2. Persamaan Garis Singgung
Jika titik P(x1,y1) terletak pada kurva y = f(x), maka
persamaan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut
adalah:
dimana m adalah gradien (kemiringan) garis, dengan m =
f’(x) = y’. Jika terdapat dua potong garis yang mempunyai
gradien masing-masing m1 dan m2 maka kedua garis akan:
1. saling sejajar, jika m1 = m2
2. saling tegak lurus, jika m1 . m2 = -1

35. 3. Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
<insert gambar 4.3 di hal 161>
Terlihat bahwa parabola f(x) turun dari arah kiri hingga x = a
dan naik mulai dari x = a ke arah kanan, sehingga dapat
dikatakan bahwa:
 f(x) adalah fungsi naik untuk x > a
 f(x) adalah fungsi turun untuk x < a
Pada x = a, grafik fungsi tidak naik dan tidak turun, maka
dikatakan titik (a, f(a)) adalah titik stasioner dan f(a) adalah
nilai stasioner.

36. Pengertian fungsi naik dan fungsi turun dapat didefinisikan
sebagai berikut:
1. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I, jika tiap
bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 < x2 maka berlaku
hubungan f(x1) < f(x2).
2. Fungsi f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I, jika tiap
bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 > x2 maka berlaku
hubungan f(x1) > f(x2).

37. <insert gambar 4.4, 4.5 di hal 162>
Tanda-tanda +,―, dan nol pada gambar di atas
menunjukkan tanda nilai-nilai dari turunannya atau
gradiennya.

38. Untuk menentukan interval dimana fungsi f(x) naik atau
turun dan stasioner, dapat dilakukan atas dasar nilai f’(x)
yaitu:
Jika f’(x) > 0 maka f(x) fungsi naik.
Jika f’(x) < 0 maka f(x) fungsi turun.
Jika f’(x) = 0 maka f(x) stasioner.

39. 4. Nilai Stasioner
3 jenis nilai stasioner:
1. Nilai balik maksimum, jika f’(x) berubah tanda dari positif menjadi
negatif melalui nol.
2. Nilai balik minimum, jika f’(x) berubah tanda dari negatif menjadi
positif melalui nol.
3. Nilai belok horizontal, jika f’(x) tidak mengalami perubahan tanda.
Notes:
Nilai stasioner juga
disebut nilai ekstrem
fungsi.

40. Cara lain untuk menentukan jenis-jenis nilai ekstrim suatu
fungsi f(x), yaitu dengan cara mengamati turunan kedua
fungsi tersebut pada titik-titik stasionernya, disebut sebagai
Uji Turunan Kedua.
Jika f’’(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f.
Jika f”(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f.
Jika f”(a) = 0 maka nilai stasioner f(a) belum dapat ditetapkan.

41. D. PENERAPAN TURUNAN FUNGSI
(DIFERENSIAL)
Contoh:
1. Suatu benda bergerak menempuh jarak s meter dalam
waktu t detik dengan persamaan s = t3 – 3t2 + 3t +5.
Hitunglah:
a. kecepatan benda tersebut setelah 3 menit,
b. percepatan benda setelah 2 menit,
c. waktu (t) yang diperlukan agar kecepatannya nol.
Kunjungilah situs http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcl/derivativeinterp.aspx. Pelajari contoh soal tentang volume air dalam tangki
yang menggunakan konsep turunan yang ada di situs tersebut..

42. Jawab:
s = t3 – 3t2 + 3t + 5
Kecepatan (v) = = 3t2 - 6t + 3
Percepatan (a) = = = 6t – 6
a. pada t = 3 → v = 3(3)2 – 6(3) + 3 = 12 m/detik
b. pada t = 2 → a = 6(2) – 6 = 6 m/detik2
c. =0→ 3t2 – 6t + 3 = 0
(3t – 3) (t – 1) = 0
t1= 1 atau t2 = 1
Jadi, t1 = t2 = 1 detik kecepatan benda tersebut sama dengan
nol.