FUNGSI LINEAR DAN KUADRAT

Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

RELASI DAN FUNGSI

Kompetensi Dasar :
Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi

Indikator :
1. Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan
jelas
2. Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan
contohnya

Hal.: ‹#› Relasi dan Fungsi Adaptif

Hal.: 4 Relasi dan Fungsi Adaptif

RELASI DAN FUNGSI
Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi :
1.Diagram panah
2.Himpunan pasangan berurutan
3.Diagram Cartesius

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil,
sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke
himpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut
dengan:
a.Diagram panah
b.Himpunan pasangan berurutan
c.Diagram Cartesius


RELASI DAN FUNGSI
Jawab: c. Diagram Cartesius
a. Diagram panah
Y
“banyak roda dari”

1. . becak becak •
2.
. mobil mobil •
3.
. motor motor •
4. sepeda
. sepeda •
5.
. bemo bemo •

A B
O 1 2 3 4 X

b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak)
(3, bemo), (4, mobil )}


RELASI DAN FUNGSI

Pengertian Fungsi :
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi
yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan
elemen pada B

. .
.
. .
. .
. .
.
.

A B
f

RELASI DAN FUNGSI
Beberapa cara penyajian fungsi :

 Dengan diagram panah
 f : D → K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya,
un = n2 + 2n atau u(n) = n2 + 2n
 Dengan diagram Kartesius
 Himpunan pasangan berurutan
 Dalam bentuk tabel


RELASI DAN FUNGSI

Contoh : grafik fungsi
Gambarlah grafik sebuah fungsi : f: x → f(x) = x2
dengan Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}.
Y
(–2,4) (2,4)  4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan
juga dari –2.
 – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan
dilambangkan f–1(4) = 2 atau – 2.
 Grafik Kartesius merupakan grafik
fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis
(–1,1) (1,1) sejajar sumbu- Y yang memotong
grafik hanya memotong di tepat satu
titik saja.

O (0,0) X


RELASI DAN FUNGSI

Beberapa Fungsi Khusus

 1). Fungsi Konstan
 2). Fungsi Identitas
 3). Fungsi Modulus
 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi genap jika f(−x) = f(x), dan
Fungsi ganjil jika f(−x) = −f(x)
 5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar
[[ x ] = {b | b ≤ x < b + 1, b bilangan bulat, x∈R}
Misal, jika −2 ≤ x < −1 maka [[x] = −2
 6). Fungsi Linear
 7). Fungsi Kuadrat
 8). Fungsi Turunan


RELASI DAN FUNGSI

Jenis Fungsi

1. Injektif ( Satu-satu)
Fungsi f:A→B adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen
yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang
berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu
dan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).

2. Surjektif (Onto)
Fungsi f: A→B maka apabila f(A) ⊂ B dikenal fungsi into.
Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif.
Fungsi f(x) = x2 bukan fungsi yang onto
3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Apabila f: A→ B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka
“f adalah fungsi yang bijektif”


FUNGSI LINEAR

1.Bentuk Umum Fungsi Linear
Fungsi ini memetakan setiap x ∈ R kesuatu bentuk ax + b dengan
a ≠ 0, a dan b konstanta.

Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan
Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta

2. Grafik Fungsi Linear
Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 :
1. Dengan tabel
2. Dengan menentukan titik- titik potong dengan sumbu x dan sumbu y


FUNGSI LINEAR

Contoh :
Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal
{x -1 ≤x ≤ x ∈
2, R}.
a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .
b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.
c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.
Jawab
a. Ambil sembarang titik pada domain

X -1 0 1 2
Y = 4x-2 -6 -2 2 6

Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)


FUNGSI LINEAR
Y c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )
b.
y = 4x – 2
⇔ 0 = 4x - 2
6 •
⇔ 2 = 4x
⇔x = 1
2
2 • Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)

1 2 X
-2 -1 O Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 )
y = 4x – 2
• -2 ⇔ y = 4(0) – 2
⇔ y = -2

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)
• -6


FUNGSI LINEAR
3. Gradien Persamaan Garis Lurus
Cara menentukan gradien :
(i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.
−a
(ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m=
b
(iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya adalah
y2 − y1
m=
x2 − x1

Contoh :
1. Tentukan gradien persamaan garis berikut
a. y = 3x – 4
b. 2x – 5y = 7
2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)


FUNGSI LINEAR

Jawab :
1a. Y = 3x – 4
gradien = m = 3

b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5
−a 2
m = = -
b −5
2. m = y2 − y1
x2 − x1
6− 3
=
1 − ( − 2)

6− 3
=
1+ 2

= 1


FUNGSI LINEAR

4. Menentukan Persamaan Garis Lurus
 Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m adalah
y – y1 = m ( x – x1 )
 Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah
y − y1 x − x1
y2 − y1 = x2 − x1

Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2

Jawab :
y – y1 = m ( x – x 1 )
y – 1 = -2 ( x – (-2))
y - 1 = -2x – 4
y = -2x - 3


FUNGSI LINEAR

Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)

Jawab :
y − y1 x − x1
= x2 − x1
y2 − y1

y− 3 x+ 2
⇔
4 − 3 = 1+ 2

y− 3 x+ 2
⇔ =
1 3

⇔ 3(y – 3) = 1(x + 2)
⇔ 3y – 9 = x + 2
⇔ 3y - x – 11 = 0


FUNGSI LINEAR

5. Kedudukan dua garis lurus
 Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2
 Dua garis saling sejajar jika m1 = m2
1
 Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - m2

Contoh :
1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar
dengan garis x – 2y + 3 = 0
2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus
pada 6x – 3y – 10 = 0


FUNGSI LINEAR
Jawab :
1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0
a 1 1
⇒ m1 = − =− =
b −2 2
1
⇒ m1 = m2 maka m1 =
2
1
Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah
y – y1 = m ( x – x1) 2
⇔ y+3 =½(x–2)
⇔ y+3 =½x–1
⇔ 2y + 6 = x – 2
⇔ x – 2y – 8 = 0

Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan
melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0


FUNGSI LINEAR

2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0.
a 6
⇒ m1 = − = − =2
b −3
− 1 − 1 1
m1 ⋅ m2 = − ⇒m2 =
1 = =−
m1 2 2
Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½,
maka persamaannya adalah
y – y1 = m(x – x1)
⇔ y – 5 = -½ (x + 3)
3
⇔ y – 5 = -½x - 2
⇔ 2y – 10 = -x – 3
⇔ x + 2y – 10 + 3 = 0
⇔ x + 2y – 7 = 0
Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis
6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.


FUNGSI KUADRAT

1.Bentuk umum fungsi kuadrat
y = f(x) →ax2+bx+c dengan a,b, c ∈ R dan a ≠ 0
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris

2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Berdasarkan nilai a
(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai
ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik minimum.
(ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai
ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.


FUNGSI KUADRAT

Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4ac

Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X

(i) Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang
berbeda.

(ii) Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik.

(iii) Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung
sumbu X.


FUNGSI KUADRAT

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X

a>0 a>0
a>0 D=0
D>0 D<0

X
(i) (ii)
X (iii) X

X X

X a<0
a<0 D=0
D>0 a<0
(iv) (v) (vi)
D<0


FUNGSI KUADRAT

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

(i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

(ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

(iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik

−b
• Persamaan sumbu simetri adalah x =
2a
• Koordinat titik puncak / titik balik adalah 
 −b − D
, 
 2a 4a 
(iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan)


FUNGSI KUADRAT
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.
Jawab
:
(i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0)
x2 – 4x – 5 = 0
⇔ (x + 1)(x – 5) = 0
⇔ x = -1 atau x = 5
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0).

(ii) Titik potong dengan sumbu Y (x = 0)
y = 02 – 4(0) – 5
⇔= -5
y

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )


FUNGSI KUADRAT
(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik

− b − (−4) 4
x= = = =2
4a 2(1) 2
− D − ((−4) 2 − 4(1)(−5))
y= = = −9
4a 4(1)

Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).

(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8.
Jadi, titik bantunya (1, -8).


FUNGSI KUADRAT

Grafiknya :
Y
• • X
-1 0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5 • •
-6

-7

-8
• •

-9 •


FUNGSI KUADRAT
Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi
melalui tiga titik
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)

Jawab:
f(x) = ax2 + bx + c
f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4
⇔ a + b + c = -4 . . . 1)
f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3
⇔
0 + 0 + c = -3
⇔ c = -3 . . . 2)
f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5
⇔ 16a + 4b + c = =5 . . . 3)

FUNGSI KUADRAT
Substitusi 2) ke 1)
a + b – 3 = -4
⇔ a + b = -1 . . . 4)
Substitusi 2) ke 3)
16a + 4b – 3 = 5
⇔ 16a + 4b = 8 . . . 5)

Dari 4) dan 5) diperoleh :
a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4
16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _
-12a = -12
a = 1

Substitusi a = 1 ke 4)
1 + b = -1
b = -2
Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3


FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c apabila
diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu
titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut .

f ( x) = a( x − x )( x − x )
1 2

Contoh :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong
sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu
Y di titik (0,3)


FUNGSI KUADRAT

Jawab :
f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )

Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :
f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)
Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :
3 = a(0 - 1)(x + 3)
3 = -3a
a = -1
Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :
f ( x) = −1( x − 1)( x + 3)
= −1( x 2 + 2 x −3)
f ( x) = − x 2 − 2 x + 3
Jadi fungsi kuadratnya adalah f ( x) = − x 2 − 2 x + 3


FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c
apabila diketahui titik puncak grafik (x p’ y p ) dan
satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus
berikut.

f ( x) = a( x − y p ) + y p
2


FUNGSI KUADRAT

Contoh :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan
melalui (3, -7)

Jawab :
f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9)

f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1)

Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi :
-7 = a(3 + 1)2 + 9
⇔= 16 a
-16
⇔ 1 a=


FUNGSI EKSPONEN

• 2– 3
–3•
f(x) =2 X • 2–2
X –2 •
–1• • 2– 1
0• • 20
1• • 21
2• • 22
3• • 23
... ...
n• • 2n

D = domain K = kodomain

FUNGSI EKSPONEN
Y

Grafik f: x → f(x) = 2x • (5,32)
•

untuk x bulat dalam [0, 5]
2x

adalah:

x 0 1 2 3 4 5
• (4,16)
•

F(x)=2x 1 2 4 8 16 32

• (3,8)
•

• (2,4)
•

• (1,2)
•
• (0,1)

Hal.: 37 Relasi dan Fungsi
O Adaptif
X

FUNGSI EKSPONEN

x
dan g(x) = 1 
X  
Grafik f(x) = 2 2



Y
7
x
1


2
6
 f(x)= 2
x

g(x)
 1 x 5
=
 
 2 4
3
2
1

–3 –2 –1 O 1 2 3 X


FUNGSI EKSPONEN

Sifat Kedua grafik melalui titik (0, 1)

Y Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y
7
x
1
 Grafik f: x → 2x merupakan grafik x

2
6
 f(x)= 2
x
1 
naik/mendaki dan grafik g: x → 2 
1 x
 
 5
g(x) =
  merupakan grafik yang menurun, dan
2
  4
keduanya berada di atas sumbu X
3
(nilai fungsi senantiasa positif)
2
1 Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai
x
1 
nilai 2 dan nilai  
x

–3 –2 –1 O 1 2 3 X 2 
untuk berbagai nilai x real

Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui.
Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.


FUNGSI LOGARITMA
 Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen.
Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi
eksponen.

Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut :

f ( x)= log x
a

Untuk a > 1, a ∈
R


FUNGSI LOGARITMA

Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma
adalah sebagai berikut :

Y
y = ax

y = a log x

X
o


FUNGSI LOGARITMA

Contoh 1 :

Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen
a. 8 = 23
b. ¼ = 2-2
Jawab :
a. 8 = 23 ⇒ log 8 = 3
2

b. ¼ = 2-2 ⇒2 log ¼ = -2
Contoh 2 :
Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang ekuivalen
a. 4 = 2 log 16 1
b. -6 = 2 log 64
Jawab :
a. 4 = 2log 16 ⇒ 24 = 16
b. -6 = 2log 64 ⇒ 2-6 =
1 1
64


FUNGSI LOGARITMA
Contoh 3 :

Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2
Jawab :
Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut.

x f(x) = 2 log x+2
¼ 0
½ 1
1 2

2 3
4 4

8 5


FUNGSI LOGARITMA

Grafiknya

Y
6
5 f ( x)= 2 log x + 2
4

3

2

1
X
-1 -2 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


FUNGSI TRIGONOMETRI

Grafik y = sin x
1
amplitudo

0 900 1800 2700 3600

-1

1 periode


FUNGSI TRIGONOMETRI

Periode 3600 Grafik y = 2 sin x

2
Amlpitudo 2
1

0 900 1800 2700 3600

-1 Y=sin x

-2


FUNGSI TRIGONOMETRI

Grafik y = sin 2x
pereode
1
amplitudo

0 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600

-1
Y=sin x


FUNGSI
TRIGONOMETRI
Grafik y = cos x

1
amplitudo
π -900
-900 00 900 1800 2700

-1

1 periode


FUNGSI TRIGONOMETRI

Grafik y = 2cos x

periode
2
amplitudo
1
-900
00 900 1800 2700
-1
Y=cos x
-2


FUNGSI LINEAR DAN KUADRAT

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à FUNGSI LINEAR DAN KUADRAT

Similaire à FUNGSI LINEAR DAN KUADRAT (20)

Plus de Eko Supriyadi

Plus de Eko Supriyadi (20)

FUNGSI LINEAR DAN KUADRAT