2. Dossier de Ejercicios
Presentación
Este Dossier es elaborado para solucionar
ejercicios de Cálculo Integral aplicando fórmulas de
la Integral Indefinida, como herramienta en la
estimación de variables en las ciencias exactas.
Contenido
1
1 Antiderivada 2
2 Cambio Acumulado 3
3 Integral Indefinida 4
4 Integral de Potencia 4
5 Integral de Logaritmo Natural 5
6 Integral de una Constante 6
7 Integral de Cambio de Variable de Función Trigonométrica 6
8 Separar “x” 7
9 Integral de Sumas y Restas 7
10 Integral de Constante y Variable 7
11 Integral de Función Trigonométrica 8
12 Integral por Sustitución o Cambio de Variable 8
13 Integral por Sustitución o Cambio de Variable con 9
compensación
14 Integración por Partes 9
Rosendo Gutiérrez Bonilla
3. Dossier de Ejercicios
Ejercicio 2
Sea
La diferencial en estimación de errores y Su derivada es
aproximaciones de variables.
6x
Integración de funciones algebraicas y
Aplicando la diferencial
trascendentes
∫
Se encuentra la antiderivada
Ejercicio 1 ∫
Sea
Su derivada es 2
2x
Razonamiento
Aplicando la diferencial
Se deriva aplicando la fórmula 4 para
∫ calcular derivadas con potencia1, al tener la
derivada resolvemos con la fórmula de
Se encuentra la antiderivada antiderivada, así obtenemos el valor de la
función original.
∫
Razonamiento
Derivamos utilizando la fórmula para
derivadas con potencia1 y resolvemos aplicando
la antiderivada para volver al valor de la función
original al aplicar la fórmula de la diferencial.
1 Regla de la potencia, Cálculo, James Stewart, ed. 6, Pág. 174
Derivada de una función de potencia
Rosendo Gutiérrez Bonilla
4. Dossier de Ejercicios
Ejercicio 2
Un auto viaja con velocidad creciente, al medir
la velocidad se obtiene la siguiente información.
t(s) 0 10 20 30 40
vel 1km 2km 3km 4km 5km
Calcular la distancia que ha recorrido el
vehículo.
Ejercicio 1
Solución.
En un periodo de 12 horas se venden 300 litros
de gasolina por hora. Calcular cuántos litros se Estimación de menos
venden en total al fin del periodo.
1(10) + 2(10) + 3(10) + 4 (10) = 100 km
t 0 3 6 9 12
Estimación de más
lts 300 900 1800 2700 3600
2(10) + 3(10) + 4 (10) + 5 (10) = 140 km
3
Estimación de menos
300 (3) + 900 (3) + 1800 (3) + 2700 (3) =
17 100 lts Por lo tanto:
Estimación de más 100 km = distancia recorrida < 140 km, con una
900 (3) + 1800 (3) + 2700 (3) + 3600 (3) = diferencia de 40 km entre la estimación de más
y la de menos.
27 000 lts
Por lo tanto:
17 100 lts = venta total < 27 000 lts, con una
diferencia de 9 900 lts entre la estimación de
más y la de menos.
Rosendo Gutiérrez Bonilla
5. Dossier de Ejercicios
Para resolver integrales, se aplican las formulas Formula ∫√
de la integral indefinida2, las cuales se presentan
en la solución de cada ejercicio, de acuerdo al
tipo de integral que se resuelve.
Ejercicio 1
∫√
Se resuelve para quitar la radical y obtenemos
Fórmula ∫
√ = dx
Resolvemos aplicando la fórmula de la integral
Ejercicio 1 indefinida donde
Sea fx = 16x4 u=
u=16x4
Por lo tanto ∫
4
Entonces: ∫
Igualamos con 1 al numerador para dividir y así
retirar la fracción del denominador, tenemos
Ejercicio 2 que:
Sea fx = 4x3
u=4x3
Entonces: ∫
O bien
= x4
√
2 Tabla de Integrales Indefinidas, Cálculo, James Stewart, ed. 6, Pág. 392
Integrales Indefinidas
Rosendo Gutiérrez Bonilla
6. Dossier de Ejercicios
Ejercicio 2
∫√
Fórmula
Resolvemos quitando la radical y obtenemos
Ejercicio 1
√ =
∫
Resolvemos aplicando la fórmula de la integral
indefinida donde Resolviendo
u=
∫( )
Tenemos que
Resolvemos el exponente ubicado en el
∫ denominador para hallar la integral que
debemos resolver. Aplicamos leyes de los
exponentes3 como se presenta en Algebra I de
Ramiro González Cárdenas (a-n=1/an) para
5
resolver con lo que tenemos que
Igualamos con 1 al numerador para dividir y así
retirar la fracción del denominador, tenemos
que:
Así tenemos que
∫ ∫
Resolvemos aplicando la fórmula de la integral
indefinida donde
u=
Tenemos que
O bien
∫
√
(x)
3 Potencias, Algebra I, Ramiro González Cárdenas, Pág. 82
Leyes de los exponentes
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7. Dossier de Ejercicios
Ejercicio 2
Sea
Tenemos que
Fórmula ∫
∫( )
Resolviendo
Ejercicio 1
∫ ∫ ∫
Aplicamos la fórmula de la integral indefinida
donde Donde
u= u=6x
du=6
Resolviendo
6
∫
Ejercicio 2
∫
Fórmula ∫ Donde
u=3ax
Ejercicio 1 du=3a
Sustituimos y resolvemos Resolviendo
∫ ∫ ∫
Ejercicio 2
∫
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8. Dossier de Ejercicios
Ejercicio 1
∫ ) dx
Resolviendo tenemos que
Fórmula ∫√
Ejercicio 1 ∫ ∫ ∫ =x
Aplicando la fórmula
√ dx
Resolvemos √ aplicando leyes de los + ∫
radicales4 como lo explica Ramiro González
Cárdenas en Algebra I, por lo que tenemos que +
√
Ejercicio 2
Por lo tanto
∫ )dx
√ dx= Resolviendo tenemos que
Ejercicio 2 ∫ ∫ ∫ =x ∫ =x 7
√ dx Aplicando la fórmula
Radicando tenemos que
+
√ dx= +
Fórmula ∫ ∫
Ejercicio 1
Fórmula ∫ ∫
Donde
u=12x
∫
4 Radicación, Algebra I, Ramiro González Cárdenas, Pág. 87
Leyes de los Radicales
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9. Dossier de Ejercicios
∫ ∫
Fórmula ∫
Ejercicio 2
∫ Ejercicio 1
Donde ∫
u=6x Donde
∫ ∫ u=
du=6xdx
Aplicando la fórmula tenemos que
∫
8
Ejercicio 2
Fórmula ∫
∫
∫
Donde
u=
Ejercicio 1
du=6x2dx
∫
Aplicando la fórmula tenemos que
Ejercicio 2 ∫
∫
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10. Dossier de Ejercicios
Fórmula ∫ ∫
Fórmula ∫
Ejercicio 1
Ejercicio 1 ∫ ∫
∫
Donde Donde
u=
du=6
Se observa que la derivada de u (du) no Resolviendo tenemos que
corresponde con lo dado en la integral a
resolver, se compensara con 6 (valor de du) al
resolver la integral, con lo que se obtiene
∫ ∫ 9
∫ ∫ ∫
Al resolver tenemos que
Aplicamos la fórmula de la integral de una
∫
función trigonométrica que nos indica:
∫ para resolver
∫ con lo que obtenemos
∫
Resolvemos multiplicando y tenemos Con lo cual complementamos que
∫ ∫
O bien
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11. Dossier de Ejercicios
Ejercicio 2 Bibliografía
1 Regla de la potencia, Cálculo, James Stewart, ed. 6, Pág. 174
∫ ∫ Derivada de una función de potencia
2 Tabla de Integrales Indefinidas, Cálculo, James Stewart, ed.
6, Pág. 392
Donde Integrales Indefinidas
3 Potencias, Algebra I, Ramiro González Cárdenas, Pág. 82
Leyes de los exponentes
4 Radicación, Algebra I, Ramiro González Cárdenas, Pág. 87
Leyes de los Radicales
Resolviendo tenemos que
∫ ∫
∫ ∫
Aplicando la fórmula de la integral de una
función trigonométrica tenemos que
∫ 10
Con lo cual complementamos que
∫ ∫
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