Construindo poliedros com alunos

http://www.prof2000.pt/users/eldita
A construção de um Objeto
de desejo do aluno?
ou…
Elda Vieira Tramm
EMFoco/UFBA
etramm@gmail.com www.grupoemfoco.com.br
V CIEM
22 outubro de 2010
ULBRA Canoas/RS · Brasil
IMPORTANTE ALIADA NA PRÁTICA DA MATEMÁTICA
AVANÇADA PARA ALUNOS ELEMENTARES

ONDE e COMO NASCEU
Concurso do AMM2000 - Portugal
Tema: Poliedros
População alvo: professores da
Escola Básica do 1º ciclo
escola/currículo/alunos

Instituto Freudenthal - www.fi.ru.nl

Que a Matemática euclideana não é um
objeto ideal para se pensar dedutivamente.
Prof. Freudenthal defendia:
(meus pressupostos)
A inclusão da geometria, o mais cedo
possível, na aprendizagem da Matemática.
A Matemática é uma atividade humana e a
melhor forma de aprender uma atividade é
executá-la , reinventá-la, recriá-la(...)

A geometria (espaço e plano) se
presta muito bem para a
matematização da realidade do aluno
pois a criança vive uma ótima
oportunidade de experimentar a
organização local (espaço), e com
“boas” experiências ela (re)descobre
idéias matemáticas.
Conclui que:
(Tramm, 2000)

Prof. Freudenthal defendia que:
(meus pressupostos)
Em vez de proceder de maneira
antididática, devia-se reconhecer que o
aprendiz tem o direito de recapitular, de
certa forma, o processo de aprendizagem
da humanidade (...) (Freudenthal, 1983)

Vamos construir uma bola de
futebol?

Então precisamos
Investigar a BOLA
o objeto de estudo
Ficha 1

O que
descobrimos?

Destas conclusões nasce mais
investigação/ mais DESAFIOS
É formada por hexágonos e pentágonos
O pentágono é arrodeado por hexágonos
O lado do pentágono é o mesmo do hexágono
portanto a aresta tem a mesma medida.
Tem .... pentágonos e ... hexágonos

Por que é que a bola de futebol é formada por
hexágonos e pentágonos?
Por que é formada de ....(X) pentágonos e ...(Y)
hexágonos?
Então ...
Convidamos você para fazer
novamente uma investigação
matemática , agora com o que você
descobriu (aresta tem a mesma medida
-regras/limites).

Ficha 2 Ficha 3

Investigação dos poliedros....
D
E
S
C
O
B
R
I
N
D
O
P
A
D
R
Õ
E
S
Regularidades

Nomeando!!! Etiquetando!!!

Registrando em tabelas...

Mais SURPRESAS!!!
Investigando o porquê
não fica em pé,
REINVENTANDO DURO!!?

Inventando uma solução
REINVENTANDO.
balão transferidor
As soluções dependem da vivência dos
alunos

(...) Estou surpreso com
a "conjectura do balão"
embora seja muito
engraçada, não deixa
de ser um sinal de
criatividade incomum.
Sem falar na atitude sensata de não
desvalorizar uma solução funcional.
Fellipe Antônio disse...em 13 de novembro de 2008 03:54

E da arrumação (classificação) ?
brota os “certinhos”, ops!, os
“Poliedros de Platão” (surpresa)

Polígonos
(com lados iguais)
Poliedros
formados por
polígonos
Elementos do poliedro
(quantidade)
Faces Arestas Vértices
Triângulos (3 lados) Tenda 4 6 4
Triângulos Diamante 6 9 5
Triângulos Abajour 12 24 10
Triângulos Balão 8 12 6
Triângulos Pião 10 15 7
Triângulos Bola 20 30 12
Quadrados(4 lados) Cubo 6 12 8
Pentágono (5 lados) Invenção 12 30 20
Hexágonos (6 lados) Não forma - - -
Preparando para o salto ( formalizando)
Eis a tabela...
O que você observa?

• As faces (F) crescem de 2 em 2
• Arestas (A) – crescem de 3 em 3
• Vértices (V) – crescem de 1 em 1
• Alguns poliedros tem a seguinte propriedade: de
cada vértice parte o mesmo número de arestas
• Estes poliedros formam um grupo onde existe
uma lei que relaciona os seus elementos (F, A
e V) que é F + V – A = 2 (Euler)
As regularidades encontradas...
Estes poliedros foram chamados pelos
alunos de “certinhos” e pelos matemáticos de

O objetivo (do professor) é a formalização
dos certinhos!!!! (salto ou zona proximal)
Formalizacão/Salto
Fórmula
de
Euler?!
F + V – A = 2?

O que estes poliedros significam?
É hora da História….e de pesquisa
Curiosidade!!! Eis a aprendizagem significativa
Tetraedro
Hexaedro/
Cubo
Octaedro
Dodecaedro Icosaedro

Poliedros Elementos
F V A
Tenda 4 4 6
BOLA 20 12 30
Cubo 6 8 12
Balão 8 6 12
Invenção 12 20 30
Por que são certinhos? Por que o Icosaedro é
a bola?

O Icosaedro é a BOLA!!!
I
C
O
S
A
E
D
R
OProfessores do Ensino Fundamental ( 1ª a 4ª)
Nasce a pergunta: Como torná-lo mais
redondo?

Professores do Ensino Fundamental (1ª a 4ª)
Corta os bicos do icosaedro!!!
Nasce A BOLA !!!
Surgem os
triângulos
sem bicos!
Ficha 3

E o PORQUE ela é formada de
hexágonos e pentágonos.Quantos ?
O triângulo equilátero (face)
se transforma no hexágono
Dos vértices nascem os
pentágonos
20 Faces= hexágonos,
12 Vértices= pentágonos

A Bola de futebol construída por
Alunos do Ensino Fundamental (3º e 4º)
O desejo do aluno influencia…
Deu trabalho mas não desistiu
Salto!!!!
Ficha 4

Bola de futebol construída por NÓS
O aluno tinha razão?!!!

Resultados - alunos
Rigidez - ângulos
Unidade de medidas
• ângulo
• comprimento
com hexágonos não é
possível construir poliedros
Descoberta de propriedades
como se fosse uma brincadeira

http://www.prof2000.pt/users/eldita Resultados - alunos
A consolidação e a transferência dos
conhecimentos trabalhados acontece de
maneira natural.
A
L
U
N
O
S
As REINVENÇÕES dependem dos
desejos e vivência dos alunos

Considerações Finais - alunos
Deu trabalho mas não
desistimos. Por que?
estávamos motivados.
Motivação é o
problema nº 1 do
ensino (professor e alunos).
Imagens falam mais que palavras
Alegria - é o que este trabalho representou
para todos os participantes envolvidos

Resultados - alunos
O grande prazer que é aprender,
manifestado desta forma A
L
U
N
O
S

E para o(s) professor(es)/pesquisador ?
C
O
N
E
X
Õ
E
S
Geometria e aritmética
N
A
S
C
E
M
E
L
O
S
Matemática Realista

Brotam atividades significativas
Divisores de um número natural
Cria-se atividades significativas
para o aluno

Planificação dos
poliedros
Brotam atividades significativas
Nasce o estudo de
ângulos, com o
transferidor

Brotam materiais de apoio
Criação do triângulo com corte
Cria-se
material ,
prepara-se
para o salto

Matemática realista
Consiste em matematizar a realidade do aluno e
cabe a nós especialistas/pesquisadores
promover isto.

Instituto Freudenthal (FI) trabalha para abrir a
Matemática para todos mas nunca para
diminuir a exigência de um intelectual, de um
pensador científico (htpp://www.fi.ru.nl)
“As descobertas sendo feitas com os próprios
olhos e mãos são mais convincentes e
surpreendentes”(Freudenthal,1983)
COMO?

Nós iniciamos um percurso de inovação, reflexão e
reorganização do ambiente de aprendizagem que
ultrapassam a área de matemática. Despertou a
curiosidade das comunidades envolventes,
especialmente a família... (prof. da EB 1 – Lisboa)
Brotam ambientes de aprendizagem
Nascem Atividades que reorganizam os
conteúdos (currículo)
Investigando e construindo o conceito de
quadriláteros triângulos

Considerações Finais
Imagens falam mais que palavras
Contagiou a Escola e o Ministério de
Educação. Todos querem aprender.

Problemas de disciplina? Tô fora
Aprendizagem significativa

Blog e sites:
Matemáticos Educadores.
http://edca82.blogspot.com
Matemática Realista. Disponível em
http://www.prof2000.pt/users/eldita.
blogdasTic : http://eldita-blogdastics.blogspot.com/

http://www.prof2000.pt/users/eldita/index.htm

O prazer da geometria
http://www.faced.ufba.br/~dept02/professores/elda/e_tr
amm.htm

“Aprender Matemática não é simplesmente
compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de
fazer investigação de natureza matemática (ao nível
adequado de cada grau de ensino).
Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a
Matemática e a sua utilidade na compreensão do
mundo e na intervenção sobre o mundo (p.98)
Braumann (2002, apud Ponte, 2003)
Uma atividade humana

Agora pergunto...
Por que os jogadores
estão estranhando a
Jobulani?

http://www.prof2000.pt/users/eldita Agradecimentos
http://www.fi.ru.nl
Matemática realista
A VOCÊS, Muito OBRIGADA.

Referências bibliográficas
NCTM. Princípios e Normas para a Matemática Escolar.
Trad. Associação de Professores de Matemática
(APM). Lisboa. 2007. Disponível em:
http://www.apm.pt/portal/index.php?id=89310 Acesso
em 14/05/2008.
Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task.
D. Reidel 1976.
____. Didactical Phenomenology...p.ix. Pag. 125 - 127. in
www.fi.ru.nl

TRAMM, Elda. O prazer da Geometria. 1º lugar nas
comemorações do Ano Mundial da Matemática (AMM
2000). Disponível em http://www.faced.ufba.br/~dept02/
professores/elda/e_tra mm.htm. Acesso em
18/05/2008.
TRAMM, Elda. A bola de futebol como um importante
aliado na aquisição de novos conhecimentos. In
Atividades de Investigação na Aprendizagem da
Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port.
de Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002.
pag 159 a 167.
PONTE, J. P. et al. Investigar a nossa própria prática. In
GTI (Org), Reflectir e Investigar sobre a prática
profissional. (pp. 5 – 28). Lisboa: Associação de
Professores de Matemática (APM).2002.

TRAMM, E. A avaliação através da observação do
comportamento do aluno. 1986. 2v. 300 p. Tese
(Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação,
Universidade Federal da Bahia, Salvador,1986.
VELOSO, E. Geometria: temas actuais. Materiais para
professores. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional
(IIE). Lisboa. 1998.

Se queremos que o aluno atinja níveis cada
vez superiores, teremos que lhe dar a
oportunidade de chegar lá. (...)
Isto implica atividades que o preparam para o
salto.(...)
É este o significado de "Reinventar".

Identificando um elo entre a teoria (conhecimento
matemático) e a cultura do aluno ( a bola de futebol)
Tendo um olhar de observador/ escutador
Sendo corajoso e criativo
Investigando o que?
Sendo um pesquisador em processo
COMO?
A bola de futebol (Icosaedro truncado)

Método? Investigação Matemática
Permite que o aluno
Levante hipóteses,
procure alternativas,
tome novos caminhos,
 tire dúvidas e constate o que é
verdadeiro, válido, correto ou solução.
Enfim, valoriza o processo de
construção do saber

Ou seja, a Investigação Matemática
permite ao aluno

Ou seja, a Investigação Matemática
permite
A integração de diferentes ASSUNTOS
A redescoberta
A memorização de resultados
A aprendizagem de diferentes estratégias de
resolução de problemas
A verificação de conjecturas ou de resultados

Qual o papel do ALUNO?
Descobrir e construir conceitos (os poliedros) e
considerar esta atividade:
• Significativa,
• Útil,
• Instigante,
• Uma fonte de desejo
• Do mundo do adulto/ do currículo
• Lúdico
Ser um aluno/pesquisador

Qual o papel do professor?
Elaborar e (re)elaborar atividades
identificando os elos que permitam que o
aluno trabalhe conhecimentos matemáticos
na realidade do aluno.
Ter um olhar de observador
Ser um escutador
Ser um professor/pesquisador do
processo

Conclusões da investigação /por grupo -
SHIAM - UNESP
Grupo 1
3 fig geométricas diferentes
5 hexágonos e um pentágono no centro
Elemento comum são as 3 figuras
geométricas
É uma esfera formada por 12 pentágonos e
36 hexágonos
A união dos lados favorece a construção da
esfera

Grupo 2
Redonda, tipos de materiais (couro ou
sintético), costurados ou colados
Formas geométricas são os pentágonos
e hexágonos
Parece flor, pentágono ao centro e
hexágono em volta
10 pentágonos e 20 hexágonos

Grupo 3
É um polliedro não regular,formado por
pentágonos e hexágonos
Cada lado do pentágono é adjacente a
um lado do hexágono
Para cada hexágono há 3 pentágonos
adjacentes e 3 hexágonos
respectivamente alternados
10 pentágonos e 14 hexágonos

• Formada por pentágonos e hexágonos
• Em torno de cada pentágono existe 5
hexágonos
• É uma esfera
• É um poliedro não regular
• Quantidade
o 12 pentágonos e 36 hexágonos (Grupo 1)
CONCLUSÃO do GRUPÃO

Construindo poliedros com alunos

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Construindo poliedros com alunos

Similaire à Construindo poliedros com alunos (20)

Construindo poliedros com alunos

Notes de l'éditeur