1. Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio Jose de Sucre”
Extensión Barquisimeto
Integrante:
Robert Aguilar
C.I. 21.725.458
Algebra

2. Relaciones Binarias
Al trabajar con conjuntos es imprescindible poder relacionarlos teniendo en
cuanta la veracidad de una proposición. Estas relaciones son las que
estudiaremos en este apunte.
Una relación es un conjunto de parejas ordenadas. Así:
Notación.
Si R designa una relación y, lo notamos también como: xRy, y se lee “x está
relacionado con y bajo la relación R”. La negación la notamos también x y.
Esto es
Esto es
Definición
Relaciones binarias
Generalmente hemos definido las correspondencias entre dos conjuntos
distintos, sin embargo, no es absolutamente necesario definirlas así.
Podemos establecer una correspondencia de un conjunto en sí mismo, una
correspondencia que asocie cada elemento de un conjunto a algún elemento
del mismo conjunto. Una correspondencia de este tipo se conoce con el
nombre de relación binaria. Se suele indicar con la letra R.
Veamos un ejemplo:
Juan tiene 10 años, Antonio 15, Javier 10, Laura 10, Luis 7, María 7 y José
20 años.
Agrupamos estos chicos y chicas en un conjunto:
A = {Juan, Antonio, Javier, Laura, Luis, María, José} y establecemos la
correspondencia de A en A de manera que, a cada chico o chica, lo asocias a
todos aquellos que tienen su misma edad.

3. Dado un conjunto A en el que definimos una relación binaria R, si un
elemento a ∈ A le corresponde el elemento m ∈ A, se dice que a está
relacionado con m y se escribe a R m. En caso contrario, se dice que a no
está relacionado con m y se escribe a R m.
Elementos de una relación: Dominio y Rango
(Volvamos al ejemplo anterior):
El conjunto A es el conjunto Inicial o conjunto de Partida. Los elementos de
A que forman parte de la relación son el primer componente de las parejas;
en el diagrama de flechas es el de donde parten las flechas.
El conjunto B es el conjunto Final o conjunto de Llegada. Los elementos de
B que forman parte de la relación son el segundo componente de las
parejas; en el diagrama de flechas es al que llegan las flechas.
El Dominio es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado.
De cada elemento del dominio sale por lo menos una flecha. O sea que el
Dominio es un subconjunto del conjunto de Partida, ya que algunos
elementos del conjunto inicial pueden no formar parte de la relación.
La Imagen es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado.
En una relación, a cada elemento del conjunto Imagen llega por lo menos
una flecha. El conjunto Imagen es un subconjunto del conjunto de Llegada,
ya que algunos elementos del conjunto final pueden no formar parte de la
relación. Al conjunto Imagen, también se le llama Domino de Imágenes.

4. Dom(R)= {a∈ A | (a, b) ∈ R para algún b∈ B} Rang(R)= {b∈ B | (a, b) ∈ R
para algún a∈ A}
En otras palabras, el dominio serán los primeros componentes de los pares
ordenados (a, b) que conforman R y el rango serán los segundos
componentes.
Representación gráfica de Relaciones Binarias
Las relaciones pueden representarse gráficamente de diversas maneras
siendo las más comunes la representación cartesiana, la matricial y la
sagitaria.
Mediante un gráfico cartesiano: En este caso se consideran como
abscisas las primeras componentes y como ordenadas las segundas
componentes. Mediante paralelas a los ejes trazados por los puntos de
división se forma una cuadrícula cuyos elementos son los vértices de un
producto cartesiano; de estos se señalan los que pertenecen a la relación R.
Representación Sagitaria: En ella se utilizan diagramas de Venn para
representar los conjuntos departida y de llegada y se unen los pares
ordenados mediante flechas. Esta es empleada para conjuntos finitos.
REPRESENTACION CARTESIANA Y SAGITARIA

5. Representación Matricial: En ella se crea una matriz colocando los
elementos del conjunto de partida cómo filas y los del conjunto de llegada
como columnas. La matriz se llena colocando 1 en las posiciones donde los
elementos se relacionan y 0 en caso contrario.
REPRESENTACION MATRICIAL
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS
1. Propiedad reflexiva:
Una relación binaria es reflexiva cuando todo elemento está relacionado
consigo mismo.

6. Veamos el ejemplo con que empezábamos este capítulo de las relaciones
binarias:
A = {Juan, Antonio, Javier, Laura, Luis, María, José}
en este conjunto, definimos la relación R = «tener la misma edad»;
lógicamente, cada uno de estos chicos y chicas tiene la misma edad que él
mismo, lo que significa que cada elemento del conjunto está relacionado
consigo mismo, y por tanto, la relación «tener la misma edad» es
reflexiva en el conjunto A.
Si representamos este hecho, de que cada elemento está relacionado con él
mismo mediante un diagrama de flechas, debemos indicar que de cada
elemento sale una flecha que llega al mismo elemento:
Siempre que, en un diagrama de flechas, veamos que, de cada elemento,
sale una flecha que llega al mismo elemento, diremos que la relación binaria
que hay definida en el conjunto es reflexiva.
2. Propiedad no reflexiva:
Para que una relación sea reflexiva, hemos visto que cada elemento debe
estar relacionado consigo mismo. Puede ocurrir sin embargo, que dada una
relación en un conjunto, algunos elementos estén relacionados consigo
mismo y otros no. En este caso, se dice que la relación es no reflexiva.
Veamos un ejemplo:

7. En el conjunto de números, establecemos la relación siguiente: dos números
están relacionados si su suma es múltiplo de 3. Para que un número esté
relacionado consigo mismo es necesario que la suma de ese número con él
mismo sea múltiplo de 3, por ejemplo, el 6 + 6 = 12, que es múltiplo de 3;
luego 6 R 6.
Sin embargo, el 5 no está relacionado con el 5, pues 5 + 5 = 10, que no es
múltiplo de 3. Veamos pues, que con esta relación, algunos números están
relacionados con ellos mismos y otros, en cambio, no. Luego esta relación es
no reflexiva.
3. . Propiedad Anti reflexiva:
Cuando dada una relación binaria en un conjunto ningún elemento está
relacionado consigo mismo, decimos que la relación es anti reflexiva. Así, por
ejemplo, en el conjunto de personas establecemos la relación «tener más
edad». Ninguna persona tiene más edad que ella misma, luego ningún
elemento está relacionado consigo mismo y, por tanto, la relación es anti
reflexiva
4. Propiedad simétrica:
Una relación cumple la propiedad simétrica si al estar un elemento
relacionado con otro el segundo está también relacionado con el primero.
Así, por ejemplo, si en el conjunto de personas damos la relación de «ser
igual de alto», si una persona es igual de alta que otra, la segunda es
también igual de alta que la primera.
Si Juan, Pedro y Antonio son iguales de alto y María y Carlos también lo son,
representamos:

8. Vemos que si de un elemento sale una flecha que va a otro, del segundo sale
otra flecha que va al primero.
Diremos, pues, que una relación es simétrica siempre que, si a R b, entonces
también b R a.
5. Propiedad no simétrica:
Cuando algún par de elementos no cumpla la relación simétrica, diremos que
la relación es no simétrica.
Sea, por ejemplo, el conjunto:
A = {1, 2, 3, 4}
En el que establecemos la relación «ser mayor que».
2 es mayor que 1, luego 2 R 1, y, sin embargo, 1 no es mayor que 2, 1 2:

9. 6. Propiedad Antisimétrica:
Una relación tiene la propiedad antisimétrica si sólo se cumple la simétrica en
caso de ser iguales los elementos.
En el conjunto:
A = {1, 2, 3} definimos la relación «ser menor o igual que».
El 1 está relacionado con el 2, pues 1 es menor que 2: 1 R 2 y 2 no está
relacionado con 1.
Si un elemento a está relacionado con otro b (a es menor o igual que b), y el
segundo elemento, b, está relacionado con a (b es menor o igual que a), es
necesario que a y b coincidan: a = b.
Entonces la relación que hemos establecido es antisimétrica.
Podemos decir, pues, que una relación es antisimétrica, si siempre que se
cumpla que a R b y b R a, entonces a = b.
7. Propiedad transitiva:
Una relación cumple la propiedad transitiva si siempre que un elemento esté
relacionado con otro; y éste, a su vez, esté relacionado con un tercero, el
primero y el tercer elemento están también relacionados.
Si a R b y b R c entonces a R c

10. Por ejemplo:
En el conjunto de personas, establecemos la relación de «ser hermano».
Si Juan es hermano de Pedro, y Pedro es hermano de Antonio, deducimos
que Juan es hermano de Antonio: luego la relación es transitiva.
8. Propiedad no transitiva:
Una relación es no transitiva cuando existen elementos para los que no se
cumple la propiedad transitiva.
Por ejemplo: si consideramos la relación «ser padre»; Miguel es padre de
Luis, y Luis es padre de María, pero Miguel no es padre de María, luego:
Miguel R Luis y Luis R María pero Miguel María por tanto, no se cumple la
propiedad transitiva. La relación es entonces no transitiva.
Relación Inversa
Si R es una relación de A en B, la relación inversa R-1 está definida por:
R-1= {(b, a) ∈ BxA| (a, b) ∈ R}
En la relación inversa se cumple que dom(R-1)= rang(R) y
Rang(R-1)=dom(R), es decir, se intercambian el dominio y el rango de la
relación original. Por ejemplo, dada la relación R= {(1,2), (4,6), (5,7)} la
relación inversa sería R-1= {(2,1), (6,4), (7,5)}.
Teorema.
Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1= R
Composición de Relaciones
Dada la relación R de A en B y la relación S de B en C, la composición de R
yS es la relación:

11. R ∘ S= {(a, c) ∈ AxC | ∃ b∈ B | aRb y bSc}
Nótese que R ∘ S ≠ S ∘ R
Teorema.
Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es una
relación de Z en W, entonces:
T ∘ (S o R) = (T ∘ S) ∘ R
Teorema.
Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, entonces
(S ∘ R)-1= R-1∘ S-1
Clases de relaciones:
• Relación de equivalencia: es aquella que cumple las propiedades
reflexiva, simétrica y transitiva.
Una relación de equivalencia divide al conjunto inicial en partes disjuntas que
se llaman clases de equivalencia.

12. El conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia se denomina
conjunto cociente.
• Relación de orden: es aquella que cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva.
• Las relaciones de orden pueden ser:
Orden total: cuando todos los elementos del conjunto están
relacionados.
Orden parcial: cuando solo están relacionados algunos elementos del
conjunto.
• Relación de orden estricto: es aquella que cumple las propiedades
antirreflexiva, antisimétrica y transitiva.