Apresentação sobre rotações para a disciplina de Computação Gráfica com prof. Edilson Aguiar (CEUNES-UFES, 2011)

1. Computação Gráfica
prof. Edilson Aguiar
Universidade Federal do Espírito Santo
Centro Universitário Norte do Espírito Santo
Eliezer de Souza da Silva

2. Visualização de objetos 3D.
Animação (key framing):
• Computador faz a interpolação entre os key frames.
Translações podem ser feitas com interpolação linear ou
splines.splines.
Rotações são mais complicadas.
Problema: que estrutura matemática
captura de maneira ideal operações de
rotação no espaço, facilitando a
implementação computacional?

3. Teorema de Euler [2,3]:
• “Dados dois pontos no espaço existe um eixo no espaço e um ângulo
de rotação que leva um ponto ao outro” ou “o movimento de um corpo
rígido no espaço com um ponto fixo é uma rotação”.

4. Fórmula de Rodrigues [2,3,5]

5. Ângulos de Euler utilizando matriz de
rotação: parametrização do espaço
através de três eixos de rotação.
• Esta parametrização é ambígua.• Esta parametrização é ambígua.
Quaternions: encapsula diretamente o
Teorema de Euler.

6. Euler utilizou inicialmente para resolver as equações
de movimento (separação de variáveis) [1].
• Pressuposto: o espaço de rotações pode ser totalmente
parametrizado por três operações de rotação em eixos
perpendiculares.

7. Exemplo 2D

8. Implementação das rotações associadas a
cada eixo através de uma matriz de rotação.
• Coordenadas homogêneas: permite a
representação de transformações afins na forma
matricial (possibilita a composição de rotações e
outras operações afins naturalmente).outras operações afins naturalmente).

9. Desvantagens:
• A escolha dos eixos é arbitrária e existem diversas
possibilidades de multiplicação das matrizes de rotação e
nem todas são geometricamente intuitivas.
• A representação do espaço de rotações através de
ângulos de Euler é ambígua (problema inverso não é
bem formulado – rotação gerada por diferentes triplas de
ângulos de Euler).ângulos de Euler).
• Gimball-Lock: degeneração dos graus de liberdade.
• A interpolação não é boa, nem fácil (cada eixo é
interpolado de modo independente).
Vantagens:
• Matemática das matrizes é bem conhecida e estudada,
além de ter bastante implementações.
• Coordenadas homogêneas permite representação de
todas as transformações afins básicas

10. Trata-se de uma álgebra descoberta por
Sir Willian Hamilton como uma
generalização dos complexos para
espaços de ordens maiores.espaços de ordens maiores.

11. Espaço de Rotações do R3: SO(3) (Matrizes Ortonormais)
Espaço da esfera unitária de quaternions S3 tem um
mapeamente 2 por 1 em SO(3). (q e –q correspondem ao
mesmo ponto)[1,2]
Utilizando a esfera unitária obtemos diretamente a fórmula
de Rodrigues.
Temos uma implementação direta de uma rotação de p em θ
graus ao longo do eixo v utilizando quaternions.

12. Spherical Linear Interpolation [1]:
• Não-comutativo.
• Velocidade constante na esfera.
• Geodésico (Torque mínimo).• Geodésico (Torque mínimo).

13. É ótimo somente entre dois pontos [1,2]
• Shoemake sugere um esquema parecido com a geração
de curvas de Bezier sobre a superfície da esfera.

14. Squad (Spherical Spline Quaternion Interpolation)
[2]
Nlerp (Normalized Quaternion Slerp):
• Comutativo, geodésico, mas não tem velocidade constante.

15. Quaternions apresentam problemas caso eu
tenho que ser derivado (controle
diferencial, ou otimizador, por exemplo).
• D(q) pertence ao plano tangente à esfera unitária.• D(q) pertence ao plano tangente à esfera unitária.
Preciso controlar para impedir que ele “saia”.[4]
Mapas exponenciais:
• Sabemos onde se encontram as singularidades
(evitamos-as)[4].
• R3 → S3 ; S3 → SO(3)
• Inverso: log map

16. Representação de rotações:
• Quaternion é superior a ângulos de Euler.
• Mapas Exponenciais podem ser alternativas em
outras situações.outras situações.
Interpolações
commutativ
e
constant
velocity
torque-
minimal
quaternion
slerp
No! Yes Yes
quaternion
nlerp
Yes No! Yes
log-
quaternion
lerp
Yes Yes No!

17. [1] SHOEMAKE, K. Animating Rotations with Quaternion Curves. Computer Graphics
(SIGGRAPH ’85 Proceedings), volume 19, pages 245-254, July 1985.
[2] DAM, E.B; KOCH, M. and LILLHOLM, M. Quaternions,Interpolation and
Animation.Technical Report DIKU-TR-98/5. University of Copenhagen. 1998.
Denmark.
[3] GOLDSTEIN, H; POOLE, C; SAFKO, J. Classical Mechanics, 3rd Edition.
Addison-Wesley. 2000. New York.
[4] GRASSIA,F.S. Practical parameterization of rotations using the exponential map,[4] GRASSIA,F.S. Practical parameterization of rotations using the exponential map,
Journal of GraphicsTools, volume 3.3, 1998. Disponível em
http://graphics.snu.ac.kr/OpenGL2003/10(1112)/expmap.pdf (31/05/2011)
[5]VINCE, J. RotationTransforms For Computer Graphics. Springer-Verlag. London (UK).
2011.
[6]ANGEL, E. Interactive Computer Graphics –ATop Down Approach Using
OpenGL, 3rd Edition.Addison-Wesley. 2003.
[7] Jonathan Blow. Understanding Slerp,Then Not Using It.Disponível em
http://number-
none.com/product/Understanding%20Slerp,%20Then%20Not%20Using%20It