teroia de grupos unidad 1 - todo referente a la teoria de grupos y las relaciones

1. Operaciones binarias
Definici´on 6 Llamaremos operaci´on binaria (interna)
definida sobre un conjunto A a una funci´on definida
A × A → A.
A × A → A
(a, b) → a ∗ b
Tambi´en se pueden definir operaciones binarias llama-
das externas
A × B → B
(a, b) → a ∗ b
por ejemplo, el producto de un escalar (n´umero real)
por un vector, que da como resultado otro vector.
Incluso se pueden definir operaciones sobre los ele-
mentos de un conjunto, dando como resultado un e-
lemento de otro conjunto distinto (el producto escalar
de dos vectores es un ejemplo de ello).
Propiedades y elementos notables
Propiedad asociativa: para cada a, b, c ∈ A se verifi-
ca (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
Propiedad conmutativa: para cada a, b ∈ A se veri-
fica a ∗ b = b ∗ a.
Leyes de cancelaci´on: a la izquierda si a∗b = a∗c ⇒
b = c.
Si tenemos una segunda operaci´on :
Propiedad distributiva: para cada a, b, c ∈ A se veri-
fica a (b ∗ c) = (a b) ∗ (a c).
10
Algunos elementos del conjuntos A se pueden com-
portar de forma notable con respecto a la operaci´on ∗
Elemento neutro e: a∗e = e∗a = a para cada a ∈ A.
Elemento absorbente z: a ∗ z = z ∗ a = z para cada
a ∈ A.
Elemento idempotente: a ∗ a = a.
Elemento inversible: a es inversible si existe a tal
que a ∗ a = a ∗ a = e.
Estructuras algebraicas
Cuando tenemos uno o m´as conjuntos con una o va-
rias operaciones binarias, con unas determinadas pro-
piedades y unos determinados elementos notables, es-
tamos ante una estructura algebraica
A veces, si el conjunto sobre el que act´ua una opera-
ci´on es finito A = {a1, a2, . . . , an} es posible representar
dicha operaci´on mediante una tabla de la forma
∗ a1 · · · aj · · · an
a1
...
... ...
ai · · · · · · ai ∗ aj · · · · · ·
... ...
an
...
Las estructuras se representan agrupando bajo un par´entesis
el conjunto y las operaciones que act´uan sobre ´el, e-
jemplo (A, ∗) o bien (A, ∗, ).
11

2. Morfismos Dadas dos estructuras algebraicas simila-
res (con las mismas propiedades) se llamar´a homo-
morfismo a una funci´on entre los conjuntos que res-
peta la estructura, por ejemplo, si (A, ∗) y (B, ) son
dos estructuras algebraicas un homomorfismo ser´a u-
na funci´on f: A → B que verifica
f(a ∗ b) = f(a) f(b)
para cada par de elementos a, b ∈ A.
Cuando los homomorfismos son inyectivos o sobre-
yectivos reciben nombres especiales, estos son los si-
guientes:
Monomorfismo: si es inyectivo.
Epimorfismo: si es sobreyectivo.
Isomorfismo: si es biyectivo.
Ejemplo:
Dados conjuntos {a, b, c} y {1, 2, 3} con operaciones
definidas mediante las respectivas tablas
∗ a b c
a a b c
b b b b
c c b b
1 2 3
1 1 1 1
2 1 2 3
3 1 3 1
se observa que son isomorfas mediante la funci´on
a 2
b 1
c 3
.
12
Teor´ıa de Grupos
Semigrupos
S = ∅ es semigrupo si est´a dotado de una
operaci´on binaria ∗ (interna) que verifica la
propiedad
Asociativa: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
diremos que es un semigrupo conmutativo si
se verifica, adem´as, la propiedad
Conmutativa: a ∗ b = b ∗ a
Ejemplos: Son semigrupos conmutativos:
• El conjunto N provisto de la suma (N, +).
• El conjunto Z provisto del producto (Z, ·).
Ejemplos:
• N con la operaci´on a ∗ b = ab no es un semigrupo.
• Z con la operaci´on de sustraci´on tampoco es semi-
grupo.
Ejemplo: (P(A), ∪) y (P(A), ∩) son dos semigrupos
conmutativos.
Ejemplos:
• Si A = ∅ y AA = {f | f : A → A}, entonces (AA, ◦) es
un semigrupo no conmutativo.
• (Mn, ·) es un semigrupo no conmutativo.
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3. Subsemigrupos
Dado un semigrupo (S, ∗) y un subconjunto
A ⊆ S diremos que es un subsemigrupo si res-
tringiendo la operaci´on ∗ a los elementos de
A se sigue teniendo una estructura de semi-
grupo, es decir (A, ∗) es tambi´en semigrupo.
Es evidente que la ´unica condici´on para que A sea
subsemigrupo de S es que la restricci´on de ∗A sea una
operaci´on. Cuando un conjunto cumple esta condici´on
se suele decir que A es cerrado para la operaci´on.
En la figura, A no ser´ıa subsemigrupo de S.
Ejemplos:
• Dado el semigrupo (Z, +) El subconjunto 2Z de los
enteros pares es subsemigrupo, en cambio el conjunto
de los impares no lo es.
• En el semigrupo (AA, ◦) el subconjunto de las fun-
ciones biyectivas S(A) es un subsemigrupo.
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Monoides
Dado un semigrupo (S, ∗) diremos que tiene
elemento neutro si existe un elemento distin-
guido e ∈ S que verifica e∗a = a∗e = a ∀a ∈
S.
Teorema 1 En todo semigrupo, el elemento
neutro, si existe, debe ser ´unico.
A un semigrupo con elemento neutro se le
llama monoide. Si adem´as el semigrupo es
conmutativo se le llama monoide conmutati-
vo.
Ejercicio: Determina cu´ales de los ejemplos de se-
migrupos ya vistos son tambi´en monoides.
Ejemplos:
• La estructura (N, +) es monoide, en cambio
(Z+, +) no lo es, puesto que 0 /∈ Z+.
• Las matrices reales Mn×m forman un monoide con-
mutativo con la operaci´on + de matrices. Si conside-
ramos las matrices cuadradas con el producto (Mn×n, ·)
tenemos un monoide no conmutativo.
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4. Submonoides
Dado un monoide (S, ∗), un subconjunto A ⊆
S es submonoide, si adem´as de ser subse-
migrupo, contiene al elemento neutro. Por
tanto, seg´un vimos anteriormente se verifica
Teorema 2 Sea (S, ∗) un monoide y A ⊆ S.
Las condiciones necesarias y suficientes para
que el subconjunto A sea submonoide son:
1) Que sea cerrado para la operaci´on, es de-
cir: a, b ∈ A ⇒ a ∗ b ∈ A.
2) e ∈ A.
Ejemplo: Llamaremos nZ al conjunto de los pro-
ductos de un entero n por todos los elementos de
Z. Si n > 1 obtenemos que (nZ, +) son submonoides
de (Z, +), en cambio (nZ, ·) son subsemigrupos (y no
submonoides) de (Z, ·) (que s´ı es monoide).
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El Semigrupo Libre de las cadenas
Llamaremos alfabeto a un conjunto Σ al que
se le exige que ning´un elemento pueda ser
formado por yuxtaposici´on de elementos del
propio Σ. A los elementos de Σ se les llama
tambi´en cadenas de longitud 1.
Yuxtaponiendo dos elementos de Σ se obtie-
ne un nuevo elemento de un conjunto de ca-
denas de longitud 2. Este proceso se puede
extender recursivamente para formar cade-
nas de longitud n. Si denominamos Σ1 = Σ,
entonces
Σn = {xy | x ∈ Σ, y ∈ Σn−1} n > 1
El conjunto de todas las cadenas –de longi-
tud mayor o igual que 1– se representa por
Σ+ =
∞
n=1
Σn.
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5. Consideramos de forma axiom´atica la exis-
tencia de una cadena ε que no pertenece a
ning´un Σn y que llamaremos cadena de lon-
gitud 0, o bien, cadena nula. Esta cadena
tiene la propiedad de dejar invariante a cual-
quier cadana por yuxtaposici´on, es decir
xε = εx = x ∀x ∈ Σn
Por ´ultimo, llamaremos Σ∗ al conjunto for-
mado por las cadenas de cualquier longitud,
incluida la cadena nula.
Σ∗ = Σ+ ∪ {ε}
Este conjunto, dotado con la operaci´on bina-
ria de yuxtaponer dos cadenas, tambi´en lla-
mada concatenaci´on, verifica la propiedad
asociativa, y adem´as tiene elemento neutro
ε. Se le conoce con el nombre de Semigrupo
libre de las cadenas (aunque en realidad sea
un monoide) y juega un importante papel en
la teor´ıa de lenguajes formales.
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Grupos
Llamaremos grupo a un conjunto G con un
operaci´on interna ∗ que verifica las siguientes
propiedades:
• Asociativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para cada
a, b, c ∈ G.
• Existe un elemento neutro e ∈ G tal que
a ∗ e = e ∗ a = a para cada a ∈ G.
• Existencia de inversos: para cada a ∈ G,
existe un elemento a ∈ G tal que a ∗ a =
a ∗ a = e.
Si adem´as cumple la propiedad conmutativa:
a ∗ b = b ∗ a, entonces diremos que el grupo
es conmutativo, pero se emplea con mayor
frecuencia el t´ermino de grupo abeliano en
honor del matem´atico noruego Niels Henrik
Abel (1802-1829).
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6. Ejemplo: El monoide (N, +) no es un grupo, puesto
que ning´un elemento, exepto el elemento neutro 0,
tiene inverso. Ahora bien, los conjuntos Z, Q, R y
C son todos grupos abelianos con la operaci´on suma
tambi´en llamados grupos abelianos aditivos.
Ejemplo: Ninguno de los conjuntos num´ericos del
ejemplo anterior son grupos con la operaci´on producto
¿porqu´e?, si bien los conjuntos Q∗, R∗ y C∗ son grupos
abelianos multiplicativos.
Ejemplo: Dado un conjunto A el conjunto S(A)
formado por todas las aplicaciones biyectivas A → A,
junto con la operaci´on composici´on de funciones ◦
forman un grupo.
Como todo grupo es un monoide, el elemento
neutro debe ser ´unico, y adem´as se cumple:
Teorema 5 Si (G, ∗) es un grupo entonces
cada elemento a ∈ G tiene un ´unico inverso.
Teorema 6 Sea (G, ∗) un grupo y sean a, b, c ∈
G, entonces:
1) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c
2) b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c
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Teorema 7 Sea (G, ∗) un grupo, y sean a, b ∈
G. Entonces,
1) e = e
2) (a ) = a
3) (a ∗ b) = b ∗ a
4) La ecuaciones a ∗ x = b y x ∗ a = b tienen
soluci´on ´unica en G
Hasta ahora hemos usado el s´ımbolo ∗ pa-
ra representar la operaci´on de un grupo, pe-
ro ´esto no es lo habitual. Generalmente la
notaci´on aditiva emplea el s´ımbolo + y se
suele emplear cuando nos referimos a grupos
abelianos; la notaci´on multiplicativa emplea
el s´ımbolo · (o ning´un s´ımbolo) y se emplea
cuando nos referimos a cualquier grupo ge-
n´erico.
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7. Notaci´on aditiva
• El elemento neutro se
representa por 0
• El elemento inverso a
lo representamos −a
(opuesto).
• La expresi´on a + (−b)
se puede indicar de la
forma a − b
• Si n ∈ Z+ definimos
na =
n veces
a + a + · · · + a
• Se generaliza el pun-
to anterior a todo Z
definiendo 0a = 0 y
si n ∈ Z+ (−n)a =
−(na) = n(−a).
• Se prueba que para
cualesquiera n, m ∈ Z
y cualquier a ∈ G se
cumple
(m + n)a = ma + na
(m − n)a = ma − na
(mn)a = m(na)
Notaci´on multiplicativa
• El elemento neutro se
representa por e.
• El elemento inverso a
lo representamos a−1.
• A veces ab−1 lo repre-
sentamos
a
b
= a/b.
• Si n ∈ Z+ definimos
an
=
n veces
a · a · · · · · a
• Se generaliza el punto
anterior a todo Z defi-
niendo a0 = e y si n ∈
Z+, a−n = (an)−1
=
(a−1)
n
.
• Se prueba que para
cualesquiera n, m ∈ Z
y cualquier a ∈ G se
cumple
am+n = aman
am−n = am · a−n
amn = (am)n
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El grupo aditivo de los enteros modulares
Hemos definido el conjunto Zn mediante una relaci´on
de equivalencia en Z que llam´abamos de congruencia
m´odulo n
a ≡ b (mod n) ⇐⇒ b − a es m´ultiplo entero de n
obteni´endose el conjunto de los enteros modulares
Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]}
Podemos dotar a ´este conjunto Zn de una operaci´on
suma definida
[a] + [b] = [a + b]
Teorema 8 La operaci´on suma en Zn est´a bien defi-
nida, es decir es independiente de los representantes
de clase elegidos.
Ejercicio: comprueba que (Zn, +) tiene estructura de
grupo.
Ejemplo: Las tablas de Z2 y Z5 son las siguientes
+ [0] [1]
[0] [0] [1]
[1] [1] [0]
+ [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4] [0]
[2] [2] [3] [4] [0] [1]
[3] [3] [4] [0] [1] [2]
[4] [4] [0] [1] [2] [3]
Ejercicio: Si definimos el producto [a] · [b] = [ab], ¿Es
(Zn, ·) un grupo? ¿Y si quitamos [0], es (Z∗
n, ·) grupo?
Escribe las tablas para Z∗
4 y Z∗
5 y analiza las diferencias.
En adelante, [x] en Zn lo representaremos por x.
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8. Grupos Sim´etricos
Ya hemos visto que dado A, el conjunto S(A)
de las aplicaciones biyectivas es un grupo. Si
A es finito entonces a las aplicaciones biyec-
tivas A → A se les llaman permutaciones y al
grupo de las permutaciones S(A) se le suele
representar como Sn (donde n es el cardinal
de A) y se le conoce como el grupo sim´etrico
en n letras o n s´ımbolos.
Sin ninguna p´erdida de generalidad, podemos
suponer que el conjunto A = {1, 2, . . . , n}.
Si σ ∈ Sn y σ(i) = si, se acostumbra a usar
una notaci´on para representarla
σ =
1 2 · · · n
s1 s2 · · · sn
Llamaremos producto de permutaciones a la
composici´on como funciones, es decir στ =
τ ◦ σ.
Ejemplo: En el grupo sim´etrico S4 si
σ =
1 2 3 4
2 4 1 3
y τ =
1 2 3 4
4 2 1 3
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entonces
στ =
1 2 3 4
2 4 1 3
1 2 3 4
4 2 1 3
=
1 2 3 4
2 3 4 1
Bajo esta notaci´on el elemento neutro ser´a
la permutaci´on identidad
e =
1 2 · · · n
1 2 · · · n
.
Teorema 9 El grupo Sn tiene n! elementos.
Ejemplo: El grupo sim´etrico S3 tiene 3! = 6 ele-
mentos que son
e =
1 2 3
1 2 3
ρ1 =
1 2 3
2 3 1
ρ2 =
1 2 3
3 1 2
µ1 =
1 2 3
1 3 2
µ2 =
1 2 3
3 2 1
µ3 =
1 2 3
2 1 3
donde e act´ua como elemento neutro y la tabla para
este grupo queda de la forma:
e ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3
e e ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3
ρ1 ρ1 ρ2 e µ2 µ3 µ1
ρ2 ρ2 e ρ1 µ3 µ1 µ2
µ1 µ1 µ3 µ2 e ρ2 ρ1
µ2 µ2 µ1 µ3 ρ1 e ρ2
µ3 µ3 µ2 µ1 ρ2 ρ1 e
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9. Subgrupos
Diremos que un subconjunto H de un grupo
G es subgrupo si es grupo con la restricci´on
de la operaci´on de G en H.
En lo que sigue usaremos notaci´on multipli-
cativa.
Por tanto, que H es subgrupo si verifica:
1) Que sea cerrado para la operaci´on, es de-
cir: a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H.
2) e ∈ H.
3) Para cada a ∈ H, se tiene que a−1 ∈ H.∗
Ejemplo: Dado cualquier grupo G, los sub-
conjuntos {e} y el propio G son subgrupos
de G, reciben el nombre de subgrupos trivia-
les. Los subgrupos que no son triviales se
denominan subgrupos propios.
∗Obs´ervese que las propiedades 1) y 3) implican la
propiedad 2).
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Teorema 10 (de caracterizaci´on) Dado un
grupo G, una condici´on necesaria y suficiente
para que un subconjunto H ⊆ G, H = ∅ sea
subgrupo es
∀a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H
Ejemplo: Los subgrupos del grupo (Z, +) son los
subconjuntos de la forma nZ = {nx | x ∈ Z} siendo
n ∈ N.
Si H ⊆ G es subgrupo lo representaremos
como H ≤ G.
En el caso de se un subconjunto finito este
teorema se simplifica del siguiente modo:
Teorema 11 Si H = ∅ es un subconjuto fi-
nito de un grupo G, entonces H es subgrupo
si y solo si es cerrado para la operaci´on del
grupo.
Si un subgrupo H es finito llamaremos orden
del subgrupo al n´umero de elementos que
posee.
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10. Morfismos de grupos
Diremos que una funci´on f : G → G es un
homomorfismo de grupos si
f(ab) = f(a)f(b) ∀a, b ∈ G
se mantiene la terminolog´ıa de monomorfis-
mo, epimorfismo e isomorfismo.
Teorema 14 Si f : G → G es un homomor-
fismo de grupos, entonces se verifica:
1) si e y e son los elementos neutros de G y
G respectivamente, entonces f(e) = e
2) para cada a ∈ G se cumple f(a−1) =
(f(a))−1
3) para cada entero n y cada a ∈ G se cumple
f(an) = (f(a))n.
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Producto directo de grupos
Representaremos el producto cartesiano de
un n´umero finito de conjuntos de la siguiente
forma
A1 × A2 × · · · × An =
n
i=1
Ai
Teorema 18 Sean G1, G2, . . . , Gn grupos, si
definimos sobre X = n
i=1 Gi la operaci´on bi-
naria
(a1, . . . , an)(b1, . . . , bn) = (a1b1, . . . , anbn)
dotamos a X de estructura de grupo, cono-
cido como producto directo externo de los
grupos G1, G2, . . . , Gn.
Ejemplo: Dado el subgrupo H = {e, ρ1, ρ2}
de S3, se puede construir el grupo Z2 × H de
orden 6. Construir su tabla de operaci´on.
Ejemplos:
• El subgrupo Z2 × Z2 no es isomorfo a Z4. Es un
conocido grupo abeliano, no c´ıclico, llamado 4-grupo
de Klein.
• En cambio el grupo Z2 × Z3 es isomorfo a Z6.
• Tambi´en (Zn, +) es un grupo para cada n ∈ Z+.
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11. Anillos y Cuerpos
Anillos
Sea un conjunto R con dos operaciones internas
que llamaremos suma (+) y producto (·). Diremos
que (R, +, ·) es un anillo si verifica:
• (R, +) es un grupo abeliano.
• (R, ·) es un semigrupo.
• Para cualesquiera a, b, c ∈ R se cumplen:
a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
Cuando (R, ·) es un monoide se dice que R es un
anillo unitario o anillo con unidad que representare-
mos por 1 (elemento nuetro del producto).
Cuando (R, ·) es un semigrupo conmutativo, se di-
ce que R es anillo conmutativo.
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Ejemplos: Los conjuntos num´ericos con las operaciones
habituales (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son ani-
llos conmutativos unitarios. (N, +, ·) no es un anillo por no
ser (N, +) un grupo.
Ejemplos: Para cada entero positivo n, el conjunto de en-
teros modulares Zn junto con la suma y el producto es anillo
(conmutativo y unitario).
Teorema 1 Si R es un anillo, con elemento neu-
tro aditivo 0, entonces para cualesquiera elementos
a, b ∈ R se tiene:
1) 0a = a0 = 0
2) a(−b) = (−a)b = −(ab)
3) (−a)(−b) = ab
Muchas de las propiedades de los anillos son reformulaciones
de las propiedades correspondientes a los grupos, por ejem-
plo
• Si m, n ∈ Z, a ∈ R
ma + na = (m + n)a
m(na) = (mn)a
• Si m, n ∈ N, a ∈ R
aman = am+n
(am)n
= amn
Al ser una estructura m´as rica que la de grupo, se
tienen expresiones completamente nuevas basadas
en la propiedad distributiva
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12. Teorema 2 Para cualquier entero n, dados a, b en
un anillo R, se verifican las siguientes propiedades:
1) n(ab) = (na)b = a(nb)
2) la f´ormula binomial (tambi´en conocida como bi-
nomio de Newton)
(a + b)n =
n
i=0
n
i
aibn−i
Subanillos
S es un subanillo de R si es anillo con las operera-
ciones definidas en R, es decir:
Dados x, y ∈ S ⇒ x − y ∈ S y xy ∈ S
Ejemplo: enteros gaussianos Z(i) = {a + ib | a, b ∈ Z}
es un subanillo de C.
La intersecci´on de subanillos de un anillo R sigue siendo su-
banillo, por tanto dado un subconjunto A de un anillo tiene per-
fecto sentido definir A como el menor subanillo que contiene
al conjunto A, es decir la intersecci´on de todos los subanillos
que contiene a A.
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Morfismos de anillos
Dada f: R → R entre dos anillos (R, +, ·) y (R , ⊕, ),
diremos que es un homomorfismo de anillos si
f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
f(a · b) = f(a) f(b)
Teorema 3 Si f es morfismo de anillos se tiene:
1) f(0) = f(0 )
2) f(na) = nf(a), n ∈ Z.
Teorema 4 Sea f: R → R un homomorfismo de
anillos. Entonces se verifica:
1) Si A es subanillo de R, entonces f(A) es suba-
nillo de R .
2) Si B es subanillo de R , entonces f−1(B) es su-
banillo de R.
3) Si R es unitario y f(1) = 0, entonces f(1) es un
elemento neutro para el producto en el anillo f(R).
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13. Dominios de Integridad
Definici´on 1 Si a y b son elementos distintos de ce-
ro de un anillo R tal que ab = 0, entonces se dice
que a y b son divisores de cero.
Ejemplos:
• Los elementos [2] y [3] de Z6 son dos divisores de cero.
• Los divisores de cero de un anillo Zn son aquellas clases
cuyos elementos no son primos relativos con n.
Teorema 5 Sea R es un anillo. Entonces es v´alida
la ley de cancelaci´on del producto si y solo si no
tiene divisores de cero.
Llamaremos Dominio de Integridad a un anillo con-
mutativo unitario que no contiene divisores de cero.
Ejemplos:
• Los anillos num´ericos Z, Q, R y C son dominios de integri-
dad.
• Los anillos Mn de matrices cuadradas de orden n no son
dominios de integridad.
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Cuerpos
Llamaremos cuerpo a un anillo conmutativo unitario
K donde cada elemento distinto de cero es inversi-
ble, es decir: si a ∈ K, a = 0, existe a−1 tal que
a·a−1 = a−1·a = 1. En otras palabras, un cuerpo
es un anillo conmutativo con divisi´on.
Ejemplos:
• Z no es un cuerpo, puesto que los ´unicos elementos inver-
sibles son 1 y −1. En cambio s´ı son cuerpos los restantes
conjuntos num´ericos Q, R y C.
• Los enteros gaussianos Z(i) no forman un cuerpo (¿por-
qu´e?) aunque s´ı es un dominio de integridad. El cuerpo m´as
parecido a Z(i) es el subcuerpo de los n´umeros complejos
Q(i) definido de manera obvia como los elementos de la for-
ma a + bi siendo a y b racionales.
Teorema 6 Todo cuerpo es un dominio de integri-
dad.
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14. El inverso de este teorema no es cierto, en general,
tenemos dominios de integridad que no son cuer-
pos y Z es un ejemplo de ello. En cambio si es
cierto en el caso finito.
Teorema 7 Todo dominio de integridad finito es un
cuerpo.
Este teorema nos identificar los cuerpos finitos
Corolario 8 Si p es un entero positivo primo, Zp es
un cuerpo.
Se puede probar (aunque no lo haremos) que todo
cuerpo finito contiene un subcuerpo que es isomor-
fo a un cierto Zp, es m´as, se prueba tambi´en que
todos los cuerpos infinitos contiene un subcuerpo
isomorfo a Q.
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