Proporcionalidad entre segmentos. Teorema de Tales. Sección áurea.

1. PROPORCIONALIDAD
DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO

2. Definiciones
Proporción:
Es la relación de las magnitudes de dos o más elementos o de las
partes de algo con la totalidad.
Magnitudes directamente proporcionales:
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o
dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida
por el mismo número.
Constante de proporcionalidad directa:
Es el cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales.
Ejemplo:
Los segmentos a=20 y b=40 son directamente proporcionales a c=50 y
d=100, siendo la constante de proporcionalidad igual a 0,5. Se lee a es
a b como c es a d.
a = c =k 20 = 50 =0,5
b d 40 100

3. Tales de Mileto (630-545 a.C.)

4. Teorema de Tales
Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas intercep-
tadas por dos rectas oblicuas, son directamente proporcionales.
r
A’B’= B’C’= C’D’=k E’
AB BC CD
D’
C’
B’
A s
B C D E

5. Cuarta proporcional.
Dados tres segmentos a, b y c, el cuarto proporcional es otro segmento
x que cumple la proporción a es a b como c es a x.
a
b a=c
b x
c
c
a
b x

6. Tercera proporcional.
Dados dos segmentos a y b, el tercero proporcional es otro segmento x
que cumple la proporción a es a b como b es a x.
a a=b
b x
b
b
a
b x

7. Media proporcional.
Dados dos segmentos ay b, la media proporcional es otro segmento x
que cumple la proporción a es a x como x es a b.
a=x
x b
Podemos obtener la media proporcional de dos segmentos utilizando
dos teoremas:
•Teorema de la altura
•Teorema del cateto

8. Teorema de la altura.
En todo triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa es
media proporcional entre los dos segmentos en que divide a ésta.
x
a b

9. Media proporcional utilizando el teorema de la altura.
Sumamos los segmentos a y b, dibujamos una semicircunferencia con
ese diámetro y levantamos una perpendicular por punto el de unión
hasta cortar a la semicircunferencia.
a a=x
b x b
x
a b

10. Teorema del cateto.
El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la
hipotenusa y la proyección del cateto sobre ella.
x
a
b

11. Media proporcional utilizando el teorema del cateto.
Superponemos los segmentos a y b, dibujamos una semicircunferencia
con ese diámetro y levantamos una perpendicular por el extremo del
segmento más corto hasta cortar a la semicircunferencia. Ese punto
unido con el origen nos da el cateto solución.
a a=x
b x b
x
a
b

12. Sección áurea.
La sección áurea divide a un segmento en dos partes de forma que el
segmento CB es tercera proporcional de AB y AC, es decir:
AB = AC =φ=1,618
AC CB
A C B

13. Dibujamos un triángulo rectángulo con catetos el segmento y su mitad.
Restamos a la hipotenusa el cateto menor y transportamos esa medida
sobre el segmento.
A B M
N
A C B

14. Ejercicios:
1.Divide un segmento de 95 mm. en 7 partes iguales.
2.Divide un segmento de 120 mm. en partes proporcionales de 5, 3 y 2.
3.Halla la cuarta proporcional de los segmentos: a=50, b=30 y c=70.
4.Tercera proporcional de los segmentos: a=55 y b=35.
5.Comprueba que la media proporcional de los segmentos a=50 y b=75
da el mismo resultado utilizando los dos posibles teoremas.
6.Dibuja un rectángulo sabiendo que la suma de sus lados mide 90 y
éstos siguen la proporción áurea.

15. F, MOHEDANO
DIBUJO TÉCNICO 1º BACH.
IES LOS MANANTIALES (TORREMOLINOS)